高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案新人教A版选

3.1.1 空间向量及其加减运算 学习目标1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.

知识点一空间向量的概念 思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量. 梳理(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模. 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是

B，则向量a也可记作AB→，其模记为|a|或|AB→|.

(2)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a

相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

知识点二空间向量的加减运算及运算律 思考1下面给出了两个空间向量a、b，作出b＋a，b－a. 答案如图，空间中的两个向量a，b相加时，我们可以先把向量a，b平移到同一个平面α内，以任意点O为起点作OA→＝a，OB→＝b，则OC→＝OA→＋OB→＝a＋b，AB→＝OB→－OA→＝b－a.

思考2由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？

答案先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则. 梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算.

OB→＝OA→＋AB→＝a＋b，

CA→＝OA→－OC→＝a－b.

(2)空间向量加法交换律 a＋b＝b＋a，

空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c).

类型一有关空间向量的概念的理解 例1给出以下结论： ①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，

则a＝b；③在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1―→；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中不正确的个数是()

A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a，b满

足|a|＝|b|，则不一定能判断出a＝b，故②不正确；在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→

＝A1C1―→成立，故③正确；④显然正确.故选B. 反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.

跟踪训练1(1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列四对向量：①AB→与C1D1―→；②AC1→与BD1→；③AD1→与C1B→；④A1D→与B1C→.其中互为相反向量的有n对，则n等于()

A.1 B.2 C.3 D.4 答案B

解析对于①AB→与C1D1―→，③AD1→与C1B→长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC1→与BD1→长度相等，方向不相反；对于④A1D→与B1C→长度相等，方向相同.故互为相反向量的有2对. (2)如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？ ②试写出模为5的所有向量. ③试写出与向量AB→相等的所有向量. ④试写出向量AA′―→的所有相反向量. 解①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA′―→，A′A―→，BB′―→，B′B―→，CC′―→，C′C―→，DD′―→，D′D―→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向

量共有8个.

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD′―→，D′A―→，A′D―→，DA′―→，BC′―→，C′B―→，B′C―→，CB′―→.

③与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)有A′B′――→，DC→及D′C′――→. ④向量AA′―→的相反向量有A′A―→，B′B―→，C′C―→，D′D―→. 类型二空间向量的加减运算 例2如图，已知长方体ABCD－A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量.

(1)AA′―→－CB→； (2)AA′―→＋AB→＋B′C′――→. 解(1)AA′―→－CB→＝AA′―→－DA→＝AA′―→＋AD→＝AD′―→. (2)AA′―→＋AB→＋B′C′――→＝(AA′―→＋AB→)＋B′C′――→＝AB′―→＋B′C′――→＝AC′―→.向量AD′―→、AC′―→如图所示.

引申探究 利用例2题图，化简AA′―→＋A′B′――→＋B′C′――→＋C′A―→. 解结合加法运算

AA′―→＋A′B′――→＝AB′―→，AB′―→＋B′C′――→＝AC′―→，AC′―→＋C′A―→＝0.

故AA′―→＋A′B′――→＋B′C′――→＋C′A―→＝0. 反思与感悟(1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点

的向量，即A1A2―→＋A2A3―→＋A3A4―→＋…＋An－1An―――→＝A1An―→. (2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB→＋BC→＋CD→＋DE→＋EF→＋FG→＋GH→＋HO→＝0.

(3)空间向量的减法运算也可以看成是向量的加法运算，即a－b＝a＋(－b). (4)由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，而平面向量满足加法交换律，因此空间向量也满足加法交换律.

(5)空间向量加法结合律的证明：如图，(a＋b)＋c＝(OA→＋AB→)＋BC→＝OB→＋BC→＝OC→，a＋(b＋c)＝OA→＋(AB→＋BC→)＝OA→＋AC→＝OC→，

所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：AC→＋AB′―→＋AD′―→＝2AC′―→.

证明∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC→＝AB→＋AD→，AB′―→＝AB→＋AA′―→，AD′―→＝AD→＋AA′―→， ∴AC→＋AB′―→＋AD′―→＝(AB→＋AD→)＋(AB→＋AA′―→)＋(AD→＋AA′―→)＝2(AB→＋AD→＋AA′―→). 又∵AA′―→＝CC′―→，AD→＝BC→， ∴AB→＋AD→＋AA′―→＝AB→＋BC→＋CC′―→＝AC→＋CC′―→＝AC′―→. ∴AC→＋AB′―→＋AD′―→＝2AC′―→.

1.下列命题中，假命题是() A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.空间中任意两个单位向量必相等 答案D

2.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量AD→相等的向量共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案C

解析与AD→相等的向量有A1D1―→，BC→，B1C1―→，共3个. 3.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是() A.a＝b B.a＋b为实数0 C.a与b方向相同 D.|a|＝3 答案D 解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确. 4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：

①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1―→)＋D1C1―→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1―→；④(AA1→＋A1B1―→)＋B1C1―→.其中运算的结果为AC1→的有________个. 答案4 解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：

①(AB→＋BC→)＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→； ②(AA1→＋A1D1―→)＋D1C1―→＝AD1→＋D1C1―→＝AC1→； ③(AB→＋BB1→)＋B1C1―→＝AB1→＋B1C1―→＝AC1→； ④(AA1→＋A1B1―→)＋B1C1―→＝AB1→＋B1C1―→＝AC1→. 所以4个式子的运算结果都是AC1→. 5.化简2AB→＋2BC→＋3CD→＋3DA→＋AC→＝________. 答案0

解析2AB→＋2BC→＋3CD→＋3DA→＋AC→＝2AB→＋2BC→＋2CD→＋2DA→＋CD→＋DA→＋AC→＝0.

1.一些特殊向量的特性 (1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的. (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1. (3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量. 2.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.