2017年重庆市第十八中学高二文科下学期数学期中考试试卷

第1页（共8页） 2017年重庆市第十八中学高二文科下学期数学期中考试试卷

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 若复数 𝑎+i 2+i （𝑎 为实数，i 为虚数单位）是纯虚数，则 𝑎=   

A. 12 B. −12 C. 2 D. −2

2. 已知一段演绎推理：“一切奇数都能被 3 整除， 27+1 是奇数，所以 27+1 能被 3 整除”，则这段推理的   

A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 结论错误 3. 在用反证法证明命题“已知 𝑎,𝑏,𝑐∈ 0,2 ，求证 𝑎 2−𝑏 ，𝑏 2−𝑐 ，𝑐 2−𝑎 不可能都大于 1”时，反证假设时正确的是   

A. 假设 𝑎 2−𝑏 ，𝑏 2−𝑐 ，𝑐 2−𝑎 都不大于 1

B. 假设 𝑎 2−𝑏 ，𝑏 2−𝑐 ，𝑐 2−𝑎 都小于 1

C. 假设 𝑎 2−𝑏 ，𝑏 2−𝑐 ，𝑐 2−𝑎 都大于 1

D. 以上都不对 4. 把方程 𝑥𝑦=2 化为以 𝑡 为参数的参数方程是   

A. 𝑥=2𝑡12,𝑦=𝑡12 B. 𝑥=sin𝑡,𝑦=2sin𝑡 C. 𝑥=2cos𝑡,𝑦=1cos𝑡 D. 𝑥=tan𝑡,𝑦=2tan𝑡

5. 已知 𝑎=4，𝑏= 2+ 6，𝑐= 3+ 5 则 𝑎，𝑏，𝑐 的大小关系为   

A. 𝑎>𝑏>𝑐 B. 𝑎>𝑐>𝑏 C. 𝑐>𝑏>𝑎 D. 𝑏>𝑐>𝑎

6. 函数 𝑦=cos𝑥 在点 π6, 32 处的切线方程是   

A. 𝑥+2𝑦− 3−π6=0 B. 𝑥−2𝑦− 3−π6=0

C. 𝑥−2𝑦+ 3−π6=0 D. 𝑥+2𝑦+ 3−π6=0

7. 已知函数 𝑦=𝑓 𝑥 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 𝑦=𝑓ʹ 𝑥 的图象如右图所示，则该函数的图象可能是   

A. B. 第2页（共8页） C. D.

8. 若正整数 𝑁 除以正整数 𝑚 后的余数为 𝑛，则记为 \（N=n\left（\mod m\right） \），例如 \（10=2\left（\mod 4\right）\）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的 《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的 𝑛 等于   

A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9. 已知面积为 𝑆 的凸四边形中，四条边长分别记为 𝑎1，𝑎2，𝑎3，𝑎4，点 𝑃 为四边形内任意一点，且点 𝑃 到四边的距离分别记为 𝑕1，𝑕2，𝑕3，𝑕4，若 𝑎11=𝑎22=𝑎33=𝑎44=𝑘，则 𝑕1+2𝑕2+3𝑕3+4𝑕4=2𝑆𝑘．类比以上性质，体积为 𝑉 的三棱锥的每个面的面积分别记为 𝑆1，𝑆2，𝑆3，𝑆4，此三棱锥内任一点 𝑄 到每个面的距离分别为 𝐻1，𝐻2，𝐻3，𝐻4，若 𝑆11=𝑆22=𝑆33=𝑆44=𝐾，则 𝐻1+2𝐻2+3𝐻3+4𝐻4=   

A. 4𝑉𝐾 B. 3𝑉𝐾 C. 2𝑉𝐾 D. 𝑉𝐾

10. 已知函数 𝑓 𝑥 =𝑥3+𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑎2 在 𝑥=−1 处有极值 8，则 𝑓 2 等于   

A. 35 B. −10 C. 35 或 −10 D. −10 或 18

11. 已知函数 𝑓 𝑥 =e2𝑥，𝑔 𝑥 =ln𝑥+12 的图象分别与直线 𝑦=𝑏 交于 𝐴，𝐵 两点，则 𝐴𝐵 的最小值为   

A. 1 B. e12 C. 2+ln22 D. e−ln32

12. 设定义在 𝐑 上的奇函数 𝑓 𝑥 满足对任意 𝑥1,𝑥2∈ 0,+∞ ，且 𝑥1≠𝑥2 都有 𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥2

𝑥2−𝑥1<0，且

𝑓 2 =0，则不等式 3𝑓 −𝑥 −2𝑓 𝑥

5𝑥≤0 的解集为   

A. −∞,−2 ∪ 0,2 B. −2,0 ∪ 2,+∞ 第3页（共8页） C. −∞,−2 ∪ 2,+∞ D. −2,0 ∪ 0,2

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 函数 𝑓 𝑥 =e𝑥 在点 0,1 处的切线的倾斜角为 ． 14. 若复数 𝑧 满足 𝑧=i 2−𝑧 （i 是虚数单位），则 𝑧 = ． 15. 已知 𝑥=0 是函数 𝑓 𝑥 = 𝑥+2𝑎 𝑥2+𝑎2𝑥−2𝑎3 的极小值点，则实数 𝑎 的取值范围是 ． 16. 观察下列等式：

sin2𝛼+cos2 𝛼+30∘ +sin𝛼cos 𝛼+30∘ =34；

sin2𝛼+cos2 𝛼+45∘ + 2sin𝛼cos 𝛼+45∘ =12；

sin2𝛼+cos2 𝛼+60∘ + 3sin𝛼cos 𝛼+60∘ =14；

sin2𝛼+cos2 𝛼+90∘ +2sin𝛼cos 𝛼+90∘ =0；

可猜想出：若 sin2𝛼+cos2 𝛼+15∘ +𝑚sin𝛼cos 𝛼+15∘ =2+ 34，则实数 𝑚= ．

三、解答题（共6小题；共78分）

17. 为了调查生活规律与患胃病是否有关，某同学在当地随机调查了 200 名 30 岁以上的人，并根据调查结果制成了不完整的列联表如下：

 不患胃病患胃病总计生活有规律7030 生活无规律 60100总计   

参考公式和数表如下：

𝐾2=𝑛 𝑎𝑑−𝑏𝑐 2 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑 ．

𝑃 𝐾2≥𝑘0 0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001𝑘00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

（1）补全列联表中的数据；

（2）用独立性检验的基本原理，说明生活无规律与患胃病有关时，出错的概率不会超过多少?

18. 在直角坐标系 𝑥𝑂𝑦 中，圆 𝐶 的参数方程为 𝑥=2+2cos𝜑,𝑦=2sin𝜑（𝜑 为参数），以 𝑂 为极点，𝑥 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆 𝐶 的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是 2𝜌sin 𝜃+π3 =3 3，射线 𝑂𝑀：𝜃=π3 与圆 𝐶 的交点为 𝑂，𝑃，与直线的交点为 𝑄，求线段 𝑃𝑄 的长． 19. 某企业为了对生产的一种新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到以下数据：

单价𝑥 元/件 606264666870销量𝑦 件 918481757067

附：回归直线 𝑦 =𝑎 +𝑏 𝑥 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 第4页（共8页） 𝑏 = 𝑥𝑖−𝑥 𝑦𝑖−𝑦 𝑛𝑖=1 𝑥𝑖−𝑥 2𝑛𝑖=1，𝑎 =𝑦−𝑏 𝑥．

（1）画出散点图，并求 𝑦 关于 𝑥 的回归方程；

（2）已知该产品的成本是 32 元/件，预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，为使企业获得最大利润，该产品的单价应定为多少元（精确到元）? 20. 设 𝑓 𝑥 = 𝑥−2 e𝑥+𝑎 𝑥−1 2 在点 0,𝑓 0 处的切线与直线 𝑥+2𝑦+3=0 垂直．

（1）求 𝑎 的值和 𝑓 𝑥 的单调区间；

（2）记函数 𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 +𝑘，若 𝑔 𝑥 有且只有一个零点，求实数 𝑘 的取值范围．

21. 设 𝑥=𝑚 和 𝑥=𝑛 是函数 𝑓 𝑥 =3ln𝑥+12𝑥2− 𝑎+1 𝑥 的两个极值点，其中 𝑚<𝑛，𝑎>0．

（1）若 𝑎=3 时，求 𝑚，𝑛 的值；

（2）求 𝑓 𝑚 +𝑓 𝑛 的取值范围．

22. 已知函数 𝑓 𝑥 =ln𝑥−𝑎 𝑥−1

𝑥+1．

（1）若函数 𝑓 𝑥 在 0,+∞ 上为单调增函数，求 𝑎 的取值范围；

（2）若斜率为 𝑘 的直线与 𝑦=ln𝑥 的图象交于 𝐴，𝐵 两点，点 𝑀 𝑥0,𝑦0 为线段 𝐴𝐵 的中点，求证：𝑘𝑥0>1．

第5页（共8页） 答案

第一部分

1. A 2. A 3. C 4. D 5. B

6. A 7. C 8. C 9. B 【解析】在平面图形中，利用面积分割得

𝑆=12𝑎1𝑕1+12𝑎2𝑕2+12𝑎3𝑕3+12𝑎4𝑕4=12𝑘𝑕1+12×2𝑘𝑕2+12×3𝑘𝑕3+12×4𝑘𝑕4,

则 𝑕1+2𝑕2+3𝑕3+4𝑕4=2𝑆𝑘．

类比到空间，利用体积分割得

𝑉=13𝑆1𝐻1+13𝑆2𝐻2+13𝑆3𝐻3+13𝑆4𝐻4=13𝐾𝐻1+13×2𝐾𝐻2+13×3𝐾𝐻3+13×4𝐾𝐻4,

则 𝐻1+2𝐻2+3𝐻3+4𝐻4=3𝑉𝐾．

10. B

11. C 12. C 【解析】因为在 0,+∞ 上，𝑓 𝑥1 −𝑓 𝑥2

𝑥2−𝑥1<0，所以 𝑓 𝑥2 −𝑓 𝑥1

𝑥2−𝑥1>0．

所以 𝑓 𝑥 在 0,+∞ 上单调递增，又 𝑓 𝑥 为奇函数，

所以 𝑓 𝑥 在 −∞,0 上单调递增．又 𝑓 2 =0，示意图如图所示，

则 𝑓 −2 =0．

所以 3𝑓 −𝑥 −2𝑓 𝑥

5𝑥=−5𝑓 𝑥

5𝑥=−𝑓 𝑥

𝑥≤0, 所以 𝑓 𝑥

𝑥≥0，

所以 𝑥≥2 或 𝑥≤−2．

第二部分

13. π4

14. 2

15. 𝑎<−2 或 𝑎>0

16. 6− 22

第三部分

17. （1） 完善列联表中的数据如下： 第6页（共8页）  不患胃病患胃病总计生活有规律7030100生活无规律4060100总计11090200

（2） 由（1）中的列联表可得：

𝐾2=𝑛 𝑎𝑑−𝑏𝑐 2 𝑎+𝑏 𝑐+𝑑 𝑎+𝑐 𝑏+𝑑

=200× 70×60−40×30 2110×90×100×100=18.182>10.828.

所以，有 99.9% 的把握认为生活无规律与患胃病有关．

故认为生活无规律与患胃病有关时，出错的概率不会超过 0.1%．

18. （1） 圆 𝐶 的普通方程为 𝑥−2 2+𝑦2=4，

又 𝑥=𝜌cos𝜃，𝑦=𝜌sin𝜃，

所以圆 𝐶 的极坐标方程为 𝜌=4cos𝜃．

（2） 设 𝑃 𝜌1,𝜃1 ，则由 𝜌=4cos𝜃,𝜃=π3,⇒ 𝜌1=2,𝜃1=π3.