4．2.1直线与圆的位置关系基础梳理直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断如下表所示：练习1：直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是相交．练习2：(1)直线x＋y＝0与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，－1)或(－1，1)，故直线与圆的位置关系为相交．(2)直线x＋y＝2与圆x2＋y2＝2联立求解知其解为(1，1)．故直线与圆的位置关系为相切．►思考应用如何求直线被圆所截得的弦长？解析：①应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系：r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22. ②利用弦长公式：设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2].自测自评1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是(B )A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离解析：圆心(0，0)到直线的距离为|1|12＋12＝12<1，且(0，0)不在直线y ＝x ＋1上，故选B .2．下列说法中正确的是(D )A ．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切B ．与半径垂直的直线与圆相切C ．过半径外端的直线与圆相切D ．过圆心且与切线垂直的直线过切点解析：A 为相交，B 、C 中的直线有无数条．3．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为(C )A ．2 2B .2－1C ．22－1D ．14．已知直线x ＝a(a>0)和圆(x －1)2＋y 2＝4相切，那么a 的值是(C )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：∵|a －1|＝2，又a>0，∴a ＝3.5．经过点M(2，1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为(C )A .2x ＋y －5＝0B .2x ＋y ＋5＝0C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：设过点M 的圆的切线上任一点的坐标为(x ，y)，∵点M(2，1)在圆x 2＋y 2＝5上，∴y －1x －2·1－02－0＝－1，即2x ＋y －5＝0.题型一 判断直线与圆的位置关系题型二 圆的切线方程题型三 直线与圆相交的问题题型四 直线与圆有关最值问题基础达标1．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(1，2)，则直线PQ 的方程是(B )A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＝0解析：结合圆的几何性质知直线PQ 过点A (1，2)，且和直线OA 垂直，故其方程为：y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0. 2．已知点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最大值是(D )A ．6B ．8C ．3－ 2D ．3＋ 2解析：直线AB 的方程是x －2 ＋y 2＝1，∣AB ∣＝22，则当△ABC 面积最大时，边AB 上的高即点C 到直线AB 的距离d 取最大值．又圆心M (1，0)，半径r ＝1，点M 到直线的距离为322，由圆的几何性质得d 的最大值是322＋1，所以△ABC 面积的最大值是12×22·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1＝3＋ 2. 3．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程是(D)A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0 解析：圆心为C (2，0)，则直线CP 的斜率为3－01－2＝－3，又切线与直线CP 垂直，故切线斜率为33，由点斜式得切线方程：y －3＝33(x －1)即x －3y ＋2＝0.4．过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为(A )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝05．已知圆C 的方程为：x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1，2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1，2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程．解析：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)， 则由|2－k |k 2＋1＝2得k 1＝0，k 2＝－43， 故所求的切线方程为y ＝2或4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d ，则23＝24－d 2，∴d ＝1，∴1＝|－k ＋2|k 2＋1，∴k ＝34， 此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1. 巩固提升6. 圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝17．若实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值为(D) A.12 B.33 C.32D. 3 解析：方程(x －2)2＋y 2＝3的曲线是以A (2，0)为圆心，以3为半径的圆，实数x ，y 是圆上的点P (x ，y )的坐标，而y x是直线OP 的斜率，由下图可知当点P 在第一象限且OP 为圆的切线时，k 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝3，y x ＝k ，得(1＋k 2)x 2＋1－4x ＝0， Δ＝12－4k 2＝0，有k ＝±3.∴k 最大即y x最大为 3.故选D. 8．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围是________．解析：曲线为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，表示单位圆的上半圆，由数形结合法，知1≤b < 2.答案：1≤b < 29．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R)．(1)求证：直线l 恒过定点；(2)判断直线l 与圆C 的位置关系；(3)当m ＝0时，求直线l 被圆C 截得的弦长．解析：(1)直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0.∵m ∈R ，∴⎩⎨⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (3，1)．(2)圆心C (1，2)，|AC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5<5，∴点A 在圆C 内．从而直线l 与圆C 相交(无论m 为何实数)．(3)当m ＝0时，直线l 的方程为x ＋y －4＝0，圆心C (1，2)到它的距离为d ＝|1＋2－4|12＋12＝12. ∴此时直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝225－12＝7 2.1．判断直线与圆的位置关系主要有以下两种方法．(1)判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组的解．有两解时，相交；有一解时，相切；无解时，相离；(2)判断圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系：当d <r 时，相交；当d ＝r 时，相切；当d >r 时，相离．2．设切线方程时，若设点斜式一定要注意斜率不存在的情况．3．直线与特殊圆相切，切线的求法．(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)若点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上，则切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；(3)斜率为k且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为：y＝kx±r1＋k2；斜率为k且与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切的切线方程的求法，可以设切线为y ＝kx＋m，然后变成一般式kx－y＋m＝0，利用圆心到切线的距离等于半径列出方程求m.。
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
4.2.1圆的一般方程一、复习提问，引入课题问题：求过三点(0,0)，(1.1)，(4,2)的圆的方程？【师生互动】学生在教师指导下展开小组讨论，回顾旧知识，最后得出运用圆的知识很难解决问题。
因为圆的标准方程很麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性。
于是老师提问，有没有其他的解决方法呢？带着这个问题我们共同研究圆的一般方程。
【辅助手段】：多媒体课件幻灯片展示问题。
二、探索研究，讲授新课 请同学们写出圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=、圆心(a ，b)、半径r把圆的标准方程展开，并整理:22222220x y ax by a b r +--++-= 取D=-2a E=-2b F=222a b r +-220x y Dx Ey F ++++=这个方程就是圆的方程.反过来给出一个形如220x y Dx Ey F ++++=的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把220x y Dx Ey F ++++=配方得： 222224()()224D E D E Fx y +-+++= 【师生互动】配方和展开由学生完成，教师最后展示结果。
问题：这个方程是不是表示圆？⑴当2224D E F +-﹥0时，方程表示以(-2D ，2E)为圆心，以22142D E F +-为半径的圆. ⑴以复习回顾的形式提出新难题，引出新课程，指出本节课的主要内容. ⑵质疑提问，小组讨论，提高了学生学习的兴趣.⑴学生动笔、思考，老师引导、启发，让学生学会独立分析问题，解决问题，初步体会数学的魅力.⑵引导学生自己探索寻找圆的一般方程在什么时候表示圆，形成分类讨论、等价转化等数学思想，培养学生思维的多样性、创造性，体验成功解决问题的喜悦.⑶通过对一个方程的讨论，得出圆的一般方程，并指出不是所有的方程都可以 表示圆。
使得学生的认识不断加深，同时一般方程则只需确定三个系数，而条件给出了三个坐标，不妨试着先写出圆的一般方程。
【教师讲解】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：2042200F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩即D=-8 E=6 F=O∴所求的方程为22860x y x y +-+=222142r D E F =+-=5、2D -=4、2E-=-3∴圆心坐标为(4,-3)或将220x y Dx Ey F ++++=化为圆的标准方程： 22(4)(3)25x y -++=【归纳总结】应用待定系数法的一般步骤 ⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程。
