一次函数的图像

一次函数的概念与图像

在我们的数学世界中，一次函数是一个非常基础且重要的概念。它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的日常生活息息相关。那么，什么是一次函数？它的图像又有怎样的特点呢？让我们一起来探索一下。

一次函数的定义可以简单地表述为：形如 y ＝ kx ＋ b（k、b 为常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。其中，x 是自变量，y 是因变量，k 被称为斜率，b 被称为截距。

先来说说斜率 k。它反映了函数图像的倾斜程度。当 k 大于 0 时，函数图像是从左到右上升的，意味着 y 随着 x 的增大而增大；当 k 小于 0 时，函数图像从左到右下降，y 随着 x 的增大而减小。比如，y ＝

2x ＋ 1 中，k ＝ 2 大于 0，图像是上升的；而在 y ＝ －3x 2 中，k ＝

－3 小于 0，图像是下降的。

再谈谈截距 b。截距 b 表示当 x ＝ 0 时，y 的值。也就是说，它决定了函数图像与 y 轴的交点。如果 b 大于 0，图像与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴；b 小于 0 时，交点在 y 轴的负半轴；b ＝ 0 时，函数图像经过原点。例如，y ＝ 5x ＋ 3 中，b ＝ 3 大于 0，图像与 y 轴交于点（0,

3）；y ＝ －2x 4 中，b ＝ －4 小于 0，图像与 y 轴交于点（0, －4）。

那么，一次函数的图像究竟是怎样的呢？一次函数的图像是一条直线。我们可以通过“两点确定一条直线”的原理来画出它的图像。 比如说，要画 y ＝ 2x ＋ 1 的图像。我们可以先令 x ＝ 0，算出 y ＝

1，得到一个点（0, 1）；再令 x ＝ 1，算出 y ＝ 3，得到另一个点（1,

3）。然后连接这两个点，就得到了这条直线。

而且，一次函数的图像还有一些特殊情况。当 b ＝ 0 时，函数就变成了 y ＝ kx，这时的图像一定经过原点。比如 y ＝ 4x，它的图像就是经过原点且斜率为 4 的直线。

行知学校数学学案

1 084. 一次函数的定义、图象特点和性质 班级 姓名 知识要点：1.定义：一般地，形如 的函数，叫做正比例函数.形如 的函数，叫做一次函数.正比例函数是特殊的一次函数2. 一次函数的图象： 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，图象称为直线y=kx+b．由于 确定一条直线，画一次函数的图象只需要找到适合关系式的两点，再连成直线，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点 ，直线与x轴的交点 .画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.画函数y=2x+3的图像时取点 ，画函数y=-3x的图像时取点3.一次函数y=kx+b（k≠0）的性质（1）k的正、负决定直线的倾斜方向，也决定函数的增减性；（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；（4）由于k、b的符号不同，直线所经过的象限也不同；kb经过的象限y随x的变化图象b＞0 b＜0 k＞0b=0y随x的增大而 y随x的减小而 b＞0 b＜0y随x的增大而 y随x的减小而 k＜0b=0行知学校数学学案

24.直线的平行、相交（1）同一平面坐标系内，不重合的两直线 y=k1x+b1（k1≠0）与 y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：当 时，两直线平行； 当 时，两直线相交。5. 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）如果点P（x0，y0）在函数y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必满足解析式y=kx+b；（2）如果x0，y0是满足函数解析式y=kx+b的一对对应值，那么以P（x0，y0）为坐标的点必在函数y=kx+b的图象上．训练题：1.下列函数中是一次函数的是（ ）A.122xy B.xy1 C.31xy D.1232xxy2．关于的函数，当 时，此函数是一次函数，当 xnxmy21时，此函数为正比例函数．3.对于函数y＝5x+6，y的值随x值的减小而_ _.对于函数, y的值随x值的_____而增大. 1223yx4.如果一次函数的图象经过第一象限，且与轴负半轴相交，那么（ ）ykxbyA．，B．，C．，D．，0k0b0k0b0k0b0k0b5.已知函数y=(1-m)x+m-2,当m 时，y随x的增大而增大。6.如果直线 y＝ax＋b 不经过第四象限，那么 ab＿＿＿0（填“≥”、“≤”或“＝”）.7.若一次函数y=kx+(k-1)图象经过第一．三．四象限,则k的取值范围是 8.一次函数 y=(6-3m)x＋(2n－4)不经过第二象限，则m、n的范围是

1 知识点1 一次函数和正比例函数的概念

若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量），特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=21x等都是一次函数，y=21x，y=-x都是正比例函数.

知识点2 函数的图象

把一个函数的自变量x与所对应的y的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．

知识点 3一次函数的图象

由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b．

由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-kb，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.

知识点4 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的性质

（1）k的正负决定直线的倾斜方向；

①k＞0时，y的值随x值的增大而增大；

②k﹤O时，y的值随x值的增大而减小．

（2）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；

①当b＞0时，直线与y轴交于正半轴上；

②当b＜0时，直线与y轴交于负半轴上；

③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．

（3）由于k，b的符号不同，直线所经过的象限也不同；

①当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②当k＞0，b﹥O时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③当k﹤O，b＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

1 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的指数为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个特殊点：y=kx+b 与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） y=kx （0，0）；（1，k） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，它可以看作由直线 y=kx 平移｜b｜个单位长度而得到（当b>0时向上平移；当b<0时向下平移） 例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: k>0时直线y=kx经过一、三象限，从左向右上升 Y随着x的增大而增大； k<0时直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降 Y随着x的增大而减小 k>0 b>0时直线y=kx+b经过一、二、三象限，从左向右上升y随着x的增大而增大； k>0 b<0时直线y=kx+b经过一、三、四象限，从左向右上升y随着x的增大而增大 k<0 b>0时直线y=kx+b经过一、二、四象限，从左向右下降y随着x的增大而减小 k<0 b<0时直线y=kx+b经过二、三、四象限， 从左向右下降y随着x的增大而减小

2 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。 本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向 。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 5.一次函数与一元一次方程 解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时求相应的自变量的值。在图像上看，相当于已知直线y=kx+b与x轴交点的横坐标的值。 6.、一次函数与一元一次不等式 解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。 从图像上看，kx+b>0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围；kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围 7、一次函数与二元一次方程（组） 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。 解方程组相当于求自变量为何值时两个函数的值相等。在图像上看，相当于确定两条直线交点的坐标。当方程组有唯一一组解时，两直线有唯一一个交点；当方程组无解时，两直线平行；当方程组有无数组解时，两直线重合。