直线与圆的方程的应用

4．2．3直线与圆的方程的应用主要概念：坐标法――建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题。

一、重点难点本节教材的教学重点是掌握直线和圆的方程在实际生活中的应用，以及用坐标法研究几何问题的基本思想。

难点是如何把一个实际问题转化为数学问题，即数学建模，以及在运用坐标法证明几何问题时，如何能根据具体问题灵活地建立适当的直角坐标系。

二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、题型介绍、思考交流三个板块组成。

第一板块问题提出解读直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用。

理解、掌握知识的最终目的在于应用，通过知识的应用，问题的解决，一方面可使学生亲身体验到学习数学的意义和作用，培养学生学习的自觉性；另一方面联系实际的目的就是为了更好地掌握基础知识，增加用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力。

第二板块题型介绍解读直线与圆的方程在实际生活以及平面几何中的应用通过介绍直线与圆的方程在实际生活中的应用，其目的在于让学生了解应用问题就是在已学数学知识的基础上，从实际问题出发，经过去粗取精、抽象概括，把实际问题抽象成数学问题，建立相应的数学模型。

让学生掌握解决实际问题的全过程，提高学生分析问题和解决问题的能力。

通过介绍直线与圆的方程在平面几何中的应用，其目的在于让学生了解坐标法的数学思想，掌握用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”，让学生从另一个角度再次体会“数形结合”的思想方法。

第三板块思考交流解读课本P.138例4中提出：如果不建立坐标系，你能解决这个问题吗？通过让学生思考和解答，试图让学生比较坐标法和几何法在解决这一问题时的优劣，从而发现坐标法在解决一些问题时的优越性。

数学来源于实际又服务于实际，新的课程标准越来越注意对学生在数学素养、数学能力方面的要求，要求学生能应用数学知识、观点、方法去处理实际问题，从而把数学的应用与大众生活紧密地结合起来，使数学教学更具有现实意义与教育意义。

直线与圆的方程的应用(提高)学习目标1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决代数问题；4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点【答案】圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【解析】以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A （―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km．若P地居民选择在A地购买此商品，则，整理得．即点P在圆的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【总结升华】利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）.【答案】【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以解得，.所以圆的方程为把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点【答案】直线CP过定点（0，―r）【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法．证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．令C（x0，y0），则D（―x0，―y0），∴P（―x0，―y0―2r）．∴直线CP的方程为．即 (y0+r)x―(y+r)x0=0．∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）．【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．【变式】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D 交于E、F，求证：EF平分CD．证明：令圆O方程为x2+y2=1．①EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．②①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．③③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，将H＇代入③式，得．即H＇在EF上，∴EF平分CD．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．【答案】【解析】如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0．过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，∴k AQ≤k QM≤k QB．又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得，即．∴的最大值为，最小值为．【总结升华】本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式．由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．答案与解析【答案】【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用4．设圆满足：（1）截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0的距离最小的圆的方程．【答案】(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2【解析】满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别是|b|和|a|．由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为∴r2=2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，∴r2=a2+1，从而2b2―a2=1．又∵P（a，b）到直线x―2y=0的距离为，∴5d2=|a―2b|2=a2+4b2―4ab=2(a―b)2+2b2―a2=2(a―b)2+1≥1，当且仅当a=b时取等号，此时．由，得或，∴r2=2．故所求的圆的方程为(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．【变式】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．【答案】3【解析】由得代入，化简得：5y2-20y+12+m=0，y1+y6=4，设的坐标分别为，，由可得：===0解得：析【答案与解析】1．【答案】B【解析】圆心C（2，3），，∴切线长．2．【答案】B【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）故选B．3．【答案】D【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，由圆的几何性质得d的最大值是，所以△ABC面积的最大值是．故选D．4．【答案】C【解析】结合圆的几何性质，得圆心C到直线的距离d满足1＜d＜3．所以．解得－17＜k＜－7或3＜k＜13．故选C．5．【答案】B【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为．6．【答案】B【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．7．【答案】B【解析】设点（x，y）与圆C1的圆心（―1，1）关于直线x―y―1=0对称，则，解得，从而可知圆C2的圆心为（2，―2），又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x―2)2+(y+2)2=1．8．【答案】B【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，有（Ⅰ）（最多4个公共点）；（Ⅱ）（最多2个公共点）；（Ⅲ）（最多2个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B．9．【答案】(x+1)2+y2=2【解析】根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于，故所求的圆的方程是(x+1)2+y2=2．10．【答案】2x―y=0【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．11．【答案】8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，．12．【答案】―1 x2+(y―1)2=1【解析】由题可知，又k1k PQ=―1k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．13．【答案】x2+y2―6x+2y―6=0【解析】设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2―4x―6+(x2+y2―4y―6)=0（≠―1），即，∴圆心坐标为．又∵圆心在直线x―y―4=0上，∴，即，∴所求圆的方程为x2+y2―6x+2y―6=0．14．【答案】（1） h后观测站受到影响，影响时间是 (2) M城 h后受到影响, 影响时间是【解析】（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，设BC=x，则．即，故．∴，故÷90≈，即约 h后观测站受到影响，影响时间是（h）.（2）而MA∥BC，∴M城比A气象观测站迟（h）受到影响，故M城 h后受到影响，影响的时间是 h．15．【答案】（1）最大值为，最小值为（2）最大值为51 ，最小值为11（3）最大值为，最小值为【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以x+y的最大值为，最小值为．。

直线与圆的方程的应用教学设计引言在中学数学中，直线与圆的方程是一个重要的知识点。

在实际生活中，我们经常会遇到直线与圆的方程的应用问题，例如确定一条直线与一个圆的交点、求两个圆的交点等。

本文将介绍一种应用教学设计，帮助学生理解直线与圆的方程，并能够灵活运用于实际问题中。

教学目标通过本教学设计，学生将能够： - 掌握直线与圆的方程的基本概念； - 理解直线与圆的方程的应用背景和实际意义； - 能够运用直线与圆的方程解决简单的实际问题。

教学内容1.直线与圆的方程的基本概念–直线的方程：一般式、斜截式、点斜式等；–圆的方程：标准式、一般式等；2.直线与圆的方程的应用背景和实际意义–实际问题的引入，例如求两条直线的交点、求直线与圆的交点等；–直线与圆的方程在实际问题中的应用，例如求圆的切线等；3.直线与圆的方程的解题方法与实例演练–通过解题演示，让学生理解和掌握直线与圆的方程的解题方法；–通过实例演练，让学生灵活运用直线与圆的方程解决实际问题。

教学步骤1.导入引导–展示一个实际问题，例如已知直线和圆的方程，求直线与圆的交点；–引导学生思考如何解决这个问题，激发学生学习的兴趣。

2.基本概念讲解–介绍直线和圆的方程的基本概念，并解释不同形式的方程的特点；–演示如何根据已知条件和方程求解未知量。

3.应用背景与实际意义–引导学生思考直线与圆的方程在实际问题中的应用背景和实际意义；–举例说明直线与圆的方程在几何图形的创作、建筑设计等方面的应用。

4.解题方法与实例演练–分步讲解解题方法，例如直线与圆的方程联立求交点的步骤；–通过实例演练，让学生跟随教师一起解题，巩固所学知识。

5.练习与巩固–给学生布置一些相关练习题，让学生独立完成；–教师巡回指导并批改学生的答案，让学生对所学知识进行巩固。

6.总结与拓展–对本节课所学内容进行总结，强调直线与圆的方程的重要性；–拓展引导，让学生思考其他几何图形的方程与实际应用。

教学评估1.课堂互动评价–教师观察学生的思考情况，评估学生对直线与圆的方程的理解程度；–提问学生解题思路，鼓励学生表达自己的观点和解题方法。

人教版中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的应用》教学设计 (一)人教版中职数学基础模块下册《直线与圆的方程的应用》教学设计一、教学目标1.学习直线的一般式方程和圆的标准式方程。

2.掌握直线与圆的方程的应用。

3.加深对直线和圆的认识，提高解决实际问题的能力。

二、教学重点1.掌握直线的一般式方程和圆的标准式方程。

2.理解直线与圆的方程的应用。

三、教学难点1.理解和应用直线与圆的方程。

2.解决实际问题时的思维方法和技巧。

四、教学过程1.引入（1）出示一些图形，引导学生认识直线和圆。

（2）出示一些实际问题，引导学生思考如何应用直线和圆的方程来解决问题。

2.教学主体（1）直线的一般式方程①导入难点：由点斜式方程推导一般式方程。

②讲解一般式方程的含义和用法。

③练习：给出直线的两点坐标，求解一般式方程。

（2）圆的标准式方程①导入难点：先讲解圆的标准式方程含义及其由中心点和半径推导。

②讲解圆的标准式方程的应用：求解圆心、半径，求解圆与直线的交点。

③练习：给出圆的半径和截距，求解圆心坐标和圆的方程。

（3）直线与圆的方程的应用①导入难点：从实际问题入手，如两个圆相交，求解交点坐标。

②讲解直线与圆的应用技巧，如如何求解直线和圆的交点等。

③练习：出示一些实际问题，引导学生用直线和圆的方程来解决问题。

3.总结总结本课时所学到的知识点和技巧，并强调应用技能的重要性。

五、教学辅助1.多媒体设备：投影仪。

2.教学课件：制作直线方程，制作圆方程。

3.题目练习：编写题目练习和解答。

六、教学评估1.课堂练习：课上出题，学生现场解答。

2.作业考核：留作业，检查学生课下巩固情况。

七、教学反思本课时教学重点难点在于理解和应用直线与圆的方程，在教学过程中需要通过举实际问题来引导学生思考，从而更好地理解和掌握相关知识和技能。

同时还需注意给学生提供充足的练习和检查，以巩固和提高学习效果。

数学直线与圆的方程应用的笔记一、直线的方程在数学中，直线是一类很重要的几何图形。

直线的方程是研究直线性质和运用直线的基本工具。

在平面直角坐标系中，可以通过不同的方法得到直线的方程。

1. 点斜式方程点斜式方程是直线方程的一种形式，表示为y - y1 = k(x - x1)。

其中，(x1, y1)是直线上的已知点，k为直线的斜率。

通过已知点和斜率就可以确定一条直线。

2. 截距式方程截距式方程是直线方程的另一种形式，表示为y = mx + b。

其中，m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

通过斜率和截距就可以确定一条直线。

二、圆的方程圆是平面上的一条曲线，具有一定的特点。

圆的方程是描述圆形状的数学式子，可以通过不同的方法得到圆的方程。

1. 标准方程标准方程是描述圆形状的最常见形式，表示为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。

其中，(a, b)是圆心的坐标，r为圆的半径。

通过圆心和半径就可以确定一个圆。

2. 参数方程参数方程是描述圆的另一种形式，表示为x = a + r * cos(t)和y = b + r * sin(t)。

其中，(a, b)是圆心的坐标，r为圆的半径，t为参数。

通过参数t的变化可以得到圆上的不同点。

三、应用示例直线和圆的方程在实际应用中有很广泛的应用。

以下是一些常见的应用示例：1. 几何问题直线和圆的方程可以用来解决几何问题，例如确定两条直线的交点、判断点是否在圆内等。

通过方程的计算，可以得到几何图形的具体性质和关系。

2. 物理问题直线和圆的方程也常常被应用于物理问题的求解中。

例如，通过直线的斜率可以求解物体的运动速度和加速度等。

通过圆的方程可以描述物体的运动轨迹等。

3. 工程问题直线和圆的方程在工程问题中也有很多应用。

例如，通过方程可以确定两条线之间的夹角，用于机械设备的设置和调整。

通过圆的方程可以确定圆形零件的尺寸等。

结论直线和圆的方程是数学中的重要概念，可以应用于各种实际问题中。

直线与圆的方程的应用教学设计教学目标：1.知识目标：掌握直线与圆的方程的应用，能够正确推导出直线与圆的交点坐标和直线是否与圆相交的判断。

2.能力目标：培养学生运用直线与圆的方程解决实际问题的能力。

3.情感目标：培养学生合作探究、独立思考的态度和习惯。

教学重点：理解直线与圆交点坐标的推导过程，掌握对应方法与技巧。

教学难点：利用直线与圆的方程解决实际问题。

教学过程：一、导入（5分钟）通过展示一个例子，引出问题：“给定一个圆和一条直线，如何确定它们的交点的坐标？”二、知识讲解（15分钟）1.提要求：教师依次向学生提问，引导学生思考求解交点坐标的问题。

-如何找到直线与圆的交点？-如何确定直线与圆是否相交？2.教师讲解：教师介绍直线与圆的方程及其应用，并讲解求解直线与圆交点坐标的步骤。

- 直线方程：y = kx + b-圆方程：(x-a)²+(y-b)²=r²-求解交点坐标：联立直线方程和圆方程，解方程组得到交点坐标。

-判断直线与圆是否相交：将直线方程代入圆方程，判断是否有实数解，若有则相交，若无则不相交。

3.导入问题解决：教师给出具体的例题，引导学生利用所学知识求解交点坐标。

三、示范演练（20分钟）1.教师示范演练：教师选取一道典型的例题，结合黑板和投影仪，演示如何通过解方程组求解交点坐标。

2.学生模仿演练：学生在纸上模仿教师的示范演练，逐步求解其他例题。

教师及时指导和纠正。

四、合作探究（20分钟）1.学生小组活动：将学生分为小组，每个小组选择一道直线与圆的问题，并自主解决。

学生之间可以互相讨论、合作，但每个学生需独立写出解题过程和答案。

2.小组汇报：每个小组派一名代表进行汇报，其他小组可以提问和讨论。

教师在汇报过程中及时指导、点评和纠正，引导学生探讨和总结在实际问题中应用直线与圆方程的方法。

五、拓展延伸（15分钟）1.学生自主拓展：学生自选一个与直线与圆相关的问题，并通过求解方程组来解决问题。

直线与圆的方程的应用教案教案主题：直线与圆的方程的应用教案目标：1.了解直线和圆的方程的基本形式及意义。

2.掌握直线与圆的方程的应用，包括求直线与圆的交点、条件判断等。

3.能够运用直线与圆的方程解决实际问题。

教学内容：1.直线方程的基本形式与意义a.直线方程的一般形式：Ax+By+C=0b. 直线方程的斜截式：y = kx + b，斜率k和截距b的意义c.直线方程的点斜式：y-y₁=k(x-x₁)，点斜式与斜截式的转换2.圆的方程的基本形式与意义a.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心坐标为(a,b)、半径为rb.圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，圆心坐标为(-D/2,-E/2)、半径为√(D²+E²-4F)/23.直线与圆的交点的求解a.直线与圆联立方程求解：将直线方程代入圆的方程，得到二次方程，求解交点坐标。

4.条件判断a.判断直线和圆的关系：联立直线方程和圆的方程，判断二次方程的解情况。

b.判断直线是否与圆相切、相交或相离。

5.应用实例分析与解决a.实际问题的建模：将实际问题转化为直线与圆的方程，并解决问题。

b.计算过程的解释：解释每一步的计算过程，以增强学生对于问题求解思路的理解。

教学步骤：导入与引导：1.出示一个直线和一个圆的图形，询问学生如何表示直线和圆的方程。

2.引导学生回顾直线方程的三种形式和圆的两种形式，并讲解各个形式的意义。

知识讲解与归纳：3.讲解直线方程的一般形式、斜截式和点斜式的含义，并分别以实例进行演示。

4.讲解圆的标准方程和一般方程的含义，并以实例进行演示。

知识运用与练习：5.分组进行讨论，给出一个直线方程和一个圆的方程，要求求解直线与圆的交点。

6.学生自主运用直线与圆的方程进行计算，掌握求解直线与圆交点的方法。

7.组织学生进行条件判断练习，判断直线与圆的关系（相切、相交、相离）。

直线与圆的方程应用举例教案引言直线与圆是高中数学中常见的几何概念，它们在现实生活中有着广泛的应用。

本教案将通过一些具体的实例，帮助学生更好地理解直线与圆的方程，并学习如何应用这些知识解决实际问题。

例题1：判断点在直线上的方法问题描述在直角坐标系中，给定直线的方程为2x−3y=6，判断点P(4,−2)是否在直线上。

解题思路要判断点是否在直线上，可以将点的坐标代入直线的方程，若等式成立，则点在直线上。

具体步骤如下：1.将点的坐标代入直线的方程：$2 \\cdot 4 - 3 \\cdot (-2) = 6$。

2.计算等式左边的值：8+6=14。

3.判断等式是否成立：14=14，因此点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。

结论点P(4,−2)在直线2x−3y=6上。

例题2：求直线与圆的交点问题描述在直角坐标系中，给定圆的方程为x2+y2=25，直线的方程为y=2x+1，求直线与圆的交点。

解题思路要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，求解方程组得到交点的坐标。

具体步骤如下：1.将直线的方程代入圆的方程：x2+(2x+1)2=25。

2.化简方程：x2+4x2+4x+1=25。

3.组合同类项：5x2+4x−24=0。

4.求解方程：可以使用因式分解或二次方程公式求解方程5x2+4x−24=0，得到x1=2和x2=−2.4。

5.将x的值代入直线的方程，求解y的值：$y = 2 \\cdot 2 + 1 = 5$ 和$y = 2 \\cdot (-2.4) + 1 = -3.8$。

6.得到两个交点的坐标：交点1为P1(2,5)，交点2为P2(−2.4,−3.8)。

结论直线y=2x+1与圆x2+y2=25相交于两个点，分别为点P1(2,5)和P2(−2.4,−3.8)。

例题3：利用圆的方程求解实际问题问题描述一个游乐场的中央有一座圆形喷泉，喷泉周围有一圈供游客休息坐椅的位置。

已知坐椅到喷泉的距离为10米，并且坐椅到喷泉的连线垂直于坐椅到游乐场中心的半径。

直线与圆的方程的实际应用教案一、教学目标1.了解直线和圆在实际应用中的重要性；2.掌握直线和圆的方程的概念和求解方法；3.能够应用直线和圆的方程解决实际问题。

二、教学准备1.教学课件；2.教学黑板和彩色粉笔。

三、教学过程1. 引入教师通过举例引入直线和圆在实际生活中的应用，如建筑设计中的直线和圆形柱体、计算机图形学中的直线和圆形绘制等。

并强调直线和圆在数学中的重要性和实际意义。

2. 直线的方程（1）一般形式教师从黑板上引入直线的一般形式：Ax + By + C = 0，并解释直线方程中的A、B、C的含义。

用几个具体的例子演示如何根据已知条件确定直线方程，并进行讲解。

（2）斜截式教师从黑板上引入直线的斜截式方程：y = kx + b，并解释斜截式方程中的k和b的含义。

通过几个具体的例子演示如何根据已知条件确定直线方程，并进行讲解。

（3）截距式教师从黑板上引入直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，并解释截距式方程中的a 和b的含义。

通过几个具体的例子演示如何根据已知条件确定直线方程，并进行讲解。

3. 圆的方程（1）一般形式教师从黑板上引入圆的一般形式：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，并解释圆方程中的坐标(h, k)和半径r的含义。

通过几个具体的例子演示如何根据已知条件确定圆方程，并进行讲解。

（2）标准形式教师从黑板上引入圆的标准形式方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2，并解释标准形式方程中的坐标(a, b)和半径R的含义。

通过几个具体的例子演示如何根据已知条件确定圆方程，并进行讲解。

4. 实际应用教师通过实际问题的引导，如求解直线和圆的交点、判断一个点是否在直线或圆上等，让学生应用所学知识解决问题。

引导学生分析问题，提供思路，并指导学生如何建立、求解方程。

5. 总结教师对本节课所学内容进行总结，并提醒学生复习巩固知识。

四、课堂练习布置课堂练习题，要求学生应用所学知识解决实际问题，巩固所学内容。

第2课时直线与圆的方程的应用学习任务核心素养1.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(重点)2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．(难点) 通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养.有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？如何才能正确地解决上述问题？知识点用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是() A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随建立直角坐标系的变化而变化D[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．]类型1 直线与圆的方程的实际应用【例1】 (对接教材P 93例题)某圆拱桥的水面跨度为20 m ，拱高为4 m ．现有一船，宽10 m ，水面以上高3 m ，这条船能否从桥下通过？[解] 建立如图所示的坐标系，使圆心C 在y 轴上．依题意，有A (－10,0)，B (10,0)，P (0,4)，D (－5,0)，E (5,0)．设这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 102＋b 2＝r 2，02＋(b －4)2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5， 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)．把点D 的横坐标x ＝－5代入上式，得y ≈3.1.由于船在水面以上高3 m,3<3.1，所以该船可以从桥下通过．试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤．[提示] (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知；(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． [跟进训练]1．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________小时．1 [如图，以A 地为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内MN 之间(含端点)为危险区，取MN 的中点E ，连接BE ，BN ，BM ，则BE ⊥MN ，BN ＝BM ，△ABE 为等腰直角三角形，因为AB＝40，所以BE ＝202km ，在Rt △BEN 中，NE ＝BN 2－BE 2＝10，则|MN |＝20，所以时间为1 h ．]类型2 直线与圆的综合性问题【例2】 (1)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋2C ．1＋22D ．1＋2 2(2)已知圆M 与直线x ＝2相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，且直线x －y －2＝0被圆M 截得的弦长为22，则圆的方程为________．(1)B (2)x 2＋y 2＝4 [(1)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1,1)，半径为1.所以圆心(1,1)到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2， 则所求距离的最大值为1＋ 2.(2)因为圆心在直线x ＋y ＝0上，所以设圆心M (a ，－a )，因为圆M 与直线x ＝2相切，且直线x －y －2＝0被圆M 截得的弦长为22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝|a －2|，2|a －1|2＝r 2－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，r ＝2，所以圆的方程为x 2＋y 2＝4.]已知直线和圆的位置关系求圆的方程已知直线与圆的位置关系求圆的方程时，可将位置关系中的等量关系作为确定圆心和半径或圆的方程中待定系数的已知条件，从而求解出圆的方程．基本步骤为：设所求圆的方程→根据已知位置关系或数量关系建立方程→解出参数并检验→确定圆的方程． [跟进训练] 2．(1)M 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，则点M 到直线l ：3x －4y －10＝0的距离的最大值为________．(2)一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 被圆所截得的弦长为27，则此圆的方程为________．(1)3 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9[(1)圆x 2＋y 2＝1的圆心O (0,0)到直线3x －4y －10＝0的距离为d ＝|0－0－10|32＋(－4)2＝2，又圆的半径r ＝1，故M 点到直线l 的最大距离为d ＋r ＝2＋1＝3.(2)因为圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y ＝0上，所以设圆心坐标为(3b ，b )，圆的半径为3|b |，故圆的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2.又因为直线y ＝x 被圆所截得的弦长为27，所以⎝⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2，解得b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.]类型3 与圆有关的最值问题【例3】 已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求y x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值；(3)求x ＋y 的最大值与最小值．式子y －b x －a，(x －a )2＋(y －b )2，t ＝ax ＋by 各有什么几何意义？根据几何意义，能否求各式的最值？[解] 方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4.(1)y x 表示圆上的点P 与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径长，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k＝9±2145，所以y x 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145.(2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，式子取得最大值或最小值．如图(2)，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．此时圆心C (3,3)到切线x ＋y ＝b 的距离等于圆的半径长2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|6－b |＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y 的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.(1)(2)(3)与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法(1)形如t＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值；(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如t＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．[跟进训练]3．已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]方程(x－2)2＋y2＝3表示以点(2,0)为圆心．(1)3为半径的圆，设yx＝k，即y－kx＝0，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.故yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)设y－x＝b，即x－y＋b＝0，当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|12＋(－1)2＝3，即b＝－2±6.故y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在过原点和圆心的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋3)2＝7＋43，(x2＋y2)min＝(2－3)2＝7－4 3.1．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A．2B．3C．1D．3A[由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.]2．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A．2.4米B．3.5米C．3.6米D．2.0米B[以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．]3．已知圆C与直线y＝x及x－y－4＝0都相切，圆心在直线y＝－x上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2D [由题意可设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，所以圆心坐标为(1，－1)，又|4|2＝2r ，所以r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，故选D ．]4．已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0，则y －x 的最小值是________．－2 [方程x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1，令y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，b 是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的纵截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，b 取得最大值和最小值，又圆心(2,2)则|2－2＋b |2＝1，即|b |＝2，∴b ＝±2，因此y －x 的最小值为－ 2.]5．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过点A 与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．254[∵点A (1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，∴过点A 与圆O 相切的切线方程为x ＋2y ＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.]回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)用直线和圆的方程解决实际问题的步骤是什么？[提示](2)与圆有关的最值问题有哪些类型？[提示] ①形如u ＝y －b x －a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． ②形如t ＝ax ＋by 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题． ③形如(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．。

直线与圆的位置关系的应用问题为了解直线与圆的位置关系的应用问题，我们首先需要掌握直线与圆的基本性质和定义。

直线是由无限多点连成的一条无宽度的路径，而圆是由中心点和半径确定的，周围的所有点到中心点的距离都相等。

在解决直线与圆的位置关系的应用问题时，我们常常会遇到以下几种情况：直线与圆相交，直线在圆内或圆外切，直线与圆相切。

在接下来的讨论中，我们将会具体分析这几种情况并且给出相关的例题。

情况一：直线与圆相交当直线与圆有两个交点时，我们可以利用勾股定理和圆的性质来求解。

假设直线的方程为y = kx + b，圆的方程为(x - m)^2 + (y - n)^2 =r^2。

我们可以将直线方程带入圆的方程，然后解方程组得到交点坐标。

通过计算交点的坐标，我们可以得到直线与圆的位置关系以及两个交点的具体位置。

情况二：直线在圆内或圆外切当直线与圆相切时，我们可以利用距离公式来求解。

首先，我们找到圆心到直线的距离，并与圆的半径进行比较。

如果圆心到直线的距离与半径相等，则直线在圆上；如果圆心到直线的距离大于半径，则直线在圆外；如果圆心到直线的距离小于半径，则直线在圆内。

情况三：直线与圆相切当直线与圆相切时，我们可以利用切线的性质来求解。

切线与圆相切于一点，且与该点的切线垂直。

我们可以利用切线的斜率与圆心到该点的连线的斜率乘积为-1来求解切点的坐标。

通过计算切点的坐标，我们可以得到直线与圆的位置关系以及切点的具体位置。

下面我们通过两个具体的例题来进一步说明直线与圆的位置关系的应用问题。

例题一：已知直线y = 2x + 1与圆(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4相交，求交点的坐标。

解：将直线方程y = 2x + 1代入圆的方程(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，得到(x - 2)^2 + (2x + 1 - 3)^2 = 4。

展开并化简方程，得到5x^2 + 8x + 12 = 0。

解这个二次方程，可得到两个交点的x坐标为-1和-2。

直线方程与圆的方程应用举例教案引言在数学中，直线和圆是常见的几何图形。

直线通过两个点来确定，而圆则由一个中心点和半径来确定。

直线方程和圆方程是描述这两类图形的重要工具。

本教案将通过一些具体的应用举例，帮助学生理解和应用直线方程与圆的方程。

一、直线方程应用举例1. 汽车行驶问题假设一辆汽车的初始位置是坐标原点 (0, 0)，车辆以速度 v 向着 x 轴正方向行驶。

现在要求学生根据这些信息来推导出汽车的运动方程。

解答思路：汽车在 x 轴上的位置可以用直线方程 y = 0x + 0 表示，其中斜率为0，截距为 0。

由于速度 v 表示的是单位时间内汽车在 x 轴上的移动距离，所以坐标点 (x, y) 表示汽车的位置可以表示为 (x, y) = (vt, 0)，其中 t 表示时间。

2. 电费问题某市居住用电计费采用两阶梯计费，每月电量低于200度的部分电费按0.5元/度计算，超过200度的部分电费按0.8元/度计算。

假设一个家庭每月用电量为 x 度，要求学生根据这些信息来推导计费公式。

解答思路：当用电量低于200度时，电费总额为 0.5x；当用电量超过200度时，电费总额为 0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200)。

综合起来，可以得到计费公式为：电费总额 =\\begin{cases}0.5x, & \\text{if } x \\leq 200 \\\\0.5 * 200 + 0.8 * (x - 200), & \\text{if } x > 200\\end{cases}二、圆的方程应用举例1. 池塘中的青蛙一个半径为10 米的圆形池塘中有一只青蛙。

青蛙可以跳跃的最大距离为r 米，要求学生根据这些信息来判断青蛙是否能够跳出池塘。

解答思路：青蛙能够跳出池塘的条件是能够找到一条直线，其长度大于圆的半径。

根据勾股定理，直线的长度可以用直角三角形的两条边的平方和的开根号表示。