济南市中考数学二模测试答案_

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-02填空题（提升题）一．估算无理数的大小（共1小题）1．（2023•天桥区二模）已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝ ．二．因式分解-运用公式法（共1小题）2．（2023•市中区二模）分解因式：x2﹣6x+9＝ ．三．根与系数的关系（共2小题）3．（2023•商河县二模）已知2是方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一个根是 ．4．（2023•市中区二模）已知关于x的方程x2+3x﹣a＝0有一个根是x1＝1，则方程的另一个根x2＝ ．四．一元二次方程的应用（共1小题）5．（2023•济南二模）一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，其中较小正方形的边长为 cm．五．解分式方程（共3小题）6．（2023•历城区二模）已知代数式与代数的值相等，则x＝ ．7．（2023•天桥区二模）代数式与代数式的值相等，则x＝ ．8．（2023•济南二模）若分式的值为1，则x的值是 ．六．一次函数的应用（共2小题）9．（2023•历城区二模）在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象（全程）如图所示，有下列说法：①起跑后1小时内，乙在甲的前面；②甲比乙先到达终点；③第1小时两人都跑了10千米；④1.5小时时，甲乙相距5千米；⑤两人都跑了20千米．其中正确的说法是 ．（填序号）10．（2023•市中区二模）某快递公司每天上午9：00～10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：00开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．七．勾股定理的证明（共1小题）11．（2023•济南二模）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为 ．八．多边形内角与外角（共1小题）12．（2023•历城区二模）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠NED＝ 度．九．矩形的性质（共1小题）13．（2023•长清区二模）古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”（如图1“S矩形DNFG＝S矩形FEBM”），问题解决：如图2，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接AP，CP．若DF＝4，EP＝3，则图中阴影部分的面积和为 ．一十．正方形的性质（共1小题）14．（2023•市中区二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD 上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是 ．一十一．正多边形和圆（共1小题）15．（2023•商河县二模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝4，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点A1、B1、C1、D1、E1、F1，则六边形A1B1C1D1E1F1的周长是 ．一十二．扇形面积的计算（共2小题）16．（2023•天桥区二模）如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，C是OA的中点，CD∥OB，则图中阴影部分的面积为 ．17．（2023•历下区二模）如图，已知扇形AOB的半径OA＝2，∠AOB＝120°将扇形AOB 绕点A顺时针旋转30°得到扇形AO′B′，则图中阴影部分的面积是 ．一十三．轨迹（共1小题）18．（2023•长清区二模）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA＝2；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③四边形ACBO面积的最大值为4+2；④AB的中点D运动路径的长为π．其中正确的结论是 （写出所有正确结论的序号）．一十四．轴对称-最短路线问题（共1小题）19．（2023•槐荫区二模）如图，在矩形ABCD中，，AD＝3．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为 ．一十五．翻折变换（折叠问题）（共2小题）20．（2023•莱芜区二模）如图，在矩形ABCD中，点F是CD边上的一点，把矩形ABCD 沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，AD＝10，AB＝8，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：①∠FED＝∠EBA；②EF＝6；③＝；④连接CH，则CH的最小值为；其中正确的结论是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）．21．（2023•钢城区二模）如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是 .现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝6，S乙＝5，S丙＝4，则△ABC的面积是 ．一十六．平行线分线段成比例（共1小题）22．（2023•历城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC 边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．一十七．相似三角形的判定与性质（共3小题）23．（2023•商河县二模）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB 为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AMAF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②FK＝3NK；③∠AFN＝∠HFG；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有 ．24．（2023•济南二模）如图所示，四边形ABCD是正方形，E为边CD的中点，连接AE并延长，与BC延长线交于点F，连接DF，G为DF的中点，连接BG，与AF相交于点H，与DC相交于点M，连接BD，与AF相交于点N，有下列结论：①BD＝DF；②tan∠DNF＝2；③GF2＝GH•GB；④S△BDM＝S四边形CMGF．其中正确的结论有 （只填写结论序号）．25．（2023•济南二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN；③当四边形CDMH为正方形时，N 为HC的中点．其中正确的是 ．（写出所有正确判断的序号）一十八．概率公式（共3小题）26．（2023•商河县二模）如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．27．（2023•济南二模）在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．28．（2023•天桥区二模）一个不透明的布袋中装有3个红球，5个黄球，2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到红球的概率为 ．一十九．列表法与树状图法（共1小题）29．（2023•历城区二模）如图，小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是 ．山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-02填空题（提升题）参考答案与试题解析一．估算无理数的大小（共1小题）1．（2023•天桥区二模）已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝　9　．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，∴a＝2，b＝3，∴b a＝32＝9．故答案为：9．二．因式分解-运用公式法（共1小题）2．（2023•市中区二模）分解因式：x2﹣6x+9＝　（x﹣3）2　．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（x﹣3）2．故答案为：（x﹣3）2三．根与系数的关系（共2小题）3．（2023•商河县二模）已知2是方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则另一个根是　﹣3　．【答案】见试题解答内容【解答】解：设方程的另一个根为x2，则2x2＝﹣6，∴x2＝﹣3，故答案为：﹣34．（2023•市中区二模）已知关于x的方程x2+3x﹣a＝0有一个根是x1＝1，则方程的另一个根x2＝　﹣4　．【答案】﹣4．【解答】解：∵已知关于x的方程x2+3x﹣a＝0有一个根是x1＝1，所以由得：1+x2＝﹣3，∴x2＝﹣4．故答案为：﹣4．四．一元二次方程的应用（共1小题）5．（2023•济南二模）一条长64cm的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于160cm2，其中较小正方形的边长为　4　cm．【答案】4．【解答】解：设一个正方形的边长为xcm，∵正方形的四边相等，∴此正方形的周长是4xcm，另一个正方形的边长是cm，根据题意得x2+（）2＝160，解得x1＝12，x2＝4．当x＝12时，＝4；当x＝4时，＝12，所以另一个正方形的边长为4cm和12cm．∴较小正方形的边长为4cm．故答案为：4．五．解分式方程（共3小题）6．（2023•历城区二模）已知代数式与代数的值相等，则x＝　10　．【答案】10．【解答】解：由题意得：＝，2（x+2）＝3（x﹣2），解得：x＝10，检验：当x＝10时，（x﹣2）（x+2）≠0，∴x＝10是原方程的根，故答案为：10．7．（2023•天桥区二模）代数式与代数式的值相等，则x＝　3　．【答案】3．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，5x＝3（2x﹣1），解得x＝3，经检验x＝3是原方程的解，所以原方程的解为x＝3，故答案为：3．8．（2023•济南二模）若分式的值为1，则x的值是　5　．【答案】5．【解答】解：由题意得：＝1，去分母得：2＝x﹣3，移项，得：x＝5，∴x＝5，经检验，x＝5是原方程的根，∴x＝5．故答案为：5．六．一次函数的应用（共2小题）9．（2023•历城区二模）在全民健身越野赛中，甲乙两选手的行程y（千米）随时间x（小时）变化的图象（全程）如图所示，有下列说法：①起跑后1小时内，乙在甲的前面；②甲比乙先到达终点；③第1小时两人都跑了10千米；④1.5小时时，甲乙相距5千米；⑤两人都跑了20千米．其中正确的说法是　③⑤　．（填序号）【答案】③⑤．【解答】解：①由纵坐标看出，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故①错误；②由横坐标看出，乙比甲先到达终点，故②错误；③由横坐标看出，第一小时两人都跑了10千米，故③正确；④1.5小时时，乙的行程为1.5×＝15（千米），甲的行程为10+×（1.5﹣1）＝12（千米），∴甲乙相距3千米，故④错误；⑤由2×＝20（千米）知，乙2小时行程为20千米，根据纵坐标看出，甲乙二人都跑了20千米，故⑤正确；故答案为：③⑤．10．（2023•市中区二模）某快递公司每天上午9：00～10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：00开始，经过　20　分钟时，两仓库快递件数相同．【答案】20．【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，∴y1＝6x+40（0＜x＜90）；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，∴y2＝﹣4x+240（0＜x＜90），联立，解得，∴经过20分钟时，两仓库快递件数相同．故答案为：20七．勾股定理的证明（共1小题）11．（2023•济南二模）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为　24　．【答案】见试题解答内容【解答】解：设小正方形的边长为x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3+4＝7，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（3+x）2+（x+4）2＝72，整理得，x2+7x﹣12＝0，∴x2+7x＝12，∴该矩形的面积＝（3+x）（x+4）＝x2+7x+12＝12+12＝24．故答案为：24．八．多边形内角与外角（共1小题）12．（2023•历城区二模）如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠NED＝　24　度．【答案】24．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB＝＝108°，∵∠EAB是△AEO的外角，∴∠AEO＝∠EAB﹣∠MON＝108°﹣60°＝48°，∴∠NED＝180°﹣∠AEO﹣∠AED＝180°﹣48°﹣108°＝24°．故答案为：24．九．矩形的性质（共1小题）13．（2023•长清区二模）古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等”（如图1“S矩形DNFG＝S矩形FEBM”），问题解决：如图2，点P是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点P作EF∥BC分别交AB，CD于点E，F，连接AP，CP．若DF＝4，EP＝3，则图中阴影部分的面积和为　12　．【答案】12．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图2：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴PM＝DF＝4，同（1）得：S矩形AEPM＝S矩形CFPN，∴S△AEP＝S△AMP，S△CFP＝S△CNP，∴S△AEP＝S△CFP＝×PE×PM＝×3×4＝6，∴图中阴影部分的面积S阴＝6+6＝12．故答案为：12．一十．正方形的性质（共1小题）14．（2023•市中区二模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AD 上的点，连接EF，将四边形ABEF沿EF折叠，点B的对应点G恰好落在CD边上，点A的对应点为H，连接BH．则BH+EF的最小值是　2　．【答案】2．【解答】解：如图，过点F作FK⊥BC于点K，延长BC到点M，使CM＝BC，连接AM交CD于点N，连接MG、GA、BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∴CD⊥BM，∴CD垂直平分BM，∴MG＝BG，由翻折得AB＝HG，∠ABG＝∠HGB，∵BG＝GB，∴△ABG≌△HGB（SAS），∴GA＝BH，由翻折知EF⊥BG，又∵FK⊥BC，∴∠FKE＝∠BCG＝90°，∴∠EFK+∠FEK＝∠GBC+∠FEK＝90°，∴∠EFK＝∠GBC，∵∠BAD＝∠ABC＝∠BKF＝90°，∴四边形ABKF是矩形，∴AB＝FK，∴FK＝BC，∴△FEK≌△BGC（ASA），∴EF＝BG，∴EF＝MG，∴BH+EF＝AG+MG，∵AG+MG≥AM，∴BH+EF≥AM，∴当点G与点N重合时，AG+MA＝AM，此时AG+MA的值最小，∴BH+EF＝AM的值也最小，∵∠ABM＝90°，AB＝2，BM＝2BC＝4，∴AM＝＝＝2，∴BH+EF的最小值是2．故答案为：2．一十一．正多边形和圆（共1小题）15．（2023•商河县二模）如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝4，顺次连接AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点A1、B1、C1、D1、E1、F1，则六边形A1B1C1D1E1F1的周长是　12　．【答案】12．【解答】解：如图，连接AE，过点F作FJ⊥AE于点J在正六边形ABCDEF中，AF＝EF＝AB＝4，∠AFE＝120°，∵FJ⊥AE，∴∠AFJ＝∠EFJ＝60°，AJ＝JE，∴AJ＝JE＝AF•sin60°＝4×＝2，∴AE＝2AJ＝4，∵AF1＝FF1，EE1＝FE1，∴E1F1＝AE＝2，同法可得六边形A1B1C1D1E1F1的其它边长也是2，∴六边形A1B1C1D1E1F1的周长是12．故答案为：12．一十二．扇形面积的计算（共2小题）16．（2023•天桥区二模）如图，一张扇形纸片的圆心角为90°，半径为6，C是OA的中点，CD∥OB，则图中阴影部分的面积为　3π　．【答案】3π．【解答】解：如图，连接OD，∵CD∥OB，∴∠OCD＝∠AOB＝90°，∠ODC＝∠BOD，∵C是OA的中点，∴OC＝OA＝OD，∴∠ODC＝30°＝∠BOD，由对称性可知，S弓形AD＝S弓形OD，∴S阴影部分＝S扇形OBD＝＝3π，故答案为：3π．17．（2023•历下区二模）如图，已知扇形AOB的半径OA＝2，∠AOB＝120°将扇形AOB 绕点A顺时针旋转30°得到扇形AO′B′，则图中阴影部分的面积是　π﹣　．【答案】．【解答】解：如图，连接OC，OB，BC，由题意可知，点A、O、B三点在同一条直线上，∠OAO′＝30°，由旋转可知，AB＝AB′，∠O′AB′＝30°，∴∠OAC＝30°+30°＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝120°﹣60°＝60°，∴△BOC是等边三角形，∴四边形AOBC是菱形，在Rt△AOO′中，OA＝2，∠AOO′＝60°，∴OO′＝OA＝1，O′A＝OA＝，∴AB＝2O′A＝2，∴S阴影部分＝S扇形ABB′﹣S△ABC＝﹣××1＝，故答案为：．一十三．轨迹（共1小题）18．（2023•长清区二模）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，点A在x轴的正半轴上滑动，点B在y轴的正半轴上滑动，点A，点B在滑动过程中可与原点O重合，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA＝2；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③四边形ACBO面积的最大值为4+2；④AB的中点D运动路径的长为π．其中正确的结论是　①③　（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③．【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠BAC＝30°，∴AB＝4，AC＝＝2，∵若C，O两点关于AB对称，∴OA＝AC﹣2，故①是正确的②当F与D不重合时，连接OD，DC，设点F是OC和AB的交点，则OF＝CF，∵∠ACB＝∠AOB＝90°，F平分AB，∴CF＝OF＝0.5AB，又∵DF＝DF，∴△ODF≌△CDF（SSS），∴∠OFD和∠CFD＝90°，当F与D重合时，不一定重合，故②是错误的；③∵S△ABC＝2，∴当△ABO的面积最大时，四边形AOBC的面积最大，∵S△AOB＝AO•BO≤（AO2+OB2）＝×4＝2，∴当AO＝BO时，S△AOB的值最大，最大值为2，∴四边形ACBO面积的最大值为4+2，故③是正确的；④如图3，斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以2为半径的圆周的，则：×2×2π＝π，所以④不正确；故答案为：①③．一十四．轴对称-最短路线问题（共1小题）19．（2023•槐荫区二模）如图，在矩形ABCD中，，AD＝3．若点E是边AD上的一个动点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，AF+FE+EC的最小值为　6　．【答案】6．【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，∴四边形ABHE是矩形，∴EH＝AB＝，∵BC＝AD＝3，∴AC＝＝＝2，∵EF⊥AC，∴∠COF＝90°，∴∠EFH+∠ACB＝90°，∵∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠EFH＝∠BAC，∴△EHF∽△CBA，∴＝＝，∴，∴FH＝1，EF＝2，过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．∵EF＝CC′，EF∥CC′，∴四边形EFC′C是平行四边形，∴EC＝FC′，CC′＝EF＝2，∵EF⊥AC，∴AC⊥CC′，∴∠AC′C＝90°，∵AC′＝＝＝4，∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′+CC′＝4+2＝6，∴AF+EF+CE的最小值为6．故答案为：6．一十五．翻折变换（折叠问题）（共2小题）20．（2023•莱芜区二模）如图，在矩形ABCD中，点F是CD边上的一点，把矩形ABCD 沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，AD＝10，AB＝8，点M是线段CF上的动点，连接BM，过点E作BM的垂线交BC于点N，垂足为H．以下结论：①∠FED＝∠EBA；②EF＝6；③＝；④连接CH，则CH的最小值为；其中正确的结论是　①③④　（把所有正确结论的序号都填在横线上）．【答案】①③④．【解答】解：如图：∵矩形ABCD沿BF折叠，点C落在AD边上的点E处，∴∠BEF＝∠C＝90°＝∠A，BC＝BE，EF＝CF，∴∠FED＝90°﹣∠AEB＝∠EAB，故①正确；∵BE＝BC＝AD＝10，AB＝8，∴AE＝＝＝6，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4，设EF＝x＝CF，则DF＝8﹣x，在Rt△DEF中，DE2+DF2＝EF2，∴42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，∴EF＝5，故②错误；过E作EG⊥BC于G，如图：∵BM⊥EN，∴∠BHN＝90°，∴∠BNH＝90°﹣∠NBH＝∠BMC，即∠ENG＝∠BMC，∵∠EGN＝90°＝∠C，∴△EGN∽△BCM，∴＝＝＝，故③正确；∵EN⊥BM，BE＝10，∴点H的运动轨迹为以BE中点O为圆心，5为半径的弧，过O作KT⊥BC于T，交AD 于K，如图：∵KT∥AB，O为BE中点，∴AK＝KE＝AE＝3＝BT，OK＝AB＝4，OB＝OE＝BE＝5，∴CT＝BC﹣BT＝10﹣3＝7，OT＝KT﹣OK＝8﹣4＝4，OH＝5，∴OC＝＝＝，当O，H，C共线时，CH取最小值，最小值为OC﹣OH，∴CH的最小值为﹣5，故④正确；∴正确的结论是①③④，故答案为：①③④．21．（2023•钢城区二模）如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的S1，S2，S3满足的数量关系是　S1+S2＝S3　.现将△ABF向上翻折，如图②，已知S甲＝6，S乙＝5，S丙＝4，则△ABC的面积是　7　．【答案】S1+S2＝S3；7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵△ACE、△BCD、△ABF是等边三角形，∴S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，S1+S2＝（AC2+BC2）＝AB2＝S3，即S1+S2＝S3；设△ABC的面积为S，图②中2个白色图形的面积分别为a、b，如图②所示：∵S1+S2＝S3，∴S甲+a+S乙+b＝S丙+a+b+S，∴S甲+S乙＝S丙+S，∴S＝S甲+S乙﹣S丙＝6+5﹣4＝7；故答案为：S1+S2＝S3；7．一十六．平行线分线段成比例（共1小题）22．（2023•历城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，E为BC 边的中点，连接AE，将△ACE沿AE折叠得到△AED，DE交AB于点O，连接BD．则的值为 ．【答案】．【解答】解：作EH⊥BD于H，∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝4，∴BC＝＝4，∵E为BC边的中点，∴CE＝BE＝2，∴AE＝＝2，∵△ACE沿AE折叠得到△AED，∴DE＝EB，∠AEC＝∠AED，∴∠EDB＝∠EBD，∵∠AEC+∠AED＝∠EDB+∠EBD，∴2∠AEC＝2∠EBD，∴∠AEC＝∠EBD，∴AE∥BD，∵∠C＝∠EHB＝90°，∠AEC＝∠EBH，∴△EBH∽△AEC，∴BH：CE＝BE：AE，∴BH：2＝2：2，∴BH＝，∴BD＝2BH＝，∵BD∥AE，∴△BOD∽△AOE，∴＝＝．故答案为：．一十七．相似三角形的判定与性质（共3小题）23．（2023•商河县二模）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB 为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AMAF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②FK＝3NK；③∠AFN＝∠HFG；④S△AFN：S△ADM＝1：4．其中正确的结论有　①②④　．【答案】①②④．【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，∴AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，∵∠ANH＝∠GNF，∴△ANH≌△GNF（AAS），故①正确；∴∠AHN＝∠HFG，∵AG＝FG＝2＝AH，∴AF＝FG＝AH，∴∠AFH≠∠AHF，∴∠AFN≠∠HFG，故③错误；∵△ANH≌△GNF，∴AN＝AG＝1，∵GM＝BC＝4，∴＝＝2，∵∠HAN＝∠AGM＝90°，∴△AHN∽△GMA，∴∠AHN＝∠AMG，∠MAG＝∠HNA，∴AK＝NK，∵AD∥GM，∴∠HAK＝∠AMG，∴∠AHK＝∠HAK，∴AK＝HK，∴AK＝HK＝NK，∵FN＝HN，∴FN＝2NK，∴FK＝3NK，故②正确；方法二：可得N也是中点，结合已知H是中点，连接GD交AM于点P，则根据勾股定理GD＝2，∵点P为对称中心，∴GP＝，又∵NK也是△AGP的中位线，∴NK＝，在Rt△FGN中，FN＝，∴FN＝2NK，∴FK＝3NK，故②正确；∵延长FG交DC于M，∴四边形ADMG是矩形，∴DM＝AG＝2，∵S△AFN＝AN•FG＝×2×1＝1，S△ADM＝AD•DM＝×4×2＝4，∴S△AFN：S△ADM＝1：4，故④正确，故答案为：①②④．24．（2023•济南二模）如图所示，四边形ABCD是正方形，E为边CD的中点，连接AE并延长，与BC延长线交于点F，连接DF，G为DF的中点，连接BG，与AF相交于点H，与DC相交于点M，连接BD，与AF相交于点N，有下列结论：①BD＝DF；②tan∠DNF＝2；③GF2＝GH•GB；④S△BDM＝S四边形CMGF．其中正确的结论有　①③④　（只填写结论序号）．【答案】①③④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AD，∠ADC＝∠BCD＝∠DCF＝90°，∵E为边CD的中点，∴DE＝CE．在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝FC，∴BC＝FC，∴CD是BF的垂直平分线，∴BD＝DF．∴①的结论正确；∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BF，∴△ADN∽△FBN，∴，∴DN＝BN，∴．∵BD＝DF，∴．∵BC＝CD＝CF，∴∠BDF＝90°，∴tan∠DNF＝＝3．∴②的结论不正确；在Rt△BDG中，BD＝DF，∵G为DF的中点，∴DG＝DF，∴DG＝BD，∴tan∠DBG＝．在Rt△FCE中，∵E为边CD的中点，CD＝CF，∴CE＝CD＝CF，∴tan∠EFC＝，∴∠DBG＝∠EFC．∵∠DBG+∠GBC＝∠EFC+∠DFH＝45°，∴∠GBC＝∠DFH，∵∠BGF＝∠FGH，∴△BGF∽△FGH，∴，∴FG2＝GH•GB．∴③的结论正确；∵G为DF的中点，∴DG＝FG，∴S△BDG＝S△BFG，∴S△BDG﹣S△DMG＝S△BFG﹣S△DMG，∴S△BDM＝S四边形CMGF．∴④的结论正确．综上，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．25．（2023•济南二模）如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF，给出下列判断：①△MHN∽△BCF；②折痕MN的长度的取值范围为3＜MN；③当四边形CDMH为正方形时，N为HC的中点．其中正确的是　①②③　．（写出所有正确判断的序号）【答案】①②③．【解答】解：①如图，由折叠可知BF⊥MN，∴∠BOM＝90°，∵MH⊥BC，∴∠BHP＝90°＝∠BOM，∵∠BPH＝∠OPM，∴∠CBF＝∠NMH，∵∠MHN＝∠C＝90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD＝5，∵OB＝OD＝，∵tan∠DBC＝，即，∴ON＝，∵AD∥BC，∴∠MDO＝∠OBN，在△MOD和△NOB中，∵，∴△DOM≌△BON（ASA），∴OM＝ON，∴MN＝2ON＝，∵点F在线段CD上（不与两端点重合），∴折痕MN的长度的取值范围为3＜MN＜；故②正确；③如图3，连接BM，FM，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，∵AD＝BC＝4，∴AM＝BH＝1，由勾股定理得：BM＝＝，∴FM＝，∴DF＝＝＝1，∴CF＝3﹣1＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，解得：x＝，∴HN＝，∵CH＝3，∴CN＝HN＝，∴N为HC的中点；故③正确；∴本题正确的结论有：①②③；故答案为：①②③．一十八．概率公式（共3小题）26．（2023•商河县二模）如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：将红色部分平均分成两份，将圆平均分成3个均等的区域，2红1蓝，因此任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为，故答案为：．27．（2023•济南二模）在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ．【答案】．【解答】解：∵在一个不透明的口袋中，有2个红球和3个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个球，∴摸到红球的概率是：＝．故答案为：．28．（2023•天桥区二模）一个不透明的布袋中装有3个红球，5个黄球，2个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一球，摸到红球的概率为 ．【答案】．【解答】解：共有球3+2+5＝10个，红球有3个，因此摸出的球是红球的概率为：．故答案为：．一十九．列表法与树状图法（共1小题）29．（2023•历城区二模）如图，小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，游戏者同时转动两个转盘．若其中一个转盘转出了红色，另一个转出了蓝色，则可配成紫色．此时，配成紫色的概率是 ．【答案】．【解答】解：列表得：红白黄（红，黄）（白，黄）蓝（红，蓝）（白，蓝）绿（红，绿）（白，绿）∴一共有6种情况，配成紫色的有1种情况，∴配成紫色的概率是，故答案为：．。

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（基础题）①一．实数的运算（共5小题）1．（2023•莱芜区二模）计算：．2．（2023•历下区二模）计算：．3．（2023•天桥区二模）计算：．4．（2023•商河县二模）计算：．5．（2023•槐荫区二模）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）6．（2023•莱芜区二模）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．三．分母有理化（共1小题）7．（2023•历城区二模）计算：．四．一元一次不等式的应用（共2小题）8．（2023•钢城区二模）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？9．（2023•济阳区二模）某校实践社团计划制作甲、乙两类手工产品共100个，准备在“爱心义卖”活动中出售，所获收入全部捐给山区小学建图书角．若售出2个甲类产品和3个乙类产品收入60元，售出3个甲类产品和4个乙类产品收入85元．（1）求甲、乙两类手工产品的售价各是多少元；（2）已知甲类产品个数不超过乙类产品的4倍，则制作甲、乙类两种产品各多少个的时候总收入最多？请说明理由．五．解一元一次不等式组（共1小题）10．（2023•钢城区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．六．一元一次不等式组的整数解（共5小题）11．（2023•长清区二模）解不等式组，并写出它的所有整数解．12．（2023•槐荫区二模）解不等式组：，并写出其整数解．13．（2023•济阳区二模）解不等式组，并求其正整数的解．14．（2023•历下区二模）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．15．（2023•历城区二模）解不等式组：，并求所有整数解的和．七．一次函数的应用（共1小题）16．（2023•历下区二模）2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情．某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书的数量与购买450元乙图书的数量相同．（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？（2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，怎样购买，才能使购书总费用W最少？并求出最少费用．八．平行四边形的性质（共1小题）17．（2023•济南二模）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE＝CF．九．菱形的性质（共1小题）18．（2023•历下区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：AE＝AF．一十．正方形的性质（共2小题）19．（2023•钢城区二模）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C 重合，求证：∠ABP＝∠ADP．20．（2023•历城区二模）如图，已知正方形ABCD，点E，F分别为边AB和BC上的点，且DE＝DF．求证：BE＝BF．一十一．切线的性质（共1小题）21．（2023•历城区二模）如图，AB为⊙O的直径，＝，过点A作⊙O的切线，交DO 的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若，求OE的长．一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）22．（2023•济阳区二模）海中有一小岛S，该岛周围5nmile内有暗礁．今有快艇以30nmile/h 的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东13°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东45°方向．（1）A到B的距离是 nmile；（2）求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）23．（2023•历下区二模）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】；4，4，3，3，5，5，5，7，7，7；7，6，6，6，6，6，6，8，8，8；8，9，9，10，10，10，10，11，12，13；【数据整理】：将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．3≤t＜5，B．5≤t＜7，C．7≤t＜9，D．9≤t＜11，E．11≤t＜13，其中t表示阅读时间）；统计量平均数众数中位数阅读时间（h）7.3m n 【数据分析】：请根据以上信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）填空：m＝ ，n＝ ；（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为 °；（4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数．一十四．扇形统计图（共2小题）24．（2023•济阳区二模）我区某学校举行了数学计算能力比赛，李老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩整理分析，成绩得分用x表示（x为整数），共分为四组：A.80≤x＜85：B.85≤x＜90：C.90≤x＜95：D.95≤x≤100．七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，88．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．抽取的七、八年级学生统计表年级平均数中位数众数七年级92b c八年级92m100根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝ ，b＝ ，c＝ ，m＝ ；（2）扇形C的圆心角度数为 ；（3）学校八年级参加数学计算能力比赛的学生有900人，请你估计成绩超过90分的学生有多少人？25．（2023•历城区二模）为了解某校八年级全体男生体能情况，随机抽取了部分男生进行测试，将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，并把成绩绘制成如图所示的两个统计图表，其中“75≤x＜90”这组的数据如下：76，78，80，82，82，84，85，85，85，86，86，89．测试成绩统计表成绩x（分）等级人数x≥90A2175≤x＜90B1260≤x＜75C mx＜60D n请根据所给信息，解答下列问题：（1）填空：m＝ ，n＝ ；（2）B等级成绩中的众数是 ，中位数是 ；（3）求扇形统计图中C级的圆心角度数；（4）若该校八年级共有男生360人，根据抽样结果，估计体育测试成绩达到B级及以上（包括B级）的男生人数．一十五．条形统计图（共1小题）26．（2023•槐荫区二模）某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（2）七年级代表队学生成绩的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ；（3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是 度，m 的值是 ；（4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（基础题）①参考答案与试题解析一．实数的运算（共5小题）1．（2023•莱芜区二模）计算：．【答案】5．【解答】解：＝3+1﹣+1+2×＝3+1﹣+1+＝5．2．（2023•历下区二模）计算：．【答案】﹣．【解答】解：原式＝2×﹣+﹣1＝﹣+﹣1＝﹣．3．（2023•天桥区二模）计算：．【答案】5．【解答】解：原式＝2+1﹣2×+3＝2+1﹣1+3＝5．4．（2023•商河县二模）计算：．【答案】7．【解答】解：原式＝1﹣+6+＝7．5．（2023•槐荫区二模）计算：|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°．【答案】5﹣．【解答】解：|﹣|+（）﹣1﹣+2cos30°＝+5﹣3+2×＝+5﹣3+＝5﹣．二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）6．（2023•莱芜区二模）先化简，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．【答案】3x﹣6，﹣5．【解答】解：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣2x2+2x+3x﹣3＝3x﹣6，当x＝时，原式＝3×﹣6＝﹣5．三．分母有理化（共1小题）7．（2023•历城区二模）计算：．【答案】．【解答】解：＝+﹣1+1＝．四．一元一次不等式的应用（共2小题）8．（2023•钢城区二模）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；（2）该超市计划一次购进两种品牌粽子共300袋，且A品牌粽子的进货量不超过B品牌粽子的2倍，则该超市应怎样进货才能使总费用最低？【答案】（1）A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低．【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据题意得，，解得，答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）设超市购进B种品牌的粽子m袋，A种品牌的粽子（300﹣m）袋，总费用为W元，依题意，得W＝25（300﹣m）+30m＝5m+7500，∵5＞0，∴W随m的增大而增大，∵300﹣m≤2m，∴m≥100，∴m＝100时，W有最小值，此时购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，W＝5×100+7500＝8000（元）．答：购进B种品牌的粽子100袋，A种品牌的粽子200袋，能使总费用最低．9．（2023•济阳区二模）某校实践社团计划制作甲、乙两类手工产品共100个，准备在“爱心义卖”活动中出售，所获收入全部捐给山区小学建图书角．若售出2个甲类产品和3个乙类产品收入60元，售出3个甲类产品和4个乙类产品收入85元．（1）求甲、乙两类手工产品的售价各是多少元；（2）已知甲类产品个数不超过乙类产品的4倍，则制作甲、乙类两种产品各多少个的时候总收入最多？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲类手工产品的售价是x元，乙类手工产品的售价是y元，根据题意得：，解得，∴甲类手工产品的售价是15元，乙类手工产品的售价是10元；（2）设制作甲类产品m个，则制作乙类产品（100﹣m）个，若总收入为W元，∵甲类产品个数不超过乙类产品的4倍，∴m≤4（100﹣m），解得m≤80，根据题意W＝15m+10（100﹣m）＝5m+1000，∵5＞0，∴W随m的增大而增大，∴m＝80时，W取最大值，最大值为5×80+1000＝1400，此时100﹣m＝100﹣80＝20，∴制作甲类产品80个，制作乙类产品20个，总收入最多为1400元．五．解一元一次不等式组（共1小题）10．（2023•钢城区二模）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】＜x≤3，数轴见解析．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣，解不等式②得：x≤3，∴不等式的解集为：＜x≤3，在数轴上表示为：六．一元一次不等式组的整数解（共5小题）11．（2023•长清区二模）解不等式组，并写出它的所有整数解．【答案】﹣2＜x≤1，该不等式组所有的整数解为：﹣1，0，1．【解答】解：由①得：x≤1；由②得：x＞﹣2；∴﹣2＜x≤1，∴该不等式组所有的整数解为：﹣1，0，1．12．（2023•槐荫区二模）解不等式组：，并写出其整数解．【答案】1≤x＜4，不等式组的整数解是1，2，3．【解答】解：解不等式①得：x＜4；解不等式②得：x≥1；∴不等式组的解集是1≤x＜4，∴不等式组的整数解是1，2，3．13．（2023•济阳区二模）解不等式组，并求其正整数的解．【答案】解集为﹣2＜x≤2；正整数有：1，2【解答】解：解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤2，不等式组的解集为﹣2＜x≤2，正整数有：1，2．14．（2023•历下区二模）解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．【答案】﹣1＜x≤2，该不等式组的非负整数解为0、1、2．【解答】解：由3x≤x+4得：x≤2，由﹣2x＜1得：x＞﹣1，则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，所以该不等式组的非负整数解为0、1、2．15．（2023•历城区二模）解不等式组：，并求所有整数解的和．【答案】1≤x＜4，6．【解答】解：由①得：x＜4，由②得：x≥1，∴不等式组的解集为1≤x＜4，则所有整数解为1，2，3，之和为1+2+3＝6．七．一次函数的应用（共1小题）16．（2023•历下区二模）2023年春节科幻电影《流浪地球2》火热上映，激发了人们阅读科幻书籍的热情．某学校图书馆购进甲、乙两种科幻书籍，已知每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高15元，购买675元甲图书的数量与购买450元乙图书的数量相同．（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元？（2）某中学计划购进甲、乙两种图书共70本，且甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，怎样购买，才能使购书总费用W最少？并求出最少费用．【答案】（1）甲种图书每本的进价是45元，则乙种图书每本的进价是30元；（2）购买甲种图书38本，购买乙种图书32本，能使购书总费用W最少，最少费用为2670元．【解答】解：（1）设甲种图书每本的进价是x元，则乙种图书每本的进价是（x﹣15）元，根据题意得：＝，解得x＝45，经检验，x＝45是原方程的解，也符合题意，∴x﹣15＝45﹣15＝30，∴甲种图书每本的进价是45元，则乙种图书每本的进价是30元；（2）设购买甲种图书m本，则购买乙种图书（70﹣m）本，∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多6本，∴m≥70﹣m+6，解得m≥38，根据题意得：W＝45m+30（70﹣m）＝15m+2100，∵15＞0，∴W随m的增大而增大，∴m＝38时，W取最小值，最小值为15×38+2100＝2670，此时70﹣m＝70﹣38＝32，∴购买甲种图书38本，购买乙种图书32本，能使购书总费用W最少，最少费用为2670元．八．平行四边形的性质（共1小题）17．（2023•济南二模）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．求证：AE＝CF．【答案】证明见解析．【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠DFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF九．菱形的性质（共1小题）18．（2023•历下区二模）已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE ＝CF，求证：AE＝AF．【答案】证明见解析过程．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，∵CE＝CF，∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF．一十．正方形的性质（共2小题）19．（2023•钢城区二模）如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，P不与A、C 重合，求证：∠ABP＝∠ADP．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAP＝∠DAP，∴在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS），∴∠ABP＝∠ADP．20．（2023•历城区二模）如图，已知正方形ABCD，点E，F分别为边AB和BC上的点，且DE＝DF．求证：BE＝BF．【答案】见解析．【解答】证明：连接DB，在正方形中，∠DBE＝∠DBF，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，在Rt△DAE和Rt△DCF中，，∴Rt△DAE≌Rt△DCF（HL），∴∠DEA＝∠DFC，∴∠DEA＝∠DFC，在△DEB和△DFB中，，∴△DEB≌△DFB（AAS），∴BE＝BF．一十一．切线的性质（共1小题）21．（2023•历城区二模）如图，AB为⊙O的直径，＝，过点A作⊙O的切线，交DO 的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）若，求OE的长．【答案】（1）见解答；（2）10．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵DO＝DA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴DE∥AC；（2）解：如图，连接OC，过点O作OF⊥AC于点F，∴∠OFA＝90°，由（1）知，DE∥AC，∴∠OFA+∠FOE＝180°，∴∠FOE＝∠FOA+∠AOE＝90°，∵AB为⊙O的直径，AE为⊙O的切线，切点为A，∴AB⊥AE，∴∠OAE＝90°，∵∠AOE+∠E+∠OAE＝180°，∴∠AOE+∠E＝90°，∴∠FOA＝∠E，在△FOA和△AEO中，∠FOA＝∠E，∠OFA＝∠EAO＝90°，∴△FAO∽△AOE，∴＝，∵sin E＝，∴＝，∴＝，∴AE＝2OA，∵OA＝OC，OF⊥AC，∴AF＝CF＝AC＝2，∴AO＝2，∴OE＝OA＝10．一十二．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）22．（2023•济阳区二模）海中有一小岛S，该岛周围5nmile内有暗礁．今有快艇以30nmile/h 的速度向正北航行，在A处看小岛S在船的北偏东13°方向，航行40分钟后到达B处，在B处看小岛S在船的北偏东45°方向．（1）A到B的距离是　20　nmile；（2）求该快艇继续向北航行有触礁危险吗？说明理由．（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）【答案】该快艇继续向北航行没有触礁危险．【解答】解：（1）由速度、时间、路程之间的关系可得，AB＝30×＝20（nmile），故答案为：20；（2）过点S作SD⊥AC于D，由题意得，∠SAB＝13°，∠SBD＝45°，∴SD＝BD，设SD＝BD＝xnmile，在Rt△ASD中，，即，解得x≈6，经检验，x＝6是原方程的解，∵6＞5，∴该快艇继续向北航行没有触礁危险．一十三．频数（率）分布直方图（共1小题）23．（2023•历下区二模）4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某校响应号召，开展了“读江色经典，传革命精神”为主题的读书活动，随机抽取了30名学生将他们一周的课外阅读时间（单位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】；4，4，3，3，5，5，5，7，7，7；7，6，6，6，6，6，6，8，8，8；8，9，9，10，10，10，10，11，12，13；【数据整理】：将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图（说明：A．3≤t＜5，B．5≤t＜7，C．7≤t＜9，D．9≤t＜11，E．11≤t＜13，其中t表示阅读时间）；统计量平均数众数中位数阅读时间（h）7.3m n【数据分析】：请根据以上信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）填空：m＝　6　，n＝　7　；（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为　48　°；（4）已知该校有3000名学生，请估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数．【答案】（1）见解答；（2）6，7；（3）48；（4）900人．【解答】解：（1）补全直方图如下：故答案为：6，7；（3）若将数据绘制成扇形统计图，则A组的圆心角为360°×＝48°，故答案为：48；（4）3000×＝900（人），答：估计该校学生中，一周课外阅读时间不少于9小时的学生人数为900人．一十四．扇形统计图（共2小题）24．（2023•济阳区二模）我区某学校举行了数学计算能力比赛，李老师从七、八年级各随机抽取了10名学生的比赛成绩整理分析，成绩得分用x表示（x为整数），共分为四组：A.80≤x＜85：B.85≤x＜90：C.90≤x＜95：D.95≤x≤100．七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，88．八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，94．抽取的七、八年级学生统计表年级平均数中位数众数七年级92b c八年级92m100根据以上信息，解答下列问题：（1）a＝　40　，b＝　93　，c＝　96　，m＝　93　；（2）扇形C的圆心角度数为　108°　；（3）学校八年级参加数学计算能力比赛的学生有900人，请你估计成绩超过90分的学生有多少人？【答案】（1）40，93，96，93；（2）108°；（3）540人．【解答】解：（1）由题意可知，a%＝1﹣10%﹣20%﹣＝40%，∴a＝40；把七年级10名学生的成绩从小到大排列为：80，86，88，89，90，96，96，96，99，100，排在中间的两个数分别是90，96，故中位数b＝＝93；七年级10名学生的成绩中96出现的次数最多，故众数c＝96；把八年级10名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是92，94，故中位数m ＝＝93．故答案为：40，93，96，93；（2）扇形C的圆心角度数为：360°×＝108°，故答案为：108°；（3）900×（40%+20%）＝540（人），答：估计成绩超过90分的学生大约有540人．25．（2023•历城区二模）为了解某校八年级全体男生体能情况，随机抽取了部分男生进行测试，将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，并把成绩绘制成如图所示的两个统计图表，其中“75≤x＜90”这组的数据如下：76，78，80，82，82，84，85，85，85，86，86，89．测试成绩统计表成绩x（分）等级人数x≥90A2175≤x＜90B1260≤x＜75C mx＜60D n请根据所给信息，解答下列问题：（1）填空：m＝　18　，n＝　9　；（2）B等级成绩中的众数是　85　，中位数是　84.5　；（3）求扇形统计图中C级的圆心角度数；（4）若该校八年级共有男生360人，根据抽样结果，估计体育测试成绩达到B级及以上（包括B级）的男生人数．【答案】（1）18，9；（2）85，84.5；（3）108°；（4）198人．【解答】解：（1）根据题意可得，调查总人数为：12÷20%＝60（名），∴n＝60×15%＝9，∴m＝60﹣21﹣12﹣9＝18．故答案为：18，9；（2）将B等级成绩按从小到大的顺序排列为：76，78，80，82，82，84，85，85，85，86，86，89，∴众数为85，中位数为＝84.5．故答案为：85，84.5；（3）360°×＝108°．即扇形统计图中C级的圆心角度数为108°；（4）360×＝198（人）．即可估计体育测试成绩达到B级及以上（包括B级）的男生人数为198人．一十五．条形统计图（共1小题）26．（2023•槐荫区二模）某中学随机从七、八年级中各抽取20名选手组成代表队参加党史知识竞赛，计分采用10分制，选手得分均为整数，这次竞赛后，将七、八年级两支代表队选手成绩，整理绘制如下两幅不完整的统计图．根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）请根据以上信息直接在答题卡上补全条形统计图；（2）七年级代表队学生成绩的平均数是　8　，中位数是　8　，众数是　7　；（3）八年级代表队学生成绩扇形统计图中，8分成绩对应的圆心角度数是　90　度，m 的值是　25　；（4）该校八年级有500人，根据抽样调查的结果，请你估计该校八年级学生中有多少名学生的成绩是9分．【答案】（1）详见解答；（2）8，8，7；（3）90，25；（4）75．【解答】解：（1）七年级10分的人数为20﹣2﹣6﹣5﹣4＝3（人），补全条形统计图如下：（2）七年级学生成绩的平均数为＝8（分），将七年级抽取的20人成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数是＝8分，即中位数是8，七年级抽取的20人成绩出现次数最多的是7分，共出现6次，因此众数是7，故答案为：8，8，7；（3）1﹣40%﹣15%﹣5%﹣15%＝25%，即m＝25，360°×25%＝90°，故答案为：90，25；（4）500×15%＝75（人），答：该校八年级学生中有75名学生的成绩是9分．。

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）②一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2．连接DE，OB，DE与OB相交于点F．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：DF＝EF；（3）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．2．（2023•济南二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H 交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．3．（2023•商河县二模）如图，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝6，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k＝ ；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．二．二次函数综合题（共5小题）4．（2023•市中区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），点D为OC的中点，连接BD，点P在抛物线上．（1）求b，c的值；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC交于点M．是否存在这样的点P，使得PM＝MH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝S△QRB，求点P的横坐标．5．（2023•历下区二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线y＝ax2+bx﹣2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接DG，CG，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线y＝ax2+bx﹣2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝ax2+bx﹣2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标．6．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC 于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P 的坐标．7．（2023•商河县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．8．（2023•长清区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及C坐标；（2）Q在抛物线的对称轴上，连接CQ、BQ，若△QBC为以BC为底的等腰三角形，求Q点坐标．（3）P在抛物线上且在第一象限内，过点P作PM⊥AC，PN⊥y轴，求的最大值并写出P点坐标．三．切线的性质（共1小题）9．（2023•市中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC＝CF；（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．四．几何变换综合题（共5小题）10．（2023•市中区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：DF＝DE；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．11．（2023•钢城区二模）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．（1）【观察猜想】如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是 ；（2）【类比探究】如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；（3）【解决问题】如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边所在的直线上时，请求出MN的长．12．（2023•历下区二模）如图1，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜360），连接EC，取EC中点F，连接AF，DF．（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是 ，数量关系是 ；（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作DM⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N……小明：延长ED至点G，使DG＝DE，延长CA至点H使AH＝AC，连接GB、BH……小智：延长DF至点P，使DF＝PF，连接PC，AD，AP……请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若AB＝6，BD＝2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长．13．（2023•商河县二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M 作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝2+2，求CF的长．旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，线段BD与线段AE的数量关系是 ；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长．山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）②参考答案与试题解析一．反比例函数综合题（共3小题）1．（2023•市中区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象与矩形OABC相交于D，E两点，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2．连接DE，OB，DE与OB相交于点F．（1）求反比例函数的表达式；（2）求证：DF＝EF；（3）连接OD，当△ODF是直角三角形时，求此时OF的长．【答案】（1）y＝．（2）见解析；（3）OF的长为4或．【解答】（1）解：∵四边形OABC是矩形，点A，C分别在y轴和x轴的正半轴上，∴BC∥x轴，AB∥y轴，∵点B的纵坐标为6，点D的横坐标为2，∴D（2，6），∵反比例函数y＝的图象经过点D（2，6），∴k＝xy＝2×6＝12，∴反比例函数的表达式为y＝．（2）证明：设A（x，0）（x＞0），则E（x，），B（x，6），∴BD＝x﹣2，BE＝6﹣，如图1，∵＝＝1﹣，＝＝1﹣，∴，∵∠DBE＝∠OAB＝90°，∴△DBE∽△OAB，∴∠DEB＝∠OBA，∵∠EDB+∠DEB＝90°，∠OBD+∠OBA＝90°，∴∠EDB＝∠OBD，∴DF＝EF＝BF．（3）解：当△ODF是直角三角形，且∠OFD＝90°，如图2，∵DF＝EF，OB⊥DE，∴BD＝BE，∴x﹣2＝6﹣，解得x1＝6，x2＝2（不符合题意，舍去），∴AO＝AB＝6，BD＝BE＝6﹣2＝4，∴OB＝＝＝6，DE＝＝＝4，∴BF＝DE＝2，∴OF＝OB﹣BF＝6﹣2＝4；当△ODF是直角三角形，且∠ODF＝90°，如图3，∵∠DBE＝∠OCD＝90°，∴∠BDE＝∠COD＝90°﹣∠CDO，∴△BDE∽△COD，∴，∵CO＝AB＝6，CD＝2，∴BD＝•BE＝3BE，∴x﹣2＝3（6﹣），解得x1＝18，x2＝2（不符合题意，舍去），∴AO＝18，BE＝6﹣＝，BD＝18﹣2＝16，∴OB＝＝＝6，DE＝＝＝，∴BF＝DE＝，∴OF＝OB﹣BF＝6﹣＝，综上所述，OF的长为4或．2．（2023•济南二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线H：y＝交于点P（2，），直线x＝m分别与直线l和双曲线H 交于点E、D．（1）求k和b的值；（2）当点E在线段AB上时，如果ED＝BO，求m的值；（3）如果△BDE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标．【答案】（1）k＝9，b＝3；（2）﹣2；（3）E（﹣3，）或（，）．【解答】解：（1）把点P（2，）代入y＝，得＝，解得k＝9，把点P（2，）代入y＝x+b，得+b＝，解得b＝3；（2）在直线y＝x+3中，令x＝0，得y＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，令y＝0，得x+3＝0，解得x＝﹣4，∴A（﹣4，0），∵直线x＝m，分别与直线l和双曲线H交于点E、D，∴E（m，m+3），D（m，），∵点E在线段AB上，∴﹣4≤m≤0，∴ED＝m+3﹣，∵ED＝BO，∴m+3﹣＝3，解得m＝﹣2，m'＝2（不符合题意，舍去），∴m的值为﹣2；（3）如图，过点E作EF⊥y轴于点F，∵B（0，3），E（m，m+3），D（m，），∴F（0，m+3），∴BE＝＝＝＝|m|，又∵DE＝|m+3﹣|，△BDE是以BE为腰的等腰三角形，且点E在AB上，D点在双曲线上，∴只存在BE＝DE时，即|m|＝|m+3﹣|，解得m＝﹣3，m'＝，∴E（﹣3，）或（，）．3．（2023•商河县二模）如图，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝6，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE．（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k＝　6　；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）6；（2）结论：DE∥AC．理由见解析部分；（3）D（，6）．【解答】解：（1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为3，∴k＝2×3＝6．故答案为：6；（2）结论：DE∥AC．理由：连接AC，如图1，设D（x，6），E（4，x），则BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，∴＝＝，∵＝＝，∴，又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴∠BED＝∠BAC，∴DE∥AC；（3）假设存在点D满足条件．设D（x，6），E（4，x），则CD＝x，BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，AE＝x．作EF⊥OC，垂足为F，由△B′CD∽△EFB′，可得，∴＝，∴B′F＝x，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，∴（6﹣3x）2+x2＝（4﹣x）2，解这个方程得，x1＝2（舍去），x2＝，∴满足条件的点D存在，D的坐标为D（，6）．二．二次函数综合题（共5小题）4．（2023•市中区二模）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），点D为OC的中点，连接BD，点P在抛物线上．（1）求b，c的值；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC交于点M．是否存在这样的点P，使得PM＝MH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝S△QRB，求点P的横坐标．【答案】（1）b＝2，c＝3；（2）P的坐标为（，），使得PM＝MH；（3）点P坐标为（1，4）．【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、C（0，3），∴c＝3，∴﹣1﹣b+3＝0．解得：b＝2．故答案为：b＝2，c＝3．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3，当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），H（t，0），∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MH＝3﹣t，∵PM＝MH，解得：t1＝，t2＝3（舍去），∴P（，），∴P的坐标为（，），使得PM＝MH．（3）∵点D为OC的中点．OC＝3．∴点D的坐标为（0，），∴BD的解析式为：y＝﹣+，过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E，∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°，∴BD＝＝，∴cos∠OBD＝，∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F，∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°，∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°，∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD＝，在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝，∴PQ＝PE，在Rt△PFR中，cos∠RPF＝，∴PR＝PF，∵S△PQB＝S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR，∴PQ＝QR．设直线BD与抛物线交于点G，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣，∴点G横坐标为﹣，设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+），∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|，①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+，∵PQ＝QR，∴PQ＝PR．∴PE＝•PF，即4PE＝3PF，∴4（﹣t2+t+）＝3（﹣t2+2t+3），解得：t1＝1，t2＝3（舍去），∴P（1，4），②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣，∵PQ＝2QR，∴PQ＝2PR，∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF，∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3），解得：t1＝﹣（不在范围舍去），t2＝3（不在范围舍去），∴此种情况不存在符合条件的P点．综上所述，点P坐标为（1，4）．5．（2023•历下区二模）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），与x轴交于点C，顶点是G，连接AC，BC．（1）求抛物线的表达式和顶点G的坐标；（2）如图2，若平移抛物线y＝ax2+bx﹣2，使其顶点M在直线AC上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为D，连接DG，CG，当时，求点M的坐标；（3）如图3，若将抛物线y＝ax2+bx﹣2进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝ax2+bx﹣2平移的最短距离及此时抛物线的顶点坐标．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2，顶点G的坐标为（，﹣）；（2）M（2，﹣6）；（3）抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为N（，﹣）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点G的坐标为（，﹣）；（2）由（1）知，G（，﹣），∵S△CDG＝CD•x G＝，∴CD＝＝＝2，由（1）知，抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2，∴C（0，﹣2），∵点D在y轴负半轴上，∴D（0，﹣4），设直线AC的解析式为y＝kx+c，把A（﹣1，0）、C（0，﹣2）代入得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，∵平移后的抛物线的顶点M在直线AC上运动，∴设M（m，﹣2m﹣2），则平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣m）2﹣2m﹣2，将点D（0，﹣4）代入得：m2﹣2m﹣2＝﹣4，解得：m1＝m2＝2，∴M（2，﹣6）；（3）解：过点G作BC的垂线，交BC于H，交y轴于点F，过点G作GE⊥y轴于点E，如图，当抛物线沿着直线GF的向上平移时，平移距离最短，设直线BC的解析式为y＝k1x+b1，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∵G（，﹣），∴GE＝，OE＝，∵FH⊥BC，∴∠CFH+∠FCH＝∠OBC+∠FCH＝90°，∴∠CFH＝∠OBC，∴Rt△OCB∽Rt△EGF，∴，∵OC＝2，OB＝4，∴EF＝3，而EF＜OE，即点F在y轴负半轴上，∴OF＝OE﹣FE＝﹣3＝，∴F（0，﹣），设直线GF的解析式为y＝k2x+b2，则，解得：，∴直线GF的解析式为y＝﹣2x﹣，设平移后抛物线的顶点N坐标为（n，﹣2n﹣），则平移后抛物线解析式为y＝（x﹣n）2﹣2n﹣，∵抛物线y＝（x﹣n）2﹣2n﹣与直线BC恰有一个公共点，∴，整理得：4x2﹣（8n+4）x+4n2﹣16n+15＝0，∴Δ＝[﹣（8n+4）]2﹣4×4（4n2﹣16n+15）＝0，解得：n＝，此时平移后抛物线的顶点坐标为N（，﹣），而点G的坐标为（，﹣），∴GN＝＝，∴抛物线平移的最短距离为，此时顶点坐标为N（，﹣）．6．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A （﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC 于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）△MNQ周长最大值为6+2；（3）P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）由y＝﹣x2﹣x+2可得C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣4，0）代入得：﹣4k+2＝0，解得k＝，∴直线AC解析式为y＝x+2，设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），∴MN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，∵MQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，∴△QMN∽△AOC，∴＝＝，即＝＝，∴MQ＝2MN，NQ＝MN，∴△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝（3+）MN＝（3+）×（﹣x2﹣2x）＝﹣（x+2）2+6+2，∵﹣＜0，∴当x＝﹣2时，△MNQ周长最大值为6+2；（3）在x轴负半轴上取D，使OC＝OD，连接CD交抛物线于P，如图：∴D（﹣2，0），∠CDO＝45°，此时∠ACP＝45°﹣∠BAC，P是满足条件的点，∵C（0，2），D（2，0），∴直线CD解析式为y＝x+2，由得或，∴P（﹣5，﹣3），作D关于直线AC的对称点E，连接CE并延长交抛物线于P'，由对称性知∠ACP'＝∠ACP，P'是满足条件的点，设E（m，n），根据AE＝AD，CE＝CD可得：，解得或，∴E（﹣，），由E（﹣，），C（0，2）可得直线CE解析式为：y＝x+2，解得或，∴P'（﹣，），综上所述，P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．7．（2023•商河县二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+；（2）当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）；（3）N（，3）或（6，﹣3）．【解答】解：（1）因为抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，所以可以假设y＝a（x+2）（x﹣4），∵OC＝2OA，OA＝2，∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4）或y＝﹣x2+x+4或y＝﹣（x﹣1）2+．（2）如图1中，由题意，点P在y轴的右侧，作PE⊥x轴于E，交BC于F．∵CD∥PE，∴△CMD∽△FMP，∴m＝＝，∵直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1），∵BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），∴PF＝﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）＝﹣（n﹣2）2+2，∴m＝＝﹣（n﹣2）2+，∵﹣＜0，∴当n＝2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）．（3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形．①当DP是矩形的边时，有两种情形，a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时，由（2）可知P（2，4），代入y＝kx+1中，得到k＝，∴直线DP的解析式为y＝x+1，可得D（0，1），E（﹣，0），由△DOE∽△QOD可得＝，∴OD2＝OE•OQ，∴1＝•OQ，∴OQ＝，∴Q（，0）．根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N，∴N（2+，4﹣1），即N（，3）b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时，∵直线PD的解析式为y＝x+1，PQ⊥PD，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，∴Q（8，0），根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N，∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）．②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2＝x2+1，QP2＝（x﹣2）2+42，PD2＝13，∵Q是直角顶点，∴QD2+QP2＝PD2，∴x2+1+（x﹣2）2+16＝13，整理得x2﹣2x+4＝0，方程无解，此种情形不存在，综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）．8．（2023•长清区二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（4，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求函数表达式及C坐标；（2）Q在抛物线的对称轴上，连接CQ、BQ，若△QBC为以BC为底的等腰三角形，求Q点坐标．（3）P在抛物线上且在第一象限内，过点P作PM⊥AC，PN⊥y轴，求的最大值并写出P点坐标．【答案】（1）函数表达式为入y＝﹣x2+3x+4，C的坐标为（0，4）；（2）Q（，）；（3）的最大值是，P点坐标为（3，4）．【解答】解：（1）把A（4，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+4得：，解得：，∴函数表达式为入y＝﹣x2+3x+4，令x＝0得y＝4，∴C的坐标为（0，4）；（2）∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，设Q（，m），∵△QBC为以BC为底的等腰三角形，∴BQ＝CQ，∵B（﹣1，0），C（0，4），∴+m2＝+（m﹣4）2，解得m＝，∴Q（，）；（3）过P作PH∥y轴交AC于H，过H作HK⊥y轴交于K，如图：∵A（4，0），C（0，4）∴直线AC解析式为y＝﹣x+4，∠ACO＝∠CAO＝45°，设P（t，﹣t2+3t+4），则H（t，﹣t+4），∴PN＝t，PH＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，∵PH∥y轴，∴∠PHM＝∠ACO＝45°，∴△PHM是等腰直角三角形，∴PM＝MH＝PH＝﹣t2+2t，∵∠PNK＝∠NKH＝∠PHK＝90°，∴四边形PNKH是矩形，∴KH＝PN＝t，∵∠ACO＝45°，∠NKH＝90°，∴△CKH是等腰直角三角形，∴CH＝KH＝t，∴CM＝CH﹣MH＝t﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t，∴＝＝﹣t2+3t﹣4＝﹣（t﹣3）2+，∵﹣＜0，∴当t＝3时，取最大值，最大值为，此时P（3，4），∴的最大值是，P点坐标为（3，4）．三．切线的性质（共1小题）9．（2023•市中区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC于点D．且交⊙O于点F，连接BC，CF，AC．（1）求证：BC＝CF；（2）若AD＝3，DE＝4，求BE的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）BE的长为．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED，∵AD⊥EC，∴CO∥AD，∴∠OCA＝∠CAD，∵∠OCA＝∠OAC，∴∠OAC＝∠CAD，∴＝，∴BC＝CF；（2）解：在Rt△ADE中，∵AD＝3，DE＝4，根据勾股定理得AE＝5，∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD，∴＝，设⊙O的半径为r，∴OE＝5﹣r，∴＝，∴r＝，∴BE＝5﹣2r＝，答：BE的长为．四．几何变换综合题（共5小题）10．（2023•市中区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，连接DE，DF．（1）如图1，求证：DF＝DE；（2）如图2，将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，当射线DP交AB于点G，射线DQ交BC于点N时，连接FE并延长交射线DP于点M，判断FN与EM的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，当DP⊥AB时，求DN的长．【答案】（1）见解答；（2），理由见解答；（3）DN＝．【解答】（1）证明：如图1，连接AF，∵AB＝AC＝，BC＝2，D，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴DE＝BC＝1，AF⊥BC，∴DF＝AC＝∴；（2）解：，理由如下：连接AF，如图2，∵AB＝AC＝，BC＝2，E，F分别为AC，AB，BC的中点，∴，∴四边形CDEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠C，∵，∴∠DFC＝∠C，∴∠DFC＝∠DEF，∴180°﹣∠DFC＝180°﹣∠DEF，∴∠DFN＝∠DEM，∵将∠EDF绕点D顺时针旋转一定角度，得到∠PDQ，∴∠EDF＝∠PDQ，∵∠FDN+∠NDE＝∠EDM+∠NDE，∴∠FDN＝∠EDM，∴△DNF∽△DME，∴，∴；（3）解：如图，连接AF，过点C作CH⊥AB于H，Rt△AFC中，FC＝BC＝1，∴AF＝＝2，∴S△ABC＝BC•AF＝AB•CH，∴HC＝＝＝，∵DP⊥AB，∴△AGD∽△AHC，∴，∴GD＝HC＝，Rt△GED中，GE＝＝＝，Rt△AGD中，AG＝＝，∴tan∠ADG＝＝，∵EF∥AD，∴∠EMG＝∠ADG，∴，∴MG＝GE＝×＝，∴MD＝MG+GD＝+＝，∵△DNF∽△DME，∴，∴DN＝DM＝×＝．11．（2023•钢城区二模）在△ABC与△ADE中，连接DC，点M、N分别为DE和DC的中点，连接CE．（1）【观察猜想】如图①，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，MN与BD的数量关系是　BD ＝2MN　；（2）【类比探究】如图②，若AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，请写出MN与BD的数量关系并就图②的情形说明理由；（3）【解决问题】如图③，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，3AD＝AB＝6，将△ADE绕点A进行旋转，当点D落在△ABC的边所在的直线上时，请求出MN的长．【答案】（1）BD＝2MN，60；（2）BD＝2MN，∠BPM＝90°；（3）MN的长为或4或2．【解答】解：（1）连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，∵点M、N分别为DE和DC的中点，∴MN∥CE，CE＝2MN，∴∠BPM＝∠QGB，∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN．故答案为：BD＝2MN；（2）BD＝2MN．理由：连接CE，延长CE交AB于点Q，交直线BD于点G，∵点M、N分别为DE和DC的中点，∴MN∥CE，CE＝2MN，∴∠BPM＝∠QGB，∵∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，即∠DAB＝∠EAC，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠DBA＝∠ECA，BD＝CE＝2MN；（3）连接BD，CE，则CE＝BD，同（2）可得MN＝EC，∴MN＝BD，∴点D在以A为圆心，AD长为半径的圆上，故分四种情况讨论：①当点D落在AC上时，∵3AD＝AB＝6，∴AD＝2；∴BD＝＝＝2，∴MN＝BD＝；②当点D落在BA的延长线上时，∴BD＝AB+AD＝8，∴MN＝BD＝4；③当点D落在CA的延长线上时，此时BD＝2，∴MN＝BD＝；④当点D落在边AB上时，∴BD＝AB﹣AD＝4，∴MN＝BD＝2，综上所述，MN的长为或4或2．12．（2023•历下区二模）如图1，△ABC和△DEB都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠BDE＝90°，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0＜α＜360），连接EC，取EC中点F，连接AF，DF．（1）如图1，当点D落在BC边上，点E落在AB边上时，线段AF和线段DF的位置关系是　AF⊥DF　，数量关系是　AF＝DF　；（2）如图2，当点D落在△ABC内部时，（1）的结论是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．九年级一班数学兴趣小组的同学提出了三种思路：小聪：过点D作DM⊥BE交线段BE于点M，过点A作AN⊥BC交线段BC于点N……小明：延长ED至点G，使DG＝DE，延长CA至点H使AH＝AC，连接GB、BH……小智：延长DF至点P，使DF＝PF，连接PC，AD，AP……请你选择一种思路，完善证明过程；（3）若AB＝6，BD＝2，在△BDE旋转的过程中，当点E，D，F三点共线时，连接AD，请直接写出AD的长．【答案】（1）结论：AF⊥DF，AF＝DF．理由见解析部分；（2）结论成立，理由见解析部分；（3）AD＝﹣或+．【解答】解：（1）结论：AF⊥DF，AF＝DF．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∵∠BDE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵EF＝FC，∴AF＝EF＝CF＝DF，∴∠FAC＝∠FCA，∠FCD＝∠FDC，∵∠AFE＝∠FAC+∠FCA＝2∠FCA，∠EFD＝∠FDC+∠FCD＝2∠FCD，∴∠AFD＝∠AFE+∠EFD＝2（∠ACF+∠FCD）＝2∠ACB＝90°，∴AF⊥DF，AF＝DF．故答案为：AF⊥DF，AF＝DF；（2）结论成立．理由：延长DF到M，使得FM＝DF，连接AM，AD，CM，延长BD交CM的延长线于点J，AC交BJ于点O．∵FE＝FC，EFD＝CFM，FD＝FM，∴△EFD≌△CFM（SAS），∴DE＝CM，∠DEF＝∠FCM，∴DE∥CJ，∴∠EDJ＝∠J＝90°，∵∠BAO＝∠OJC＝90°，∴∠ABD＝∠ACM，∵BA＝CA，BD＝DE＝CM，∴△ABD≌△ACM（SAS），∴∠BAD＝∠CAM，AD＝AM，∴∠DAM＝∠BAC＝90°，∵DF＝FM，∴AF⊥FM，AF＝DF＝FM，即AF⊥DF，AF＝DF；（3）当点D在线段CE上时，∵AB＝AC＝6，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝6，∵∠BDC＝90°，BD＝2，∴CD＝＝＝2，∴EC＝DE+CD＝2+2，∴EF＝CF＝1+，∴AF＝DF＝1+﹣2＝﹣1，∴AD＝AF＝﹣，当点E在线段CD上时，同法可得AF＝DF＝+1，∴AD＝AF＝+．综上所述，AD＝﹣或+．13．（2023•商河县二模）在等腰△ABC中，∠B＝90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC，垂足为N，∠EMF＝135°、将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF＝BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM＝，AN＝2+2，求CF的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）图②，BE﹣CF＝BM；图③，CF﹣BE＝BM；（3）2﹣或2+．【解答】（1）证明：如图①，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠C＝45°，∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC，∴BM＝MN，在四边形ABMN中，∠BMN＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠EMF＝135°，∴∠BME＝∠NMF，∴△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵CN＝CF+NF，∴BE+CF＝BM；（2）如图②，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝NF﹣CF，∴BE﹣CF＝BM；如图③，同（1）的方法得，△BME≌△NMF，∴BE＝NF，∵MN⊥AC，∠C＝45°，∴∠CMN＝∠C＝45°，∴NC＝NM＝BM，∵NC＝CF﹣NF，∴CF﹣BE＝BM；（3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，，∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL），∴AB＝AN＝2+2，在Rt△ABC中，BC＝AB＝2+2，∴AC＝AB＝4+2，∴CN＝AC﹣AN＝4+2﹣（2+2）＝2，在Rt△CMN中，CM＝CN＝2，∴BM＝BC﹣CM＝2+2﹣2＝2，在Rt△BME中，tan∠BEM＝＝＝，∴BE＝，∴①由（1）知，如图1，BE+CF＝BM，∴CF＝BM﹣BE＝2﹣．②由（2）知，如图2，由tan∠BEM＝，∴此种情况不成立；③由（2）知，如图3，CF﹣BE＝BM，∴CF＝BM+BE＝2+，综上所述，CF的长度为2﹣或2+．14．（2023•长清区二模）已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜360°），连接BD，AE，请完成如下问题：（1）如图1，若△ABC和△CDE均为等边三角形，线段BD与线段AE的数量关系是　BD ＝AE　；类比探究：（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，其他条件不变，请写出线段BD与线段AE的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，，直接写出AD的长．【答案】（1）结论：BD＝AE．理由见解析部分；（2）结论：．理由见解析部分；（3）．【解答】解：（1）结论：BD＝AE．理由：∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE；（2）结论：．理由：延长AE交BD的延长线于点F，AC交BF于点O．∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BAC＝∠DEC＝30°，∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴，∠BCD＝∠ECA，∴△BCD∽△ACE，∴，∴；（3）如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，∵∠BAD＝30°，∴∠DAM＝60°，∴∠AMD＝30°，∴∠AMD＝∠DBC，又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，∴△BDC∽△MDA，∴，又∵∠BDC＝∠ADM，∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，即∠BDM＝∠CDA，∴△BDM∽△CDA，∴，∵，∴，∴，∴．。

山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①一．一元一次不等式的应用（共1小题）1．（2023•商河县二模）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心域区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面射开．投放A，B两车型的数量比为3：2，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？二．反比例函数综合题（共4小题）2．（2023•济阳区二模）如图，一次函数y＝x+a的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB，求△ABC 的面积；（3）点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．3．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边做正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．4．（2023•天桥区二模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（m，3）、B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；（3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．5．（2023•历下区模拟）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）k＝ ；m＝ ；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．三．二次函数综合题（共2小题）6．（2023•莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做MQ⊥PM 交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．四．三角形综合题（共1小题）8．（2023•济阳区二模）有公共顶点C的两个等腰直角三角形按如图1所示放置，点E在AB 边上．（1）连接BD，请直接写出值为 ；（2）如图2，F，G分别为AB，ED的中点，连接FG，求值；（3）如图3，N为BE的中点，连接CN，AD，求值．五．四边形综合题（共1小题）9．（2023•槐荫区二模）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．六．几何变换综合题（共3小题）10．（2023•莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q 分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC 的数量关系 ；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，时，求点A 到直线PB的距离．11．（2023•历城区二模）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，点O为直角顶点，连接AD，BC，E是线段BC的中点，连接OE．【问题解决】（1）如图①，当C，D两点分别在边OA，OB上时，线段EO与线段AD之间的数量关系为 ；【类比探究】（2）将△COD绕点O顺时针旋转到如图②所示位置，请探究（1）中的数量关系是否成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△COD的旋转过程中，当∠AOC＝150°时，若OA＝6，OC＝2，请直接写出OE 的长．12．（2023•天桥区二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，点D 为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．（1）若点D为△ABC内部任意一点时．①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD＝2时，求线段CD的长；（2）如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD＝AC时，延长AC到点F，使得CF ＝AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）13．（2023•钢城区二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于点G （点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（1）求屋项到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB．14．（2023•商河县二模）某市为实现5G网络全覆盖，2023——2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为l＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小明在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．山东省济南市2023年各地区中考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（13套）-03解答题（较难题）①参考答案与试题解析一．一元一次不等式的应用（共1小题）1．（2023•商河县二模）为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心域区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面射开．投放A，B两车型的数量比为3：2，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？【答案】（1）本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B 型车2000×＝2辆．【解答】解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，根据题意，得：，解得：，答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，解得：a≥1000，即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×＝3辆、至少享有B型车2000×＝2辆．二．反比例函数综合题（共4小题）2．（2023•济阳区二模）如图，一次函数y＝x+a的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（4，3），与y轴交于点B．（1）求a，k的值；（2）点C在反比例函数图象上，直线CA与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB，求△ABC 的面积；（3）点E在x轴上，点F是坐标系内一点，当四边形AEBF为矩形时，求点E的坐标．【答案】（1）a＝4，k＝12；（2）8；（3）E（1，0）或（3，0）．【解答】解：（1）将点A的坐标（4，3）代入一次函数表达式得：3＝×4+a，解得：a＝1，将点A的坐标A（4，3）代入反比例函数表达式得：3＝，解得：k＝12；（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，把y＝6代入y＝得x＝2，∴C（2，6），如图，作CH⊥x轴于H，交AB于E，当x＝2时，y＝＝2，∴E（2，2），∵C（2，6），∴CE＝6﹣2＝4，∴S△ABC＝＝＝8；（3）如图，∵a＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1，当x＝0时，y＝1，∴OB＝1，∵四边形AEBF为矩形，∴∠BEA＝90°，过A作AH⊥x轴于H，∴∠AHE＝∠AEB＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝∠AEH+∠BEO＝90°，∴∠BEO＝∠HAE，∴△AHE∽△EOB，∴，∵A（4，3），∴OH＝4，AH＝3，∴，解得OE＝1或3，∴E（1，0）或（3，0）．3．（2023•历城区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），点B（0，2），直线AB与反比例函数y＝（k≠0）的图象在第一象限相交于点C（a，4），（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点E（4，m）是反比例函数y＝（k≠0）图象上一点，连接CE，AE，试问在x轴上是否存在一点D，使△ACD的面积与△ACE的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，坐标原点O关于点D的对称点为G，且点G在x轴的正半轴上，若点M是反比例函数的第一象限图象上一个动点，连接MG，以MG为边做正方形MGNF，当顶点F恰好落在直线AB上时，求点M的坐标．【答案】（1）y＝；（2）（2，0）或（﹣6，0）；（3）M坐标为：或（1，8）．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝mx+n，把点A（﹣2，0），点B（0，2）分别代入上式可得：∴，解得：，∴y＝x+2，把C（a，4）代入y＝x+2中，∴a+2＝4，解得：a＝2，∴C（2，4），把C（2，4）代入y＝可得：，解得：k＝8，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵E（4，m）在反比例函数y＝图象上，∴m＝2，∴E（4，2），∵△ACE的面积与且△ACD的面积相等，当D点在x轴的正半轴上时，设过D点与直线AB平行的直线解析式为y＝x+b，∴4+b＝2，解得b＝﹣2，∴y＝x﹣2，∴D（2，0）；当D点在x轴的负半轴上时，点D关于点（﹣2，0）的对称点为（﹣6，0），此时△ACE的面积与且△ACD的面积相等，∴D（﹣6，0）；综上所述：D点坐标为（2，0）或（﹣6，0）；（3）由题意得：G（4，0），设M（t，）（t＞0），①当F点M左侧时，过点M作QH∥x轴，过点F作FQ⊥QH交于Q点，过点G作GH ⊥QH交于点H，则∠MQF＝∠MHG＝90，，∵四边形FNGM为正方形，∴∠FMG＝90°，FM＝MG，∵∠FMG＝90°，∴∠QMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠MGH＝90°，∴∠QMF＝∠MGH，∵FM＝MG，∴△MFQ≌△GMH（AAS），∴MH＝QF，GH＝QM，∴F（t﹣，﹣4+t），∴﹣4+t＝t﹣+2，解得t＝，∴M（，3）；②点F在M右侧时，过点M作QH∥y轴，交x轴于点Q，过点F作FH⊥QH交于点H，，同理可得：△MFH≌△GMQ（AAS），∴GQ＝HM，MQ＝FH，∴QG＝MH＝4﹣t，MQ＝FH＝，∴F（t+，），代入y＝x+2可得：，解得：t＝1，∴M（1，8），综上所述：M点坐标为：（）或（1，8）．4．（2023•天桥区二模）如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A（m，3）、B两点．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果△ABD的面积为16，求直线向上平移的距离；（3）E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，请求出所有符合条件的点E的坐标．【答案】（1）y＝﹣；（2）直线向上平移的距离为4个单位长度；（3）点E的坐标为（0，）或（0，5）．【解答】解：（1）令一次函数中y＝3，则3＝﹣x，解得：x＝﹣4，即点A的坐标为（﹣4，3），∵点A（﹣4，3）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣4×3＝﹣12，∴反比例函数的表达式为y＝﹣；（2）连接AC、BC如图所示．设平移后的解析式为y＝﹣x+b，∵该直线平行直线AB，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABD的面积为16，∴S△ABC＝OC•（x B﹣x A）＝16，∴b×8＝16，∴b＝4，∴直线向上平移的距离为4个单位长度；（3）如图，∵E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，以点A，B，E，F为顶点的四边形是矩形，②A为直角顶点，∴∠BAE＝90°，过A作AH⊥y轴于H，∴∠OAE＝∠AHO＝∠AHE＝90°，∴∠OAH+∠EAH＝∠OAH+∠AOH＝90°，∴∠EAH＝∠AOH，∴△AOH∽△EOA，∴，∵A（﹣4，3），∴AH＝4，OH＝3．∴，∴EH＝，∴OE＝3+＝，∴点E的坐标为（0，），②E为直角顶点，∴AE⊥BE，∴AB＝10，∴OA＝5，∴△AEB为直角三角形，∴OE为中线，∴EO＝AO＝5，∴E（0，5），综上所述，点E的坐标为（0，）或（0，5）．5．（2023•历下区模拟）如图1，一次函数y＝kx﹣3（k≠0）的图象与y轴交于点B，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（8，1）．（1）k＝ ；m＝　8　；（2）点C是线段AB上一点（不与A，B重合），过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接OC，OD，AD，当四边形OCAD的面积等于24时，求点C的坐标；（3）在（2）的前提下，将△OCD沿射线BA方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O的对应点O′恰好落在该反比例函数图象上（如图2），请直接写出此时点D的对应点D′的坐标．【答案】（1），8；（2）C（2，﹣2）；（3）D′（6，6）．【解答】解：（1）把点A（8，1）分别代入y＝kx﹣3和y＝中，得，1＝8k﹣3，1＝，解得：k＝，m＝8，故答案为，8；（2）C（a，a﹣3）（0＜a＜8），则D（a，），∴CD＝﹣a+3，∵S四边形OCAD＝24，∴•CD•x A＝24，即（﹣a+3）×8＝24，∴a2+6a﹣16＝0，∴a1＝﹣8，a2＝2，经检验：a1＝﹣8，a2＝2是原方程的解，∵0＜a＜8，∴a＝2，∴C（2，﹣2）；（3）由平移可知：OO′∥AB，∴直线OO′的解析式为y＝x，由，解得或（舍弃），∴O′（4，2），∵把点O向右平移4个单位，向上平移2个单位得到O′，∵D（2，4），∴D′（6，6）．三．二次函数综合题（共2小题）6．（2023•莱芜区二模）抛物线的顶点坐标为D（1，4），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）如图1，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，求AM+OM的最小值，并求出此时M点的坐标；（3）如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接CD，PD与BC相交于点Q，与x轴交于点G，是否存在点P，使∠PQC＝∠ACD．若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M（，）；（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD，P（4，﹣5）．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为D（1，4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4，将点A（﹣1，0）代入，得：4a+4＝0，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，故该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，作点O关于直线BC的对称点K，连接AK交BC于点M，连接BK，由对称性可知，OM＝KM，∴AM+OM＝AM+KM≥AK，当O、M、K三点共线时，AM+OM有最小值，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由对称性可知∠KBM＝45°，∴BK⊥BO，∴K（3，3），设直线AK的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AK的解析式为y＝x+，设直线BC的解析式为y＝mx+3，∴3m+3＝0，∴m＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，联立方程组，解得：，∴M（，）；（3）存在点P，使∠PQC＝∠ACD．理由如下：如图2，过点D作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点E，则DE＝CE＝1，即∠DCE＝45°，则∠OCD＝90°+45°＝135°，则∠ACD＝135°+∠ACO；过点Q作QT⊥x轴于点T，则∠CQT＝135°，则∠PQC＝∠CQT+∠TQP＝135°+∠TQP＝∠ACD＝135°+∠ACO，∴∠TQP＝∠ACO，过点P作PN∥y轴交过点D与x轴的平行线于点N，∵PN⊥x轴，QT⊥x轴，∴PN∥QT，∴∠NPD＝∠TQP＝∠ACO，在Rt△AOC中，tan∠ACO＝＝＝tan∠NPD，设点P（t，﹣t2+2t+3），则tan∠NPD＝＝＝，解得：t＝1（舍去）或t＝4，经检验，t＝4是方程的根，∴P（4，﹣5）．7．（2023•天桥区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交CB的延长线于点H，求点H的坐标；（3）在（2）的条件下，点P是y轴正半轴上的一个动点，连接PM，过M做MQ⊥PM 交x轴与Q，N是PQ的中点，求BN的最小值．【答案】（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）（，﹣）；（3）．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6；（2）过点M作MG⊥y轴于点G，过点H作HT⊥y轴于点T，则∠QGO＝90°，∠HTO＝90°，∴∠GMO+∠MOG＝90°，∵OH⊥OM，∠BMO＝45°，∴∠MOH＝90°，∠OHM＝45°，∴∠MOG+∠TOH＝90°，OM＝OH，∴∠GMO＝∠TOH，在△MGO和△OTH中，，∴△MGO≌△OTH（AAS），∴MG＝OT，GO＝TH，∵点C坐标为（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0，k，n为常数），代入点B（3，0），点C（0，6），得，解得，∴直线BC解析式为y＝﹣2x+6，设点H坐标为（m，﹣2m+6），则TH＝m，OT＝2m﹣6，∴点M坐标为（2m﹣6，m），∵点M在线段BC上，∴﹣2（2m﹣6）+6＝m，解得m＝，∴﹣2×+6＝﹣，∴点H坐标为（，﹣）；（3）由（2）可知，点M坐标为（，），∵PM⊥MQ，∴△PMQ是直角三角形，∵N是PQ的中点，∴MN＝PQ，∵∠POQ＝90°，∴ON＝PQ，∴MN＝ON，∴点N在线段MO的垂直平分线上，作线段MO的垂直平分线l，直线l与直线MO交于点R，直线l与x轴交于点K，则R坐标为（），当BN⊥l时，BN取得最小值，如图所示：设直线MO的解析式为y＝ex（e≠0），代入点M（，），得e＝，解得e＝3，∴直线MO的解析式为y＝3x，设直线l的解析式为y＝，代入点R（），得，解得f＝2，∴直线l的解析式为y＝，当y＝＝0时，x＝6，∴点K坐标为（6，0），∴KB＝6﹣3＝3，∴KB：KO＝1：2，∵∠BKN＝∠BKN，∠BNK＝∠BRK＝90°，∴△BNK∽△ORK，∴BN：OR＝KB：KO＝1：2，∵OR＝＝，∴BN＝OR＝，∴BN的最小值为．四．三角形综合题（共1小题）8．（2023•济阳区二模）有公共顶点C 的两个等腰直角三角形按如图1所示放置，点E 在AB 边上．（1）连接BD ，请直接写出值为 1　；（2）如图2，F ，G 分别为AB ，ED 的中点，连接FG ，求值；（3）如图3，N 为BE 的中点，连接CN ，AD ，求值．【答案】（1）1；（2）；（3）2．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∴，故答案为：1；（2）如图2，连接CF，CG，∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，F，G分别为AB，ED的中点，∴AC＝CF，∠A＝∠ACF＝45°＝∠CEG＝∠ECG，∴∠ACE＝∠FCG，∴△ACE∽△FCG，∴＝＝；（3）如图3，取BC的中点M，连接NM，∵N为BE的中点，点M是BC的中点，∴EC＝2MN，MN∥EC，BC＝2CM，∴∠NMC+∠ECB＝180°，CD＝2MN，AC＝2CM，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝180°，∴∠CMN＝∠ACD，，∴△ACD∽△CMN，∴＝．五．四边形综合题（共1小题）9．（2023•槐荫区二模）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF．（1）如图1，求证：△ADE≌△CDF；（2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠ADC＝∠EDF，∴∠ADE＝∠CDF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；（2）①证明：如图，设AG与CD相交于点P．∠ADP＝90°，∠DAP+∠DPA＝90°，∵△ADE≌△CDF，∴∠DAE＝∠DCF．∵∠DPA＝∠GPC，∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°．∠PGN＝90°，∵BM⊥AG，BN⊥GN，∴四边形BMGN是矩形，∴∠MBN＝90°∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°．∴∠ABM＝∠CBN．又∵∠AMB＝∠BNC＝90°∴△AMB≌△CNB（ASA）．∴MB＝NB．∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD．∴BM＝AH，AH2＝AD2﹣DH2，AD＝5，∴DH最大时，AH最小，DH＝DE＝2，∴BM＝AH＝4，由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形，六．几何变换综合题（共3小题）10．（2023•莱芜区二模）如图，在同一平面内的△ABC和△ADE，连接CE、BD，点P、Q 分别是线段CE、BD的中点，△ADE绕点A自由旋转时，B、P、D三点会在同一条直线上．（1）如图1，当△ABC和△ADE都是等边三角形时，判断线段PA、PB、PC的数量关系，并给出证明；（2）如图2，当△ABC和△ADE都是等腰直角三角形时，请直接写出线段PA、PB、PC的数量关系　PB＝CP+AP　；到直线PB的距离．【答案】（1）PA+PC＝PB，理由见解析过程；（2）PB＝CP+AP，理由见解析过程；（3）点A到直线PB的距离2．【解答】解：（1）PA+PC＝PB，理由如下：如图1，连接AQ，∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝BQ+PQ＝AP+CP；（2）PB＝CP+AP，理由如下：如图2，连接AQ，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠BAD＝∠ACE，∵点P、Q分别是线段CE、BD的中点，∴BQ＝DQ，CP＝PE，∴BQ＝CP，∴△ACP≌△ABQ（SAS），∴AQ＝AP，∠BAQ＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAQ＝90°，∴△PAQ都是等腰直角三角形，∴PQ＝AP，∴PB＝CP+AP，故答案为：PB＝CP+AP；（3）如图3，过点A作AH⊥BP于H，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠AED＝30°，∴点A，点B，点E三点共线，EA＝AD，AC＝AB，∴＝，∴△ABD∽△ACE，∴∠ABD＝∠ACE，又∵∠BDA＝∠CDP，∴∠BAC＝∠BPC＝90°，又∵CP＝PE，∴BC＝BE，CD＝DE，∵∠DCP＝∠DEP，∵∠ADE＝90°﹣∠AED＝60°，∴∠DCP＝∠DEP＝30°，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴BE＝CE，∵CP＝PE，∠CAE＝90°，∴AP＝CP＝PE＝4，∵∠BCA＝∠ECA＝30°，∴AB＝AE＝4，∠PBE＝∠ACE＝30°，∴AH＝AH＝2，∴点A到直线PB的距离2．11．（2023•历城区二模）如图，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，点O为直角顶点，连接AD，BC，E是线段BC的中点，连接OE．【问题解决】（1）如图①，当C，D两点分别在边OA，OB上时，线段EO与线段AD之间的数量关系为　AD＝2EO　；【类比探究】（2）将△COD绕点O顺时针旋转到如图②所示位置，请探究（1）中的数量关系是否成立，并说明理由．【拓展延伸】（3）在△COD的旋转过程中，当∠AOC＝150°时，若OA＝6，OC＝2，请直接写出OE 的长．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△AOB和△COD是等腰直角三角形，∴AO＝BO，CO＝DO，∠AOB＝90°，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴AD＝BC，在Rt△BOC中，E是BC的中点，∴BC＝2EO，∴AD＝2EO，故答案为：AD＝2EO；（2）（1）中结论仍成立，理由如下：延长OE至F使EO＝EF，连接BF，连接FC并延长交AO于G，∵E是BC的中点，∴四边形BOCF是平行四边形，∴CF＝BO，∵AO＝BO，∴CF＝AO，∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠FCO＝90°+∠COG，∠AOD＝90°+∠AOC，∴∠FCO＝∠AOD，∵CO＝DO，∴△AOD≌△FCO（SAS），∴AD＝OF，∵点E是▱BOCF的对角线的交点，∴OF＝2EO，∴AD＝2EO；（3）如图3，当△COD绕点O顺时针旋转150°时，∠AOC＝150°，∴∠BOC＝360°﹣150°﹣90°＝120°，过点C作FC⊥BO交延长线于F，过点E作EG⊥BO交于G，∴∠OCF＝30°，∵OC＝2，∴OF＝1，CF＝，∵E是BC的中点，∴EG＝CF＝，GB＝GF，∴OA＝OB＝4，∴BF＝5，∴BG＝FG＝2.5，∴OG＝1.5，∴OE＝；如图4，当△COD绕O点逆时针旋转150°时，∠AOC＝150°，∴∠BOC＝60°，过点C作CF⊥BO交于F，过点E作EG⊥BO交于G，∴∠OCF＝30°，∵OC＝2，∴FO＝1，CF＝，∵E是BC的中点，∴GE＝CF＝，BG＝GF，∵OB＝AO＝4，∴BF＝3，∴BG＝FG＝，∴OG＝，综上所述：OE的长为或．12．（2023•天桥区二模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，点D 为平面内任意一点，将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接AE．（1）若点D为△ABC内部任意一点时．①如图1，判断线段AE与BD的数量关系并给出证明；②如图2，连接DE，当点E，D，B在同一直线上且BD＝2时，求线段CD的长；（2）如图3，直线AE与直线BD相交于点P，当AD＝AC时，延长AC到点F，使得CF＝AC，连接PF，请直接写出PF的取值范围．【答案】（1）①AE＝BD，理由见解析过程；②CD＝2；（2）2≤PF≤5+．【解答】解：（1）①AE＝BD，理由如下：∵将线段CD绕点C逆时针方向旋转90°得到线段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，∴∠ACE＝∠BCD，又∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD；②∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，∴AB＝BC＝2，∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD＝2，∴∠CAE+∠BAC+∠ABE＝∠CAB+∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠AEB＝90°，∴BE＝＝＝6，∴DE＝6﹣2＝4，∵CD＝CE，∠DCE＝90°，∴CD＝2；（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠E＝∠CDB，∠ACE＝∠DCB，∵∠BCD+∠CDB+∠CBD＝90°，∴∠CBD+∠E+∠BCD＝180°，∵∠E+∠EPB+∠PBC+∠BCD+∠ECD＝360°，∴∠EPB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上运动，∵AD＝AC，∴点P不能在劣弧BC上，如图3，取AB的中点O，过点O作OH⊥AF于H，当点O在线段PF上时，PF有最大值，点P在点C时，PF有最小值，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，，∴AB＝2，AO＝BO＝，∵OH⊥AC，BC⊥AC，∴OH∥BC，∴＝，∴CH＝AH＝OH＝，∴HF＝3，∴OF＝＝＝5，∴PF的最大值为5+，PF的最小值为2，∴2≤PF≤5+．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）13．（2023•钢城区二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB 所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋项A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为55°，房屋的顶层横梁EF＝12m，ET∥CB，AB交EF于点G （点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4）（1）求屋项到横梁的距离AG；（2）求房屋的高AB．【答案】（1）4.2米；（2）15.4米．【解答】解：（1）∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG＝EF，∠AEG＝∠ACB＝35°，在Rt△AGE中，∠AGE＝90°，∠AEG＝35°，∵tan∠AEG＝tan35°＝，EG＝6米，∴AG＝6×0.7＝4.2（米）；答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；（2）过E作EH⊥CB于H，设EH＝x米，在Rt△EDH中，∠EHD＝90°，∠EDH＝60°，∵tan∠EDH＝，∴DH＝，在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝35°，∵tan∠ECH＝，∴CH＝，∵CH﹣DH＝CD＝8米，∴﹣＝8，解得：x≈11.2，∴AB＝AG+BG＝11.2+4.2≈15.4（米），答：房屋的高AB约为15.4米．14．（2023•商河县二模）某市为实现5G网络全覆盖，2023——2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为l＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，基站塔与水平地面垂直，小明在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．【答案】（1）D处的竖直高度为5米；（2）米．【解答】解：（1）如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D 作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝，即＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D处的竖直高度为5米；（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴≈，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．。