2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：不等式性质、算术平均数与几何平均数(练习 详细解析)大纲人教版

不等式（2011届·温州十校联合体高三期中（理））15.若平面区域⎩⎨⎧+≤+≤+)1(22||||x k y y x 是一个三角形，则k 的取值范围是 ▲ 232-<≤<k k o 或（2011届·浙江省台州中学高三期中（文））12．点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值为 ___ .3 Zxxk（2011届•浙江省台州中学高三期中（文））15．已知210,0,1x y x y >>+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是_______________.()4,2-（2011届•浙江省台州中学高三期中（文））16.已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如图），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ．8（2011届•浙江省台州中学高三期中（文））17．给出四个命题：①若函数y ＝f(2x-1)为偶函数，则y ＝f(2x)的图象关于x ＝21对称；②函数11221xy =+-与2(12)2x x y x +=⋅都是奇函数； 学§科§网Z §X §X §K] ③函数)32cos(2π+=x y 的图象关于点)0,12(π对称；④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π;⑤△ABC 中，若sinA,sinB,sinC 成等差数列，则0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 学科网ZXXK] 其中所有正确的序号是 ②、③、⑤（2011届·浙江省嵊州一中高三期中（文））12. 已知x 、y 满足约束条件y x z y x y x 2,2,0,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥则的最小值为 .2（2011届·台州中学高三期中（理））16、设O 为坐标原点，点M 坐标为)2,3(，若点(,)N x y 满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x ， Zxxk当53≤≤s 时，则ON OM ∙的最大值的变化范围是 。

单元检测(十三) 极限(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.542lim 221-+-+→x x x x x 等于( ) A.21 B.1 C.52 D.41 解析：2152lim )1)(5()1)(2(lim 542lim 11221=++=-+-+=-+-+→→→x x x x x x x x x x x x x . 答案：A2.极限)(lim 0x f x x →存在是函数f(x)在点x=x 0处连续的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析：f(x)在x=x 0处连续)(lim 0x f x x →⇒存在,)(lim 0x f x x →存在f(x)在x=x 0处连续.∴)(lim 0x f x x →存在为f(x)在x=x 0处连续的必要不充分条件.答案：B3.在数列{a n }中,a 1=1,当n ≥2时,111--+=n n n a a a ,且已知此数列有极限,则∞→n lim a n 等于( )A.-2B.-1C.0D.1∞→n lim解析：由n n a ∞→lim 存在,知1lim lim -∞→∞→=n n n n a a ,令b a n n =∞→lim ,∵111--+=n n n a a a ,∴1111lim 1lim 1lim lim -∞→-∞→--∞→∞→+=+=n n n n n n n n n a a a a a .∴bbb +=1,b=0.∴∞→n lim a n =0.答案：C 4.21)1(lim=+++∞→an n a n ,则a 的值为( )A.1B.-1C.±1D.2 解析：采取“上下同除以一个数”的方法.a nan a n a n n n a n n +=+++=++•+=∞→∞→1111lim1)1(lim 原式. 由题意,知1+a=2,因此a=1.选A.答案：A 5.函数极限0ln ln lim0x x x x x x --→的值为( )A.20x B.02x C.021x D.021x 解析：000000ln ln lim21ln ln lim 21lim ln ln lim0000x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --=--•=--→→→→, 令y=lnx,则0ln ln lim|00x x x x y x x x x --=='→=,∵xy 1=',∴01|0x y x x =='=.∴000021121ln ln lim 0x x x x x x x x =•=--→. 答案：C6.x=1是函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<=1,,1,0,1,)(3x x x x x x f 的( )A.连续点B.无定义点C.不连续点D.极限不存在的点 解析：1)(lim 1=+→x f x ,1)(lim 1=-→x f x , ∴1)(lim 1=→x f x .但f(1)=0,∴)1()(lim 1f x f x ≠→.答案：C7.)(lim 11413122242322nnn C C C C n C C C C ++++++++∞→ 等于( ) A.3 B.31 C.61D.6 解析：∵2243422423332242322n n n C C C C C C C C C C C +++=++++=++++31+==n C ,2)1)(2()(1141312-+=++++n n nC C C C n n ,∴312)2)(1(6)1()1(lim 2)2)(1(lim )(lim 3111413122242322=+--+=+-=++++++++∞→+∞→∞→n n n n n n n n n C C C C C n C C C C n n n nn n . 答案：B8.若数列{a n }满足311=a ,且对任意正整数m,n 都有a m+n =a m ·a n ,则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于( ) A.21 B.32 C.23D.2 解析：由a m+n =a m ·a n ,得212a a =,31213a a a a ==,…,n n a a 1=,∴{a n }是以311=a 为首项,公比31=q 的等比数列. ∴211)(lim 121=-=+++∞→q a a a a n n . 答案：A9.在等比数列{a n }中,a 1＞1,且前n 项和S n 满足11lim a S n n =∞→,那么a 1的取值X 围是( ) A.(1,+∞) B.(1,4) C.(1,2) D.(1,2)解析：由题意,知qq a S n n --=1)1(1,∵11lim a S n n =∞→,∴⎪⎩⎪⎨⎧=-<.11,1||11a q a q ∴q a -=11.∴211<<a .答案：D10.设正数a,b 满足4)(lim 22=-+→b ax x x ,则n n n n n ba ab a 2lim 111++--+∞→等于( ) A.0 B.41 C.21D.1 解析：∵b a b a b ax x x =⇒=-+⇒=-+→24244)(lim 22,∴21=b a .∴412)21(121)21(lim 2)(1)(lim 2lim 111=++=++=++∞→∞→--+∞→nn n n n n nn n n n a a b a a b a ba ab a ab a ,选B. 答案：B11.若21333lim 321=+++→x ax x x ,则a 等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1解析：2461333lim321=+=+++→a x ax x x ,∴a=2. 答案：C12.函数y=f(x)在x=x 0处连续,且2)(lim 2-=-→a x f x x ,12)(lim 0+=+→a x f x x ,其中a ＞0,则f(x 0)等于( )A.-1B.7C.-1或7D.3 解析：∵函数f(x)在x=x 0处连续, ∴)()(lim )(lim 00x f x f x f x x x x ==+-→→,即a 2-2=2a+1. ∵a ＞0,∴a=3. ∴f(x 0)=7. 答案：B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在数列｛a n ｝中，a 1=9,且对任意大于1的正整数n,点),(1-n n a a 在直线x-y-3=0上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________________________.解析：由题意,得31=--n n a a , ∴}{n a 是等差数列. ∴n n a a n 33)1(1=⨯-+=.∴a n =9n 2.∴9)11(9lim )1(9lim )1(lim2222=+=+=+∞→∞→∞→nn n n a n n n n . 答案：9 14.=--→πππx xx x cos )(lim____________________.解析：ππππππππ2cos )(cos )(lim cos )(lim-=+=+=--→→x x x x xx x x . 答案：-2π15.如图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1,又连结△A 1B 1C 1的各边中点得到△A 2B 2C 2,如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2、…,这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M 的坐标是________________________.解析：由条件结合图象可知，三角形的顶点都在△ABC 的三条中线上，由极限知识知M 点的坐标是△ABC 的重心，∴)32,35(即为所求. 答案：)32,35(16.将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成分数rnC n )1(1+,就得到一个如图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形.从莱布尼茨三角形可看出rn x n r n nC C n C n 11)1(1)1(1-=+++,其中x=___________.令221)1(1160130112131n n n C n nC a +++++++=- ,则=∞→n n a lim __________.1121213161314112112141512013012015161301601601301617142110511401105142171…… 解析：令n=3,r x r C C C 233314141=+.当r=1时,231413413⨯=+⨯x C ,12112161413=-=rC , ∴33=xC .∴x=1,2.当r=2时,314141323=+x C C . ∴4112312131413==-=xC . ∴13=xC .∴x=3.归纳x=r+1.利用裂项求和求极限求出n n a ∞→lim 的值.答案：r+121 三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知f(x)=a ·b x(a,b 为常数)的图象经过点)81,1(P 和Q(4,8). (1)求f(x)的解析式;(2)记a n =log 2f(n),n ∈N *,S n 是数列{a n }的前n 项和,求13lim2+∞→n S nn .解：(1)∵f(x)的图象经过点)81,1(P 和Q(4,8),∴⎪⎩⎪⎨⎧==,8,814ab ab ,解得⎪⎩⎪⎨⎧==.4,321b a ∴522524321)(--=⨯=x x x f . (2)a n =log 2f(n)=log 222n-5=2n-5. ∵a n+1-a n =2(n+1)-5-(2n-5)=2,∴{a n }是以-3为首项,公差为2的等差数列. ∴n n n n S n 42)523(2-=-+-=.∴31134lim 13lim222=+-=+∞→∞→n n n n S n n n .18.(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,其中)12(-=n n S a n n 且311=a .(1)求a 2、a 3;(2)猜想数列{a n }的通项公式,并用数学归纳法加以证明; (3)求n n S ∞→lim .解：(1)由323122⨯+=a a ,得5312⨯=a ,由3111⨯=a ,5312⨯=a ,得535313133⨯+⨯+=a a ,得7513⨯=a . (2)猜想)12)(12(1+-=n n a n .证明：①当n=1时,显然成立. ②假设n=k 时,猜想成立,即)12)(12(1+-=k k a k ,则n=k+1时,)12)(1(11++=++k k S a k k ,得S k+1=(k+1)(2k+1)a k+1,同时12)12(+=-=k ka k k S k k . 两式相减,得12)12)(1(111+-++=-=+++k k a k k S S a k k k k ,即12)32(1+=++k ka k k k .∴)32)(12(11++=+k k a k ,即n=k+1时,猜想成立.(3)]12)(12(1531311[lim lim +-++⨯+⨯=∞→∞→n n S n n n21)1211(21lim )1211215131311(21lim=+-=+--++-+-=∞→∞→n n n n n . 19.(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,且有41)2(lim 1=-+∞→n n q q a ,求首项a 1的取值X 围. 解：∵41)2(lim 1=-+∞→n n q q a , ∴0＜|q|＜1或q=1.当0＜|q|＜1时,即有0＜|4a 1-2|＜1.解之,得43411<<a ,211≠a ； 当q=1时,41)13(lim 1=-∞→a n ,即41131=-a ,得4151=a .故a 1的取值X 围为43411<<a 且211≠a 或4151=a . 20.(本小题满分12分)在边长为l 的等边△ABC 中,⊙O 1为△ABC 的内切圆,⊙O 2与⊙O 1外切,且与AB 、BC 相切,…,⊙O n+1与⊙O n 外切,且与AB,BC 相切,如此无限继续下去,记⊙O n 的面积为a n (n∈N *).(1)证明{a n }是等比数列;(2)求)(lim 21n n a a a +++∞→ 的值.(1)证明：记r n 为⊙O n 的半径,则l r 6330tan 211=•= ,2130sin 11==+--- n n n n r r r r , ∴131-=n n r r (n ≥2). 于是122211l r a ππ==,91)(211==--n n n n r r a a , 故{a n }成等比数列. (2)解：∵11)91(a a n n -=,∴323911)(lim 2121l a a a a n n π=-=+++∞→ .21.(本小题满分12分)已知公比为q(0＜q ＜1)的无穷等比数列{a n }各项的和为9,无穷等比数列}{2n a 各项的和为581. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q;(2)对给定的k(k=1,2,…,n),设T (k)是首项为a k ,公差为2a k -1的等差数列,求数列T (2)的前10项之和;(3)设b i 为数列T (i)的第i 项,S n =b 1+b 2+…+b n ,求S n ,并求正整数m(m ＞1),使得mnn n S ∞→lim存在且不等于零.(注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限)解：(1)依题意,可知⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.32,358119112211q a q a q a(2)由(1),知1)32(3-⨯=n n a ,所以数列T (2)的首项为t 1=a 2=2, 公差d=2a 2-1=3,15539102121010=⨯⨯⨯+⨯=S ,即数列T (2)的前10项之和为155.(3)),1()32)(12(3)1()12()12)(1(1---=---=--+=-i i i a i a i a b i i i i i2)1()32)(4518(45--+-=n n n S n n , m n m m n m n n nn n n n n n S 2)1()32(451845lim lim --+-=∞→∞→. 当m=2时,21lim -=∞→m n n n S ,当m ＞2时,0lim =∞→m nn nS ,所以m=2.22.(本小题满分12分)已知数列{a n }的首项a 1=5,前n 项和为S n ,且S n+1=2S n +n+5(n ∈N *). (1)证明数列{a n +1}是等比数列;(2)令f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n ,求函数f(x)在点x=1处的导数f ′(1),并比较2f ′(1)与23n 2-13n 的大小.(1)证明：由已知S n+1=2S n +n+5,∴n ≥2时,S n =2S n-1+n+4.两式相减,得S n+1-S n =2(S n -S n-1)+1,即a n+1=2a n +1. 从而a n+1+1=2(a n +1). 当n=1时,S 2=2S 1+1+5, ∴a 1+a 2=2a 1+6. 又a 1=5,∴a 2=11. 从而a 2+1=2(a 1+1).故总有a n+1+1=2(a n +1),n ∈N *. 又∵a 1=5,∴a n +1≠0. 从而2111=+++n n a a ,即{a n +1}是以a 1+1=6为首项,2为公比的等比数列.(2)解：由(1)知a n =3×2n-1.∵f(x)=a 1x+a 2x 2+…+a n x n,∴f ′(x)=a 1+2a 2x+…+na n x n-1, 从而f ′(1)=a 1+2a 2+…+na n=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1)=3(2+2×22+…+n ×2n)-(1+2+…+n)=3［n ×2n+1-(2+ (2))］2)1(+-n n =3(n ×2n+1-2n+1+2)2)1(+-n n62)1(2)1(31++-•-=+n n n n .由上,知2f ′(1)-(23n 2-13n)=12(n-1)·2n -12(2n 2-n-1)=12(n-1)·2n-12(n-1)(2n+1)=12(n-1)［2n-(2n+1)］.(*) 当n=1时,(*)式=0,∴2f ′(1)=23n 2-13n; 当n=2时,(*)式=-12＜0,∴2f ′(1)＜23n 2-13n; 当n ≥3时,n-1＞0,又1222)11(2110+>+≥++++=+=-n n C C C C nn n n n n n n ,∴(n-1)［2n-(2n+1)］＞0,即(*)＞0,从而2f ′(1)＞23n 2-13n.〔或用数学归纳法：n ≥3时,猜想2f ′(1)＞23n 2-13n.由于n-1＞0,只要证明2n＞2n+1.事实上,①当n=3时,23＞2×3+1.不等式成立.②设n=k 时(k ≥3),有2k＞2k+1,则2k+1＞2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1). ∵k ≥3, ∴2k-1＜0.从而,2k+1＞2(k+1)+1+(2k-1)＞2(k+1)+1,即n=k+1时,亦有2n＞2n+1.综合①②,知2n ＞2n+1对n ≥3,n ∈N *都成立.∴n ≥3时,有2f ′(1)＞23n 2-13n.〕综上,n=1时,2f ′(1)=23n 2-13n;n=2时,2f ′(1)＜23n 2-13n;n ≥3时,2f ′(1)＞23n 2-13n.。

2011届高考限时智能检测第四部分：数列、不等式（4）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，数列b n ＝1a n a n －1，其前n 项和为S n ，则S n 等于( )A.2n 2n ＋1B.n2n ＋1 C.n2n －1D ．以上都不对 【解析】 ∵a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴S n ＝12(1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. 【答案】 B2．设函数f(x)＝x m＋ax 的导函数f ′(x)＝2x ＋1，则数列{1f(n)}(n∈N *)的前n 项和 是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1 D.n ＋1n【解析】 ∵f ′(x)＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴m＝2，a ＝1，∴f(x)＝x 2＋x ＝x(x ＋1)， ∴1f(n)＝1n(n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.【答案】 A3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2] ＝2n －5.∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66.【答案】 A4．(2009年哈师大附中模拟)设a n ＝－n 2＋17n ＋18，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )A ．17B ．18C ．17或18D ．19【解析】 令a n ≥0，得1≤n≤18. ∵a 18＝0，a 17>0，a 19<0， ∴到第18项或17项和最大． 【答案】 C5．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和S n >1 020，那么n 的最小值是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】 ∵1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1， ∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2－2n ＋11－2－n ＝2n ＋1－2－n.若S n >1 020，则2n ＋1－2－n>1 020，∴n≥10.【答案】 D 二、填空题6．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n(n∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝______.【解析】 令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16. 当n≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n)－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2，∴a n ＝4(n ＋1)2，∴n＝1时，a 1适合a n . ∴a n ＝4(n ＋1)2，∴a n n ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n(8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n. 【答案】 2n 2＋6n7．有限数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若把S 1＋S 2＋…＋S n n 称为数列{a n }的“优化和”，现有一个共2 009项的数列；a 1，a 2，a 3，…，a 2 009，若其“优化和”为2 010，则有2 010项的数列：1，a 1，a 2，a 3，…，a 2 009的优化和为______．【解析】 依题意，S 1＋S 2＋…＋S 2 0092 009＝2 010，∴S 1＋S 2＋…＋S 2 009＝2 009×2 010.又数列1，a 1，a 2，…，a 2 009相当于在数列a 1，a 2，…，a 2 009前加一项1， ∴其优化和为1＋(S 1＋1)＋(S 2＋1)＋…＋(S 2 009＋1)2 010＝2 009×2 010＋2 0102 010＝2 010.【答案】 2 0108．已知f(x)为一次函数，且有∑i ＝17f(i)＝7，∑i ＝115f(i)＝75，∑i ＝1na i ＝m 表示a 1＋a 2＋…＋a n ＝m ，则f(n)(n∈N *)＝______.【解析】 设f(x)＝ax ＋b(a≠0)， ∴f(n)＝an ＋b ，∴f(n)为等差数列．∵∑i ＝17f(i)＝7，即f(1)＋f(2)＋…＋f(7)＝7(a ＋b ＋7a ＋b)2＝7，即4a ＋b ＝1①又∑i ＝115f(i)＝75，∴15(a ＋b ＋15a ＋b)2＝75，即8a ＋b ＝5②由①②，得a ＝1，b ＝－3，∴f(n)＝n －3. 【答案】 n －3三、解答题9．(2009年苏州模拟)数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＋2n －1＝0(n∈N *且n≥2)． (1)求a 2、a 3的值；(2)证明：数列{a n ＋n}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .【解析】 (1)∵a 1＝3，a n ＋a n －1＋2n －1＝0(n∈N *且n≥2)， ∴a 2＝－a 1－4＋1＝－6，a 3＝－a 2－6＋1＝1. (2)∵a n ＋n a n －1＋(n －1)＝(－a n －1－2n ＋1)＋na n －1＋n －1＝－a n －1－n ＋1a n －1＋n －1＝－1(n≥2)，∴数列{a n ＋n}是首项为a 1＋1＝4，公比为－1的等比数列， ∴a n ＋n ＝4×(－1)n －1，即a n ＝4×(－1)n －1－n ，∴{a n }的通项公式是a n ＝4×(－1)n －1－n(n∈N *)．(3)∵a n ＝4×(－1)n －1－n(n∈N *)，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝[4(－1)0－1]＋[4(－1)1－2]＋[4(－1)2－3]＋…＋ [4(－1)n －1－n]＝4[(－1)0＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)n －1]－(1＋2＋3＋…＋n)＝2[1－(－1)n]－n(n ＋1)2.10．(2009年河北衡水调研)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数f(x)＝12＋log 2x1－x 的图象上的任意两点，且O M →＝12(O A →＋O B →)，已知点M 的横坐标为12.(1)求证：点M 的纵坐标为定值；(2)若S n ＝∑i ＝1n －1f(i n )，其中n∈N *且n≥2，求S n ；(3)已知a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23(n ＝1)1(S n＋1)(Sn ＋1＋1)， (n≥2)，其中n∈N *，T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n ＋1＋1)对于一切n∈N *都成立，试求λ的取值范围．【解析】 (1)∵O M →＝12(O A →＋O B →)，设M(12，y)，则x 1＋x 2＝1，且y ＝y 1＋y 22＝1＋log 2x 1x 2(1－x 1)(1－x 2)2＝1＋log 2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 22＝1＋log 2x 1x 2x 1x 22＝12.即点M 的纵坐标为定值．(2)由(1)可知，若x 1＋x 2＝1，则f(x 1)＋f(x 2)＝1. ∵S n ＝f(1n )＋f(2n )＋…＋f(n －1n)，∴2S n ＝[f(1n )＋f(n －1n )]＋…＋[f(n －1n )＋f(1n )]＝n －1，∴S n ＝n －12.(3)当n≥2时，a n ＝1(n －12＋1)(n 2＋1)＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4(1n ＋1－1n ＋2)， T n ＝23＋4(13－14＋14－15＋…＋1n ＋1－1n ＋2)＝2－4n ＋2＝2n n ＋2<λ(S n ＋1＋1)＝λ·n ＋22，即λ>4n(n ＋2)2. ∵4n (n ＋2)2＝4n ＋4n＋4≤12(当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时取等号)，∴λ>12.。

高中数学辅导网://shuxuefudao课时训练 37 不等式的证明〔二〕【说明】本试卷总分值 100 分，考试时间 90 分钟.一、选择题〔每题6 分，共 42 分〕1.设 0＜ x ＜1,a 、 b 为正常数，a 21 b2 的最小值是〔〕xxA.4abB.2(a 2+b 2)22C.(a+b)D.(a-b)答案： C2θ ,θ ∈ (0, ), 那么 a 2b 2 2222 22 2222解析： 令 x=cos x1 x=a sec θ +bcsc θ =a +b +a tan θ +bcot θ ≥2a 2+b 2+2ab=(a+b) 2.2.假设 a 、 b ∈R ,a 2+b 2=10,那么 a-b 的取值X 围是〔 〕A.［ -25 ，2 5 ］B.［ -2 10 ，2 10 ］C.［- 10， 10 ］D.［0，10 ］答案： A解析： 设 a=10 cos θ,b= 10 sin θ,那么a-b= 10 (cos θ -sin θ )=2 5 ·cos(θ+)4-2 5,2 5 ］.3. a ∈R + ,那么以下各式中成立的是〔 〕A.cos 2θ · lga+sin 2θ · lgb ＜ lg(a+b)B.cos 2θ · lga+sin 2θ · lgb ＞ lg(a+b)C.a cos 2b sin 2=a+bD.a cos 2b sin 2＞ a+b答案： A解析： cos 2θ lga+sin 2θ lgb ＜ cos 2θ lg(a+b)+sin 2θlg(a+b)=lg(a+b).4.设函数 f(x)=ax+b(0 ≤ x ≤1),那么 a+2b ＞0 是 f(x) ＞0 在［ 0， 1］上恒成立的〔 〕A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案： B解析：a+2b ＞ 0a ·1+b ＞ 0 f( 1 )＞ 0,不能推出 f(x) ＞ 0,x ∈［0,1］;反之，f(x) ＞ 0,x ∈［ 0,1］122a+2b ＞ 0.f( )＞ 025.(2021**万州区一模， 7)函数 y=f(x) 满足：① y=f(x+1) 是偶函数；②在［ 1， +∞〕上为增函数 .假设 x 1＜ 0,x 2＞ 0,且 x 1+x 2＜ -2,那么 f(-x 1)与 f(-x 2)的大小关系是 ()A.f(-x 1 )＞ f(-x 2)B.f(-x 1)＜ f(-x 2)C.f(-x )=f(-x 2 )D.f(-x )与 f(-x )的大小关系不能确定112答案： A解析： y=f(x+1) 是偶函数 f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x). 又 x 1+x 2＜ -2,-x 1＞ 2+x 2＞ 2，京翰教育 1 对 1 家教://zgjhjy/故f(-x 1)＞ f(2+x 2)=f(-x 2).6.(2021**十一校大联考，9)定义在R上的偶函数 y=f(x) 满足 f(x+2)=-f(x) 对所有实数x 都成立，且在［ -2， 0］上单调递增， a=f( 3),b=f(7),c=f( log1 8)，那么以下成立的是 () 222A.a＞ b＞cB.b ＞ c＞ aC.b ＞ a＞ cD.c＞ a＞ b答案： B解析：由 f(x+2)=-f(x) 有 f(x+4)=f(x),∴T=4, 而 f 〔x〕在R上为偶函数又在［ -2， 0］上单调递增，所以f(x) 在［ 0，2］上单调递减.7113).b=f( )=f(-)=f(),c=f( log1 8)=f(-3)=f(1),a=f(22222∵3＞ 1＞1,∴b＞ c＞ a.22设、、、∈，m= a2b2+c2d2,n=(a c) 2(b d )2那么()7. a b c d R,A.m ＜ nB.m ＞ nC.m≤nD.m ≥ n答案： D解析：设 A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB| ≥ |AB|,∴得 m≥ n.二、填空题〔每题5 分，共 15 分〕8.设 x＞ 0,y＞ 0,A=x y,B=x y,那么 A ， B 的大小关系是 __________________.x y x111y答案： A＜Bx y x y 解析： A=1x y x 11=B.1 x y y9. x2+y 2=1, 对于任意实数x,y 恒有不等式 x+y-k ≥ 0 成立，那么 k 的最大值是 ____________.答案：- 2解析：设 x=cosθ,y=sin θ ,k≤ x+y=sin θ +cosθ= 2 sin(θ +), ∴ k≤ - 2 .∴ k 的最大值为4- 2 .2210.设｛ a n｝是等差数列，且 a1 +a11≤ 100,记 S=a1+a2+⋯ +a11那么 S 的取值X围是______________.答案：［ -55 2， 55 2 ］22≥( a1 a11a1a11∈［ -5 2 ,5 2］ .解析：由a1a11)2222∴S=a1+a2+⋯ +a11京翰教育 1 对 1 家教://zgjhjy/=(a1+a11)+(a2+a10)+⋯ +(a5+a7)+a 6112 ,552 ］.= (a1+a11)∈［ -552三、解答题〔 11— 13 题每题 10 分， 14 题 13 分，共 43分〕11.假设 x,y 均为正数，且x+y ＞ 2.求证 : 1 y与1x中至少有一个小于 2. x y证明：假设1y 与 1x均不小于 2，即1y≥ 2 且1x≥ 2,那么 1+y≥2x,1+x ≥ 2y.相加得x y x y2+x+y ≥ 2(x+y) ，推出 x+y ≤ 2,与题设 x+y ≥ 2矛盾 .故假设错误 .12. a n= 1 2 2 3 +⋯+ n(n 1) (n∈N*),求证：恒成立 .2n(n1) ＜a n＜ (n1)对n∈ N* 22证明： a n＞1222+⋯+ n 2=1+2+3+⋯+n=n(n 1),2而 a n＜1［ (1+2)+(2+3)+ ⋯ +(n+(n+1)) ］ =n+(1+2+3+ ⋯ +n)=n22n ＜ (n1)2. 222213.假设 a,b,c 为三角形三边，x,y,z∈R ,x+y+z=0,2z2证明：∵ z=-x-y,∴a2yz+b 2zx+c 2 xy=a2y(-x-y)+b 2x(-x-y)+c 2xy=-b 2x2-(a2+b2-c2)yx-a 2y2,∴原不等式f(x)=b 2x2+(a2+b2-c2)yx+a 2y2≥0.(*)22 2 222222222］ =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),∵Δ =(a +b-c ) -4a b =［ (a +b +2ab)-c］［ (a+b -2ab)-ca,b,c 为三角三边，∴＜ 0.∴b2＞ 0,∴ f(x) ＞ 0 对 x∈R恒成立，即〔 * 〕表示，∴原不等式得证 .14.： a∈R+,求证： a+41≥17.a44aa证明：∵ a∈R+，设 t=a+4a≥ 2a4=4, 那么左式=f(t)=t+1(t ≥4)a t1∴f(t)=(tt)2+2 在 t≥ 4 上递增 .1 17∴f(t) ≥ f(4)=4+ =得证.4 4京翰教育 1 对 1 家教://zgjhjy/。

例1 已知R c b a ∈,,，求证.222ca bc ab c b a ++≥++证明：∵ab b a 222≥+， bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，三式相加，得)(2)(2222ca bc ab c b a ++≥++，即.222ca bc ab c b a ++≥++说明：这是一个重要的不等式，要熟练掌握． 例2 已知c b a 、、是互不相等的正数，求证：abc b a c c a b c b a 6)()()(222222>+++++证明：∵0222>>+a bc c b，，∴abc c b a 2)(22>+同理可得：abc b a c abc c a b 2)(2)(2222>+>+，．三个同向不等式相加，得abc b a c c a b c ba 6)()()(222222>+++++ ①说明：此题中c b a 、、互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立．特别地，b a =，c b ≠时，所得不等式①仍不取等号．例3 求证)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式ab b a 222≥+，并能由)(2c b a ++这一特征，思索如何将abb a 222≥+进行变形，进行创造”．证明：∵ab b a 222≥+，两边同加22b a +得222)()(2b a b a +≥+．即2)(222b a b a +≥+．∴)(222122b a b a b a +≥+≥+．同理可得：)(2222c b c b +≥+， )(2222a c a c +≥+． 三式相加即得)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．例4 若正数a 、b 满足3++=b a ab，则ab 的取值范围是．解：∵+∈R b a ,， ∴323+≥++=ab b a ab ，令ab y =，得0322≥--y y ，∴3≥y ，或1-≤y （舍去）．∴92≥=ab y ，∴ ab 的取值范围是[).,9+∞说明：本题的常见错误有二．一是没有舍去1-≤y ；二是忘了还原，得出[)+∞∈,3ab ．前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了.0≥ab 后者错误地将2y 视为ab ．因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之．例5 （1）求41622++=x x y 的最大值．（2）求函数1422++=x x y 的最小值，并求出取得最小值时的x 值．（3）若0,0>>yx ，且2=+y x ，求22y x +的最小值．解：（1）41622++=x x y 13163)1(162222+++=+++=x x x x .3326=≤即y 的最大值为.3当且仅当13122+=+x x 时，即22=x2±=x 时，取得此最大值．（2）1141142222-+++=++=x x x x y 3142=-⋅≥∴y 的最小值为3，当且仅当11422+=+x x ，即4)1(22=+x ，212=+x ，1±=x 时取得此最小值．（3）∴xy y x 222≥+ ∴222)()(2y x y x +≥+即2)(222y x y x +≥+∵2=+y x∴222≥+y x即22y x+的最小值为2．当且仅当4==y x 时取得此最小值．说明：解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的条件． 例6 求函数xx y 321--=的最值． 分析：本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件．如：0≠x，应分别对0,0<>x x 两种情况讨论，如果忽视+∈R x 的条件，就会发生如下错误：∵6213221)32(1321-=⋅-≤+-=--=xx x x x x y ，.621max -=y解：当0>x时，03,02>>x x ，又632=⋅x x ，当且仅当x x 32=，即26=x 时，函数xx 32+有最小值.62 ∴.621max -=y 当0<x 时，03,02>->-x x ，又6)3()2(=-⋅-xx ， 当且仅当x x 32-=-，即26+=x 时，函数)32(xx +-最小值.62∴ .621min +=y 例7 求函数91022++=x x y 的最值．分析：291991)9(2222≥+++=+++=x x x x y ．但等号成立时82-=x ，这是矛盾的！于是我们运用函数xx y 1+=在1≥x时单调递增这一性质，求函数)3(1≥+=t tt y 的最值．解：设392≥+=x t ，∴tt x x y 191022+=++=．当3≥t 时，函数t t y 1+=递增．故原函数的最小值为310313=+，无最大值．例8 求函数4522++=x x y 的最小值．分析：用换元法，设242≥+=x t ，原函数变形为)2(1≥+=t t t y ，再利用函数)2(1≥+=t tt y 的单调性可得结果．或用函数方程思想求解．解：解法一：设242≥+=x t ，故).2(14522≥+=++=t t t x x y 212121212121121)()11()(2t t t t t t t t t t y y t t --=-+-=-≥>，设． 由202121><-t t t t ，，得：0121>-t t ，故：21y y <．∴函数)2(1≥+=t t t y 为增函数，从而25212=+≥y ．解法二：设242≥=+t x ，知)2(1≥+=t tt y ，可得关于t 的二次方程012=+-yt t ，由根与系数的关系，得：121=t t ．又2≥t ，故有一个根大于或等于2，设函数1)(2+-=yt t t f ，则0)2(≤f ，即0124≤+-y ，故25≥y ．说明：本题易出现如下错解：2414452222≥+++=++=x x x x y．要知道，41422+=+x x 无实数解，即2≠y ，所以原函数的最小值不是2．错误原因是忽视了等号成立的条件．当a 、b 为常数，且ab 为定值，b a≠时，ab b a >+2，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形abb a b a 4)(2+-=+，当b a -之差最小时，再求原函数的最大（小）值．例9,4,0,0=+>>b a b a 求2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值．分析：此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值． 解：由,4=+b a，得.2162)(222ab ab b a b a-=-+=+又,222ab b a ≥+得ab ab 2216≥-，即4≤ab ．21111222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a .225244444422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab 故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 最小值是225．本题易出现如下错解8441212112222=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b b a a b b a a ，故2211⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a 的最小值是8．错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有1=a和1=b ，但在4=+b a 的条件下，这两个式子不会同时取等号（31==b a 时，）．排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾．例10 已知：+∈R c b a ,,，求证：c b a cab b ac a bc ++≥++． 分析：根据题设，可想到利用重要不等式进行证明．证明：.2,222c baca bc c ab abc b ac a bc ≥+=≥+即同理：a c ab b ac b c ab a bc 2,2≥+≥+).(22c b a c ab b ac abc ++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++∴.c b a c ab b ac a bc ++≥++∴ 说明：证明本题易出现的思维障碍是：(1)想利用三元重要不等式解决问题；(2)不会利用重要不等式ab ba ≥+2的变式；(3)不熟练证明轮换对称不等式的常用方法．因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式．另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性．例11设R e d c b a ∈、、、、，且8=++++e dc b a ，1622222=++++ed c b a ，求e 的最大值．分析：如何将22b a +与b a +用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键．算术平均数与几何平均数定理ab b a 222≥+两边同加22b a+之后得222)(21b a b a +≥+． 解：由222)(21b a b a+≥+，则有 ,)(41])()[(212222222d c b a d c b a d c b a +++≥+++≥+++.5160)8(411622≤≤⇒-≥-∴e e e .51656＝时，当最大值e d c b a ====说明：常有以下错解：abcd cd ab d c b a e 4)(21622222≥+≥+++=-，448abcd d c b a e ≥+++=-．故abcd e abcd e ≥-≥-4222)48(,4)16(．两式相除且开方得516014)8(1622≤≤⇒≥--e e e ． 错因是两不等式相除，如211,12>>，相除则有22>． 不等式222)(21b a b a+≥+是解决从“和”到“积”的形式．从“和”到“积”怎么办呢？有以下变形：222)(21b a b a +≥+或)(21222b a b a +≥+． 例12已知：0>y x ＞，且：1=xy ，求证：2222≥-+yx y x ，并且求等号成立的条件．分析：由已知条件+∈R y x ，，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有y x -，无法利用xy y x 2≥+，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现)(1)(y x y x -+-型，再行论证．证明：,1.0,0=>-∴>>xy y x y x 又yx xyy x y x y x -+-=-+∴2)(222y x y x -+-=2)( .22)(2)(2=-⋅-≥y x y x 等号成立，当且仅当)(2)(y x y x -=-时．.4,2,2)(222=+=-=-∴y x y x y x ,6)(,12=+∴=y x xy .6=+∴y x由以上得226,226-=+=y x 即当226,226-=+=y x 时等号成立． 说明：本题是基本题型的变形题．在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式．本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式．要注意灵活运用均值不等式．例13 已知00>>yx ，，且302=++xy y x ，求xy 的最大值．分析：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x x x y ，　故)300(2302<<+-=x x x x xy ，令xx x t +-=2302．利用判别式法可求得t （即xy ）的最大值，但因为x 有范围300<<x 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论．仅用判别式是不够的，因而有一定的麻烦，下面转用基本不等式求解．解法一：由302=++xy y x ，可得，)300(230<<+-=x x x y ．xx x x x x xy +-+++-=+-=264)2(34)2(23022⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=264)2(34x x 注意到16264)2(2264)2(=+⋅+≥+++x x x x ．可得，18≤xy ． 当且仅当2642+=+x x ，即6=x 时等号成立，代入302=++xy y x 中得3=y ，故xy 的最大值为18． 解法二：+∈R y x , ，xy xy y x ⋅=≥+∴22222，代入302=++xy yx 中得：3022≤+⋅xy xy解此不等式得180≤≤xy ．下面解法见解法一，下略．说明：解法一的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷． 例14 若+∈R c b a 、、，且1=++c b a ，求证：8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-c b a ． 分析：不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“2”连乘而来，而abc a c b a a a 2111≥+=-=-． 证明：a c b a a a +=-=-111，又0>a ，0>b ，0>c ，a bc a c b 2≥+∴，即abca a 21≥-．同理b ca b 211≥-，c ab c 211≥-，8111111≥⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴c b a ．当且仅当31===c b a 时，等号成立． 说明：本题巧妙利用1=++c b a的条件，同时要注意此不等式是关于c b a 、、的轮换式．例15 设+∈R c b a 、、，求证：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．分析：本题的难点在于222222a c c b b a +++、、不易处理，如能找出22b a+与b a +之间的关系，问题可得到解决，注意到： b a b a b a b a ab b a+≥+⇒+≥+⇒≥+)(2)()(222222222，则容易得到证明． 证明：2222222)(2)(22b a ab b a b a ab b a+≥++≥+∴≥+， ，于是．)(222222b a b a b a +=+≥+同理：)(2222c b c b +≥+，)(2222a c a c +≥+．三式相加即得：)(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++．说明：注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于c b a 、、的轮换式．因此只需抓住一个根号进行研究，其余同理可得，然后利用同向不等式的可加性．例16 已知：+∈R b a 、（其中+R 表示正实数）求证：．ba ab b a b a b a 112222222+≥≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+≥+ 分析：要证明的这一串不等式非常重要，222b a +称为平方根，2b a +称为算术平均数，ab 称为几何平均数，ba 112+称为调和平均数．证明：()．0412222222≥-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+b a b a b a ．222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴b a b a +∈Rb a 、 ∴2222ba b a +≥+，当且仅当“b a =”时等号成立． ．0)(412222≥-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a b a ∴222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+b a b a ，等号成立条件是“b a =”，0)(41222≥-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ab b a ∴ab b a ≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22，等号成立条件是“b a =”． b a ab ab b a b a ab ab ba ab +-+=+-=+-2)(2112．0)()2(2≥+-=+-+=ba b a ab b a ab b a ab ∴ba ab 112+≥，等号成立条件是“b a =”．说明：本题可以作为均值不等式推论，熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题．本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法．例17 设实数1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 满足021>a a ，2111b c a ≥，2222b c a ≥，求证2212121)())((b b c c a a +≥++．分析：由条件可得到1a ，2a ，1c ， 2c 同号．为方便，不妨都设为正．将求证式子的左边展开后可看出有交叉项21c a 和12c a 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证．证明：同号．2121,,0a a a a ∴> 同理，由22222111b c a b c a ≥≥，知1a 与1c 同号，2a 与2c 同号∴1a ，1c ，2a ，2c 同号．不妨都设为正．122122112121))((c a c a c a c a c c a a +++=++∴122122212c a c a b b ⋅++≥221122212c a c a b b ⋅++=222122212b b b b ⋅++≥||2212221b b b b ++=221212221)(2b b b b b b +=++≥，即2212121)())((b b c c a a +≥++．说明：本题是根据题意分析得1a ，1c ，2a ，2c 同号，然后利用均值不等式变形得证．换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法．实际上，由条件可知1a ，1c ，2a ，2c 为同号，不妨设同为正．又∵2111b c a ≥，2222b c a ≥，∴211144b c a ≥，222244b c a ≥．不等式021121≥++c x b x a ，022222≥++c x b x a 对任意实数x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得0)()(2)(2121221≥+++++c c x b b x a a ，它对任意实数x 恒成立．同上可得：2212121)())((b b c c a a +≥++．例18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m ．问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ，y ，即求xy 的最大值．注意条件3664=+y x 的利用．解：设每间羊圈的长、宽分别为x ，y ，则有3664=+y x ，即1832=+y x ．设xy S =,623223218xy y x y x =⋅≥+=227,227≤≤∴S xy 即上式当且仅当y x 32=时取“＝”．此时⎩⎨⎧===,1832,32y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧==∴.3,29y x ∴羊圈长、宽分别为29m ，3m 时面积最大．说明：(1)首先应设出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2)注意在条件1832=+y x 之下求积xy 的最大值的方法：直接用不等式y x y x 3223218⋅≥+=，即可出现积xy ．当然，也可用“减少变量”的方法：22218261)218(261)218(31)218(31⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅≤-⋅⋅=-⋅==→-=x x x x x x xy S x y ，当且仅当x x 2182-=时取“=”．例19 某单位建造一间地面面积为12m 2的背面靠墙的矩形小房，房屋正面的造价为1200元/m 2，房屋侧面的造价为800 元/m 2，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3m ，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系．从已知条件看，矩形地面面积为12m 2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m ，则长为x12m ，再设总造价为y ．由题意就可以建立函数关系了． 解：设矩形地面的正面宽为x m ，则长为x12m ；设房屋的总造价为y ．根据题意，可得：5800280012312003+⨯⋅⋅+⋅=xx y5800576003600++=xx 580016236005800)16(3600+⋅⨯≥++=xx x x )(34600580028800元=+=当xx16=，即4=x 时，y 有最小值34600元． 因此，当矩形地面宽为4m 时，房屋的总造价最低，最低总造价是34600元．说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立．例20 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m 长造价40元，两侧墙砌砖，每1m 长造价45元，顶部每1m 2造价20元．计算：(1)仓库底面积Ｓ的最大允许值是多少？(2)为使Ｓ达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 分析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系． 解：设铁栅长为x m ，一堵砖墙长为y m ，则有xy S =.由题意得(*).32002045240=+⨯+xy yx应用算术平均数与几何平均数定理，得,201202012020904023200S S xy xy xyy x +=+=+⋅≥,1606≤+∴S S即：.0)10)(10(≤--S S,010,016≤-∴>+S S从而：.100≤S因此S 的最大允许值是2100m ，取得此最大值的条件是y x 9040=，而100=xy ，由此求得15=x ，即铁栅的长应是m 15．说明：本题也可将xSy =代入（*）式，导出关于x 的二次方程，利用判别式法求解． 例21 甲、乙两地相距km s ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过km/h c ，已知汽车每小时的运输成本．．．．．．．．（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度km/h v 的平方成正比，且比例系数为b ；固定部分为a 元．（1）把全程运输成本y 元表示为速度km/h v 的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：这是1997年的全国高考试题，主要考查建立函数关系式、不等式性质（公式）的应用．也是综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的一道优秀试题．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为h vs，全程运输成本为)(2bv v a s v s bv v s a y +=⋅+⋅=．故所求函数为)(bv bas y +=，定义域为)0(c v ，∈．（2）由于v b a s 、、、都为正数，故有bv bas bv v a s ⋅⋅≥+2)(，即ab s bv v a s 2)(≥+．当且仅当bv v a =，即bav =时上式中等号成立．若c b a ≤时，则bav =时，全程运输成本y 最小；当c ba≤，易证c v <<0，函数)()(bv v a s v f y +==单调递减，即c v =时，)(min bc c a s y +=．综上可知，为使全程运输成本y 最小，在c b a ≤时，行驶速度应为ba v =；在c ba≤时，行驶速度应为c v =． 基本不等式——ab ba b a ≥+≥+2222(当且仅当a=b 时，等号成立)的应用——与解析几何知识的衔接 ab ba b a ≥+≥+2222（当且仅当a=b 时，等号成立）的应用，本文再就这一问题结合解析几何（必修2）进行论述，供专家及同行们参考。

b aab D'D ABC 课 题：2.1不等式的性质--算术平均数与几何平均数（2） 教学目的：1进一步掌握均值不等式定理；2会应用此定理求某些函数的最值并解决一些简单的实际问题教学重点：均值不等式定理的应用 教学难点：解题中的转化技巧 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程：一、复习引入：1．重要不等式：如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 2．定理：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 我们称b a ba ,2为+的算术平均数，称b a ab ,为的几何平均数 ab ba ab b a ≥+≥+2222和成立的条件是不同的：前者只要求a,b 都是实数，而后者要求a,b 都是正数“当且仅当”的含义是充要条件3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b 的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′,那么CB CA CD ⋅=2，即ab CD =这个圆的半径为2ba +，显然，它不小于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合；即a=b 时，等号成立二、讲解新课：公式的等价变形：ab ≤222b a +，ab ≤22a b +⎛⎫⎪⎝⎭2． baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；3．定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++= ))((222ca bc ab c b a c b a ---++++= ])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第14页指出：这里+∈R c b a ,, 若0<++c b a 就不能保证（此公式成立的充要条件为0≥++c b a ）4．推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc c b a ≥++ （当且仅当c b a ==时取“=”） 证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc c b a ≥++ 5．关于“平均数”的概念如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：na a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数；n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数 推广：na a a n +++ 21≥nn a a a 21 n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧步学习均值不等式的应用 三、讲解范例：例1 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 证明：∵ab b a 222>+ 222b c bc +> ca a c 222>+以上三式相加：ca bc ab c b a 222)(2222++>++ ∴ca bc ab c b a ++>++222例2 已知a,b,c,d 都是正数，求证：abcd bd ac cd ab 4))((≥++分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而准确使用，同时增强对均值不等式定理的条件的理解证明：∵a,b,c,d 都是正数，∴ab ＞0，cd ＞0，ac ＞0，bd ＞0得0,2ab cd +≥>0.2ac bd+≥> 由不等式的性质定理4的推论1，得()().4ab cd ac bd abcd ++∴≥即abcd bd ac cd ab 4))((≥++点评：用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在使用时，常需先凑形后使用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为xm ，水池的总造价为l 元，根据题意，得)1600(720240000x x l ++=240000720240000720240297600≥+⨯=+⨯⨯=当.2976000,40,1600有最小值时即l x xx == 所以，当水池的底面是边长为40m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件我们应用两个正数的算术平均数与几何平均数的定理(即均值不等式)顺利解决了本章引例中的问题(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相对应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)准确写出答案 四、课堂练习：1已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x 的值最小?最小值是多少? 分析：注意到x 2＋281x 是和的形式，再看x 2·281x ＝81为定值，从而可求和的最小值解：x ≠0⇒x 2＞0，281x ＞0,∴x 2＋281x ≥22281x x ⋅＝18， 当且仅当x 2＝281x ,即x ＝±3时取“＝”号.故x=±3时,x 2+281x的值最小,其最小值是182一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?分析：均值不等式在实际问题中的应用相当广泛，解题过程中要(1)先构造定值，(2)建立函数关系式，(3)验证“＝”号成立，(4)确定准确答案解法一：设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+当且仅当2x ＝Ｌ－2x 即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2L m ，宽为4Lm 时菜园面积最大为82L m 2解法二：设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=-≤82)2(22L x L x =-+（m 2）当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L （m ）时，矩形的面积最大也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m 时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2高中数学（上册）教案 第二章 不等式（第5课时） 保康县职业高级中学：洪培福第16页3设0＜x ＜2，求函数f(x)=)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值分析：根据均值不等式：2ba ab +≤，研究)38(3x x -的最值时，一要考虑3x 与８－3x 是否为正数；二要考查式子21［3x ＋（８－3x ）］是否为定值 解：∵0＜x ＜2, ∴3x ＞0，８－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝８－3x 即x ＝34时取“＝”号,故函数f （x ）的最大值为4，此时x 3五、小结 ：本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系定理及其推广的几个重要不等式顺利解决了函数的一些最值问题在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题 六、课后作业：(1)求函数y ＝2x 2＋x 3（x ＞0）的最小值 (2)求函数y ＝x 2＋41x（x ＞0）的最小值(3)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23）的最大值(4)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1)的最大值(5)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1，求a 21b +的最大值 分析：我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值ab ba ≥+2，若ab 为常数k ，则当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值2k ；若a ＋b 为常数s ，则当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值21s （或xy 有最大值41s 2）因此，解决这些问题的关键就是如何构造这些“定和”或“定积”解：(1)∵x ＞0 ∴2x 2＞0，x 3＞0,∴y ＝2x 2＋x 3＝2x 2＋x 23＋x 23≥3·329当且仅当2x 2＝x 23，即x ＝343时等号成立故当x ＝343时，y 有最小值3(2)3422424131221≥++=+=x x x x x y ，当且仅当4212x x =即x ＝±62时，等号成立故当x ＝±62时，y 有最小值(3)∵0＜x ＜23 ∴3－2x ＞0 ∴y ＝x 2（3－2x ）＝x ·x ·（3－2x ）≤（323x x x -++）3＝1,当且仅当x ＝3－2x 即x ＝1时，等号成立(4)∵0＜x ＜1 ∴1－x 2＞0 ∵y 2＝x 2（1－x 2）2＝21·2x 2（1－x 2）（1－x 2）≤21（32）3＝274当且仅当2x 2＝1－x 2即x ＝33时，等号成立，∴当x ＝33时，y 227由题意可知：y ＞0,故当x ＝33时，y 93(5)∵a ＞0，b ＞0，且a 2＋22b ＝1 ∴a 2212122b a b +=+≤423)221(2222=++b a ， 当且仅当a ＝2212b +，即a ＝23，b ＝22时取“＝”号 故当a ＝23，b ＝22时，a 21b +423评述：用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法八、课后记：。

不等式（2011届·温州十校联合体高三期中（理））15.若平面区域⎩⎨⎧+≤+≤+)1(22||||x k y y x 是一个三角形，则k 的取值范围是 ▲ 232-<≤<k k o 或（2011届·浙江省台州中学高三期中（文））12．点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值为 ___ .3（2011届•浙江省台州中学高三期中（文））15．已知210,0,1x y x y >>+=,若222x y m m +>+恒成立,则实数m 的取值范围是_______________.()4,2-（2011届•浙江省台州中学高三期中（文））16.已知函数)(x f y =的定义域和值域都是]1,1[-（其图像如图），函数],[,sin )(ππ-∈=x x x g ．则方程0))((=x g f 的所有不同实数根的个数是 ．8（2011届•浙江省台州中学高三期中（文））17．给出四个命题：①若函数y ＝f(2x-1)为偶函数，则y ＝f(2x)的图象关于x ＝21对称；②函数11221xy =+-与2(12)2x x y x +=⋅都是奇函数； ③函数)32cos(2π+=x y 的图象关于点)0,12(π对称；④函数||sin x y =是周期函数，且周期为2π;⑤△ABC 中，若sinA,sinB,sinC 成等差数列，则0,3B π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.其中所有正确的序号是 ②、③、⑤（2011届·浙江省嵊州一中高三期中（文））12. 已知x 、y 满足约束条件y x z y x y x 2,2,0,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥则的最小值为 .2（2011届·台州中学高三期中（理））16、设O 为坐标原点，点M 坐标为)2,3(，若点(,)N x y 满足不等式组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x ，当53≤≤s 时，则OM ∙的最大值的变化范围是 。

高考数学复习专题基本不等式全国名校高考数学复优质学案、专题汇编（附详解）高考数学复专题：基本不等式一、基本不等式1.基本不等式：对于任意非负实数 $a$ 和 $b$，有 $a+b \geq 2\sqrt{ab}$，等号成立当且仅当 $a=b$。

2.算术平均数与几何平均数：设 $a>0$，$b>0$，则$a$ 和 $b$ 的算术平均数不小于它们的几何平均数。

3.利用基本不等式求最值问题：1）如果积 $xy$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$x+y$ 有最小值 $2\sqrt{P}$。

2）如果和 $x+y$ 是定值 $P$，那么当且仅当 $x=y$ 时，$xy$ 有最大值 $\frac{P}{4}$。

4.常用结论：1）$a+b \geq 2ab$（$a$，$b$ 为任意实数）。

2）$\frac{b^2}{a}+\frac{a^2}{b} \geq 2(a+b)$（$a$，$b$ 为同号实数）。

3）$ab \leq \frac{a^2+b^2}{2} \leq (\frac{a+b}{2})^2$（$a$，$b$ 为任意实数）。

4）$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq\frac{3}{2}$（$a$，$b$，$c$ 为正实数）。

5）$2(a+b) \geq \sqrt{2}(a+b)$（$a$，$b$ 为任意实数）。

6）$\frac{a^2+b^2}{a+b} \geq \frac{a+b}{2}$（$a$，$b$ 为任意实数）。

7）$a^2+b^2 \geq ab$（$a>0$，$b>0$）。

二、基本不等式在实际中的应用1.问题的背景是人们关心的社会热点问题，如物价、销售、税收等。

题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解。

2.经常建立的函数模型有正（反）比例函数、一次函数、二次函数、分段函数以及 $y=ax+b$（$a>0$，$b>0$）等。

提能拔高限时训练35 β<圆 一、选择题1.已知A(0,b),点B 为椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线与x 轴的交点.若线段AB 的中点C在椭圆上,则该椭圆的离心率为（ ） A.3 B.23 C.33 D.43解析:由已知,得B(0,2c a -),又A(0,b), ∴AB 的中点C 为)2,2(2b c a -. ∵点C 在椭圆上,∴,3.14142222=∴=+c a c a 即33=e . 答案:C2.椭圆1422=+y x 的左、右两个焦点分别为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,已知一个交点为P,则|PF 2|等于（ ） A.23B.3C.27D.4解析:方法一:设F 1(3-,0),F 2(3,0), 则点P 的横坐标为3-.由点P 在椭圆上,得,14)3(22=+-y ∴,21±=y 即|PF 1|=21. 又∵|PF 2|+|PF 1|=2a=4,∴|PF 2|=27. 方法二:由已知得a=2,c=3,e=23, 椭圆的右准线方程为3342==c a x .∵.27||,23)3(334||22=∴=+--PF e PF 答案:C3.设F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左、右两个焦点,若在其右准线上存在点P,使线段PF 1的中垂线过点F 2,则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A.]22,0( B.]33,0( C.)1,22[ D.)1,33[解析:如图,设右准线与x 轴的交点为H,则|PF 2|≥|HF 2|.又∵|F 1F 2|=|PF 2|, ∴|F 1F 2|≥|HF 2|,即2c≥c ca -2. ∴3c 2≥a 2.∴e 2≥31,即e≥33. 又∵e<1,∴e ∈［1,33). 答案:D4.设点P(-3,1)在椭圆12222=+by a x (a>b>0)的左准线上,过点P 且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ） A.33 B.31 C.22D.21解析:入射光线所在直线的方程为y-1=25-(x+3),它与直线y=-2的交点为)2,59(--.又反射光线过点(-c,0),∴1,255902==+---c c . 又3,3,322==-=-a a ca , ∴33=e . 答案:A5.设椭圆12222=+by a x (a>b>0)与x 轴正半轴的交点为A,和y 轴正半轴的交点为B,P 为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB 的面积最大值为（ ） A.2ab B.ab 22C.21abD.2ab解析:方法一:设P(acosθ,bsinθ),则S四边形OAPB =S △OAP +S △OBP =)cos (sin 21cos 21sin 21θθθθ+=+ab ba ab . ∵sinθ+cosθ=2sin(θ+4π)≤2, ∴S 四边形OAPB ≤22ab. 方法二:设点P(x,y),则S 四边形OAPB =S △AOP +S △BOP =).(212121bx ay bx ay +=+ 由不等式性质:a>0,b>0时,.2222)(21,2222222222ab b a x b y a bx ay b a b a ==+≤++≤+得方法三:如图,直线AB 的方程为),(0a x a b y --=-S 四边形OAPB =S △AOB +S △APB =ab 21+S △APB . 设点P 到直线AB 的距离为d,则S △APB =d b a d AB ∙+=∙2221||21, 由题意,知过点P 的直线与椭圆相切且和直线AB 平行时d 有最大值,∴可设过点P 且与AB 平行的直线为m x aby +-=.联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=,1,2222b y a x m x ab y 得2b 2x 2-2mabx+a 2(m 2-b 2)=0,Δ=(-2mab)2-8a 2b 2(m 2-b 2)=0, 解得b m 2=.由两平行线间的距离公式,得,)12(22b a ab d +-=S △APB 最大值=ab 212-, ∴S 四边形OAPB 最大值=ab 22. 答案:B6.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′,若l′与椭圆1422=+y x 交于A 、B 两点,点P 为椭圆上的动点,则使△PAB 的面积为21的点P 的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析:可求出直线l′:2x+y -2=0.由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+,14,02222y x y x 解得x=0或x=1.∴A(0,2),B(1,0),|AB|=5. ∴点P 到AB 的距离为51. 由AB 所在的直线方程为y=-2x+2,设P(x 0,y 0),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+,515|22|,14002020y x y x 解之有两组解.故存在两个不同的P 点满足题意. 答案:B 7.椭圆⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 2Y x (φ为参数)的离心率为（ ）A.32B.135C.35D.132解析:将椭圆的参数方程化为普通方程,得,1)3()2(22=+yx 即19422=+y x . ∴a 2=9,b 2=4,即a=3,b=2. ∴c 2=a 2-b 2=5,c=5. ∴35==a c e . 答案:C8.设e 为椭圆)2(1222->=-m m y x 的离心率,且e ∈(1,22),则实数m 的取值范围为（ ） A.(-1,0) B.(-2,-1) C.(-1,1) D.(-2,21-) 解析:∵椭圆方程为1222=-+my x , ∵m>-2且-m>0, ∴0<-m<2.∴a 2=2,b 2=-m,即.,2m b a -== ∴c 2=a 2-b 2=2+m,m c +=2,)1,22(22∈+==m a c e .解得m ∈(-1,0). 答案:A9.若AB 为过椭圆1162522=+y x 中心的弦,F 1为椭圆的右焦点,则△F 1AB 面积的最大值为（ ）A.6B.12C.24D.48解析:由已知得F 1为(3,0),则△F 1AB 可看成由△OBF 1和△OAF 1组成. 设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0). ∴111O AF O BF AB F S S S ∆∆∆+==||||21||||210101y OF y OF ∙+-∙ =||3||321200y y =⨯⨯⨯.由椭圆的定义,知|y 0|≤b=4, ∴.121≤∆AB F S 答案:B10.已知椭圆192522=+y x ,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点,交y 轴于P 点,设PA =λ1,=λ2,则λ1+λ2的值为（）A.259-B.950-C.950 D.259 解析:设直线AB 的方程为y=k(x-c),则02)()()0(1222222222222222=-+-+⇒⎪⎭⎪⎬⎫-=>>=+b a c k a x ck a x b k a c x k y b a b y a x ,∴222222b k a ck a x x B A +=+, 22222222b k a b a c k a x x B A +-=,BBA A x c x x c x -+-=+21λλ=BA B A BA B A x x x x c c x x x x c ++--+)(2)(2=121)(2222222222-=-=--=-e ac c a a b a . ∵,54=e ∴λ1+λ2=950-. 答案:B 二、填空题11.已知椭圆1522=+m y x 的离心率510=e ,则m 的值为___________. 解析:分两种情况.焦点在x 轴上时,0<m<5, ∴51055=-=m e ,解得m=3; 焦点在y 轴上时,m>5, ∴,5105=-=mm e 解得325=m . 答案: 3或32512.(理)在△ABC 中,AB=BC,cosB=187-.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=____________. 解析:∵以A 、B 为焦点的椭圆经过点C, ∴BCAC ABe +=.∵AB=BC,∴ABAC ABe +=.又1872cos 222-=∙-+=BC AB AC BC AB B , ∴18722222-=-AB AC AB ，解得AB AC 35=. ∴83=e . 答案:83(文)在△ABC 中,∠A=90°,tanB=43.若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C,则该椭圆的离心率e=_________.解析:设|AC|=3x,|AB|=4x,又∵∠A=90°,∴|BC|=5x.由椭圆定义知|AC|+|BC|=2a=8x, 那么2c=|AB|=4x,∴2184===x x a c e . 答案:2113.已知A 、B 为椭圆C:1122=++my m x 的长轴的两个端点,P 是椭圆C 上的动点,且∠APB 的最大值是32π,则实数m 的值是______________. 解析:由椭圆知识,知当点P 位于短轴的端点时∠APB 取得最大值,根据题意则有.2113tan=⇒+=m mm π答案:2114.椭圆14922=+y x 的焦点为F 1、F 2,点P 为椭圆上的动点.当∠F 1PF 2为钝角时,点P 的横坐标的取值范围是__________.解析:若∠F 1PF 2=90°,设P(x,y),则由椭圆方程得a=3,b=2,52322=-=c . ∴F 1(5-,0),F 2(5,0). ∴15521-=-∙+=∙x yx y k k PF PF . ①又14922=+y x . ② 解①②得x=±553. 结合椭圆图形可得,当∠F 1PF 2为钝角时,553553<<-x . 答案：553553<<-x 三、解答题15.椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F(c,0)(c>0)的准线l 与x 轴相交于点A,且｜OF ｜=2｜FA ｜,过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. (1)求椭圆的方程及离心率;(2)设OQ OP ∙=0,求直线PQ 的方程.解:(1)由题意,设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x . 由已知,得⎪⎩⎪⎨⎧-==-),(2,2222c c a c c a 解得a=6,c=2.∴椭圆的方程为12622=+y x ,离心率36==a c e . (2)由(1)知A(3,0),设直线PQ 的方程为y=k(x-3),由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+).3(,12622x k y y x 得(3k 2+1)x 2-18k 2x+27k 2-6=0. 依题意Δ=12(2-3k 2)>0, ∴3636<<-k . 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1+x 2=13627,1318222122+-=+k k x x k k ,由直线PQ 的方程,得y 1y 2=k(x 1-3)·k(x 2-3) =k 2［x 1x 2-3(x 1+x 2)+9］. ∵OQ OP ∙=0,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴0]91318313627[136272222222=++⨯-+-++-k k k k k k k . 整理得5k 2=1, ∴)36,36(55-∈±=k . ∴直线PQ 的方程为55±=y (x-3), 即035=--y x 或035=-+y x .16.(理)已知菱形ABCD 的顶点A,C 在椭圆x 2+3y 2=4上,对角线BD 所在直线的斜率为1. (1)当直线BD 过点(0,1)时,求直线AC 的方程; (2)当∠ABC=60°时,求菱形ABCD 面积的最大值. 解:(1)由题意得直线BD 的方程为y=x+1. ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD. 设直线AC 的方程为y=-x+n.由⎩⎨⎧+-==+,.4322n x y y x 得4x 2-6nx+3n 2-4=0. ∵A,C 在椭圆上, ∴Δ=-12n 2+64>0,解得334334<<-n . 设A(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=23n ,,443221-=n x x y 1=-x 1+n,y 2=-x 2+n. ∴y 1+y 2=2n ,AC 的中点坐标为)4,43(nn . 由四边形ABCD 为菱形可知,点)4,43(nn 在直线y=x+1上.∴1434+=nn ,解得n=-2. ∴直线AC 的方程为y=-x-2,即x+y+2=0. (2)∵四边形ABCD 为菱形,且∠ABC=60°, ∴|AB|=|BC|=|CA|. ∴S 菱形ABCD =2||23AC . 由(1)知|AC|2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=.21632+-n ∴S 菱形ABCD =).334334)(163(432<<-+-n n ∴当n=0时,S 菱形ABCD 取得最大值34.(文)已知△ABC 的顶点A,B 在椭圆x 2+3y 2=4上,C 在直线l:y=x+2上,且AB ∥l.(1)当AB 边通过坐标原点O 时,求AB 的长及△ABC 的面积; (2)当∠ABC=90°,且斜边AC 的长最大时,求AB 所在直线的方程. 解:(1)因为AB ∥l,且AB 边通过点(0,0), 所以AB 所在直线的方程为y=x. 设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2).由⎩⎨⎧==+,,4322x y y x 得x=±1.所以|AB|=2|x 1-x 2|=22.又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离, 所以h=2,S △ABC =2||21=∙h AB . (2)设AB 所在直线的方程为y=x+m.由⎩⎨⎧+==+,,4322m x y y x 得4x 2+6mx+3m 2-4=0. 因为A,B 在椭圆上, 所以Δ=-12m 2+64>0.设A,B 两点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则443,2322121-=-=+m x x m x x . 所以|AB|=2|x 1-x 2|=26322m -.又因为BC 的长等于点(0,m)到直线l 的距离,即|BC|=2|2|m -, 所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m 2-2m+10=-(m+1)2+11. 所以当m=-1时,AC 边最长.(这时Δ=-12+64>0) 此时AB 所在直线的方程为y=x-1. 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】已知椭圆M 的两焦点坐标分别为F 1(-1,0),F 2(1,0),离心率21=e ,P 是椭圆M 上的动点. (1)求椭圆M 的方程; (2)设||||21PF -=m,求m 的取值范围. (3)求21PF PF ∙的取值范围.解:(1)由已知得c=1,21=a c ,∴a=2,b=3, 即椭圆M 的方程为13422=+y x . (2)设P 点的坐标为(x 0,y 0),则x 0∈［-2,2］,又||1PF =e(x 0+ca2)=a+ex 0, ||2PF 002)(ex a x ca e -=-=,∴m=||||21PF PF -=2ex 0=x 0∈［-2,2］. (3)∵||||21PF PF -=m,||||21PF PF +=4,∴||1PF =24m +, ||2PF =24m -.||||2121PF PF PF PF ∙=∙cos 〈||1PF ,||2PF 〉=||||||||21221222121F F PF PF PF -+∙∙=21)|||||(|2212221F F PF -+=48]2)24()24[(212222+=--++m m m .又m ∈［-2,2］,∴21PF PF ∙∈［2,3］. 【例2】已知椭圆12222=+by a x (a>b>0),长轴两端点为A 、B,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB=120°,求这个椭圆的离心率的范围.解:如图,根据椭圆的对称性,不妨设Q 在x 轴上方,设Q 点坐标为(x 0,y 0),直线QA 、QB 的斜率分别为k 1、k 2.又A(-a,0)、B(a,0),由于直线QA 到直线QB 的角是120°,∴311120tan 000000002112-=+∙-++--=+-=︒ax y a x y a x y a x y k k k k , 整理得3222200-=+-y a x ay . ①∵点Q 在椭圆上,∴1220220=+b ya x ,即)1(22022b y a x -=,代入①得22032cab y =. ∵0<y 0≤b,∴0<b cab ≤2232,即ab c 232≥.∴3c 4≥4a 2(a 2-c 2),即3c 4+4a 2c 2-4a 4≥0. 故3e 4+4e 2-4≥0,∴322≥e . 又e<1,∴136<≤e . 【例3】如图,点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点,点F 是椭圆的右焦点,点P 在椭圆上,且位于x 轴上方,PA ⊥PF.(1)求点P 的坐标;(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点,M 到直线AP 的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.解:(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0),设点P 的坐标是(x,y),则AP =(x+6,y),=(x-4,y).由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+,0)4)(6(.12036222y x x y x则2x 2+9x-18=0,x=23或x=-6. 由于y>0,只能x=23,于是y=235. ∴点P 的坐标是)235,23(.(2)直线AP 的方程是x-3y+6=0.设点M 的坐标是(m,0),则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ,于是|6|2|6|-=+m m ,又-6≤m≤6,解得m=2,椭圆上的点(x,y)到点M 的距离d 的平方为d 2=(x-2)2+y 2=x 2-4x+4+20-15)29(949522+-=x x .由于-6≤x≤6,∴当29=x 时d 取最大值15.。

单元检测 (二)函数( 分 :150 分:120 分 )一、 ( 本大共12 小，每小 5 分，共 60 分)1. 函数f ( x)ln( 2x x2)的定域⋯（）| x | xA.(-1 ，0)B.(-1,0) ∪(0,2)C.(-1，2)D.(0，2)2x x 20,分析:由x0,得 -1 ＜ x＜ 0.| x |答案:A2. 与函数 y＝ 10lg(x-1)同样的函数是（）A.y ＝ x-1B.y x 21C.y (x1) 2D.y＝ |x-1|x1x1分析 : 已知函数的定域x＞ 1， A、 D 的定域x∈ R;B 函数的定域是x≠ -1;由函数的定知C正确 .答案:C3. 当 -1 ≤ x≤ 1 ，函数 f(x) ＝ ax+2a+1 的有正有， a 的取范是（）A.a ≥1B.a≤ -1C.-11D.R 3＜ a＜3解析 :函数 f(x)＝ ax+2a+1一次函数，由函数性可知f(- 1)·f(1)＜0,即(- 2a+2a+1)·(a+2+1) ＜0, ∴ -1 ＜ a＜11 . 解得 -1 ＜a＜.答案:C334. a＞1，若于随意的2a a y＝ 3， ax∈［ a， 2a］，都有 y∈［ a， a ］足方程log x+log的取的会合（）A.{a|1＜ a ≤ 2}B.{a|a≥ 2}C.{a|2≤ a ≤ 3}D.{2 ，3}分析 : 3＝ log x+log y＝log xy xy ＝ a3y a 32a322a ∈［ a,a ］ , 即 a≤≤ a 恒建立x≤ aa ax x≤ ax 恒建立2a a 2a≥ 2.a 2a2答案:B5. 已知函数 f(x)＝ 2x+3， f -1 (x)是 f(x)的反函数，若 mn＝ 16（m，n∈ R+）， f -1 (m)+f-1 (n) 的（）分析：由 f-1(x)＝ log2x-3,知 f-1(m)+f-12(n) ＝ log mn-6. 又 mn＝ 16, 故 D.答案:D6. 以下函数中，在其定域内既是奇函数又是减函数的是（）A. y 1B.y-xC. y1xD.y＝ -|x| x＝ 2lgx1分析 : y lg 1x的定域-1 ＜ x＜ 1，且奇函数，u1x， u'(120 ，1x1x x)2因此 y1xlg在定域上减函数 .答案:C1x7. 函数f ( x)1x2 ,x1,1] 的（）x 2x2,x1,f [f (2)A. 15B.27C.8D.18 16169分析 : 由 f(2) ＝ 4 知f (1) f (1)15.f ( 2)416答案:A8. 已知f ( x)(3a1) x4a, x1,log a x, x1是 (- ∞,+ ∞) 上的减函数，那么 a 的取范是⋯（）A. （ 0，1）B.（0，1） C.［1, 1 ) D.［1,1］3737 3a101 1 .分析 :0a1a7a1073答案:C9. 已知函数 f(x)＝ log a(ax 2-x+1) 在［ 1,3］上恒正，数 a 的取范是（）22A.(1,8) B.(3,+∞) C.(1,8)∪(3,+∞) 292292D.(1,+∞) 2分析 : 特别法：令 a＝ 2 与2可知 f(x)＝ log a(ax 2-x+1) 在［ 1,3］上恒正，然 A 、B、D不正确 . C.322答案:C10. 已知函数 f(x)＝ log a(2 x +b-1)(a＞ 0，a≠1) 的象如所示，a， b 足的关系是（）A.0 ＜ a -1 ＜ b ＜ 1B.0 ＜ b ＜ a -1 ＜1C.0 ＜ b -1 ＜ a ＜ 1D.0＜ a -1 ＜ b -1 ＜ 1分析 : 由图易得 a ＞1,-1＜ 1; 取特别点 x ＝ 0a∴0＜ a-1 ＜ y ＝ log b ＜ 01-1 ＝ log a a ＜ log a b ＜ log a 1＝0,∴ 0＜ a -1 ＜ b ＜ 1. 选 A.答案:A11. 已知 0＜ x ＜ y ＜ a ＜ 1，则有（ ）A.log (xy) ＜ 0B.0 ＜log (xy) ＜1aaC.1 ＜ log a (xy) ＜ 2D.loga(xy) ＞ 2分析 : ∵0＜ x ＜ y ＜ a ＜ 1,∴ l og a x ＞log a a ＝ 1,log a y ＞ log a a ＝1.∴ l og a (xy) ＝ log a x+log a y ＞ 2. 答案:D12. 已知函数 y ＝f(x) 对随意实数都有 f(-x) ＝ f(x),f(x)＝ -f(x+1) ，且在［ 0， 1］上单一递减，则（ ）A. f (7)f ( 7)f ( 7)B.235C. f ( 7) f ( 7) f ( 7)D.52 37 7 7 f ( )f ( )f ( )325f ( 7 ) f (7 ) f (7)5 3 2分析 : 由 f(-x) ＝ f(x) 知函数为偶函数，由 f(x) ＝ -f(x+1) 得函数是以 2 为周期的周期函数，因为 y ＝f(x) 在［ 0， 1］上单一递减，易得 C 正确 .答案:C二、填空题 ( 本大题共 4 小题 , 每题 5 分, 共 20 分)log 2 x, x 0, 13. 已知函数 f ( x) 2 x , x 若 f (a)0, 分析 : 若 a ＞ 0, 则 log 2a1log 2 2 , ∴ a 2a1-1∴a ＝ -1.若 a ≤ 0, 则 2 ＝ ＝ 2 ,1 , 则 a ＝ __________.22 ;2故 a2 或-1.答案:2或-13 ax 14. 已知函数 f ( x)a 1(a ≠1). 若 f(x)在区间 (0,1 ］上是减函数， 则实数 a 的取值范围是 ______________.a分析： 由 f ' ( x)0 ,2(1 a) 3 ax3 ax0,① a 0,②2(1 a)由① , 得 a ＜ 3≤ 3.x由② , 得 a ＜ 0 或 a ＞ 1,∴当 a ＝3 时 ,f(x) 在 x ∈(0,1) 上恒大于 0, 且 f(1) ＝0, 有 f(x) ＞ f(1).∴a 的取值范围是 (- ∞,0) ∪(1,3 ］ .答案 : (- ∞,0) ∪(1,3 ］15. 设函数 y ＝ f(x) 存在反函数 y ＝ f -1 (x), 且函数y ＝ x-f(x) 的图象过点 (1,2),则函数 y ＝f -1 (x)-x 的图象必定过点 ___________.分析： 由 y ＝ x-f(x) 过点（ 1，2） , 知 2＝ 1-f(1),∴f(1) ＝ -1.-1∴f (-1) ＝1.-1（-1 ）＝ 1-（-1 ）＝ 2.∴f (-1)-∴ y ＝ f -1 (x)-x 必定过点（ -1 ， 2） . 答案 : （-1，2）16. 已知函数 f(x)2-cosx ，对于［，2＝ x ］上的随意 x 1，x 2，有以下条件： ①x 1＞ x 2；②x 12 2＞ x 22；③ |x 1| ＞ x 2.此中能使 f(x 1) ＞ f(x 2) 恒建立的条件序号是 _________.分析 : 因为函数 y ＝x 2 在［2,0 ］上为减函数 ,y ＝ -cosx 在［ ,0 ］上为减函数 ,2∴f(x) ＝ x 2-cosx 在［2,0 ］上为减函数 .又函数 y ＝ x 2 与 y ＝-cosx 在［ 0,］上同为增函数 ,2∴f(x) ＝ x 2-cosx 在［ 0,］上为增函数 .22,］上的偶函数 , 图象对于 y 轴对称 , ∴离对称轴越远的点的函又函数 y ＝ x -cosx 为［2数值越大 .2对于② ,x22即 |x | ＞ |x|, 能使 f(x ) ＞ f(x)恒建立.1＞ x2,1212答案:②三、解答题 ( 本大题共 6小题,共70分)17.( 本小题满分 10 分 )(2009上海 部 分 重 点 中 学 高 三 第 一 次联 考 ) 已 知 函 数 f(x) ＝ax 2- 2ax+2+b(a ≠0), 在区间［ 2,3 ］上有最大值 5, 最小值 2.(1) 求 a,b 的值 .(2) 若 b ＜ 1,g(x) ＝ f(x)-(2 m) ·x 在［ 2,4 ］上单一 , 求 m 的取值范围 .解： (1)f(x)＝ a(x-1) 2+2+b-a,①当 a ＞0 时 ,f(x)在［ 2,3 ］上为增函数 ,f (3) 59a 6a 2 b 5a 1,故f (2) 2 4a 4a 2 b 2 b 0.②当 a ＜0 时 ,f(x)在［ 2,3 ］上为减函数 ,f (3) 2 9a 6a 2 b 2 a 1,故54a 4a2 b5b3.f (2)(2) ∵b ＜ 1, ∴ a ＝ 1,b ＝ 0,即 f(x) ＝ x 2-2x+2,g(x)2＝x -2x+2-(2m)x＝ x 2-(2+2m )x+2.2 2m2或 2 m2 4 ,22mm∴2≤ 2 或2≥6, 即 m ≤ 1 或 m ≥ log 26. 18. （本小题满分 12 分）已知α , β是方程 4x 2-4kx-1 ＝0(k ∈ R) 的两个不等实根 , 函数2x k f (x)的定义域为［α , β ］ .x 2 1(1) 判断函数 f(x) 在定义域内的单一性 , 并给出证明 ;(2) 记 g(k) ＝ maxf(x)-minf(x), 若对随意 k ∈ R, 恒有 g( k) a 1k 2 建立 , 务实数 a 的取值范围 .解：(1)f(x) 在［ α , β ］上是增函数 , 证明以下 : 设 α ≤ x 1＜ x 2≤ β, 则 4x 2-4kx 1-1 ≤ 0,4x2 -11 2-4kx 2 ≤ 0,4(x 1 2 2 2 1 2≤ 0,+x )-4k(x +x )-2∴2x 1x 2-k(x 1+x 2)1 ＜ 0.2则 f ( x 2 )f ( x 1 ) 2x 2 k 2 x 1 k ( x 2 x 1 )[ k( x 1x 2 ) 2x 1 x 2 2]x 221 x 121(x 121)( x 221).又［ k(x +x )-2x x +2］＞［ k(x +x )-2x1 ］＞ 0,1 1x +212122∴f(x 2)-f(x 1)＞0. 2故 f(x) 在区间［ α , β ］上是增函数 .或应用导数方 法 证 明( 仅限理科 ): f ' (x)2x 2 2kx2∈[ kk 2 1 kk 2 1 ( x21)2,x2 ,2 ] ,易知当 x ∈［ α , β ］时 ,4x 2-4kx-1 ≤0, ∴ -2x 2+2kx+2≥ 3.2∴ f ′(x) ≥ 0.故 f(x)(2)g(k)在区间［ α , β ］上是增函数＝ f( β )-f( α ).＝k 21(16k 240) a 1k 2恒建立 .16k 225a16k 24011525, 考虑15的最大值为3, ∴a≥8.16k 22516k 216k 2255519.12 分）已知函数 f (x)x1（本小题满分22|x|.(1)若 f(x)＝ 2，求 x 的值 ;(2) 若 2t f(2t)+m f(t)≥ 0 对于 t ∈［ 1,2 ］恒建立，务实数m的取值范围 .解：（ 1）当 x＜ 0 时， f(x)＝ 0；当 x≥ 0 时，f ( x) 2x12x;2x1由条件 , 可知2，即2- 2·2-1 ＝0.2x x2 x解得 2 x1 2 .x2).∵2＞0, ∴x＝ log 2( 1（ 2）当 t ∈［ 1,2］时， 2t ( 22t 12t) m(2t1t ) 0, 22即 m(22t -1) ≥ -(2 4t -1).2t∵2 -1 ＞0，∴m≥ -(2 2t +1).∵t∈［ 1,2 ］，∴ -(2 2t +1) ∈［ -17,-5］.故 m的取值范围是［- 5,+ ∞).20. （本小题满分12 分）设2x af (x)（ a,b 为实常数） .2 x 1b（1）当 a＝ b＝ 1 时，证明 f(x) 不是奇函数；（2）设 f(x) 是奇函数，求 a 与 b 的值；（ 3）当 f(x)是奇函数时，证明对任何实数x、 c 都有 f(x)＜c2-3c+3建立.（ 1）证明：f ( x)2 x12 x 1，1211 f (1)1，225111 f ( 1)22，4因此 f(- 1) ≠ -f(1)， f(x)不是奇函数 .（ 2）解：当 f(x)是奇函数时， f(-x)＝ -f(x)，即2xx 1a2xa对随意实数 x 建立 .x 12b2b化简整理 , 得 (2a- b) ·22x+(2ab- 4) ·2x+(2a-b) ＝ 0，这是对于x 的恒等式，2a b0,因此2ab 40.a1,a1,因此（舍去）或b 2.b2（ 3）证明：f ( x)2 x1112 x22，12 x 1x x0＜1＜ 1.因为 2 ＞ 0，因此 2 +1＞ 1，2x 111f ( x)进而;2223233而 c -3c+3 ＝( c)4对任何实数 c 建立 ,24＜ c2-3c+3 建立 .因此对任何实数x、 c 都有 f(x)21.（本小题满分12 分）函数 f(x)的定义域为 D＝ {x|x＞ 0}, 知足 : 对于随意 m,n∈D,都有 f(mn)＝ f(m)+f(n),且 f(2)＝ 1.(1) 求 f(4) 的值 ;(2) 假如 f(2x-6)≤ 3, 且 f(x)在(0,+ ∞) 上是单一增函数, 求 x 的取值范围 .解： (1)f(4)＝f(2×2) ＝ f(2)+f(2)＝1+1＝ 2.(2)3 ＝2+1＝ f(4)+f(2)＝f(4×2) ＝ f(8).因为 f(x) 在(0,+∞) 上是增函数 ,因此 f(2x-6)≤ 3f(2x-6)≤ f(8)0＜ 2x-6 ≤ 83＜ x≤ 7, 即 x 的取值范围是(3,7 ］. 22. （本小题满分12 分）设函数 f(x)＝ ax2+bx+c, 且f (1)ab3 ；2（ 1） a＞ 0 且3a 4（2）函数 f(x) 在区间（ 0， 2）内起码有一个零点；,3a ＞2c＞ 2b. 求证：（ 3）设 x ,x是函数 f(x)的两个零点，则 2 ≤|x -x| ＜57 2.1124证明：（ 1）∵ f(1)＝ a+b+c＝a，∴3a+2b+2c＝ 0.2又 3a＞2c ＞ 2b，∴3a＞ 0,2b ＜0. ∴a＞ 0,b ＜ 0.又 2c＝-3a-2b ，由 3a＞ 2c＞ 2b，∴3a＞ -3a-2b ＞2b.∵a ＞ 0 ，∴b 33.a4（ 2）∵ f （ 0）＝ c ， f （ 2）＝ 4a+2b+c ＝ a-c,①当 c ＞0 时，∵ a ＞ 0，∴ f （ 0）＝ c ＞ 0 且 f (1)a ＜ 0.2∴函数 f （ x ）在区间（ 0，1）内起码有一个零点 .②当 c ≤0 时，∵ a ＞ 0，∴ f (1)a2＜ 0 且 f(2) ＝ a-c ＞ 0.∴函数 f （ x ）在区间（ 1，2）内起码有一个零点 . 综合①② , 得 f （x ）在（ 0， 2）内起码有一个零点 .（ 3）∵x 1， x 2 是函数 f （ x ）的两个零点，则 x 1,x 2 是方程 ax 2+bx+c ＝ 0 的两根， ∴ x 1 x 2b, x 1 x 2c3 b .aa2 a∴ | x 1 x 2 |(x 1x 2 )24 x 1 x 2( b ) 24(3 b) (b2) 2 2 .a2 aa∵ 3b 3 ，a4∴ 2 ≤ |x -x 2| ＜57 .14。