2015学年辽宁省大连二十中高一下学期期末数学试卷及参考答案(文科)
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2014-2015学年辽宁省大连二十中高一（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知sinα＞0，cosα＜0，则角α的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，1），则+2=（ ）
A．（0，5） B．（5，﹣1） C．（﹣1，3） D．（﹣3，4）
3．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
4．（5分）已知sinα=，则cos（α+）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
5．（5分）tan75°=（ ）
A．2+ B．1+ C． D．2﹣
6．（5分）若等比数列前n项和为Sn，且满足S3=S2+S1，则公比q等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，A=30°，则角B等于（ ）
A．60°或120° B．30°或150° C．60° D．120°
8．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣24，7） B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞） C．（﹣7，24） D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）
9．（5分）在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a9+a10+a11+a12的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
10．（5分）在△ABC中，∠A、B、C对边分别为a、b、c，A=60°，b=1，这个三角形的面积为，则a=（ ）
A．2 B． C．2 D．
11．（5分）设a＞0，b＞0且a+b=1则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．6
12．（5分）关于x的方程x2+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上，则a+b的取值范围为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（﹣，）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知非零向量，满足|+|=|﹣|，则＜，＞= ．
14．（5分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若a：b：c=7：8：13，则C= ．
15．（5分）已知等比数列{an}前n项的和为2n﹣1（n∈N+），则数列{a2n}前n项的和为 ．
16．（5分）已知数列{an}满足a1=32，an+1﹣an=n（n∈N+），则取最小值时n= ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）（Ⅰ）关于x的不等式mx2﹣（m+3）x﹣1＜0的解集为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）关于x的不等式x2+ax+b＞0的解集为{x|x＞2或x＜1}，求a，b的值．
18．（12分）已知α∈（，π），sinα+cosα=．
（Ⅰ） 求sinα﹣cosα的值；
（Ⅱ） 求sin（α+）的值．
19．（12分）某厂生产甲产品每吨需用原料A和原料B分别为2吨和3吨，生产乙产品每吨需用原料A和原料B分别为2吨和1吨．甲、乙产品每吨可获利润分别为3千元和2千元．现有12吨原料A，8吨原料B．问计划生产甲产品和乙产品各多少吨才能使利润总额达到最大．
20．（12分）已知△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，交BC于D，BD=2DC．
（Ⅰ）求AB：AC的值；
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠C．
21．（12分）已知数列{an}满足an+1=2an﹣1（n∈N+），a1=2．
（Ⅰ）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn（n∈N+）．
22．（12分）已知向量，满足=（﹣2sinx，（cosx+sinx）），=（cosx，cosx﹣sinx），函数f（x）=•（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）已知数列an=n2f（﹣）（n∈N+），求{an}的前2n项和S2n．
2014-2015学年辽宁省大连二十中高一（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知sinα＞0，cosα＜0，则角α的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵sinα＞0，
∴α为一、二象限角或α在y轴正半轴上，
∵cosα＜0，
∴α为二、三象限角α在x轴负半轴上，
∴α为第二象限角，
故选：B．
2．（5分）已知向量=（1，2），=（﹣2，1），则+2=（ ）
A．（0，5） B．（5，﹣1） C．（﹣1，3） D．（﹣3，4）
【解答】解：向量=（1，2），=（﹣2，1），
则+2=（1，2）+2（﹣2，1）=（﹣3，4）．
故选：D．
3．（5分）已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（ ）
A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【解答】解：∵等差数列{an}的公差d=2，a1，a3和a4成等比数列，
∴（a1+2d）2=a1•（a1+3d），
∴a1d+4d2=0，∴a1=﹣8，
故选：C．
4．（5分）已知sinα=，则cos（α+）=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【解答】解：∵sinα=，则cos（α+）=sinα=，
故选：C．
5．（5分）tan75°=（ ）
A．2+ B．1+ C． D．2﹣
【解答】解：tan75°=tan（45°+30°）===2+．
故选：A．
6．（5分）若等比数列前n项和为Sn，且满足S3=S2+S1，则公比q等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．不存在
【解答】解：∵S3=S2+S1，
∴a1+a2+a3=a1+a2+a1，
即a3=a1，
即，
则q=±1，
故选：C．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，A=30°，则角B等于（ ）
A．60°或120° B．30°或150° C．60° D．120°
【解答】解：∵△ABC中，a=1，b=，A=30°，
∴由正弦定理=得：sinB===，
∵a＜b，∴A＜B，
则B=60°或120°，
故选：A．
8．（5分）已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣24，7） B．（﹣∞，﹣24）∪（7，+∞） C．（﹣7，24） D．（﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）
【解答】解：∵点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，
∴（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，
化为（a+7）（a﹣24）＜0，
解得﹣7＜a＜24．
故选：C．
9．（5分）在等差数列{an}中，若S4=1，S8=4，则a9+a10+a11+a12的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【解答】解：由等差的求和公式可得，
∴a1=，d=
∴a9+a10+a11+a12=2（a9+a12）=2（2a1+19d）=2×（）=5
故选：B．
10．（5分）在△ABC中，∠A、B、C对边分别为a、b、c，A=60°，b=1，这个三角形的面积为，则a=（ ）
A．2 B． C．2 D．
【解答】解：在△ABC中，∵∠A=60°，b=1，S△ABC==，
∴c=4，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2b•c•cosA=17﹣2×4×1×=13，
解得a=；
故选：D．
11．（5分）设a＞0，b＞0且a+b=1则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．6
【解答】解：∵a＞0，b＞0且a+b=1，
∴=（a+b）=3+=3+2，当且仅当b=a=2﹣取等号．
∴的最小值是3+2．
故选：C．
12．（5分）关于x的方程x2+（a+2b）x+3a+b+1=0的两个实根分别在区间（﹣1，0）和（0，1）上，则a+b的取值范围为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，﹣） D．（﹣，）
【解答】解：令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得．
画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：
由求得点A（﹣，），
由，求得点C（﹣，﹣）．
当直线z=a+b经过点A时，z=a+b=；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=﹣，
故z=a+b的范围为（﹣，），
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知非零向量，满足|+|=|﹣|，则＜，＞= 90° ．
【解答】解：由两个向量的加减法的法则，以及其几何意义可得，|+|=|﹣|表示以 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，
因为|+|=|﹣|，所以此平行四边形的对角线相等，此平行四边形为矩形，所以＜，＞=90°，
故答案为：90°．
14．（5分）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，若a：b：c=7：8：13，则C= 120° ．
【解答】解：∵a：b：c=7：8：13，
∴设a=7x，b=8x，c=13x，（x＞0）．
由余弦定理可得：cosC===，
故C=120°，
故答案为：120°
15．（5分）已知等比数列{an}前n项的和为2n﹣1（n∈N+），则数列{a2n}前n项的和为
．
【解答】解：∵等比数列{an}前n项的和为2n﹣1（n∈N+），
∴a1=21﹣1=1
a1+a2=22﹣1=3，
∴a2=3﹣a1=3﹣1=2，
∴q==2，
从而数列{a2n}是以1为首项、4为公比的等比数列，
∴其前n项和为：=，
故答案为：．
