大一高等数学复习题(含答案)

大学一年级专业考试试卷202X-202X 学年 1 学期 《高等数学》 课程 闭 卷（时间120分钟，总分100分）班级 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共12分）1、函数(,)z f x y =的两个二阶混合偏导数(,),(,)xy yx f x y f x y 在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导在D 内相等的( )条件.(A)充分 (B) 必要 (C)充分必要 (D) 无关2、对函数2(,)f x y x xy =+，原点(0,0) ( ).（A ）不是驻点 （B ）是驻点却不是极值点 （C ）是极大值点 （D ）是极小值点 3、若连续函数()f x 满足20()()ln 22x tf x f dt =+⎰，则()f x =（ ） （A ）ln 2xe （B ）2ln 2xe （C ）ln 2xe + （D ）2ln 2xe +4、下列等式中，不是差分方程的是（ ）（A ）22x x y y ∆-= （B ）2x x x y y e -+= （C ）20x y ∆= （D ）33x x y y x ∆+=5、设a 为常数,则级数21sin n na n ∞=⎛ ⎝∑( ).（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性取决于a 的值 6、下列级数中条件收敛的是（ ）. （A ）11(1)1n n n n ∞-=-+∑ （B）n ∞= （C ）21(1)n n n ∞=-∑ （D ）111(1)ln()n n n n ∞-=+-∑ 二、填空题（每小题3分，共24分） 1、若22(,)x yf x y xy x xy y++=++,则(,)f x y = . 2、设(,)z x y 由方程333z xyz a -=确定,则zx∂∂= . 3、更换积分次序2313201(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+=⎰⎰⎰⎰.4、设区域22{(,),0}D x y x y y x =+≤≥，则二重积分(,)DI f x y dxdy =⎰⎰化为极坐标系下的二次积分为I = .5、级数()112nn n x n∞=-⋅∑的收敛域为 .6、1(44)4nn n x x ∞=-≤≤∑的和函数()S x = .7、微分方程2xy y '-=-的通解为 .8、一阶差分方程120x x y y ++=的通解为x y = .三、计算题（每小题7分，共14分） 1、设()y z xy xf x =+，其中f 具有连续导数，求z z x y x y∂∂+∂∂.2、设(2)(ln ,)z f x y x y C =-∈，求22,,z z zx y x ∂∂∂∂∂∂.四、计算题（每小题7分，共14分） 1、计算二重积分Dydxdy x⎰⎰,其中D 是由直线y x =,2y x =及1x =,2x =所围成的闭区域.2、利用极坐标计算Dσ⎰⎰,其中D 为圆环形区域22224x y ππ≤+≤.五、计算题（每小题7分，共14分） 1、判别级数211(1)ln 1nn n ∞=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑的敛散性，若收敛, 指出是条件收敛或是绝对收敛.2、把函数()ln(),(0)f x a x a =+>展开成关于x 的幂级数，并确定展开式成立的范围.六、应用题与计算题（每小题8分，共16分） 1、已知某生产商的生产函数为3144(,)100f x y x y =, 其中x 表示劳动力的数量,y 表示资本数量. 且每个劳动力与每单位资本的成本分别为150元及250元, 该生产商的总预算是50000元, 问该如何分配这笔钱用于雇佣劳动力和投入资本, 以使生产量最高.2、求微分方程22xy y y e '''+-=的通解.七、证明题（6分）设正项级数21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛，证明1n nn u v∞=∑绝对收敛..试卷答案及评分标准一、单项选择（共12分，每小题2分）1.A 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 二、填空（共24分，每小题3分）1、2x x y - ； 2、2yzz xy- ； 3132y - 4、sin 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰； 5、[1,3)-； 6、4xx-； 7、2y cx =+ 8、12xx y C ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭三、计算题（共14分，每小题7分）1、解： 2()()()()()z y y y y y yy f xf y f f x x x x x x x∂''=++⋅-=+-∂-------------（3分）1()()z y yx xf x f y x x x ∂''=+⋅=+∂----------------------------------------------（2分） 2()z z yxy xy xf x y x∂∂+=+∂∂----------------------------------------------------（2分） 2、解：12ln x z y f f ''=⋅+ ----------（2分）12y x z f f y''=- ----------------（2分） 11121222ln (ln )ln xx z y f y f f y f ''''''''=+++-----------------（2分） 2111222ln 2ln f y f y f ''''''=++--------------------（1分）四、计算题（共14分，每小题7分）1.解：221x x Dyy dxdy dx dy xx =⎰⎰⎰⎰ -------------------（3分）2132xdx =⎰ -------------------（2分）94=-------------------（2分）2.解：220sin sin Dd r rdr πππσθ=⋅⎰⎰⎰⎰-------------------（4分）22cos rd r πππ=-⎰ -------------------（1分）()222cos cos r r rdr πππππ=--⎰26π=- -------------------（2分）五、计算题（共14分，每小题7分）1.解：2221111(1)ln()ln(1),nn n n n n ∞∞==+-=+∑∑ -------------------------（2分）22221ln(1)11,ln(1)lim1,1n n n n n n →∞+→∞+=且221111ln(1)n n n n ∞∞==∴+∑∑且收敛收敛； ---------（3分）∴原级数为绝对收敛 --------（2分）2.解：()ln ln(1)x f x a a=++-------（2分）1(1)ln(1) (11)1n n n x x x n +∞=-+-<≤+∑=10(1)ln(1) (11)1n n n x x xa a n a+∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∴+-<≤+∑= -------（3分） ()()110(1) ()ln 1n n n n x f x a a x a n a+∞+=-∴=+-<≤+⋅∑---------（2分）六、计算题（共16分，每小题8分）1.解：目标函数3144(,)100f x y x y =在约束条件150********x y +=下的极值问题 作拉格朗日函数3144(,,)100(150********)L x y x y x y λλ=++-------（3分）11443344751500252500150250500000x y L x y L x y L x y λλλ--⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪=+-=⎪⎪⎩； -----------------------------（3分） 25050x y ⇒== --------------------（2分）故该生产商雇佣250个劳动力和投入50个单位资本, 可使生产量最高. 2.解： 212110,1,2r r r r +-=⇒=-=特征方程：2 -------------（2分） 1212,x xY c e c e -∴=+对应齐次方程的通解 ----------------（2分）*,x y Ae =设特解形式为-----------------------------------（1分） 1,*x A y e =∴=代入原方程解得 --------------------（1分）1212*.x xx y Y y c e c ee -=+=++通解为---------------（1分）七、证明题（本题6分）解：， 222n n n n u v u v +≤证明： -----------（3分）211n n n n u v ∞∞==∑∑2又由和都收敛1n n n u v ∞=∴∑收敛， -----------（2分）1n n n u v ∞=∴∑绝对收敛 -----------（1分）。

大一高等数学练习题及答案解析 11．2．limx?0xx?.1?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y2.3．设函数y?y由方程?1xe?tdt?xdy确定，则dxx?0tfdt?ff?1fx14. 设可导，且，，则f?x??5．微分方程y4y??4y?0的通解为 .二．选择题1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为.y?Acos2x; y?Axcos2x;f?lnx?x?ke在内零点的个数为.y?Axcos2x?Bxsin2x;y?Asin2x.．下列结论不一定成立的是.*f?x?dx??f?x?dxc,d?a,bca若,则必有;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有 xba?Taf?x?dx??f?x?dxT;tf?t?dtfx0若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??4. 设1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题 1 ．计算定积分x3e?xdx2.2．计算不定积分xsinxcos5x.xxa,t2处的切线的方程. ．求摆线?y?a,在4. 设F??cosdt，求F?.5．设四．应用题 1．求由曲线y?xn?nlimxnn，求n??.x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.222．设平面图形D由x?y?2x与y?x所确定，试求D绕直线x?旋转一周所生成的旋转体的体积.ta?1,f?a?at在内的驻点为 t. 问a为何值时t最小?并求3. 设最小值.五．证明题设函数f在[0,1]上连续，在内可导且1ff=?1试证明至少存在一点??, 使得f?=1. 一．填空题： 11．．limx?x?0e.4e.dy确定，则dxx?0121?1x?1?x2005??ex?e?x?dx?x?y3．设函数y?y由方程?1e?tdt?x?e?1.12x24. 设f?x?可导，且x1tfdt?f，f?1，则f?x??e2x.5．微分方程y4y??4y?0的通解为y?e二．选择题： .1．设常数k?0，则函数个; 个; 1个; 0个.2．微分方程y4y?3cos2x 的特解形式为y?Acos2xy； ?Axcos2x； ?y?Axcos2x?Bxsin2x； y?Asin2x．下列结论不一定成立的是f?lnx?x?k内零点的个数为. e 在若?c,da,b?,则必有dcf?x?dx??f?x?dxabb;f?x?dx?0a,bf?0a若在上可积,则;若f?x?是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有a?Taf?x?dx??f?x?dxT;xtf?t?dtfx0 若可积函数为奇函数,则也为奇函数. f?x??1?e1x1x2?3e, 则x?0是f的.. 设连续点; 可去间断点;跳跃间断点; 无穷间断点. 三．计算题： 1．计算定积分?0 解：2x3e?xdx202.2设x2?t,则?x3e?xdx??1?t12tedttde?t0220-------221??t22?t?te??edt?002?? -------22131e?2?e?te?2022--------22．计算不定积分解：xsinx5cosx.xsinx111?xdx?dx?xd??4?cos5x?cos4x?4?cos4x4??cosx?--------3 x1dtanx44cosx4x113tanx?tanx?C4cos4x1-----------?xa,t2处的切线的方程.．求摆线?y?a,在,a)2解：切点为 -------2k?dyasint?s)t??dxt??a即y?x?a.-------24. 设．设F??cosdt22F2xcosxcos. ，则xn?nn?1)?limxnn，求n??.1nilnxn??ln1ni?1n ---------解：n1i1limlnxn?lim?ln??lndx0n??n??nni?1--------------12ln2101?x =------------22ln2?1e?limxne 故 n??=xln10??x1四．应用题 1．求由曲线y?x?2与该曲线过坐标原点的切线及x轴所围图形的面积.解：大一高等数学期末考试试卷一、选择题2ex,x0,1. 若f??为连续函数,则a的值为.ax,x01 3-12. 已知f??2,则limh?0f?f的值为.h13-113. 定积分?2?的值为. ?20-2124. 若f在x?x0处不连续,则f在该点处.必不可导一定可导可能可导必无极限二、填空题1．平面上过点，且在任意一点处的切线斜率为3x2的曲线方程为 .2. ?dx? . ?113. limx2sinx?01= . x4. y?2x3?3x2的极大值为三、计算题1. 求limx?0xln. sin3x22. 设y?求y?.. 求不定积分?xlndx.4. 求?30?x,x?1,? fdx,其中f??1?cosx?ex?1,x?1.?5. 设函数y?f由方程?edt??costdt?0所确定,求dy. 00ytx6. 设?fdx?sinx2?C,求?fdx.3??7. 求极限lim?1??. n2n?四、解答题1. 设f??1?x,且f?1,求f. n2. 求由曲线y?cosxx??与x轴所围成图形绕着x轴旋转一周2??2所得旋转体的体积.3. 求曲线y?x3?3x2?24x?19在拐点处的切线方程.4. 求函数y?x[?5,1]上的最小值和最大值.五、证明题设f??在区间[a,b]上连续,证明bafdx?b?a1b[f?f]??f??dx.2a标准答案一、 1 B; C; D; A.二、 1 y?x?1;2; 0;0.三、 1 解原式?limx?5x5分 x?03x21分2分 x??lxn2d分 ?212x?[lndx2分21?x1?[ln?x2]?C1分解令x?1?t,则分03fdx1fdt 1分122t1??1dt 1分 1?cost1分 ?0?[et?t]1e2e1 1分两边求导得ey?y??cosx?0,分ycosx 1分 ye?cosx 1分 sinx?1cosx?dy?dx分 sinx?1解 ?fdx?12?fd2?C4分3??lim1?解原式=??n2n?322n3?32分 =e2分四、1 解令lnx?t,则x?et,f??1?et, 分 f??dt=t?et?C.2分 ?f?1,?C?0, 分fxex. 1分解 Vx2??2??cosxdx分 ?2202cos2xdx2分 ?解 ?22. 分 6x?1分 y??3x2?6x?24,y令y0,得x?1. 1分当x?1时,y0; 当1?x时,y0,分 ?为拐点, 1分该点处的切线为y?3?21. 分解y??1??2分令y??0,得x3?. 1分435y52.55,y,y1,分 ?4?435y5y最大值为. 分 ?最小值为?4?4五、证明bafdf?分 ab[f]aaf[2xdx分a[2x?df分 bbb[2x?]f?a?2?afdx分[f?f]?2?afdx,分移项即得所证分 bbb大一高数试题及答案一、填空题________ １１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ＋────── 的定义域为_________ √１－ｘ2_______________。

大一高数1-9的习题答案大一高数1-9的习题答案大一高数是大学数学的基础课程之一，对于理工科学生来说是非常重要的一门课程。

在学习过程中，习题是帮助我们巩固知识、提高能力的重要工具。

下面我将为大家提供大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

第一章：极限与连续1. 求以下极限：a) lim(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)答案：2b) lim(x→1) (x^2 - 1) / (x - 1)答案：2c) lim(x→0) sinx / x答案：12. 判断以下函数在给定点是否连续：a) f(x) = x^2 + 3x - 2, x = 2答案：连续b) f(x) = 1 / x, x = 0答案：不连续第二章：导数与微分1. 求以下函数的导数：a) f(x) = 3x^2 - 2x + 1答案：f'(x) = 6x - 2b) f(x) = sinx + cosx答案：f'(x) = cosx - sinxc) f(x) = e^x + ln(x)答案：f'(x) = e^x + 1 / x2. 求以下函数的微分：a) f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1答案：df(x) = (6x^2 - 10x + 3)dx b) f(x) = √x + ln(x)答案：df(x) = (1 / (2√x) + 1 / x)dx 第三章：定积分1. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) x^2 dx答案：1 / 3b) ∫(1 to 2) 2x dx答案：3c) ∫(0 to π) sinx dx答案：22. 求以下定积分：a) ∫(0 to 1) (x^3 + 2x^2 + x) dx 答案：7 / 12b) ∫(1 to 2) (2x^2 + 3x + 1) dx答案：19 / 3第四章：不定积分1. 求以下函数的不定积分：a) ∫(3x^2 - 2x + 1) dx答案：x^3 - x^2 + x + Cb) ∫(2sinx + cosx) dx答案：-2cosx + sinx + C2. 求以下函数的不定积分：a) ∫(2x^3 + 3x^2 + x) dx答案：(1 / 2)x^4 + x^3 + (1 / 2)x^2 + C b) ∫(e^x + 1 / x) dx答案：e^x + ln|x| + C第五章：级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^2)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n)答案：发散2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛第六章：多元函数微分学1. 求以下函数的偏导数：a) f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2答案：∂f / ∂x = 2x + 2y, ∂f / ∂y = 2x + 2yb) f(x, y) = sinx + cosy答案：∂f / ∂x = cosx, ∂f / ∂y = -siny2. 求以下函数的全微分：a) f(x, y) = x^3 + 2xy^2答案：df = (3x^2 + 2y^2)dx + (4xy)dyb) f(x, y) = e^x + ln(y)答案：df = e^xdx + (1 / y)dy第七章：多元函数积分学1. 求以下二重积分：a) ∬(D) x^2 dA, D为单位圆盘答案：π / 3b) ∬(D) y dA, D为正方形区域，顶点为(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1) 答案：12. 求以下二重积分：a) ∬(D) (x + y) dA, D为上半平面答案：无穷大b) ∬(D) (2x + 3y) dA, D为单位正方形答案：5 / 2第八章：无穷级数1. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (1 / n^3)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (1 / 2^n)答案：收敛2. 判断以下级数是否收敛：a) ∑(n = 1 to ∞) (n / 2^n)答案：收敛b) ∑(n = 1 to ∞) (n^2 / 2^n)答案：收敛第九章：常微分方程1. 求以下常微分方程的通解：a) dy / dx = x^2答案：y = (1 / 3)x^3 + Cb) dy / dx = 2x + 1答案：y = x^2 + x + C2. 求以下常微分方程的特解：a) dy / dx = y^2, y(0) = 1答案：y = 1 / (1 - x)b) dy / dx = 2x, y(0) = 3答案：y = x^2 + 3以上是大一高数1-9章节的习题答案，希望能对大家的学习有所帮助。

（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。