导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义
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导数及其应用.板块一.导数的概念与几何意义
1.函数的平均变化率:
一般地,已知函数()y f x =,0x ,1x 是其定义域内不同的两点,记10x x x ∆=-,
10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-,
则当0x ∆≠时,商00()()f x x f x y
x x
+∆-∆=
∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆(或00[,]x x x +∆)的平均变化率.
注:这里x ∆,y ∆可为正值,也可为负值.但0x ∆≠,y ∆可以为0.
2.函数的瞬时变化率、函数的导数:
设函数()y f x =在0x 附近有定义,当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时,函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-.
如果当x ∆趋近于0时,平均变化率00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆趋近于一个常数l (也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小,可以小于任意小的正数),那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率.
“当x ∆趋近于零时,00()()
f x x f x x
+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作:
“当0x ∆→时,00()()f x x f x l x +∆-→∆”,或记作“000()()
lim x f x x f x l x
∆→+∆-=∆”,
符号“→”读作“趋近于”. 函数在0x 的瞬时变化率,通常称为()f x 在0x x =处的导数,并记作0()f x '. 这时又称()f x 在0x x =处是可导的.于是上述变化过程,可以记作
“当0x ∆→时,000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()
lim ()x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆”.
3.可导与导函数:
如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的,则称()f x 在区间(,)a b 可导.这样,对开区间(,)a b 内每个值x ,都对应一个确定的导数()f x '.于是,在区间(,)a b 内,()f x '构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数.记为()f x '或y '(或x y ').
导函数通常简称为导数.如果不特别指明求某一点的导数,那么求导数指的就是求导函数.
4.导数的几何意义:
设函数()y f x =的图象如图所示.AB 为过点00(,())A x f x 与
00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线.由此割线的斜率是00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆,可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.当点B 沿曲线趋近于点A 时,割线AB 绕点A 转动,它的最终位置为直线AD ,这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线,即
000()()lim x f x x f x x
∆→+∆-=∆切线AD 的斜率. 由导数意义可知,曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '.
知识内容
题型一:极限与导数
【例1】
正三棱锥相邻两侧面所成的角为α,则α的取值范围是( )
A .(0180)︒︒,
B .(060)︒︒,
C .(6090)︒︒,
D .(60180)︒︒,
【例2】
在正n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( ) A .2ππn n -⎛⎫
⎪⎝⎭, B .1ππn n -⎛⎫ ⎪⎝⎭, C .π02⎛⎫ ⎪⎝⎭, D .21ππn n n n --⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
【例3】
对于任意π02ϕ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭,都有( )
A .sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ<<
B .sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ>>
C .sin(cos )cos cos(sin )ϕϕϕ<<
D .sin(sin )cos cos(sin )ϕϕϕ<<
【例4】
若0
()lim
1x f x x →=,则0(2)
lim x f x x →=________.
【例5】
若1
(1)lim
11x f x x →-=-,则1(22)lim 1
x f x x →-=-_______.
【例6】
设()f x 在0x 可导,则()()
000
3lim
x f x x f x x x
∆→+∆--∆∆等于( )
A .()02f x '
B .()0f x '
C .()03f x '
D .()04f x '
【例7】
若000(2)()
lim
13x f x x f x x ∆→+∆-=∆,则0()f x '等于( )
A .23
B .3
2
C .3
D .2
【例8】
设()f x 在x 处可导,a b ,
为非零常数,则0()()
lim x f x a x f x b x x
∆→+∆--∆=∆( )
. A .()f x ' B .()()a b f x '+ C .()()a b f x '- D .()f x '
【例9】
设(3)4f '=,则0
(3)(3)
lim
2h f h f h →--=( )
A .1-
B .2-
C .3-
D .1
【例10】 若()2f a '=,则当h 无限趋近于0时,
()()
2f a h f a h
--=______.
【例11】 已知函数2
()8f x x x =+,则0
(12)(1)
lim
x f x f x
∆→-∆-∆的值为 .
【例12】 已知1()f x x =
,则0(2)(2)lim x f x f x
∆→+∆-∆的值是( )
A .14-
B .2
C .1
4
D .2-
【例13】 若2
(1)(1)2f x f x x +-=+,则(1)f '=_______.
典例分析