直线与圆的方程在实际生活中的应用

直线与圆的方程的应用(提高)学习目标1．能利用直线与圆的方程解决有关的几何问题；2．能利用直线与圆的方程解决有关的实际问题；3．进一步体会、感悟坐标法在解决有关问题时的作用．要点梳理要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤1．从实际问题中提炼几何图形；2．建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面问题转化为代数问题；3．通过代数运算，解决代数问题；4．将结果“翻译”成几何结论并作答．要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲”用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算；最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”.第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.要点诠释：坐标法的实质就是借助于点的坐标，运用解析工具(即有关公式)将平面图形的若干性质翻译成若干数量关系.在这里，代数是工具、是方法，这是笛卡儿解析几何的精髓所在.要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点1．建立直角坐标系时不能随便，应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系；2．在实际问题中，有些量具有一定的条件，转化成代数问题时要注意范围；3．最后要把代数结果转化成几何结论．典型例题类型一：直线与圆的方程的实际应用1．有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A、B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点【答案】圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【解析】以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如下图所示．设A （―5，0），则B（5，0）．在坐标平面内任取一点P（x，y），设从A地运货到P地的运费为2a元／km，则从B地运货到P地的运费为a元／km．若P地居民选择在A地购买此商品，则，整理得．即点P在圆的内部．也就是说，圆C内的居民应在A地购物．同理可推得圆C外的居民应在B地购物．圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物．【总结升华】利用直线与圆的方程解决实际问题的程序是：（1）认真审题，明确题意；（2）建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型；（3）利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；（4）把代数结果还原为对实际问题的解释．在实际问题中，遇到直线与圆的问题，利用坐标法比用平面几何及纯三角的方法解决有时要简捷些，其关键在于建立适当的直角坐标系．建立适当的直角坐标系应遵循三点：（1）若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴；（2）常选特殊点作为直角坐标系的原点；（3）尽量使已知点位于坐标轴上．建立适当的直角坐标系，会简化运算过程．要想学会建立适当的直角坐标系，必须靠平时经验的积累．【变式1】如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需要用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到）.【答案】【解析】建立坐标系如图所示.圆心的坐标是(0，ｂ)，圆的半径是ｒ，那么圆的方程是：因为P(0,4)、B(10,0)都在圆上，所以解得，.所以圆的方程为把代入圆的方程得，所以,即支柱的高度约为.【变式2】某市气象台测得今年第三号台风中心在其正东300 km处，以40 km/h的速度向西偏北30°方向移动.据测定，距台风中心250 km的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间.(精确到分钟)【答案】90分钟 10 h【解析】利用坐标法来求解.如图，不妨先建立直角坐标系xOy，其中圆A的半径为250 km，过B(300，0)作倾斜角为150°的直线交圆于点C、D，则该市受台风影响的起始与终结时间分别为C开始至D结束，然后利用圆的有关知识进行求解.以该市所在位置A为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，开始时台风中心在B(300，0)处，台风中心沿倾斜角为150°方向的直线移动，其轨迹方程为y=(x-300)(x≤300).该市受台风影响时，台风中心在圆x2+y2=2502内，设射线与圆交于C、D，则CA=AD=250，∴台风中心到达C点时，开始影响该市，中心移至D点时，影响结束，作AH⊥CD于H，则AH=AB·sin30°=150，HB=，CH=HD==200，∴BC=-200，则该市受台风影响的起始时间t1=≈(h)，即约90分钟后台风影响该市，台风影响的持续时间t2==10(h)即台风对该市的影响持续时间为10 h.【总结升华】应用问题首先要搞清题意，最好是画图分析，运用坐标法求解，首先要建立适当的坐标系，设出点的坐标.还要搞清里面叙述的术语的含义.构造圆的方程进行解题(如求函数的最值问题)时，必须充分联想其几何意义，也就是由数思形.如方程y=1+表示以(0，1)为圆心，1为半径的上半圆，表示原点与曲线f(x，y)=0上动点连线的斜率.类型二：直线与圆的方程在平面几何中的应用2．AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P使|PD|=|AB|，求证：直线CP必过一定点【答案】直线CP过定点（0，―r）【解析】建立适当的直角坐标系，得到直线CP的方程，然后探讨其过定点，此时要联想证明曲线过定点的方法．证明：以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如下图．设圆的方程为x2+y2=r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD．令C（x0，y0），则D（―x0，―y0），∴P（―x0，―y0―2r）．∴直线CP的方程为．即 (y0+r)x―(y+r)x0=0．∴直线CP过直线：x=0，y+r=0的交点（0，―r），即直线CP过定点（0，―r）．【总结升华】利用直线与方程解决平面几何问题时，要充分利用圆的方程、直线和圆的位置关系、圆与圆的位置关系等有关知识，正确使用坐标方法，使实际问题转化为代数问题，然后通过代数运算解决代数问题，最后解释代数运算结果的实际含义．【变式】如图，在圆O上任取C点为圆心，作一圆与圆O的直径AB相切于D，圆C与圆D 交于E、F，求证：EF平分CD．证明：令圆O方程为x2+y2=1．①EF与CD相交于H，令C（x1，y1），则可得圆C的方程(x－x1)+(y－y1)2=y12，即x2+y2－2x1x－2y1y+x12=0．②①－②得2x1x+2y1y－1－x12=0．③③式就是直线EF的方程，设CD的中点为H＇，其坐标为，将H＇代入③式，得．即H＇在EF上，∴EF平分CD．类型三：直线与圆的方程在代数中的应用3．已知实数x、y满足x2+y2+4x+3=0，求的最大值与最小值．【答案】【解析】如图所示，设M（x，y），则点M在圆O：(x+2)2+y2=1上．令Q（1，2），则设，即kx―y―k+2=0．过Q作圆O1的两条切线QA、QB，则直线QM夹在两切线QA、QB之间，∴k AQ≤k QM≤k QB．又由O1到直线kx―y―k+2=0的距离为1，得，即．∴的最大值为，最小值为．【总结升华】本例中利用图形的形象直观性，使代数问题得以简捷地解决，如何由“数”联想到“形”呢关键是抓住“数”中的某些结构特征，联想到解析几何中的某些方程、公式，从而挖掘出“数”的几何意义，实现“数”向“形”的转化．本例中由方程联想得到圆，由等联想到斜率公式．由此可知，利用直线与圆的方程解决代数问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的形象直观性来分析解决问题，也就是数形结合思想方法的灵活运用．涉及与圆有关的最值问题，可借助图形性质利用数形结合求解，一般地：（1）形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；（3）形如d=(x－a)2+(y－b)2形式的最值问题，可转化为到定点P（a，b）距离的平方的最值问题．【变式】设函数和，已知当x∈[－4，0]时，恒有，求实数a的取值范围．答案与解析【答案】【解析】因为，所以，即，分别画出和的草图，利用数形结合法，当直线与半圆相切时取到最大值，由圆心到直线的距离为2，求出，即得答案．类型四：直线与圆的方程的综合应用4．设圆满足：（1）截y轴所得的弦长为2；（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线：x―2y=0的距离最小的圆的方程．【答案】(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2【解析】满足题设中两个条件的圆有无数个，但所求的圆须满足圆心到直线的距离最小．这样须通过求最小值的方法找出符合题意的圆的圆心坐标．设圆心为P（a，b），半径为r，则P点到x轴、y轴的距离分别是|b|和|a|．由题设知：圆P截y轴所得劣弧对的圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为∴r2=2b2．又圆P截y轴所得的弦长为2，∴r2=a2+1，从而2b2―a2=1．又∵P（a，b）到直线x―2y=0的距离为，∴5d2=|a―2b|2=a2+4b2―4ab=2(a―b)2+2b2―a2=2(a―b)2+1≥1，当且仅当a=b时取等号，此时．由，得或，∴r2=2．故所求的圆的方程为(x―1)2+(y―1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2．【总结升华】解决直线与圆的综合问题，一方面，我们要注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面由于直线与圆和平面几何联系得十分紧密（其中直线与三角形、四边形紧密相连），因此我们要勤动手，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件（性质），利用几何知识使问题得到较简捷的解决．本题若用代数方法求解，其计算量大得多，不信自己试试看．在解决有关直线与圆的综合问题时，经常需要引进一些参数（用字母表示相关量），但不一定要解出每一个几何量，而是利用有关方程消去某些参数，从而得到所要的几何量的方程，解此方程即可．这种解题方法就是“设而不求”（设出了但没有求出它）的思想方法．“设而不求”是解析几何中的一种重要的思想方法．【变式】已知圆x2+y2+x―6y+m=0与直线x+2y―3=0相交于P、Q两点，点O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．【答案】3【解析】由得代入，化简得：5y2-20y+12+m=0，y1+y6=4，设的坐标分别为，，由可得：===0解得：析【答案与解析】1．【答案】B【解析】圆心C（2，3），，∴切线长．2．【答案】B【解析】如图所示，以A地为原点，正东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（40，0）．设台风的移动方向是射OC，则射线OC的方程是y=x（x≥0），以B为圆心，30为半径长的圆与射线OC交于M和N两点，则当台风中心在线段MN上移动时，B城市处于危险区内．点B到直线OC的距离是，则有（千米），因此B城市处于危险区内的时间为（小时）故选B．3．【答案】D【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，由圆的几何性质得d的最大值是，所以△ABC面积的最大值是．故选D．4．【答案】C【解析】结合圆的几何性质，得圆心C到直线的距离d满足1＜d＜3．所以．解得－17＜k＜－7或3＜k＜13．故选C．5．【答案】B【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为．6．【答案】B【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，所以，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2，故选B．7．【答案】B【解析】设点（x，y）与圆C1的圆心（―1，1）关于直线x―y―1=0对称，则，解得，从而可知圆C2的圆心为（2，―2），又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x―2)2+(y+2)2=1．8．【答案】B【解析】因为三角形的三边长分别为3、4、5，所以该三角形是直角三角形，其图为如图所示的Rt△ABC．圆O是△ABC的内切圆，可计算得其半径为1，过O点作三条直线EF、GH、MN，分别与△ABC三边平行此三条直线将△ABC分割成6个部分．记半径为1的圆O1的圆心到三条边AB、BC、CA的距离分别为d1、d2、d3．而圆心O1在这6个区域时，有（Ⅰ）（最多4个公共点）；（Ⅱ）（最多2个公共点）；（Ⅲ）（最多2个公共点）；（Ⅳ）（最多4个公共点）．而圆心O1在线段EF、GH、MN上时，最多有4个公共点，故选B．9．【答案】(x+1)2+y2=2【解析】根据题意可知圆心坐标是（―1，0），圆的半径等于，故所求的圆的方程是(x+1)2+y2=2．10．【答案】2x―y=0【解析】设所求直线方程为y=kx，即kx―y=0．由于直线kx―y=0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，由此得圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．11．【答案】8【解析】依题意，可设圆心坐标为（a，a）、圆半径为r，其中r=a＞0，因此圆方程是(x―a)2+(y―a)2=a2由圆过点（4，1）得(4―a)2+(1―a)2=a2，即a2―10a+17=0，则该方程的两根分别是圆心C1，C2的横坐标，．12．【答案】―1 x2+(y―1)2=1【解析】由题可知，又k1k PQ=―1k1=―1，圆关于直线对称，找到圆心（2，3）的对称点（0，1），又圆的半径不变，易得x2+(y―1)2=1．13．【答案】x2+y2―6x+2y―6=0【解析】设经过两圆交点的圆系方程为x2+y2―4x―6+(x2+y2―4y―6)=0（≠―1），即，∴圆心坐标为．又∵圆心在直线x―y―4=0上，∴，即，∴所求圆的方程为x2+y2―6x+2y―6=0．14．【答案】（1） h后观测站受到影响，影响时间是 (2) M城 h后受到影响, 影响时间是【解析】（1）设风暴中心到C处A开始受到影响，到D处A结束影响，由题意有AC=360，AB=450，∠ABC=45°，设BC=x，则．即，故．∴，故÷90≈，即约 h后观测站受到影响，影响时间是（h）.（2）而MA∥BC，∴M城比A气象观测站迟（h）受到影响，故M城 h后受到影响，影响的时间是 h．15．【答案】（1）最大值为，最小值为（2）最大值为51 ，最小值为11（3）最大值为，最小值为【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，则，即，解得，所以x+y的最大值为，最小值为．。

圆方程的一般式的圆心圆方程的一般式是指以圆心为中心的圆的方程形式。

在平面几何中，圆是由到圆心的距离恒定的所有点组成的。

圆方程的一般式可以用来表示圆的位置和形状。

下面将详细介绍圆方程的一般式以及其应用。

圆方程的一般式可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。

该方程描述了平面上所有到圆心距离为r的点的集合。

我们来看一下圆心的坐标(h, k)对圆的位置的影响。

当h为正数时，圆心位于x轴的右侧；当h为负数时，圆心位于x轴的左侧。

同样地，当k为正数时，圆心位于y轴的上方；当k为负数时，圆心位于y轴的下方。

通过改变h和k的值，我们可以将圆心定位于不同的位置，从而得到不同位置的圆。

半径r决定了圆的大小。

半径越大，圆的面积越大，半径越小，圆的面积越小。

半径还决定了圆的周长，圆的周长等于2πr。

因此，圆方程的一般式可以用来计算圆的面积和周长。

圆方程的一般式在实际生活中有广泛的应用。

例如，在地理学中，可以使用圆方程的一般式来表示地球上某个地区的范围。

在建筑设计中，可以使用圆方程的一般式来确定圆形建筑物的尺寸和位置。

在物理学中，圆方程的一般式可以用来计算运动物体的轨迹。

圆方程的一般式还可以与其他方程相结合，形成更复杂的几何问题。

例如，可以将圆的方程与直线的方程相交，求出它们的交点，从而解决相关的几何问题。

圆方程的一般式是描述圆的位置和形状的重要工具。

通过圆心的坐标和半径的值，我们可以确定圆的位置和大小。

圆方程的一般式在几何学和实际应用中有广泛的应用，可以帮助我们解决各种几何问题。

无论是计算圆的面积和周长，还是确定圆的位置和形状，圆方程的一般式都提供了一个简单而有效的方法。

生活中直线的例子
直线是生活中常见的形状，它代表着直接、坚定和稳定。

在我们的日常生活中，直线无处不在，它们存在于我们的家庭、工作和社交生活中。

让我们来看看生活中直线的一些例子。

首先，我们可以看到直线在我们的家庭生活中起着重要作用。

比如，家里的书架、桌子、椅子等家具都是由直线构成的。

这些直线构成的家具给人一种稳定和整洁的感觉，让家庭更加有序和舒适。

其次，直线在我们的工作生活中也扮演着重要的角色。

比如，在建筑设计和工
程施工中，直线是设计师和工程师们必不可少的工具。

他们需要使用直尺、尺子等工具来绘制直线图纸和测量建筑物的尺寸，确保建筑物的稳定和安全。

此外，在我们的社交生活中，直线也有着重要的象征意义。

比如，在人际关系中，我们常常说“直线说话”，意思是说话直截了当，不拐弯抹角。

这种直率的态度能够让人们更加信任和尊重你，建立起良好的人际关系。

总的来说，生活中直线的例子无处不在，它们代表着直接、坚定和稳定。

无论
是家庭生活、工作生活还是社交生活，直线都扮演着重要的角色。

让我们在日常生活中，学会像直线一样坚定和稳定，做一个直率、坚强的人。

2.5.1(2)直线与圆的方程的实际应用参考答案1．如图，圆弧形拱桥的跨度|AB |＝12米，拱高|CD |＝4米，则拱桥的直径为( )A ．15米B ．13米C ．9米D ．6.5米答案 B解析 如图，设圆心为O ，半径为r ，则由勾股定理得|OB |2＝|OD |2＋|BD |2， 即r 2＝(r －4)2＋62， 解得r ＝132，所以拱桥的直径为13米．2．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( ) A ．62－2 B ．8 C ．4 6 D ．10 答案 B解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.3.如图所示，A ，B 是直线l 上的两点，且AB ＝2.两个半径相等的动圆分别与l 相切于A ，B 点，C 是两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，π2 B ．(0，π] C.⎝⎛⎦⎤0，2－π2 D ．(0,2－π]答案 C解析 如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积S 取得最大值，此时四边形ABO 2O 1为矩形，且S max ＝2×1－12·π2·12×2＝2－π2.4.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，则DE 的最短距离为( )A ．6 kmB ．(42－1)kmC ．(42＋1)kmD ．4 km答案 B解析 以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系(图略)， 则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1， 因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km.5．设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x 2＋y 2－2x ＝0表示，在公园外两点A (－2,0)，B (0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台，则舞台面积的最小值为( ) A ．3－ 2 B ．3＋2 C ．3－22D.3－22答案 A解析 l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝32， 所以AB 边上的高的最小值为32－1. 所以S min ＝12×22×⎝⎛⎭⎫32－1＝3－ 2.6．(多选)从点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上被x 轴反射后，照射到圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上，则下列结论正确的是( )A ．若反射光线与圆C 相切，则切线方程为3x －4y －3＝0B ．若反射光线穿过圆C 的圆心，则反射光线方程为x －y ＝0C ．若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是52－1D ．若反射光线反射后被圆C 遮挡，则在x 轴上被挡住的范围是⎣⎡⎦⎤－34，1 答案 BCD解析 点A (－3,3)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)．圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，求题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y ＋3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －3＝0.由相切知|2k －2＋3k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝43或k ＝34.∴反射光线方程为y ＋3＝43(x ＋3)或y ＋3＝34(x ＋3)．即4x －3y ＋3＝0或3x －4y －3＝0，故A 错误． 又A ′(－3，－3)，C (2,2)的方程为y ＝x ，故B 正确；因为|A ′C |＝(2＋3)2＋(2＋3)2＝52，所以直线的最短路程为52－1，故C 正确．由于两条与圆C 相切的反射光线与x 轴的交点为(1,0)和⎝⎛⎭⎫－34，0，所以被挡住的范围是⎣⎡⎦⎤－34，1，故D 正确．7．某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m ，拱高为4 m ．现有一船宽9 m ，在水面以上部分高3 m ，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m ，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低________m 时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 答案 1.22解析 以水位未涨前的水面AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆经过点B (10,0)，C (0,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 100＋b 2＝r 2，(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5. ∴圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)， 令x ＝4.5，得y ≈3.28，故当水位暴涨1.5 m 后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞．8．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A地正东40 km 处，则城市B 处于危险区的时间为________h. 答案 1解析 如图，以A 地为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B (40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B 处于危险区， 即B 处于危险区时，台风中心在线段MN 上，可求得|MN |＝20， 所以时间为1 h.9．设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇．设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立平面直角坐标系．设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，设D 点坐标为(a ,0)，C 点坐标为(0，b )，则CD 所在直线的方程为x a ＋yb＝1(a ＞3，b ＞3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝b v .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.75.所以乙向北前进3.75 km 时甲、乙两人相遇．10.如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解 如图，以O 为坐标原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)， 圆O 的方程为x 2＋y 2＝252. 直线AB 的方程为x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设点O 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ，则t ＝2252－24228＝0.5(h)．11．(多选)如图所示，已知直线l 的方程是y ＝43x －4，并且与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，一个半径为1.5的圆C ，圆心C 从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y 轴向下运动，当圆C 与直线l 相切时，该圆运动的时间可以为( )A ．6秒B ．8秒C ．10秒D ．16秒 答案 AD解析 设当圆与直线l 相切时，圆心坐标为(0，m )， 则圆心到直线l 的距离为|m ＋4|1＋⎝⎛⎭⎫432＝32， 得m ＝－32或m ＝－132，所以该圆运动的时间为32－⎝⎛⎭⎫－320.5＝6(秒)或32－⎝⎛⎭⎫－1320.5＝16(秒)．12．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，则支柱A 2P 2的长为( )A ．(126－24)mB ．(126＋24)mC ．(24－126)mD ．不确定答案 A解析 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A ，B ，P 的坐标分别为(－18,0)，(18,0)，(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. 因为A ，B ，P 在此圆上，故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182－18D ＋F ＝0，182＋18D ＋F ＝0，62＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝48，F ＝－324.故圆拱所在圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0. 将点P 2的横坐标x ＝6代入上式， 结合图形解得y ＝－24＋12 6. 故支柱A 2P 2的长为(126－24)m.13.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD 是矩形，且AB ＝4 m ，BC ＝8 m ，隧道顶APD 是一圆弧，拱高OP ＝2 m ，隧道有两车道EF 和FG ，每车道宽3.5 m ，车道两边留有0.5 m 人行道BE 和GC ，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m 的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m ．(精确到0.01 m ，51≈7.141)答案 3.97解析 建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设弧APD 所在圆的圆心坐标为O 1(0，b )，半径为r ，则其方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.将P(0,2)，D(4,0)的坐标代入以上方程，解得b＝－3，r＝5，故圆O1的方程为x2＋(y＋3)2＝25.过点E作AD的垂线交AD于点M，延长交弧AD于点N，将N(－3.5，h)代入圆O1的方程，解得h≈0.571，即|MN|≈0.571，则|EN|≈4＋0.571＝4.571，从而车辆的限高为4.571－0.6≈3.97 (m)．14．自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________．答案x2＋y2＝2解析设点P的坐标为(x，y)，则|PO|＝x2＋y2.∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，∴|PO|＝2|OM|＝2，∴x2＋y2＝2，即x2＋y2＝2.15．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为()A．2.4米B．3.5米C．3.6米D．2.0米答案B解析以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .由条件知，A (0,60)，C (170,0)， 直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点B 的坐标为(a ，b )， 则k BC ＝b －0a －170＝－43，①k AB ＝b －60a －0＝34，② 联立①②解得a ＝80，b ＝120.所以|BC |＝(170－80)2＋(0－120)2＝150. 因此新桥BC 的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，|OM |＝d m(0≤d ≤60)． 由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0. 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ， 即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －(60－d )≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－(60－d )≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时，r ＝680－3d5最大，即圆的面积最大．所以当|OM |＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．。

第2课时直线与圆的方程的应用学习目标1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决问题．知识点一解决实际问题的一般程序仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案．知识点二用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线，将平面几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论．1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是()A．x2＋y2＝25B．x2＋y2＝25(y≥0)C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0)D．随建立直角坐标系的变化而变化答案 D2．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案 C解析圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离d＝|－1|12＋12＝22<1，所以直线x＋y＝1与圆x2＋y2＝1相交．故选C.3．已知点A(3,0)及圆x2＋y2＝4，则圆上一点P到点A距离的最大值和最小值分别是________．答案5, 1解析圆的半径为2，圆心到点A的距离为3，结合图形可知，圆上一点P到点A距离的最大值是3＋2＝5，最小值是3－2＝1.4．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12 m，拱高CD＝4 m，则拱桥的直径为________ m.答案13解析设圆心为O，半径为r，则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，即r2＝(r－4)2＋62，解得r＝132，所以拱桥的直径为13 m.一、直线与圆的方程的应用例1 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1，即4x ＋7y －28＝0，圆心(0,0)到l ：4x ＋7y －28＝0的距离d ＝2842＋72＝2865，因为2865>3，所以直线与圆相离．故轮船不会受到台风的影响．反思感悟解决直线与圆的实际应用题的步骤(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知．(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素．(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知．(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去．跟踪训练1(1)设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是________．答案722－2解析从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.(2)如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为________米．答案251解析如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2)．将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0>0)，将A′(x0，－3)代入圆的方程，得x0＝51，所以当水面下降1米后，水面宽为2x0＝251(米)．二、坐标法的应用例2用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直．已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.求证：AC⊥BD.证明如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，设顶点坐标分别为A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)，D(x，y)，∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.反思感悟(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．②充分利用图形的对称性．③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．④关键点的坐标易于求得．(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果．所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养．跟踪训练2如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足．利用坐标法证明E是CD的中点．证明 如图所示，以O 为坐标原点，以直径AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设⊙O 的半径为r ，|OE |＝m ，则⊙O 的方程为 x 2＋y 2＝r 2，设C (m ，b 1)，D (m ，b 2)．则有m 2＋b 21＝r 2，m 2＋b 22＝r 2， 即b 1，b 2是关于b 的方程m 2＋b 2＝r 2的根， 解方程得b ＝±r 2－m 2， 不妨设b 1＝－r 2－m 2，b 2＝r 2－m 2，则CD 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫m ，r 2－m 2－r 2－m 22， 即(m ，0)．故E 是CD 的中点．1．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2B. 3 C ．1 D ．3 答案 A解析 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋(－1)2－2＝ 2.2．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值是( ) A ．8 B ．－4 C ．6 D ．无法确定 答案 C解析 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称， 所以直线x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m2，0， 从而－m2＋3＝0，即m ＝6.3．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为( ) A ．2.4米 B ．3.5米 C ．3.6米 D ．2.0米答案 B解析 以半圆所在直径为x 轴，过圆心且与x 轴垂直的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，得y≈3.5(负值舍去)．4．圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________．答案x2＋y2－2y－9＝0解析当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB中点(0,1)为圆心，半径r＝12|AB|＝10.则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.5．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________．答案25 4解析∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，52，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为254.1．知识清单：(1)直线与圆的方程的应用．(2)坐标法的应用．2．方法归纳：数学建模、坐标法． 3．常见误区：不能正确进行数学建模．1．y ＝|x |的图象和圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方所围成的图形的面积是( ) A.π4 B.3π4 C.3π2 D ．π 答案 D解析 数形结合，所求面积是圆x 2＋y 2＝4面积的14.2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4 答案 B解析 圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋2a ＝0，即 (x ＋1)2＋(y －1)2＝2－2a ， 故弦心距d ＝|－1＋1＋2|2＝2，再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a ＝2＋4， ∴a ＝－2.3．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.4．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3 D. 2 答案 B解析 x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方， 又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.5．已知点A (－1,1)和圆C ：(x －5)2＋(y －7)2＝4，一束光线从点A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是( )A ．62－2B ．8C ．4 6D ．10 答案 B解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，A ′与圆心(5,7)的距离为(5＋1)2＋(7＋1)2)＝10. ∴所求最短路程为10－2＝8.6．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是________． 答案 6 2解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18， 圆心为(2,2)，半径为3 2.圆心(2,2)到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r ＝6 2.7．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________．答案x＋y－2＝0解析由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，∴该直线斜率为－1，由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.8．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.答案 1解析如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，所以时间为1 h.9．如图，AB为圆的定直径，CD为直径，自D作AB的垂线DE，延长ED到P，使|PD|＝|AB|，求证：直线CP必过一定点．证明以线段AB所在的直线为x轴，以AB中点为原点，建立直角坐标系，如图，设圆的方程为x2＋y2＝r2，直径AB位于x轴上，动直径为CD.令C(x0，y0)，则D(－x0，－y0)，所以P(－x0，－y0－2r)．所以直线CP的方程为y－y0＝－2r－y0－y0－x0－x0(x－x0)，即(y0＋r)x－(y＋r)x0＝0.所以直线CP过直线：x＝0，y＋r＝0的交点(0，－r)，即直线CP过定点．10．如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解 如图，以O 为坐标原点，东西方向为x 轴建立平面直角坐标系，则A (40,0)，B (0,30)， 圆O 方程为x 2＋y 2＝252. 直线AB 方程为x 40＋y30＝1，即3x ＋4y －120＝0.设O 到AB 距离为d ， 则d ＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到． 设监测时间为t ， 则t ＝2252－24228＝0.5(h)．答 外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.11．若方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ＝±3 B ．k ∈(－2,2) C ．k <－2或k >2D ．k <－2或k >2或k ＝±3 答案 D 解析 方程1－x 2＝kx ＋2有唯一解等价于y ＝1－x 2与y ＝kx ＋2有唯一公共点．由图象(图略)知选D.12．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝9－x 2，y ≠0}，n ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，若M ∩N ≠∅，则实数b 的取值范围是( ) A ．[－32，32] B ．[－3,3] C ．(－3,32] D ．[－32，3)答案 C解析 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y >0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得， 当－3<b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)有公共点．13．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围为________________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－524∪⎣⎡⎭⎫524，＋∞ 解析 由题意知，AB 所在直线与圆C 相切或相离时，视线不被挡住， 直线AB 的方程为y ＝a5(x ＋2)，即ax －5y ＋2a ＝0，所以d ＝|3a |a 2＋(－5)2≥1，即a ≥524或a ≤－524.14．某圆拱桥的水面跨度是20 m ，拱高为4 m ．现有一船宽9 m ，在水面以上部分高3 m ，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m ，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低____ m 时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 答案 22解析 以水位未涨前的水面AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， ∵圆经过点B (10,0)，C (0,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 100＋b 2＝r 2，(4－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5.∴圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)，令x ＝4.5，得y ≈3.28，故当水位暴涨1.5 m 后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 (m)，船才能安全通过桥洞.15．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．[2－3，1] B ．[2－3，2＋3] C.⎣⎡⎦⎤33，3 D ．[0，＋∞)答案 B解析 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18， 则圆心为(2,2)，半径为3 2.由圆上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22， 可得圆心到直线l 的距离d ≤32－22＝2， 即|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2＋4ab ≤0.①若b ＝0，则a ＝0，不符合题意，所以b ≠0，则①式可化为1＋⎝⎛⎭⎫a b 2＋4ab ≤0.②又直线l 的斜率k ＝－ab，所以②式可化为1＋k 2－4k ≤0，解得2－3≤k ≤2＋ 3.16．如图所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长；(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？解 (1)如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .由条件知，A (0,60)，C (170,0)，直线BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB ＝34. 设点B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34， 解得a ＝80，b ＝120.所以BC ＝(170－80)2＋(0－120)2＝150.因此新桥BC 的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m ，OM ＝d m(0≤d ≤60)．由条件知，直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)， 即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d －680|42＋32＝680－3d 5. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ r －d ≥80，r －(60－d )≥80， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 680－3d 5－d ≥80，680－3d 5－(60－d )≥80，解得10≤d ≤35. 故当d ＝10时，r ＝680－3d 5最大，即圆面积最大． 所以当OM ＝10 m 时，圆形保护区的面积最大．。

两个圆方程相减得到的直线方程1. 引言说到圆，大家脑海中一定会浮现出那种完美无瑕的形状，像是一个大大的饼子，谁能不喜欢呢？可是，今天我们不聊饼子，咱们要来聊聊这两个圆之间的故事，特别是它们如何相减，最后竟然变成了一条直线，真是神奇得很！所以，跟我一起，打打算盘，看看这其中的奥妙吧。

2. 圆的基本知识2.1 圆的方程首先，咱得了解一下什么是圆的方程。

简单来说，圆的方程就像是它的身份证，告诉你这个圆的中心在哪里，半径有多大。

标准的形式是这样的：((x h)^2 + (y k)^2 = r^2)。

听起来有点复杂？别着急，记住这几个字母就行了，(h)和(k)是圆心的坐标，而(r)是半径。

就像你告诉别人，你住在哪儿，几斤几两重。

2.2 圆的相减好啦，知道圆的方程之后，我们就能进入正题了。

想象一下，有两个圆，它们的方程分别是((x h_1)^2 + (y k_1)^2 = r_1^2)和((x h_2)^2 + (y k_2)^2 = r_2^2)。

这时候，我们要做的就是把这两个方程相减。

你可能会问，为什么要相减呢？因为有时候，找到它们之间的关系，比直接知道它们的具体形状要有趣多了。

3. 相减后的结果3.1 直线的出现当我们把这两个圆的方程相减之后，令人惊讶的是，竟然会得到一条直线的方程。

是的，你没听错，一条直线！看，方程相减的结果是这样的：((x h_1)^2 (x h_2)^2 +(y k_1)^2 (y k_2)^2 = r_1^2 r_2^2)。

这个公式一展开，简化之后就会发现，里面其实蕴含着直线的方程信息。

3.2 几何的魅力想象一下，这就像两个小朋友在公园里玩捉迷藏，一个藏在了秋千后面，另一个在滑梯旁边。

当他们开始相减，就变成了一条横跨游乐场的线，连接了他们的起点和终点。

这个过程就像是生活中的一场互动，有时候相遇，有时候分开，然而无论怎样，都会形成一条独特的轨迹。

简直就像是数学与生活的完美结合，太有趣了！4. 生活中的应用4.1 实际应用而这种圆与圆相减得到直线的原理，其实在我们日常生活中也有很多应用。

直线与圆的相关公式在我们学习数学的过程中，直线与圆可是一对非常有趣的“小伙伴”，它们之间有着各种各样神奇的公式。

先来说说直线的方程。

直线方程有好几种形式呢，比如点斜式、斜截式、两点式等等。

点斜式就像是给直线找到了一个“出发点”和一个“前进方向”。

假如有个点的坐标是$(x_1,y_1)$，直线的斜率是 k ，那么直线方程就是$y - y_1 = k(x - x_1)$。

斜截式呢，就好像是直线直接告诉你它“爬”的有多快和从哪儿开始“爬”。

如果直线的斜率是 k ，在 y 轴上的截距是 b ，那直线方程就是$y = kx + b$。

再看看圆的方程。

圆的标准方程就像是给圆画了一张完美的“身份证”。

如果圆心的坐标是$(a,b)$，半径是 r ，那么圆的标准方程就是$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。

还记得我以前教过的一个学生小明，他一开始对这些公式总是混淆不清。

有一次做作业，遇到一道求圆与直线交点的题目，他把直线方程和圆的方程弄混了，结果算得一塌糊涂。

我就耐心地给他讲解，从最基础的概念开始，告诉他直线就像是一根直直的杆子，圆呢就像一个胖乎乎的气球。

我们要找到杆子和气球碰到一起的地方，就得先把它们的“身份信息”搞清楚。

后来，小明慢慢明白了，做题也越来越熟练。

咱们接着说直线与圆的位置关系。

这可以通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。

如果 d > r ，直线和圆相离，就像两个人离得老远，碰不到一块儿；如果 d = r ，直线和圆相切，就好比一个人刚好走到了圆的边上，轻轻一触；要是 d < r ，直线和圆相交，就像一个人走进了圆的范围里。

这些公式和关系在实际生活中也有很多用处哦。

比如说，设计师在设计圆形的花坛和旁边的小路时，就要用到直线与圆的相关知识，计算出小路和花坛的最佳位置和形状。

还有建筑工人在建造圆形的建筑和周边的通道时，也得依靠这些公式来确保一切都精准无误。

4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用目标定位 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.自主预习1.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：即 时 自 测1.判断题(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)(3)设两圆的圆心距为l ，两圆半径长分别为r 1，r 2，则当|r 1－r 2|＜l ＜r 1＋r 2时，两圆相交.(√)(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√) 提示 (1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.2.圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A.相离B.相交C.外切D.内切解析 圆O 1的圆心坐标为(1，0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0，2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交. 答案 B3.圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋10y ＋13＝0的公切线的条数是( ) A.1B.2C.3D.4解析 两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d ＝（－2－2）2＋（2＋5）2＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条. 答案 D4.两圆x 2＋y 2＝r 2与(x －3)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)外切，则r 的值是________.解析 由题意可知（3－0）2＋（－1－0）2＝2r ，∴r ＝102. 答案102类型一 与两圆相切有关的问题【例1】 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则（a －1）2＋b 2＝r ＋1，①b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36. 规律方法 两圆相切时常用的性质有：(1)设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 【训练1】 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 （a －4）2＋（b ＋1）2＝1.①(1)若两圆外切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1； (2)若两圆内切，则有（a －2）2＋（b ＋1）2＝|2－1|＝1，③联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 类型二 与两圆相交有关的问题(互动探究)【例2】 已知两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0.(1)判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度. [思路探究]探究点一 当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？ 提示 两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程. 探究点二 如何求公共弦长？提示 (1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长. (2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.解 (1)将两圆方程配方化为标准方程，C 1：(x －1)2＋(y ＋5)2＝50， C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝10，则圆C 1的圆心为(1，－5)，半径r 1＝52， 圆C 2的圆心为(－1，－1)，半径r 2＝10.又∵|C 1C 2|＝25，r 1＋r 2＝52＋10，r 1－r 2＝52－10， ∴r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，∴两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x －2y ＋4＝0. (3)法一 由(2)知圆C 1的圆心(1，－5)到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝35， ∴公共弦长l ＝2r 21－d 2＝250－45＝2 5.法二 设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.即A (－4，0)，B (0，2).所以|AB |＝（－4－0）2＋（0－2）2＝25， 即公共弦长为2 5.规律方法 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.【训练2】 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.类型三 直线与圆的方程的应用【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9， 港口所对应的点的坐标为(0，4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)， 则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y4＝1， 即4x ＋7y －28＝0.圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d>r，∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.规律方法解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：【训练3】台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( )A.0.5小时B.1小时C.1.5小时D.2小时解析以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝202，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝20千米20千米/时＝1小时.故选B.答案 B[课堂小结]1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：1.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1)D.(－1，0)和(0，1)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0；解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0. 答案 C2.圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.2x －y ＋1＝0 C.x －2y ＋1＝0D.x －y ＋1＝0解析 直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y ＝－(x －1)，即两圆连心线. 答案 A3.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是________.解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0. 答案 x ＋3y ＝04.已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，当m 的取值满足什么条件时，圆C 1与圆C 2相切？解 对于圆C 1与圆C 2的方程，化为标准方程得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，所以两圆的圆心分别为C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为r 1＝3，r 2＝2，且|C 1C 2|＝（m ＋1）2＋（m ＋2）2.当圆C 1与圆C 2相外切时，则|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或m ＝2.当圆C 1与圆C 2相内切时，则|C 1C 2|＝|r 1－r 2|，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝|3－2|，解得m ＝－1或m ＝－2.综上可知，当m ＝－5或m ＝2或m ＝－1或m ＝－2时，两圆相切.基 础 过 关1.圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A.内切B.相交C.外切D.相离解析 两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交. 答案 B2.若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( ) A.21B.19C.9D.－11解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 答案 C3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( ) A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米解析 建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h ，则A (0.8，h －3.6)半圆所在圆的方程为：x 2＋(y ＋3.6)2＝3.62把A (0.8，h －3.6)代入得0.82＋h 2＝3.62.∴h ＝40.77≈3.5(米).答案 B4.两圆x 2＋y 2－x ＋y －2＝0和x 2＋y 2＝5的公共弦长为________.解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x ＋y －2＝0，x 2＋y 2＝5，①②②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x －y －3＝0， ∴圆x 2＋y 2＝5的圆心到该直线的距离为d ＝|－3|1＋（－1）2＝32，设公共弦长为l ，∴l ＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝ 2. 答案25.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程为________.解析 圆C 2可化为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，则圆C 1，C 2的圆心为C 1(0，0)，C 2(－2，2)，所以C 1C 2的中点为(－1，1)，kC 1C 2＝2－0－2－0＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0. 答案 x －y ＋2＝06.求与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，半径为2的圆的方程.解 设所求圆的圆心为C (a ，b )，则所求圆的方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝4.∵两圆外切，切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－22，∴|OC |＝1＋2＝3，|CP |＝2.∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝9，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－332. ∴圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－332，故所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋3322＝4.7.已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0.求： (1)它们的公共弦所在直线的方程； (2)公共弦长.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－10x －10y ＝0，x 2＋y 2＋6x －2y －40＝0，两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x ＋y －5＝0. (2)圆x 2＋y 2－10x －10y ＝0的圆心C 1的坐标为(5，5)，半径r ＝52，又点C 1到相交弦的距离d ＝|2×5＋5－5|22＋12＝2 5. ∴公共弦长为2（52）2－（25）2＝230.能 力 提 升8.设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于( ) A.4B.4 2C.8D.8 2解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2， 即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根， 整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝（a －b ）2＋（a －b ）2＝32×2＝8. 答案 C9.以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45解析 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B. 答案 B10.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6，6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，x 0)，则|x 0＋x 0－2|2＝2， 解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝211.已知隧道的截面是半径为4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m ，高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m ，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x 2＋y 2＝16(y ≥0).将x ＝2.7代入，得y ＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m 处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x ＝a 代入x 2＋y 2＝16(y ≥0)得y ＝16－a 2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a 2m.探 究 创 新12.已知圆C 1：x 2＋y 2－4x －2y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6x －y －9＝0.(1)求证：两圆相交；(2)求两圆公共弦所在的直线方程；(3)在平面上找一点P ，过点P 引两圆的切线并使它们的长都等于6 2.(1)证明 圆C 1：(x －2)2＋(y －1)2＝10， 圆C 2：(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝734. ∵|C 1C 2|＝（2－3）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝52.且732－10＜52＜732＋10， ∴圆C 1与圆C 2相交.(2)解 联立两圆方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －2y －5＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝0， ∴两圆公共弦所在的直线方程为2x －y ＋4＝0.(3)解 设P (x ，y )，由题意，得⎩⎨⎧2x －y ＋4＝0，x 2＋y 2－6x －y －9＝（62）2，解方程组，得点P 的坐标为(3，10)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，－265.。

直线与圆相交斜率取值范围引言：直线与圆是几何学中常见的两种图形，它们的相交性质在数学和物理等领域有着重要的应用。

本文将探讨直线与圆相交时斜率的取值范围，以及其背后的几何和数学原理。

一、直线与圆相交的情况直线与圆可以有三种相交关系：相离、相切和相交。

在这三种情况下，直线与圆的斜率都有一定的取值范围。

1. 相离的情况：当直线与圆没有交点时，它们是相离的。

在这种情况下，直线的斜率范围可以是任意实数，即斜率无限制。

2. 相切的情况：当直线与圆相切于圆上的一点时，它们是相切的。

在这种情况下，直线的斜率只能有一个确定的值。

通过几何分析可知，直线与圆相切时，直线的斜率等于过切点的切线的斜率。

而切线与圆的切点构成的直径垂直于切线，因此直线的斜率等于切线斜率的倒数。

由此可见，相切情况下直线的斜率取值范围是有限的，即斜率为全体实数的除去0的部分。

3. 相交的情况：当直线与圆相交于两个不同的交点时，它们是相交的。

在这种情况下，直线的斜率可以有无数个取值。

通过几何分析可知，直线与圆相交时，直线的斜率等于过两个交点的切线的斜率的倒数。

而切线与圆的切点构成的直径垂直于切线，因此直线的斜率等于切线斜率的倒数。

由于圆上的切线可以有无数个，因此直线与圆相交时，直线的斜率可以有无数个取值。

即相交情况下直线的斜率范围是全体实数。

二、斜率取值范围的数学证明上述的几何分析已经给出了直线与圆相交时斜率取值范围的结论。

下面将通过数学方法进行证明。

设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率。

圆的方程为(x - a)^2 + (y - c)^2 = r^2，其中(a, c)为圆心坐标，r为半径。

将直线方程代入圆的方程，得到关于x的二次方程：(x - a)^2 + (kx + b - c)^2 = r^2化简上式，得到：x^2(1 + k^2) + x(-2ak + 2(kb - c)) + (a^2 + (kb - c)^2 - r^2) = 0由于直线与圆相交，因此上述二次方程有两个不同的实根。

高中数学：圆的标准方程全解析一、引言圆是平面几何中最基本、最重要的图形之一。

在数学中，我们常用圆的标准方程来描述一个圆。

掌握圆的标准方程及其性质，对于解决与圆相关的问题具有重要意义。

本文将详细解析高中数学中圆的标准方程的知识点，帮助学生更好地掌握这一内容。

二、基本概念与性质1.圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2。

这个方程反映了圆上任意一点到圆心的距离等于半径的几何性质。

2.圆心与半径：在圆的标准方程中，点O(a,b)称为圆心，r称为半径。

圆心是圆的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

3.圆的性质：圆具有许多重要的性质，如圆的任意两点间的距离小于等于直径、圆的切线垂直于半径等。

这些性质在解决与圆相关的问题时非常有用。

三、求解与圆相关的问题1.求解圆的方程：给定圆的圆心坐标和半径，可以直接写出圆的标准方程。

例如，以(2,3)为圆心，4为半径的圆的方程为(x−2)2+(y−3)2=16。

2.判断点与圆的位置关系：通过比较点到圆心的距离与半径的大小关系，可以判断点是否在圆内、圆上或圆外。

若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；若等于半径，则点在圆上；若大于半径，则点在圆外。

3.求解与圆相关的最值问题：利用圆的性质，可以求解一些与圆相关的最值问题。

例如，求解点到圆的最近距离、最远距离等。

4.求解与圆相交的直线方程：当直线与圆相交时，可以通过联立直线和圆的方程求解交点坐标。

若直线方程为Ax+By+C=0，则联立方程组{Ax+By+C=0(x−a)2+(y−b)2=r2可求得交点坐标。

四、应用举例1.几何问题中的应用：在解决一些几何问题时，需要利用圆的标准方程及其性质。

例如，在求解两圆的公切线、内切圆等问题时，可以通过分析两个圆的方程和性质找到解决方法。

2.实际问题中的应用：在实际生活中，圆的标准方程也有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，可以利用圆的标准方程来确定建筑物的圆形结构的尺寸和位置；在物理学中，可以利用圆的标准方程来描述物体的运动轨迹等。

圆中的轨迹方程问题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：圆中的轨迹方程问题一直是数学领域中的经典难题之一，其研究涉及到圆的性质、几何关系等多个方面。

在解决这类问题时，我们常常需要运用代数、几何、解析几何等知识，通过推理和分析来找出问题的解决方案。

让我们来了解一下什么是轨迹方程。

在数学领域中，轨迹方程是描述曲线或者点在运动中的路径的数学方程。

而在圆中的轨迹方程问题中，就是要求找出圆内部或者圆周上点的运动路径的方程。

在圆中的轨迹方程问题中，有一类比较经典的问题就是求解圆的内切方程。

内切方程是指一个点在圆内部的路径方程。

根据圆的性质和几何关系，我们可以通过分析得到内切方程的表达式。

以一个简单的例子来说明，给定一个半径为r的圆，圆心坐标为(a, b)，点P(x, y)在圆内部运动。

我们可以通过利用圆的方程和点到圆心的距离等条件来推导出P点的轨迹方程。

我们知道圆的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²又因为点P在圆内部，所以P点到圆心的距离不能大于半径r。

即有：√[(x-a)² + (y-b)²] < r在解决圆中的轨迹方程问题时，我们还可以运用解析几何的方法来求解。

通过将问题转化为代数方程组，利用代数方法来解决。

举个例子，假设有一个半径为r的圆，圆心在原点O(0, 0)，一个移动点M(x, y)在圆周上运动。

我们需要求出M点的轨迹方程。

根据圆的定义，M点在圆周上，所以有：x² + y² = r²M点的横纵坐标均为x，y，因此M点在第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标可以分别表示为(x, y)，(-x, y)，(-x, -y)，(x, -y)。

M点的轨迹方程为：(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²)(x² + y² - r²) = 0两个圆的轨迹交点可以表示为一个方程组，通过求解方程组的解得到轨迹交点的坐标。

直线与圆的方程的应用教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2.课题：4.2.3直线与圆的方程的应用.一、教材分析（一）教材的地位和作用“直线与圆问题研究”是解析几何研究的一个重要问题之一。

它是学生在学习了圆锥曲线之后的后续内容，又可贯穿于解析几何学习的始终。

所以，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更好的理解解析几何的核心问题——圆锥曲线的概念，也能为学好圆锥曲线作好理论和方法上的准备，是解析几何中承上启下的关键内容。

（二）教学目标的确定及依据基于对课程标准、教材的学习与分析和学生学情的分析，制定如下的教学目标和重难点：知识与技能：（1）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系，解决一些实际问题；（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题．能力目标：让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．情感目标：在利用直线与圆的位置关系探究解决一些实际问题线面垂直性质的研究中，培养自主探索、合作交流的精神和辩证唯物主义观念。

（三）教学重点、难点及关键教学重点：直线与圆的方程的应用，用坐标法解决平面几何．教学难点：用坐标法解决平面几何。

教学关键：类比、转化数学思想的应用。

二、学法指导在本节课的学习时，学生在前面已经学习了直线与方程、圆的方程的相关知识，并初步探索了运用解析法解决平面上一些与直线有关的实际问题。

学生具备了一定的运用解析法解决问题的能力。

观察、概括、总结、归纳、类比、联想是学法指导的重点。

让学生观察、思考后，总结、概括、归纳的知识更有利于学生掌握；为了加深知识理解、掌握和更灵活地运用，运用类比联想去主动的发现问题、解决问题，从而更系统地掌握所学知识，形成新的认知结构和知识网络，让学生真正地体会到在问题解决中学习，在交流中学习。

这样，可以增进热爱数学的情感，应用数学的自信心和形成新的学习动力。

三、教学方法与手段建构主义认为，知识是在原有知识的基础上，在人与环境的相互作用过程中，通过同化和顺应，使自身的认知结构得以转换和发展。

直线与圆的方程的应用一、教材分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.二、教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.三、教学重点与难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点：直线与圆的方程的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.（二）推进新课、新知探究、提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.（三）应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H ⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt △AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt △CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x -y+3)=0, 配方得标准式(x +1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1,∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519,∴当λ=-52时,半径r=519最小.∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0. 解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求.由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0. ∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519,∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k+;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4. 设圆心A(a,b),则半径r=2|b|. 由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2, 又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|kk +-=1,∴k=2±323.∴x y 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值.∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2. (4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x-y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k .利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M 、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2).设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M 、N 、P 、A 四点共线,2121x x y y --=12--x y (x≠1).∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP ⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.（四）知能训练课本本节练习1、2、3、4.（五）拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=vBM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+. 整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt △AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.（六）课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.（七）作业习题4.2 B组2、3、5.。