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全国通用2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入重点强化训练2平面向量文

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1
重点强化训练(二) 平面向量
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2017·石家庄模拟)已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法
正确的是 ( )
【导学号：31222166】
A．a＋b＝0
B．a＝b
C．a与b共线反向
D．存在正实数λ，使a＝λb
D [因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．]
2．(2014·全国卷Ⅱ)设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．5
A [|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，∴a·b＝1.]
3．(2016·北京高考)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形．a＋b，a－b表示的是该
菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立，从
而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，
而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝
|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．]
4．在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)，

若|OA→＋OC→|＝13，α∈(0，π)，则OB→与OC→的夹角为( ) 【导学号：31222167】
A.π6 B.π3

C.23π D.56π
2

A [由题意，得OA→＋OC→＝(3＋cos α，sin α)，
所以|OA→＋OC→|＝3＋cos α2＋sin2α
＝10＋6cos α＝13，

即cos α＝12，

因为α∈(0，π)，所以α＝π3，C12，32.
设OB→与OC→的夹角为θ，

则cos θ＝OB→·OC→|OB→|·|OC→|＝3233×1＝32.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.]
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝3，则OA→·
OB
→
的值是 ( )
A．－12 B.12

C．－34 D．0
A [取AB的中点C，连接OC，AB＝3，

则AC＝32，又因为OA＝1，
所以sin12∠AOB＝sin∠AOC＝ACOA＝32，
所以∠AOB＝120°，
则OA→·OB→＝1×1×cos 120°＝－12.]
二、填空题
6．设O是坐标原点，已知OA→＝(k,12)，OB→＝(10，k)，OC→＝(4,5)，若A，B，C三点共
线，则实数k的值为________．
3

【导学号：31222168】
11或－2 [由题意得CA→＝OA→－OC→＝(k－4,7)，
CB→＝OB→－OC→＝(6，k
－5)，

所以(k－4)(k－5)＝6×7，
k－4＝7或k－4＝－6，即k＝11或k
＝－2.]

7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，且|OA→＋OB→|＝|OA→
－OB→|，其中O为原点，则正实数a的值为________．
2 [由|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，知OA→⊥OB→，
∴|AB|＝22，则得点O到AB的距离d＝2，

∴|0×1＋1×0－a|2＝2，解得a＝2(a>0)．]

8．在△ABC中，BC＝2，A＝2π3，则AB→·AC→的最小值为________．
－23 [由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 2π3≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，
又BC＝2，则AB·AC≤43，所以AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|·cos 2π3≥－23，(AB→·AC→)min＝－23，当
且仅当AB＝AC时等号取得．]
三、解答题
9．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在△ABC三边

围成的区域(含边界)上，且OP→＝mAB→＋nAC→(m，n∈R). 【导学号：31222169】
(1)若m＝n＝23，求|OP→|；
(2)用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．
[解] (1)∵m＝n＝23，AB→＝(1,2)，AC→＝(2,1)，

∴OP→＝23(1,2)＋23(2,1)＝(2,2)，3分
∴|OP→|＝22＋22＝22.5分
(2)∵OP→＝m(1,2)＋n(2,1)＝(m＋2n,2m＋n)，

∴ x＝m＋2n，y＝2m＋n，8分
两式相减，得m－n＝y－x.
4

令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2,3)时，t取得最大值1，故m－n的最大
值为1.12分

10．设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈0，π2.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解] (1)由|a|2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.3分

又x∈0，π2，从而sin x＝12，所以x＝π6.5分
(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sin2x
＝32sin 2x－12cos 2x＋12＝sin2x－π6＋12，8分
当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.
所以f(x)的最大值为32.12分

B组 能力提升
(建议用时：15分钟)

1．(2016·吉林延边模拟)已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝2，|b|＝3，设OA→＝a，
OB→＝b，OC→＝ma－2b，若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则m
＝( )

A．－4 B．3
C．－11 D．10
C [a·b＝2×3×cos 60°＝3，

AB→＝OB→－OA→＝b－a，AC→＝OC→－OA＝(m－1)a－2b
.

∵AB⊥AC，∴AB→·AC→＝0，
即(b－a)·[(m－1)a－2b]＝0，
∴(1－m)a2－2b2＋(m－1)a·b＋2a·b＝0，
即4(1－m)－18＋3(m－1)＋6＝0，
解得m＝－11.故选C.]
2．(2016·浙江高考)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单
位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．
5

7 [∵a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×2×cos〈a，b〉＝1，
∴cos〈a，b〉＝12，
∴〈a，b〉＝60°.
以a的起点为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，
则a＝(1,0)，b＝(1，3)．
设e＝(cos θ，sin θ)，
则|a·e|＋|b·e|＝|cos θ|＋|cos θ＋3sin θ|
≤|cos θ|＋|cos θ|＋|3sin θ|
＝2|cos θ|＋3|sin θ|
≤|cos θ|2＋|sin θ|222＋3
＝7.]
3．已知函数f(x)＝a·b，其中a＝(2cos x，－3sin 2x)，b＝(cos x,1)，x∈R.
【导学号：31222170】
(1)求函数y＝f(x)的单调递减区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)＝－1，a＝7，且向量
m
＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，求边长b和c的值．

[解] (1)f(x)＝a·b＝2cos2x－3sin 2x＝1＋cos 2x－3sin 2x＝1＋2cos2x＋π3，
2分
令2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π(k∈Z)，

解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)，
∴f(x)的单调递减区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z).5分
(2)∵f(A)＝1＋2cos2A＋π3＝－1，
∴cos2A＋π3＝－1.7分
又π3<2A＋π3<7π3，∴2A＋π3＝π，即A＝π3.9分
∵a＝7，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－3bc＝7.①
∵向量m＝(3，sin B)与n＝(2，sin C)共线，
6

∴2sin B＝3sin C．由正弦定理得2b＝3c，②
由①②可得b＝3，c＝2.12分

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2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教师用书文

2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教师用书文

其中假命题的序号为________．
①②③④⑤⑥[①不正确．|a|＝|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或相反向量；
②不正确．因为＝，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是四边形．
③不正确．两向量不能比较大小．
④不正确．当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．
(2)因为D是BC的中点，则＋＝2.
由＋＋＝0，得＝.
又＝λ，
所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此＝＋＝2＝－2，所以λ＝－2.]
共线向量定理的应用
设两个非零向量a与b不共线，
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
－[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，
∴得]
平面向量的有关概念
给出下列六个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；
②若＝，则ABCD为平行四边形；
③若a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线；
⑤λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
⑥a，b为非零向量，a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
0[因为＋＝2，由平行四边形法则知，点P为AC的中点，故＋＝0.]
4．(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________(用a，b表示)．
b－a－a－b[如图，＝＝－＝b－a，
＝－＝－－＝－a－b.]
5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入课件文

2018高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入课件文

第四章
平面向量、数系的扩充与复数的引入
[五年考情]
[重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主 要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直的充要条件，平面向量的数量 积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题 的形式出现，难度较小． 2．平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针 引线的载体作用． 3．本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个 特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．
[导学心语] 1．透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础．(1) 向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合 和转化．(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用． 2．平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用．平面 向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用． 3．复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运 算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思
2018高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入课

2018高考数学一轮复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 第4节 数系的扩充与复数的引入课

课时分层训练(二十六) 数系的扩充与复数的引入A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．(2017·南昌一模)在复平面内，复数(1＋3i)·i 对应的点位于( )【导学号：66482219】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [复数(1＋3i)i ＝－3＋i 在复平面内对应的点为(－3，1)，位于第二象限，故选B.]2．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3A [(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，由题意知a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A.] 3．(2016·山东高考)若复数z ＝21－i ，其中i 为虚数单位，则z －＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i B [∵z ＝21－i＝＋－＋＝＋2＝1＋i ，∴z －＝1－i.]4．(2016·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是 ( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B ，C 易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．]6．若i 为虚数单位，图4­4­3中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )【导学号：66482220】图4­4­3A ．EB ．FC ．GD ．HD [由题图知复数z ＝3＋i ， ∴z1＋i ＝3＋i 1＋i＝＋－＋－＝4－2i 2＝2－i.∴表示复数z1＋i 的点为H .]7．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 019＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．iD ．0D [z ＝1＋2i1－i ＝1＋＋2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z2 019＝－z 2 0201－z＝1－i 2 0201－i ＝1－i4×5051－i＝0.] 二、填空题8．(2016·江苏高考)复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．5 [因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5.] 9．已知a ∈R ，若1＋a i 2－i 为实数，则a ＝________.－12 [1＋a i 2－i ＝＋a＋－＋＝2＋i ＋2a i －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i.∵1＋a i 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12.] 10．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________.【导学号：66482221】3 [∵|z －2|＝x －2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3. 由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3.] B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知复数z 1＝－12＋32i ，z 2＝－12－32i ，则下列命题中错误的是 ( )A ．z 21＝z 2 B ．|z 1|＝|z 2| C ．z 31－z 32＝1D ．z 1，z 2互为共轭复数C [依题意，注意到z 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2＝1－34－32i ＝－12－32i ＝z 2，因此选项A 正确；注意到|z 1|＝1＝|z 2|，因此选项B 正确；注意到z 1＝－12－32i ＝z 2，因此选项D 正确；注意到z 31＝z 21·z 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝1，同理z 32＝1，因此z 31－z 32＝0，选项C 错误．综上所述，选C.]2．设f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n (n ∈N *)，则集合{f (n )}中元素的个数为( )【导学号：66482222】A ．1B ．2C ．3D ．无数个C [f (n )＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i n ＝i n ＋(－i)n ，f (1)＝0，f (2)＝－2，f (3)＝0，f (4)＝2，f (5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．]3．已知集合M ＝{1，m,3＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为________．3或6 [∵M ∩N ＝{3}，∴3∈M 且－1∉M ， ∴m ≠－1,3＋(m 2－5m －6)i ＝3或m ＝3， ∴m 2－5m －6＝0且m ≠－1或m ＝3， 解得m ＝6或m ＝3.]4．已知复数z 1＝cos 15°＋sin 15°i 和复数z 2＝cos 45°＋sin 45°i，则z 1·z 2＝________.【导学号：66482223】12＋32i [z 1·z 2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i ＝12＋32i.]。

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入模拟演练理

2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练 理[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析 解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3. 解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a2＋1＝2，∴a ＝ 3.2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析1＋2i2－i＝＋＋－＋＝2＋i ＋4i ＋2i24－i2＝5i5＝i ，故选A.3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i 答案 D 解析 由－z＝1＋i ，得z ＝－1＋i＝－2i 1＋i ＝－－＋－＝－1－i.5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz ＝i(i 为虚数单位)的复数是________．答案 12－i 2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )， 所以z －21＋i ＝bi －21＋i＝－－＋－＝－＋＋2＝b －22＋b ＋22i.。