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旋转型全等

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龙文学校-----您值得信赖的专业化个性辅导学校 教师： 学生： 时间： 年 月 日 段 一、授课目的与考点分析：旋转型全等

二、授课内容：基本图形：

【例1】如图，点C在线段BD上,△ABD与△ACE都为等边三角形,求∠BDE的度数. DECB

A

例1图 变式题1.如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点．求证：AEBD．

变式题2.已知A、C、B共线，△ACD和△BCE为等边三角形，直线BD、AE交与F，AE、CD相较于点M， BD、AE相较于点N。 ① 求证：AE=BD ② 求∠AFB的度数 ③ 求证：CM=CN ④ 求证：MN∥AB ⑤ CF平分AFB

ABC

D

E

NMFECD

AB龙文学校-----您值得信赖的专业化个性辅导学校 家长签字：

龙文学校教务处

变式题3.已知：如图①所示，在ABC△和ADE△中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点BAD，，在一条直线上，连接BECDMN，，，分别为BECD，的中点． （1）求证：①BECD；②AMN△是等腰三角形．

（2）在图①的基础上，将ADE△绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；

旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上，其功能还是把分散的条件集中。 三、 本次课后作业：

四、 学生对于本次课的评价： 特别满意 满意 一般 差 学生签字：

五、 教师评定： 1、学生上次作业评价： 好 较好 一般 差 2、学生本次上课情况评价： 好 较好 一般 差 教师签字：

C E N D A B M 图① C A E M B D

N

图② 第3题图 龙文学校-----您值得信赖的专业化个性辅导学校 【例2】如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．求证：AECG． GF

ED

C

B

AO

G

FE

DCB

A

变式1以△ABC的两边AB、AC为边向外作正方形ABDE、ACFG，求证：CE=BG，且CE⊥BG． 变式2．已知四边形ABCD，以此四边形的四条边为边向外分别作正方形，顺次连结这四个正方形的对角线交点E，

F，G，H，得到一个新四边形EFGH.

（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH （填“是”或“不是”）正方形； （2）如图2，若四边形ABCD是矩形，则（1）中的结论 （填“能”或“不能”）成立； （3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，其他条件不变， 判断（1）中的结论是否还成立？ 若成立，证明你的结论，若不成立，请说明你的理由.

【例3】如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且EAAF． 求证：DEBF．

FEDCBA FEDCB

A

CHFE

DBA

变式1.正方形ABCD的边长为1，点F在线段CD上运动，AE平分BAF交BC边于点E．求证：AFDFBE． 变式2.E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且45EAF∠，AHEF，H为垂足，求证：AHAB．

变式3(通州区一模)请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，90BAC，ABAC，点D、E分别为线段BC上两动点，若45DAE．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把AEC

绕点A顺时针旋转90，得到ABE，连结ED，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： ⑴ 猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明； ⑵ 当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论

ABCDEFGH图1 图2 图3 ADCB

HAEBFCGDH

FEG龙文学校-----您值得信赖的专业化个性辅导学校 是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图1A

BCDE

图2

ABCDE

变式4. 等腰直角三角形ABC中，90B∠，ABa，O为AC中点，EOOF．求证：BEBF为定值．

OBE

CF

A

【例4】如图所示，在四边形ABCD中，90ADCABC，ADCD，DPAB于P，若四边形ABCD 的面积是16，求DP的长．

PDCBA

FE

D

CB

A

变式1如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF＝BEFD; 变式2 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，证：EF＝BEFD;

FEDCB

A

EDC

B

A 变式3 如图所示，在五边形ABCDE中，90BE，ABCDAE1BCDE，求此五边形的面积． 龙文学校-----您值得信赖的专业化个性辅导学校 变式4如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?

NEBMA

D

变式5四边形ABCD中4515CADBADBDA30CDA求证三角形ABC为等边三角形 AC

BD

【例1】 (希望杯全国数学邀请赛初二第二试试题) 在五边形ABCDE中，已知ABAE，BCDECD，180ABCAED，连接AD．求证：AD平分CDE．

EDCBA FEDCB

A

【解析】 连接AC．由于ABAE，180ABCAED． 我们以A为中心，将ABC逆时针旋转到AEF的位置．因ABAE，所以B点与E点重合，而180AEFAEDABCAED， 所以D、E、F在一条直线上，C点旋转后落在点F的位置，且AFAC，EFBC． 所以DFDEEFDEBCCD． 在ACD与AFD中， 因为ACAF，CDFD，ADAD， 故ACD≌AFD， 因此ADCADF，即AD平分CDE． 龙文学校-----您值得信赖的专业化个性辅导学校 【例2】 (北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的MDN，点M、N分别在AB、AC上，求AMN

的周长．

NM

DCB

A

NMEDCBA 【解析】 如图所示，延长AC到E使CEBM．

在BDM与CDE中，因为BDCD，90MBDECD，BMCE， 所以BDMCDE≌，故MDED． 因为120BDC，60MDN，所以60BDMNDC． 又因为BDMCDE，所以60MDNEDN． 在MND与END中，DNDN，60MDNEDN，DMDE， 所以MNDEND≌，则NEMN，所以AMN的周长为2． 【备选1】 在等腰直角ABC中，90ACB，ACBC，M是AB的中点，点P从B出发向C运动，MQMP 交AC于点Q，试说明MPQ的形状和面积将如何变化． APMCQB A

PMCQB 【解析】 连接CM．因为ACBC且90ACB，所以45B． 因为M是AB的中点，所以90AMCBMC，45ACM且CMBM，则ACMB． 因为MQMP，所以90QMCCMPPMB，所以QCMPBM≌， 所以QMPM．因此MPQ是等腰直角三角形，在P的运动过程中形状不变． MPQ的面积与边MP的大小有关．当点P从B出发到BC中点时，面积由大变小； 当P是BC中点时，三角形的面积最小；P继续向点C运动时，面积又由小变大．

等边ABD和等边CBD的边长均为1，E是BEAD上异于AD、的任意一点，F是CD上一点，满足1AECF，当EF、移动时，试判断BEF的形状． 龙文学校-----您值得信赖的专业化个性辅导学校 D F

ECBA

【例3】 平面上三个正三角形ACF，ABD，BCE两两共只有一个顶点，求证：EF与CD平分． FEDBCA 【例4】 已知：如图，ABC、CDE、EHK都是等边三角形，且A、D、K共线，ADDK．求证：HBD

也是等边三角形．

E

KH

CDBA MA

B

D

C

HK

E

【解析】 连结EB，∵CECD，CEEA，BEAD， 所以BEAD，并且BE与AD的夹角为60， 延长EB交AK于M， 则360300EBHBHDHDEBEDHDMMDEMED 18018060180HDMMDEMEDHDMHDK．

又因为HKADBE，BHHD． 所以BEHDKH≌． 所以HKHE， EHDEHDDHKBHE．

【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AECFAB．

54321

O

HB

ED

KG

CF

A

合集下载

等边三角形中的旋转模型(全等和相似三角形的重要结论)

等边三角形中的旋转模型(全等和相似三角形的重要结论)

如图所示，在线段AE上取一动点C（C点不与A、E重合），在AE的同侧分别以AC、CE为边作等边 ABC，等边 DCE，连接AD、BE交于点O，BC与AD交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ和OC.结论1： ACD≌ BCE【解析】∵等边三角形ABC和等边三角形DCE∴AC=BC DC=CE ∠ACB=∠DCE=60°∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD =60°+∠BCD即∠ACD=∠BCE在 ACD和 BCE中AC BCACD BCEDC CE∴ ACD≌ BCE（SAS）结论2：∠ACB=∠BOA=∠DOE=60°、∠AOE=120°【解析】∵ ACD≌ BCE∴∠EBC=∠DAC∵∠EBC+∠BPO+∠BOP=180°∠DAC+∠CPA+∠BCA=180°∠BPO=∠CPA∴∠BCA=∠BOP=∠DOE=60°∴∠AOE=180°-∠BOA=120°结论3：OC平分∠AOE【解析】作CE⊥AD，CF⊥BE，垂足分别是E、F∵ ACD≌ BCES S∴AD=BEACD BCE∴CE=CF∴OC平分∠AOE（在角内部到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）结论4：∠AOC=∠EOC=60°【解析】∵OC平分∠AOE ∠AOE=120°∴∠AOC=∠EOC=60°结论5：∠OED=∠OAC【解析】∵∠DEC=∠DOE=60°∠DOE=∠OAC+∠OEA∴∠OED+∠OEA=∠OAC+∠OEA∴∠OED=∠OAC结论6： ACP≌ BCQ PCD≌ QCE【解析】∵∠BCQ=180°-∠ACB-∠DCE=60°∴∠ACB=∠BCQ∵ ACD≌ BCE∴∠DAC=∠EBC在 ACP≌ BCQ中AC BCACB BCQDAC EBC∴ ACP≌ BCQ（ASA）同理可证： PCD≌ QCE结论7：三角形PCQ是等边三角形【解析】∵ ACP≌ BCQ∴PC=QC∴三角形PCQ是等腰三角形∵∠PCQ=60°∴三角形PCQ是等边三角形结论8：PQ∥AE【解析】∵三角形PCQ是等边三角形∴∠CPQ=60°∴∠CPQ=∠ACB∴PQ∥AE结论9：∠OPC+∠OQC=180°O、P、C、Q四点共圆(对角互补的四边形的顶点共圆)【解析】在四边形OPCQ中，∠OPC+∠OQC=360°-（∠AOE+∠BCQ）=360°-（120°+60°）=180°A0：AO=BO+OC EO=OD+OC【解析】作OK=OC∵∠AOC=60°∴三角形OKC是等边三角形∴KC=OC∴∠ACK=∠BCO=60°-∠PCK在 ACK和 BCOAC BCACK BCOKC OC∴ ACK≌ BCO（SAS）∴AK=BO∴AO=AK+OK=BO+OC同理可证：EO=OD+OC【拓展探究】如图，已知C是线段AB上的一个动点（不与端点重合）,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE 于N.结论1:MN∥AB【解析】∵CD∥BE∴ NEB~ NCD∴NE EB CN DC∵AD∥CE∴ ADM~ ECM∴AD AM CD CE ME BE∴CN AM NE ME∴MN∥AB （平行线分线段成比例的推论）11AC BC【解析】∵ NEB~ NCD∴设NE NB EB m NC DN CD ∴NE=mCN,NB=mDN ∵ ADM~ ECM∴MC ME EC m DM AM AD ∴MC=mDM,ME=mAM ∵MN ∥AC MN ∥BC∴1MN NE mCN m AC NE CN mCN CN m 11MN DM DM BC DM MC mDM DM m ∴1111MN MN m AC BC m m ∴111MN AC BC 14MNAB 【解析】 ∵111BC AC MN AC BC AC BC ∴BC AC AC BC MN AC BC AB 设AC=x∴21111(AB )()244x MN x x AB AB AB AB AB。

6、全等模型汇总--陆老师

6、全等模型汇总--陆老师

全等模型汇总编辑：陆老师2023.10.15【模型解读】把△ABC沿着某一条直线l平行移动，所得到△DEF与△ABC称为平移型全等三角形，图①，图②是常见的平移型全等三角线.【常见模型】【模型解读】将原图形沿着某一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，这两个三角形称之为轴对称型全等三角形，此类图形中要注意期隐含条件，即公共边或公共角相等.【常见模型】【模型解读】将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形，识别旋转型三角形时，涉及对顶角相等、等角加（减）公共角的条件. 【常见模型】【模型解读】基本图形如下：此类图形通常告诉BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常见模型】【模型解读】模型主体为两个直角三角形，且两条斜边互相垂直。

【常见模型】将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

【模型图示】公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。

共顶点模型，亦称“手拉手模型”，是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合，两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。

寻找共顶点旋转模型的步骤如下： （1）寻找公共的顶点（2）列出两组相等的边或者对应成比例的边（3）将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。

两等边三角形 两等腰直角三角形 两任意等腰三角形 *常见结论：连接BD 、AE 交于点F ，连接CF ，则有以下结论： （1）BCD ACE ≅△△ （2）AE BD = （3）AFB DFE ∠=∠ （4）FC BFE ∠平分【常见模型】（等腰）（等边）（等腰直角）一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

专题 全等三角形六种基本模型(学生版)

专题 全等三角形六种基本模型(学生版)

专题全等三角形六种基本模型通用的解题思路：模型一：一线三等角模型一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。

或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：基本类型：同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”模型二：手拉手模型--旋转型全等一、等边三角形手拉手-出全等二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE(位置关系)且BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE；题型三：倍长中线模型构造全等三角形倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系(通常用“SAS”证明) (注：一般都是原题已经有中线时用)。

三角形一边的中线(与中点有关的线段)，或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线(线段)造全等在△ABC中AD是BC边中线延长AD到E，使DE=AD，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD题型四：平行线+线段中点构造全等模型题型五：等腰三角形中的半角模型过等腰三角形顶点两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

全等模型-手拉手模型--常见几何模型归纳(学生版)

全等模型-手拉手模型--常见几何模型归纳(学生版)

全等模型-手拉手模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(手拉手(旋转)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型(三角形)【模型解读】将两个三角形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手(即连结BD)，右手拉右手(即连结CE)，得△ABD≅△ACE。

【常见模型及证法】(等边)(等腰直角)(等腰)1(2022·北京东城·九年级期末)如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到AP ，连接PP ，BP ．(1)用等式表示BP 与CP的数量关系，并证明；(2)当∠BPC=120°时， ①直接写出∠P BP的度数为；②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．2(2022·黑龙江·中考真题)△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+ PB=PC(或PA+PC=PB)成立；请证明．(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．3(2023·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则∠C′BA的度数为()A.15°B.20°C.30°D.45°4(2022·青海·中考真题)两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：BD= CE；(2)解决问题：如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.图1 图25(2022秋·江苏·八年级期中)点D为△ABC外一点，∠ACB=90°，AC=BC．(1)如图1，∠DCE=90°，CD=CE，求证：∠ADC=∠BEC；(2)如图2，若∠CDB=45°，AE∥BD，CE⊥CD，求证：AE=BD；模型2.手拉手模型(正多边形型)【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点(即头)旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。