公式汇总：
三、均值和方差的置信区间估计 3.1 均值的估计 3.1.1 方差已知： 0~(0,1)/X Z N n μ
σ-=
， 00/2/2
,
σσ X z X z n n αα⎛
⎫
-+ ⎪⎝⎭
3.1.2 方差未知： ~(1)/X t t n S n μ
-=
-， /2
/2
,S S X t X t n n αα⎛
⎫
-+ ⎪⎝
⎭
3.2 方差的估计 3.2.1 均值已知： 略
3.2.2 均值未知：
/2222
1/22
(1)(1)(1)1n S P n n ααχχασ-⎧⎫--≤≤-=-⎨⎬⎩⎭， /2
222221/2(1)(1)(1)(1)n S n S n n αασχχ---≤≤-- 得到置信区间： /222221/2(1)(1),(1)(1)n S n S n n ααχχ-⎛⎫
-- ⎪ ⎪--⎝⎭
四、两个总体的置信区间 4.1 正太均值差12μμ-的区间估计 4.1.1 方差已知 2
111
~(,
)X N n σμ，
22
22
~(,
)Y N n σμ，
于是：2
212
121
2
~(,
)X Y N n n σσμμ--+
~(0,1)X Y N ，得到：
置信区间为：2X Y Z α⎛ -+ ⎝
4.1.2 方差未知
12T ~(2)X Y t n n =
+-
，2W
S =
得到：12(2)X Y t n n S α⎛-++- ⎝
4.2 正太总体方差的比22
12σ的置信区间估计
4.2.1 仅讨论均值未知的情况
22111222
22~(1,1)S F n n S σσ--，22
1112122122222(1,1)(1,1)1S P F n n F n n S αασασ-⎧⎫--<<--=-⎨⎬⎩⎭
得到：221122
221221212S S 11
,S (1,1)S (1,1)F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪ ⎪----⎝⎭
4.3 单侧置信区间
单侧下限：1
ˆ{}1P θθα≥=- 单侧上限：2
ˆ{}1P θθα≤=- 具体的，将双侧置信区间中的α/2改成α，然后下限就取区间左端，上限就取区间右端。
5 回归分析
5.1 线性回归方程以及相关系数r
1ˆ/xy xx L L β=，01
ˆˆy x ββ=- 其中：
2
2211
()n n
xx i i i i L x x x nx ===-=-∑∑
1
()()n
xy i i i L x x y y ==--=
∑1
n
i i
i x y nxy =-∑
2
221
1
()n n
yy i i i i L y y y ny ===-=-∑∑
相关系数：2xy
2
xx yy
l r =
l l
r 有如下性质： 1.1r ≤
2.1r =时，y 与x 有线性相关关系
3.0r =时，y 与x 线性无关
4.r 越大，线性关系越强
5.2 2σ的无偏估计
2ˆ2
e
Q n σ
=-，其中 1ˆe yy xy
Q L L β=-
5.3 对回归方程进行显著性检测 5.3.1 F 检测
假设：01:0,H β=11:0.H β≠
统计量：2
2
(2)2(~)1n S F S F n =--残
回
， 拒绝域：2
2
(2)(1,2)n S F F n S α-=>-残
回
，若在拒绝域内，则拒绝假设0H ，认为线性关系显著。 其中：22
2111
ˆˆˆ()=n
i
xx xy i S y
y L L ββ==
-=∑回
，2221ˆ=yy xy e S S S L L Q β=-=-回残总
5.3.2 t 检测
假设：01:0,H β=11:0.H β≠
拒绝域：/2(2)t t n α=
≥-，若在拒绝域内，则拒绝假设0H ，认为线性关系显著。 5.4 预测：给定x=x 0，给出置信水平，预测y ，求y 的置信区间 对应y
的置信区间为：0/2ˆ(2)y n α⎛⎫ ⎪±- ⎪⎝⎭
当n 较大时，简化为：()0/2ˆˆy
u ασ±
5.5 控制：当x 处于什么范围时，相应观测值y 至少以1-α的置信度落在（y1, y2）中。
解：1/210
1
ˆ(21))ˆ(x y n αββ--=+ 注意这里下限对应加，上限对应减
2/220
1
ˆ(21))ˆ(x y n αββ--=- 当n 较大时，简化为： 11/201
ˆˆ1()ˆu x y ασββ
-=+ 22/201
ˆˆ1()ˆu x y ασββ
-=
-
6 方差分析与正交实验设计
其中：s 表示因素A 有s 个水平，或者说有s 种选择。n j 表示水平j 有n j 个样本 总样本数：1
s
j j n n ==∑
组间差：2
2..111
()() j
n s
S
A j
j j j i J S X
X n X X ===--∑
∑∑＝＝
组内差：2E .1
1
S ()j
n s
ij
j j i X
X ===-∑
∑
组内平均值：.1
1
j
n j ij
i j
X X
n ==
∑
样本总平均值：.11
111j
n j
j
ij j j j i j X X n X n n ====∑
∑∑＝
