江苏高考应用题专题附详细复习资料

第1讲 函数与导数应用题高考定位 高考对本内容的考察主要有：(1)函数模型及其应用，B 级要求；(2)导数在实际问题中的应用，B 级要求.真 题 感 悟(2021 ·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，方案修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，方案修建的公路为l .如下图，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5 km 和40 km ，点N 到l 1，l 2的距离分别为20 km 和2.5 km ，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型.(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，点P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度. 解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入y ＝ax 2＋b，得解得(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，那么点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2.设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于点A ，B ，因为y ′＝－2 000x3，那么直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2，故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4，t ∈[5，20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，那么g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5，102)时，g ′(t )<0，g (t )单调递减； 当t ∈(102，20)时，g ′(t )>0，g (t )单调递增.所以当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3. 答：当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为15 3 km.考 点 整 合(1)一次函数模型：f (x )＝ax ＋b (a ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k x＋b (k ≠0)； (3)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(4)指数函数模型：f (x )＝ba x＋c (b ≠0，a ＞0且a ≠1)； (5)对数函数模型：f (x )＝b log a x ＋c (b ≠0，a ＞0且a ≠1)； (6)幂函数模型：f (x )＝ax n＋b (a ≠0).2.利用导数研究函数的单调性、极值与最值在解决生活中的优化问题时应用广泛，但要注意结合实际意义(比方定义域问题)作答.热点一 函数模型在实际问题中的应用【例1】 (1)(2021·南京、盐城模拟)用长度为24的材料围一矩形场地，并用该材料在中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，那么隔墙的长度为________.(2)某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入.假设该公司2021 年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开场超过200万元的年份是________年(参考数据： lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30).解析 (1)设隔墙的长为x (0＜x ＜6)，矩形面积为y ，那么y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x－3)2＋18，∴当x ＝3时，面积y 最大.(2)设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log200130＝错误!≈3.80，因资金需超过200万，那么x 取4，即2 019年.答案 (1)3 (2)2 019探究提高 与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数模型，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.【训练1】 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会.据市场调查，当每套丛书售价定为xx 万套.现出版社为配合该书商的活动，决定进展价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两局部，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他本钱，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元).(2)每套丛书售价定为x 元时，由解得0＜x ＜150.依题意，单套丛书利润P ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫30＋10x ＝x －100150－x －30， 所以P ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤〔150－x 〕＋100150－x ＋120.因为0＜x ＜150，所以150－x ＞0， 那么(150－x )＋100150－x≥2〔150－x 〕·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立，此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书利润最大为100元. 热点二 导数在实际问题中的应用【例2】 如图，城市A ，城市B ，城市C (均视为一个点)恰好构成一个边长为200千米的等边三角形，点D 为BC 段中点；假设国家规划在AD 段选取一点T 新建一座城市，并决定修建连接新城市T 的三条高速公路AT ，BT ，CT ，设∠DBT ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π3.(1)试用θ表示出三段高速公路的总长度y (千米)的解析式，并求y 的最小值；(2)假设BT 段高速公路的造价为4千万/千米，AT 段和CT 段高速公路的造价均为2千万/千米，试用θ表示出三段高速公路总造价z (千万元)的解析式，并求z 的最小值. 解 BT ＝CT ＝100cos θ(千米)，DT ＝100tan θ(千米)，AT ＝1003－100tan θ(千米).(1)y ＝AT ＋BT ＋CT ＝200cos θ－100tan θ＋100 3.即y ＝100·2－sin θcos θ＋1003⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π3. y ′＝100·2sin θ－1cos 2θ，当θ＝π6时，y ′＝0； 当0＜θ＜π6时，y ′＜0，函数单调递减；当π6＜θ＜π3时，y ′＞0，函数单调递增. 所以当θ＝π6时，y 取得最小值2003千米.(2)z ＝2AT ＋4BT ＋2CT ＝2(1003－100tan θ)＋4·100cos θ＋2·100cos θ，即z ＝200·3－sin θcos θ＋2003⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π3.z ′＝200·3sin θ－1cos 2θ，设sin θ0＝13⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ0＜π3， 当θ＝θ0时，z ′＝0；当0＜θ＜θ0时，z ′＜0，z 单调递减；当θ0＜θ＜π3时，z ′＞0，z 单调递增，所以当θ＝θ0，即sin θ＝13时，三段高速公路总造价z 取得最小值(4002＋2003)千万元. 探究提高 利用导数解决生活中的实际问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y ＝f (x )(尤其注意定义域). (2)求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0.(3)求最值：比拟函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)结论：回归实际问题作答.AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60 m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21∶4，且P 对两塔顶的视角为135°.(1)求两索塔之间桥面AC 的长度；(2)研究说明索塔对桥面上某处的“承重强度〞与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度〞与索塔的高度成正比(比例系数为正数a )，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b ).问两索塔对桥面何处的“承重强度〞之和最小？并求出最小值.解 (1)设AP ＝21t ，CP ＝4t ，t ＞0，记∠APB ＝α，∠CPD ＝β， 那么tan α＝6021t ＝207t ，tan β＝604t ＝15t，由tan(α＋β)＝tan 45°＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝207t ＋15t1－3007t 2＝1，化简得7t 2－125t －300＝0，解得t ＝20或t ＝－157(舍去)，所以AC ＝AP ＋PC ＝25×20＝500. 答：两索塔之间的距离AC ＝500米.(2)设桥面AC 上一点M ，AM ＝x ，点M 处的承重强度之和为L (x ).那么L (x )＝60⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab x 2＋ab 〔500－x 〕2，且x ∈(0，500)， 即L (x )＝60ab ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 2＋1〔500－x 〕2，x ∈(0，500)，记l (x )＝1x 2＋1〔500－x 〕2，x ∈(0，500)，那么l ′(x )＝－2x 3＋2〔500－x 〕3，令l ′(x )＝0，解得x ＝250，当x ∈(0，250)时，l ′(x )＜0，l (x )单调递减； 当x ∈(250，500)时，l ′(x )＞0，l (x )单调递增，所以当x ＝250时，l (x )取到最小值，L (x )也取到最小值6ab3 125.答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度〞之和最小，且最小值为6ab3 125.1.构建数学模型解决问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.2.在涉及实际生活中的优化问题时，由于函数模型的复杂性，导数在求解最优解时有着广泛的应用.在利用导数寻找最大(小)值时，一是要准确求导，另外在利用单调性判断最值时注意定义域(例如有些题目最优解为整数解).一、填空题1.(2021·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3m 元，那么该职工这个月实际用水为______m 3.解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝那么10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13. 答案 132.某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，给出该股民关于这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)：①略有盈利；②略有亏损；③没有盈利也没有亏损.其中说法正确的为________(填序号).解析 设该股民购这支股票的价格为a 元，那么经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝an元，经历n 次跌停后的价格为a n×(1－10%)n＝a nn＝a ×(1.1×0.9)nn·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损. 答案 ②3.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租t (分钟)与打出 费s (元)的函数关系如图，当打出 150分钟时，这两种方式 费相差________元.解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 10 二、解答题x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时 ，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2f (x )＝t 1＋t 2.(1)求f (x )的解析式，并写出其定义域； (2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 解 (1)因为t 1＝9 000x，t 2＝3 0003〔100－x 〕＝1 000100－x，所以f (x )＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x ，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}.(2)法一 (导数)∵f (x )＝9 000x ＋1 000100－x ，∴f ′(x )＝－9 000x 2＋ 1 000〔100－x 〕2，令f ′(x )＝0得，x ＝75，x ∈N *，当x ∈(0，75)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(75，100)时，f ′(x )＞0，故当x ＝75时，f (x )取得最小值. 法二 (根本不等式)f (x )＝1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1100－x ＝10[x ＋(100－x )]⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1100－x＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9〔100－x 〕x ＋x 100－x . 因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9〔100－x 〕x ＞0，x 100－x ＞0，所以9〔100－x 〕x ＋x100－x≥29〔100－x 〕x·x100－x＝6，当且仅当9〔100－x 〕x＝x100－x，即当x ＝75时取等号.故当x ＝75时，f (x )取得最小值.5.(2021·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总本钱y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均本钱最低，并求最低本钱；(2)假设每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解 (1)每吨平均本钱为y x (万元).那么y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号.∴年产量为200吨时，每吨平均本钱最低为32万元. (2)设年获得总利润为R (x )万元.那么R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210).∵R (x )在[0，210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.6.某地“两会〞召开期间，会上人大代表和政协委员就当前的“雾霾〞发表自己的看法，某政协委员针对自己提出的“环保提案〞对某处的环境状况进展了实地调研.据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k (k ＞0)，现相距36 km 的A ，B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a ，b (a ＞0，b ＞0)，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC ＝x km. (1)试将y 表示为x 的函数；(2)假设当a ＝1时，y 在x ＝6处取得最小值，试求b 的值.解 (1)由题意知，点C 受A 污染源污染指数为ka x ，点C 受B 污染源污染指数为kb36－x，其中k 为比例常数，且k ＞0.从而点C 处污染指数y ＝ka x ＋kb36－x(0＜x ＜36).(2)因为a ＝1，所以y ＝k x ＋kb 36－x ，y ′＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1x 2＋b 〔36－x 〕2，令y ′＝0，且0＜x ＜36，得x ＝361＋b ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，361＋b 时，y ′＜0，函数单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫361＋b ，36时，y ′＞0，函数单调递增.所以当x ＝361＋b时，函数取得最小值.又此时x ＝6，解得b ＝25，经检验符合题意.7.(2021·泰州模拟)植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30 m 的围墙.现有两种方案：方案① 多边形为直角三角形AEB (∠AEB ＝90°)，如图1所示，其中AE ＋EB ＝30 m ； 方案② 多边形为等腰梯形AEFB (AB ＞EF )，如图2所示，其中AE ＝EF ＝BF ＝10 m. 请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案.解 设方案①，②中多边形苗圃的面积分别为S 1，S 2. 方案① 设AE ＝x ，那么S 1＝12x (30－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋〔30－x 〕22＝2252(当且仅当x ＝15时，“＝〞成立). 方案② 设∠BAE ＝θ，那么S 2＝100sin θ(1＋cos θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.令S 2′＝100(2cos 2θ＋cos θ－1)＝0，得cos θ＝12(cos θ＝－1舍去)，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ＝π3.列表：θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 S 2′ ＋－S 2极大值所以当θ＝π3时，(S 2)max ＝75 3.因为2＜753，所以建苗圃时用方案②，且∠BAE ＝π3.答：方案①②苗圃的最大面积分别为2252 m 2，75 3 m 2，建苗圃时用方案②，且∠BAE ＝π3.8.(2021·苏北四市调研)某经销商方案销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x (单位：元，x >0)时，销售量q (x )(单位：百台)与x 的关系满足：假设x 不超过20，那么q (x )＝1 260x ＋1；假设x 大于或等于180，那么销售量为零；当20≤x ≤180时，q (x )＝a －b x (a ，b 为实常数). (1)求函数q (x )的表达式；(2)当x 为多少时，总利润(单位：元)取得最大值，并求出该最大值. 解 (1)当20≤x ≤180时，(2)设总利润f (x )＝x ·q (x )，当0<x ≤20时，f (x )＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，又f (x )在(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f (x )有最大值120 000. 当20<x <180时，f (x )＝9 000x －3005·x x ，f ′(x )＝9 000－4505·x ， 令f ′(x )＝0，得x ＝80.当20<x <80时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当80<x <180时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以当x ＝80时，f (x )有最大值240 000. 当x ≥180时，f (x )＝0.综上，当x ＝80元时，总利润取得最大值240 000元.。

第2讲解三角形、几何中的应用题[考情考向分析] 和三角形有关的应用题，可以利用正弦定理、余弦定理解三角形，进而解决实际问题；和几何图形有关的应用题，可以利用平面几何知识或者建立平面直角坐标系转化成解析几何问题，利用直线或者曲线方程解决．热点一和解三角形有关的应用题例1 如图所示，在某东西公交路线的南侧有一个临时停靠站台，为了方便乘客，打算在站台的一面东西方向的长方形墙体ABHG上用AB＝5 m，BC＝1 m的矩形角钢焊接成一个简易的遮阳棚(将AB放在墙上)．当太阳光线与水平线的夹角θ分别满足下列情况时，要使此时遮阳棚的遮阴面积最大，应将遮阳棚ABCD所在的平面与矩形HEFG所在的路面所成的α设置为多大角度？(1)θ＝90°；(2)θ＝80°.解(1)如图1，当θ＝90°时，太阳光线垂直于地面，遮阳棚只有与地面平行时，遮阴面积最大，故遮阳棚ABCD所在的平面与水平面所成角α＝0°.(2)如图2，在平面CBHE内，过点C作直线IJ，与直线HE交于I，与直线HB的延长线交于J，并使得∠CIH＝80°，由题意可知，∠CBH＝α＋90°.在Rt△IHJ中，tan 80°＝HJHI ＝HB＋BJHI，即HI＝HB＋BJtan 80°，欲使得HI 取到最大值，只需HB ＋BJ 取到最大值，而站台高HB 为定长，故只需BJ 取到最大值即可．在△BCJ 中，∠BJC ＝10°，∠BCJ ＝α＋80°，由正弦定理得，BJsin (α＋80°)＝BC sin∠BJC ＝1sin 10°， 即BJ ＝sin (α＋80°)sin 10°， 故当α＝10°时，BJ 取到最大值，此时HI 也取到最大值，又S 阴＝GH ×HI ＝5HI ，所以此时遮阳棚的遮阴面积最大．思维升华 用正、余弦定理去解决具体设计问题时，应关注图形的特点，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式求解．跟踪演练1 如图，某公园有三条观光大道AB ，BC ，AC 围成直角三角形，其中直角边BC ＝200 m ，斜边AB ＝400 m ．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB ，BC ，AC 大道上嬉戏，所在位置分别记为点D ，E ，F .(1)若甲、乙都以每分钟100 m 的速度从点B 出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲晚2分钟出发，当乙出发1分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设∠CEF ＝θ，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的2倍，且∠DEF ＝π3，请将甲、乙之间的距离y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间的最小距离．解 (1)依题意得BD ＝300 m ，BE ＝100 m ，在△ABC 中，cos B ＝BC AB ＝12，∴B ＝π3， 在△BDE 中，由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE ·cos B＝3002＋1002－2·300·100·12＝70 000，。

第2讲 三角应用题高考定位 高考对本内容的考察主要有：(1)三角恒等变换的应用；(2)正弦定理、余弦定理及应用，B 级要求.真 题 感 悟(2021·江苏卷)某农场有一块农田，如下图，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MNO 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，DOC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；(2)假设大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 解 (1)如图，设PO 的延长线交MN 于点H ，那么PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过O 作OE ⊥BC 于点E ，那么OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ， 故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ，那么矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)， △CDP 的面积为12×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ).过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ， 连接OG ，那么GK ＝KN ＝10.令∠GOK ＝θ0，那么sin θ0＝14，θ0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6.当θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1.答：矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)平方米，△CDP 的面积为1 600( cos θ－sin θcos θ)平方米，sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1. (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k (k >0)，那么年总产值为4k ×800(4sin θcos θ＋cos θ)＋3k ×1 600(cos θ－sin θcos θ)＝ 8 000k (sin θcos θ＋cos θ)，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2.设f (θ)＝sin θcos θ＋cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫θ0，π2，那么f ′(θ)＝cos 2θ－sin 2 θ－sin θ＝－(2sin 2θ＋sin θ－1) ＝－(2sin θ－1)(sin θ＋1).令f ′(θ)＝0，得θ＝π6，当θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π6时，f ′(θ)>0，所以f (θ)为增函数； 当θ∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，π2时，f ′(θ)<0，所以f (θ)为减函数， 因此，当θ＝π6时，f (θ)取到最大值.答：当θ＝π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.考 点 整 合1.(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(2)二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 2.(1)正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).(2)余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3.(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②).热点一 与解三角形有关的实际问题【例1】 (1)(2021·苏北四市联考)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里.(2)如图，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的射影，那么山高CD ＝________m.解析 (1)如下图，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里).(2)在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°.由AB sin 15°＝ADsin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)m. 答案 (1)10 2 (2)800(3＋1)(3)甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，假设甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求 sin θ的值(结果保存根号，无需求近似值).解 设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇，那么在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理，得(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×(－12)，128t 2－60t －27＝0，解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，所以AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)，根据正弦定理，得sin∠BAC ＝BC sin∠ABC AC ＝5314，cos∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角，所以θ＝45°－∠BAC ，sin θ＝sin(45°－∠BAC ) ＝sin 45°cos∠BAC －cos 45°sin∠BAC ＝112－5628.∴经过34小时追上乙船，且sin θ的值为112－5628.探究提高 运用正、余弦定理解决测量距离、高度、角度等问题的考前须知 (1)首先应明确方位角或方向角等概念的含义；(2)分析题意，分清与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂〞使用. 【训练1】 (1)(2021·南京模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，那么从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________.解析 依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)， 又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝〔305〕2＋〔2010〕2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°， 所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°. 答案 45°(2)(2021·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至CA 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.①求索道AB 的长；②问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？③为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解 ①在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m).所以索道AB 的长为1 040 m.②设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)， 因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短.③由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m).乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内.热点二 与三角函数有关的优化问题【例2】 (2021·苏、锡、常、镇调研)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC ⊥AB .在OC 上有一座欣赏亭Q ，其中∠AQC ＝2π3.方案在上再建一座欣赏亭P ，记∠POB ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.(1)当θ＝π3时，求∠OPQ 的大小；(2)当∠OPQ 越大时，游客在欣赏亭P 处的欣赏效果越佳，求游客在欣赏亭P 处的欣赏效果最正确时，角θ的正弦值.解 因为∠AQC ＝2π3，所以∠AQO ＝π3.又OA ＝OB ＝3，所以OQ ＝ 3.在△OPQ 中，OQ ＝3，OP ＝3，∠POQ ＝π2－θ，设∠OPQ ＝α，那么∠PQO ＝π2－α＋θ.由正弦定理，得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋θ＝3sin α，即3sin α＝cos(α－θ).展开并整理，得tan α＝cos θ3－sin θ，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)当θ＝π3时，tan α＝33.因为α∈(0，π)，所以α＝π6.答：当θ＝π3时，∠OPQ ＝π6.(2)法一 设f (θ)＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.那么f ′(θ)＝－sin θ〔3－sin θ〕＋cos 2θ〔3－sin θ〕2＝1－3sin θ〔3－sin θ〕2. 令f ′(θ)＝0，得sin θ＝33，记锐角θ0满足sin θ0＝33. 列表如下：θ (0，θ0) θ0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2 f ′(θ) ＋0 －f (θ)22由上表可知，f (θ0)＝2是极大值，也是最大值. 因为tan α＝f (θ)＞0，且α∈(0，π)， 所以当tan α取最大值22时，α也取得最大值. 答：游客在欣赏亭P 处的欣赏效果最正确时，sin θ＝33. 法二 记T ＝cos θ3－sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，那么3T ＝cos θ＋T sin θ＝(1，T )·(cos θ，sin θ)≤1＋T 2， 得T ≤22，当且仅当tan θ＝22，即sin θ＝33时取等号. 所以tan α的最大值为22.显然tan α＞0，所以当tan α＝22时，α取最大值. 答：游客在欣赏亭P 处的欣赏效果最正确时，sin θ＝33.探究提高 在求解与三角函数有关的应用问题时，首先数形结合建立相关的三角函数模型，再运用三角恒等变换，正、余弦定理及导数求解最值，从而解决优化问题.【训练2】 (2021·苏、锡、常、镇二模)某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)； (2)问当α为何值时l 最小，并求最小值. 解 (1)过D 作DH ⊥BC 于点H ，如下图.那么∠DCB ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，DH ＝h ，DC ＝h sin α，CH ＝h tan α. 设AD ＝x ，BC ＝x ＋2h tan α.因为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x ＋2h tan α·h ，那么x ＝S h －h tan α， 那么l ＝f (α)＝2DC ＋AD ＝S h＋h ⎝⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2.(2)由(1)可知，l ＝f (α)＝S h＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin α－1tan α， 那么f ′(α)＝h ·⎝⎛⎭⎪⎫－2cos αsin 2α－－1sin 2α＝h ·1－2cos αsin 2α， 令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3. α ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 f ′(α) －0 ＋f (α)极小值所以l min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝3h ＋h .故当α＝π3时，l 最小，最小值为3h ＋Sh.1.与解三角形有关的应用题常见两种情形：一是实际问题经抽象概括后，量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；二是实际问题经抽象概括后，量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需要作出这些三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要的解.2.用正、余弦定理去解决具体实际问题时，应关注图形的特点，找出量及所求的量，转化为三角形的边角，再利用正弦、余弦定理构造方程或三角函数式，运用求导或不等式的性质寻找最值.一、填空题图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.假设此人步行的速度为每分钟50米，那么该扇形的半径为________米.解析 如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.答案 5072.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如下图)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.假设国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(米). 由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝203(米).在Rt△ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米). 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒).3.(2021·苏州模拟)如下图，位于A 处的信息中心得悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，那么cos θ的值为________.解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800BC ＝207.由正弦定理得AB sin∠ACB ＝BC sin∠BAC sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，那么cos∠ACB ＝277. 由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114. 答案2114二、解答题4.(2021·南京模拟)如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC 组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3.假设在半圆弧BC 、线段AC 、线段AB上各建一个欣赏亭D ，E ，F ，再修两条栈道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC .记∠CBD ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≤θ＜π2.(1)试用θ表示BD 的长；(2)试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.解 (1)在Rt△ACB 中，AC ＝2，∠A ＝π3，所以BC ＝23，AB ＝4.连接CD ，因为BC 是半圆的直径，所以BD ⊥CD ，从而BD ＝BC cos θ＝23cos θ(百米)，其中π3≤θ＜π2.(2)在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π3，∠BDF ＝π2－θ，BD ＝23cos θ.由正弦定理，得DF sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝BF sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝23cos θsin π3＝4cos θ，所以DF ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6cos θ＝23sin θcos θ＋2cos 2θ，BF ＝4cos 2θ，DE ＝FA ＝4－4cos 2θ＝4sin 2θ.DF ＋DE ＝3sin 2θ＋1＋cos 2θ＋2(1－cos 2θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋3.因为π3≤θ＜π2，得π2≤2θ－π6＜5π6.所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，DF ＋DEAE ＝DF ＝2，即点E 在C 处.答：当点E 在C 处时，两条栈道长度之和最大.A 处发现北偏东45°方向距离A 为(3－1) 海里的BA 处北偏西75°的方向距离A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解 如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船(在D 点)，那么CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里， 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，解得BC ＝ 6.又BC sin∠BAC ＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC ＝AC ·sin∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CDsin∠CBD，∴sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6，解得t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟. 6.如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在AB 上取不同于A ，B 的点C ，用渔网沿着AC (AC 在扇形AOB 的AB 上)、半径OC 和线段CD (其中CD ∥OA )在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.假设OA ＝1 km ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ.(1)用θ表示CD 的长度；(2)求所需渔网长度(即图中AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围. 解 (1)由CD ∥OA ，∠AOB ＝π3，∠AOC ＝θ， 得∠OCD ＝θ，∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π3－θ.在△OCD 中，由正弦定理，得CD ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.(2)设渔网的长度为f (θ).由(1)可知，f (θ)＝θ＋1＋233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，所以f ′(θ)＝1－233cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以π3－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.令f ′(θ)＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，所以π3－θ＝π6，即θ＝π6.列表如下：θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3 f ′(θ) ＋0 －f (θ)极大值且f (0)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π＋6＋236，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝π3＋1，所以f (θ)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236.故所需渔网长度的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤2，π＋6＋236(单位：km).7.(2021·徐、宿、连、淮摸底)某城市有一直角梯形绿地ABCD ，其中∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝DC ＝2 km ，BCCD 上的点E 处铺设一条直的灌溉水管EF ，将绿地分成面积相等的两局部.(1)如图1，假设E 为CD 的中点，F 在边界AB 上，求灌溉水管EF 的长度； (2)如图2，假设F 在边界AD 上，求灌溉水管EF 的最短长度. 解 (1)因为AD ＝DC ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，所以AB ＝ 3.如图1，取AB 的中点G ，连接EG ，那么EG ＝32，那么四边形BCEF 的面积为12S 梯形ABCD ＝S 梯形BCEG ＋S △EFG ，即12×12×3×(1＋2)＝12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋12×GF ×32， 解得GF ＝36，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362＝213(km). 答：灌溉水管EF 的长度为213km. (2)如图2，连接AC ，设DE ＝a ，DF ＝b ，图2在△ABC 中，CA ＝12＋〔3〕2＝2，所以在△ADC 中，AD ＝DC ＝CA ＝2，所以∠ADC ＝60°， 所以△DEF 的面积为S △DEF ＝12ab sin 60°＝34ab ，又S 梯形ABCD ＝12×3×(1＋2)＝332，所以S △DEF ＝12S 梯形ABCD ，即34ab ＝334，即ab ＝3.在△DEF 中，由余弦定理，得EF ＝a 2＋b 2－ab ≥ab ＝3， 当且仅当a ＝b ＝3EF 的最短长度为 3 km. 答：灌溉水管EF 的最短长度为 3 km.8.(2021·苏北四市一模)如图，A ，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正西方向1 km 处，tan∠BAN ＝34，∠BCN ＝π4.现方案铺设一条电缆连通A ，B 两镇，有两种铺设方案：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上选一点P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km ，4万元/km.(1)求A ，B 两镇间的距离；(2)应该如何铺设，使总铺设费用最低？解 (1)过B 作MN 的垂线，垂足为D ，如下图.在Rt△ABD 中，tan∠BAD ＝tan∠BAN ＝BD AD ＝34，所以AD ＝43BD ，在Rt△BCD 中，tan∠BCD ＝tan∠BCN ＝BDCD ＝1，所以CD ＝BD .那么AC ＝AD －CD ＝43BD －BD ＝13BD ＝1，即BD ＝3，所以CD ＝3，AD ＝4，由勾股定理，得AB ＝AD 2＋BD 2＝5(km). 所以A ，B 两镇间的距离为5 km.(2)方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总铺设费用为5×4＝20(万元). 方案②：设∠BPD ＝θ，那么θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π2，其中θ0＝∠BAN ，在Rt△BDP 中，DP ＝BDtan θ＝3tan θ，BP ＝BD sin θ＝3sin θ，所以AP ＝4－DP ＝4－3tan θ.那么总铺设费用为2AP ＋4BP ＝8－6tan θ＋12sin θ＝8＋6·2－cos θsin θ. 设f (θ)＝2－cos θsin θ，那么f ′(θ)＝sin 2θ－〔2－cos θ〕cos θsin 2θ＝1－2cos θsin 2θ， 令f ′(θ)＝0，得θ＝π3，列表如下：θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0，π3 π3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2 f ′(θ) －0 ＋f (θ)极小值所以f (θ)的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝ 3.所以方案②的总铺设费用最小为8＋63(万元)，此时AP ＝4－ 3.而8＋63＜20，所以应选择方案②进展铺设，点P 选在A 的正西方向(4－3)km 处，总铺设费用最低.。

1.如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为y km．（1）按下列要求建立函数关系式：∠=（rad），将y表示成θ的函数；（i）设BAOθ=（km），将y表示成x的函数；（ii）设OP x Array（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。

B2.某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？3. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。

P4. 某运输装置如图所示，其中钢结构ABD 是AB BD l ==，3B π∠=的固定装置，AB 上可滑动的点C 使CD 垂直于底面（C 不与,A B 重合），且CD 可伸缩（当CD 伸缩时，装置ABD 随之绕D 在同一平面内旋转），利用该运输装置可以将货物从地面D 处沿D C A →→运送至A 处，货物从D 处至C 处运行速度为v ，从C 处至A 处运行速度为3v ．为了使运送货物的时间t 最短，需在运送前调整运输装置中DCB θ∠=的大小. （1）当θ变化时，试将货物运行的时间t 表示成θ的函数（用含有v 和l 的式子）； （2）当t 最小时，C 点应设计在AB 的什么位置？DC5. 如图，实线部分DE ，DF ，EF 是某风景区设计的游客观光路线平面图，其中曲线部分EF 是以AB 为直径的半圆上的一段弧，点O 为圆心，△ABD 是以AB 为斜边的等腰直角三角形，其中AB=2千米，204EOA FOB x x π⎛⎫∠=∠=<< ⎪⎝⎭.若游客在每条路线上游览的“留恋度”均与相应的线段或弧的长度成正比，且“留恋度”与路线DE ，DF 的长度的比例系数为2，与路线EF 的长度的比例系数为1，假定该风景区整体的“留恋度”y 是游客游览所有路线“留恋度”的和. （I ）试将y 表示为x 的函数；（II ）试确定当x 取何值时，该风景区整体的“留恋度”最佳？6. 如图，海上有A B ，两个小岛相距10km ，船O 将保持观望A 岛和B 岛所成的视角为60︒，现从船O 上派下一只小艇沿BO 方向驶至C 处进行作业，且OC BO =．设AC x =km ．（1）用x 分别表示22OA OB +和OA OB ⋅，并求出x 的取值范围；（2）晚上小艇在C 处发出一道强烈的光线照射A 岛，B 岛至光线CA 的距离为BD ，求BD 的最大值．(第18题图)7.如图，在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。