解三角形题型分类讲解课件.doc

解三角形知识点总结及题型分类讲解一、知识点复习1、正弦定理及其变形a b c sin A sin B sin C 2R (R为三角形外接圆半径）（1）a 2R sin A,b 2R s in B,c 2R s in C (边化角公式）a b c（2）sin A ,sin B ,sin C (角化边公式）2R 2R 2R（）3 a : b:c sin A:s in B : sin Ca sin A a sin Ab sin B(4) , ,b sin Bc sin C c sin C2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b 和A，求B时的解的情况:如果sin A sin B，则B有唯一解；如果sin A sin B 1，则B有两解；如果sin B 1，则B有唯一解；如果sin B 1，则B无解.3、余弦定理及其推论2 2 2a b c 2bc cos A2 2 2b ac 2ac cosB2 2 2c a b 2ab cosC cos Acos Bcos C2 2 2b c a2bc2 2 2a c b2ac2 2 2a b c2ab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.5、常用的三角形面积公式1（1）底高S ；ABC21 1 1（2）S ab C bc A ca BABC sin sin sin2 2 2（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）a b c,b c a,a c b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2）在ABC中，A B a b sin A sin B(即大边对大角，大角对大边）. （3）在△ABC中，A B C ，所以sin( A B) sin C ；cos(A B) cos C；tan( A B) tan C .（4）sin AB2cosCA2,cos2BsinC2.二、典型例题题型1、计算问题（边角互换）例1、在ABC 中，若sin A : sin B : sin C 3 : 5:7，则角C 的度数为答案：C 2 3例2、已知ABC 中， A 60 ，a 3 ，则 a b csin A sin B sin C=．答案：2例3、在锐角△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2asinB= b．求角A 的大小；答案：??3题型2、三角形解的个数例1. 在△ABC 中，已知b=40,c=20,C= 60。

，则此三角形的解的情况是（）A. 有一解B.两解C. 无解D.有解但个数不确定例2. 在ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )A、a 7，b 14 ，A 30 ；B、b 25 ，c 30 ，C 150 ；C、b 4 ，c 5，B 30 ；D、a 6 ，b 3 ，B 60 。

例3. 在△ABC 中，b sinA＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定例4，在ABC 中，a=x, b=2, B= 45°, 若三角形ABC有两个解，则x 的取值范围____________.o例5．在ABC 中 a ,b 3 ( 0) , A 45 ,则满足此条件的三角形有几个？题型 3、判断三角形形状 例 1 在 ABC 中，已知 2222(a b ) sin( A B) (a b ) sin( A B) , 判断该三角形的形状。

答案：等腰三角形或直角三角形例 2△ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，则△ABC 为 A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形例 3. △ABC 中，a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若 ?? sin ??= ??cos ??=??, 则△ABCcos ??为A.锐角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.任意三角形例 4. 在 ABC 中，已知3b = 2 3??sin ??,且cos ??= cos??, 角 A 是锐角，则 ABC 的形状是 _________________.例 5. 在 ABC 中，若sin ??= 2 sin ??cos ??,且sin ? ?2 = sin ??2 + sin ??2, 则 ABC 的形状是 _________________.【点拨】 判断三角形形状问题， 一是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为 边与边之间的关系， 通过因式分解等方法化简得到边与边关系式， 从而判断出三 角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、 余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系， 通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系， 从而判断出三角形的形状。

（边化角） 题型 4、求范围或最值问题例1、在锐角ABC 中，BC=1，B=2A，则????的值等于______,AC 的取值范围为cos ??________.例2、在ABC 中， A 60 ，BC=3 ，则ABC 的两边AC+AB的取值范围是____________.例3、在ABC 中，∠B 60 ，AC= 3，，则AB+2BC 的最大值————————.例4、在ABC 中，∠B 60 ，AC= 3 ，则ABC 的周长的最大值为_________________.例5、△ABC 中，a,b,c 分别为角A,B,C 的对边，且a cos??+ 12??= ??.(1).求角A 的大小(2)若a=1, 求三角形ABC 的周长l 的取值范围.题型5、面积问题例1、ABC 的一个内角为01 ，并且三边构成公差为 4 的等差数列，则ABC20的面积为答案：15 3例2.设在ABC 的内角A, B,C 所对边的长分别是a,b, c ，且b=3，c=1，△ABC 的面积为 2 ，求cosA 与a 的值；4ABC A, B,C a,b,c, B cos A ,b 3例3:在中，角的对边分别为，。

3 5（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC 的面积.例4： C 的内角，，C 所对的边分别为a，b ，c．向量??= ??, 3 ??与??= cos??, sin ??平行．（I）求；（II）若a 7 ，b 2求 C 的面积例5．在ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足(1) 求△ABC的面积；(2) 若c＝1，求a 的值．例 6. 在锐角△ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 2asinB= b ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．例 7 ： △ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知2 c o C s a( c B o s + bc A o s c（I ）求 C ； （II ）若c7,△ABC 的面积为3 3 2，求△ABC 的周长． 题型六、边化角，角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢？若两边都是正弦首先考虑角化边，若 sin,cos都存在时首先考虑边化角例 1:在△ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，且满足 csinA=acosC ． （Ⅰ）求角C 的大小；例 2 在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c.若 3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A 2B －sin 2A sin 2A的值为_____________.例 3 已知△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，asinA ＋csin C － 2asinC ＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.例4 在△ABC 中，角A ,B,C 所对的边分别是a,b, c,且c os A cos B sin C a b c.（I）证明：sin Asin B sin C ；（II）若 2 2 2 6b c a bc ，求tan B .5例5 在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c. 已知b+ c=2acos B. （I）证明：A=2 B；（II）若△ABC 的面积2aS= ，求角A 的大小.4例6 ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c .（I）若a，b，c 成等差数列，证明：sin A sin C 2 sin A C ；（II）若a，b，c 成等比数列，求cosB的最小值.题型七、三角变换与解三角形的综合问题 例 1.在△ABC 中，AC=6, cos ??= 4 5 ，??= ??4（1） 求AB 的长（2） 求cos ??-??6 的值变式练习 .在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . 且b sin 2 ??= ??sin ?? (1),求角 C （2）.若sin ??- ??3= 3 5，求sin ??的值2.在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且tan ??= 2，tan ??= 3 （1）.求角 A 的大小 （2）若 c=3，求 b 的长.题型八、解三角形与平面向量结合例1.在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c ，且ABC的面积为S，3???????=? 2?.? (1) 求sin ? ?的值??（2）若C=4???????=? 16求b 的值变式练习 1. 在锐角ABC 中，向量m = cos ??+ ??3 ，sin ??+ ??3 ，??=cos ??, sin ??,且??⊥??(1).求A-B 的值（2）.若cos ??= 35 ,????= 8, 求???的?长2.在ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且m = ??- ?，? ??+ ??，??= ??- ?,? ??,且??∥??（1）求B（2）若b = 13, cos ??+ ??6 = 3 3926，求a.题型九、以平面图形为背景的解三角形问题例 1. 在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c ，a = b sin ??+ cos ??.(1). 求∠ABCπ（2）若∠A= ,D 为三角形ABC外一点，DB=2, DC=1, 求四边形ABCD面积2的最大值。

变式练习.如图，在平面四边形ABCD 中，DA⊥AB, DE=1, EC= 7, EA=2, ∠ADC =2??，且∠CBE, ∠BEC，∠BCE 成等差数列.3（1）求sin ∠?????? (2) 求BE 的长??4、如图，在梯形ABCD中，已知A D∥BC,AD=1,BD=2 10，∠????=??,tan ∠ADC=-2，4求：（1）CD的长（2）三角形BCD的面积课时达标训练1、在锐角ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c（1）.设???????=? ???????,?求证三角形ABC 是等腰三角形（2）.设向量S= 2 sin ??, - 3 , ??=cos 2??,cos??,且??∥?,?s i n ??= 13 ,求sin??3-??的值.2、在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . 已知 a>b,a=5,c=6, sin ??= 3 5.(1) 求 b 和sin ??的值（2）求sin 2??+??4 的值3、在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c . a = mb cos ??,??为常数. （1）若 m=2,且cos ??= 1010 ,求cos??的值； （2）若 m=4,求tan （??- ??）的最大值.??4、如图， 在梯形 ABCD 中，已知 A D ∥BC,AD=1,BD=2 10，∠????=??,tan ∠ADC=-2，4求：（1）CD 的长（2）三角形 BCD 的面积5、已知函数 f(x)= 3 2 ? ? ?2?????- cos ??- 12(1) 求 f （x ）的最小值，并写出取得最小值时自变量x 的取值集合；（2）设ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c ，且c= 3，???? = 0,若?????=??2?????，??求?? a,b 的值。