2019年广东省江门市高三1月调研测试数学文试题及答案

广东广州2019年高三年级1月调研测试--数学（文）数学〔文〕总分值：150分、时间：120分钟、本卷须知1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型〔A〕填涂在答题卡相应位置上.2、选择题每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，总分值50分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1、复数1 i〔i为虚数单位〕的模等于〔〕AB 、1 CD 、122、集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，那么=B A 〔 〕 A 、}0{ B 、}4,0{ C 、}4,2{ D 、}4,2,0{3、函数()2030x x x f x x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 那么14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值是〔 〕A 、9B 、19C 、9-D 、19-4、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，假设34512a a a ++=，那么7S 的值为〔 〕A 、56B 、42C 、28D 、14 5、e 为自然对数的底数，函数y x =e x 的单调递增区间是 A . )1,⎡-+∞⎣ B 、(1,⎤-∞-⎦ C 、)1,⎡+∞⎣ D 、(1,⎤-∞⎦确的是〔〕A 、αα//,//,//n m n m 则若B 、βαγβγα//,,则若⊥⊥C 、n m n m //,//,//则若ααD 、n m n m ⊥⊥则若,//,αα 7、如图1，程序结束输出s 的值是〔〕 A 、30 B 、55C 、91D 、1408、函数()()212f x x x cos cos =-⋅，x ∈R ，那么()f x 是〔〕 A 、最小正周期为2π的奇函数B 、最小正周期为π的奇函数C 、最小正周期为2π的偶函数D 、最小正周期为π的偶函数9、在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,,那么方程图222221x y a b +=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为〔〕 A 、12B 、1532C 、1732D 、313210、在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗假设对任意2x >，不等式()2x a xa -⊗≤+都成立，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.17,⎡⎤-⎣⎦B.(3,⎤-∞⎦C.(7,⎤-∞⎦D.()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每题5分，总分值20分.〔一〕必做题〔11～13题〕11、()f x 是奇函数,()()4g x f x =+,()12g =,那么()1f -的值是.12、向量a ，b 基本上单位向量，且a b12=，那么2-a b 的值为.13、设x x f cos )(1=，定义)(1x f n +为)(x f n 的导数，即)(' )(1x f x f n n =+，n ∈N *，假设ABC ∆的内角A 满足1220130f A f A f A ()()()+++=，那么sin A 的值是.〔二〕选做题〔14～15题，考生只能从中选做一题〕 14.〔几何证明选讲选做题〕如图2，AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，PC OP ⊥，PC 交⊙于C ，假设4AP =，2PB =，那么PC 的长是. 15、〔坐标系与参数方程选讲选做题〕 圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数),以原点为极点,x 轴的正图3625x 0611y 11988967乙甲半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=,那么直线l 截圆C 所得的弦长是.【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、〔本小题总分值12分〕函数2f x x x()sin sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 〔1〕求函数)(x f y =的单调递增区间； 〔2〕假设43f ()πα-=，求)42(πα+f 的值.17、〔本小题总分值12分〕某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩〔总分值100分〕的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. 〔1〕求x 和y 的值；〔2〕计算甲班7位学生成绩的方差2s ；〔3〕从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x xn ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中12n x x x x n+++=.18、(本小题总分值14分)四棱锥P ABCD -的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图4、图5分别是四棱锥P ABCD -的侧视图和俯视图.〔1〕求证：AD PC ⊥；〔2〕求四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积.19、〔本小题总分值14分〕数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}1{+n S 是公比为2的等比数列，2a 是1a 和3a 的等比中项. 〔1〕求数列}{n a 的通项公式； 〔2〕求数列{}n na 的前n 项和nT .20.〔本小题总分值14分〕()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，且()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行.〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕是否存在t ∈N *，使得方程()370f x x+=在区间()1t t ,+内有两个不等的实数根？假设存在，求出t 的值；假设不存在，说明理由. 21.〔本小题总分值14分〕椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的右焦点与抛物线22:4C y x =的焦点F 重合,椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ,53PF =. (1)求椭圆1C 的方程；(2) 假设过点()1,0A -的直线与椭圆1C 相交于M 、N 两点，求使FM FN FR+=成立的动点R 的轨迹方程； (3) 假设点R 满足条件〔2〕，点T 是圆()2211x y -+=上的动点，求RT 的最大值.参考答案说明：1、参考答案与评分标准指出了每道题要考查的要紧知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，假如考生的解法与参考答案不同，可依照试题要紧考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数、2、对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视妨碍的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分、2018-1-103、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分、 【一】选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ADBCADCCBC【二】填空题11、2114.【三】解答题16、(本小题要紧考查三角函数性质、同角三角函数的差不多关系、二倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) （1） 解：2f x x x()sin sin π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x cos sin =+……………1分x xsin cos⎫=+⎪⎪⎝⎭4xsinπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.……………3分由22242k x k,πππππ-+≤+≤+……………4分解得32244k x k k,ππππ-+≤≤+∈Z.……………5分∴)(xfy=的单调递增区间是32244k k k[,],ππππ-++∈Z (6)分〔2〕解：由〔1〕可知)4sin(2)(π+=xxf，∴43f()παα-==，得13sinα=.……………8分∴)42(πα+f=22sinπα⎛⎫+⎪⎝⎭……………9分2cosα=……………10分()212sinα=-……………11分9=.……………12分17、(本小题要紧考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必定的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)〔1〕解：∵甲班学生的平均分是85，∴92968080857978857x+++++++=.……………1分∴5x =.……………2分∵乙班学生成绩的中位数是83， ∴3y =.……………3分〔2〕解：甲班7位学生成绩的方差为2s ()()()22222221675007117⎡⎤=-+-+-++++⎢⎥⎣⎦40=.……5分 〔3〕解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ……………6分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E ……………7分 从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E .……………9分其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D()()()(),,,,,,,A E B C B D B E .……………11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事 件M ，那么()710P M =.答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为710.……………12分18、〔本小题要紧考查空间线面位置关系、三视图、几何体的侧面积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力〕〔1〕证明：依题意，可知点P 在平面ABCD 上的正射影是线段CD 的FE D CBAP中点E ，连接PE ，那么PE ⊥平面ABCD .……………2分 ∵AD ⊂平面ABCD ， ∴AD PE ⊥.……………3分 ∵AD CD ⊥，CDPE E CD ,=⊂平面PCD ，PE ⊂平面PCD ，∴AD ⊥平面PCD .……………5分 ∵PC ⊂平面PCD ， ∴AD PC ⊥.……………6分〔2〕解：依题意，在等腰三角形PCD 中，3PC PD ==，2DE EC ==， 在Rt △PED中，PE ==7分过E 作EF AB ⊥，垂足为F ，连接PF ， ∵PE ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB PE ⊥.……………8分∵EF ⊂平面PEF ，PE ⊂平面PEF ，EF PE E =，∴AB ⊥平面PEF .……………9分 ∵PF ⊂平面PEF ，∴AB PF ⊥.……………10分依题意得2EF AD ==.……………11分 在Rt △PEF中，3PF ==，……………12分∴△PAB 的面积为162S AB PF ==. ∴四棱锥P ABCD -的侧面PAB 的面积为6.……………14分 19、(本小题要紧考查数列、数列求和等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)〔1〕解：∵}1{+n S 是公比为2的等比数列， ∴11112)1(2)1(1--⋅+=⋅+=+n n n a S S .……………1分∴12)1(11-⋅+=-n n a S . 从而11122+=-=a S S a ，221233+=-=a S S a .……………3分 ∵2a 是1a 和3a 的等比中项∴)22()1(1121+⋅=+a a a ，解得=1a 1或11-=a .……………4分 当11-=a 时，11+S 0=，}1{+n S 不是等比数列……………5分 ∴=1a 1.∴12-=n nS .……………6分当2n ≥时，112--=-=n n n n S S a .……………7分∵11=a 符合12-=n na ， ∴12-=n n a .……………8分 〔2〕解：∵12n n na n -=，∴1211122322n nT n -=⨯+⨯+⨯++.①……………9分 21231222322n nT n =⨯+⨯+⨯++.②……………10分①-②得2112222n n nT n --=++++-……………11分12212n nn -=--……………12分 =()121nn --.……………13分∴()121n n T n =-+.……………14分20.〔本小题总分值14分〕(本小题要紧考查二次函数、函数的性质、方程的根等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)〔1〕解法1：∵()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()05,，∴可设()()5f x ax x =-，0a >.……………1分∴25f x ax a /()=-……………2分∵函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行， ∴()16f /=-.……………3分 ∴256a a -=-，解得2a =.……………4分 ∴()()225210f x x x x x =-=-……………5分解法2：设()2f x ax bx c =++，∵不等式()0f x <的解集是()05,，∴方程20ax bx c ++=的两根为05,. ∴02550c a b ,=+=.①……………2分 ∵2f x ax b /()=+.又函数()f x 在点()()11f ,处的切线与直线610x y ++=平行， ∴()16f /=-. ∴26a b +=-.②……………3分由①②,解得2a =,10b =-.……………4分 ∴()2210f x x x =-.……………5分〔2〕解：由〔1〕知，方程()37f x x+=等价于方程32210370x x -+=. ……………6分设()h x =3221037x x -+，那么()()26202310h x x x x x /=-=-.……………7分当1003x ,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x /<，函数()h x 在1003,⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；………8分 当103x ,⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x />，函数()h x 在103,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增 (9)分 ∵()()1013100450327h h h ,,⎛⎫=>=-<=> ⎪⎝⎭……………12分 ∴方程()0h x =在区间1033,⎛⎫ ⎪⎝⎭，1043,⎛⎫ ⎪⎝⎭内分别有唯一实数根，在区间()03,,()4,+∞内没有实数根.……………13分∴存在唯一的自然数3t =，使得方程()370f x x+=在区间()1t t ,+内有且只有两个不等的实数根……………14分21.(本小题要紧考查求曲线的轨迹方程、直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解法1：抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0，准线为1x =-，设点P 的坐标为()0,x y ，依据抛物线的定义，由53PF =，得01x +53=，解得023x =.……………1分∵点P 在抛物线2C 上，且在第一象限， ∴202443y x ==⨯，解得0y =. ∴点P的坐标为23⎛ ⎝⎭.……………2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上，∴2248193a b +=.……………3分 又1c =，且22221a b c b =+=+，…………4分 解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.……………5分 解法2:抛物线22:4C y x =的焦点F 的坐标为()1,0， 设点P 的坐标为()00x y ,,0000x y ,>>.∵53PF =,∴()2202519xy -+=.①……………1分∵点P 在抛物线22:4C y x =上,∴2004y x =.②解①②得023x =,0y =. ∴点P的坐标为23⎛ ⎝⎭.……………2分∵点P 在椭圆22122:1x y C a b+=上，∴2248193a b +=.……………3分 又1c =，且22221a b c b =+=+，……………4分解得224,3a b ==. ∴椭圆1C 的方程为22143x y +=.……………5分 (2)解法1：设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ， 那么()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.∴()12122,FM FN x x y y +=+-+. ∵FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=.①……………6分 ∵M 、N 在椭圆1C 上，∴222211221, 1.4343x y x y +=+= 上面两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=.②把①式代入②式得()()()12121043x x x y y y +--+=.当12x x ≠时，得()1212314x y yx x y+-=--.③……………7分 设FR 的中点为Q ，那么Q 的坐标为1,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭. ∵M 、N 、Q 、A 四点共线， ∴MNAQ kk =,即121221312yy y y x x x x -==+-++.④……………8分 把④式代入③式，得()3134x yx y+=-+， 化简得()2243430y x x +++=.……………9分当12x x =时，可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=.……………10分 解法2：当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()1y k x =+，由()221143y k x x y ,,⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得()22223484120k x k x k +++-=.设点M ()11,x y 、()22,N x y 、(),R x y ， 那么2122834k x x k +=-+, ()()()1212122611234k y y k x k x k x x k +=+++=++=+.…6分∵()()()11221,,1,,1,FM x y FN x y FR x y =-=-=-.∴()12122,FM FN x x y y +=+-+.∵FM FN FR +=,∴121221,x x x y y y +-=-+=. ∴21228134k x x x k +=+=-+,①2634k y k =+.②……………7分 ①÷②得()314x k y+=-，③……………8分 把③代入②化简得()2243430y x x +++=.(*)……………9分当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为1x =-, 依题意,可得点R 的坐标为()3,0-，经检验，点()3,0R -在曲线()2243430y x x +++=上.∴动点R 的轨迹方程为()2243430y x x +++=.……………10分(3)解:由(2)知点R ()x y ,的坐标满足()2243430y x x +++=,即()224343y x x =-++,由20y ≥,得()23430x x -++≥,解得31x -≤≤-.……………11分∵圆()2211x y -+=的圆心为()10F ,,半径1r =,∴RF ==12=……………12分∴当3x =-时,4RF max=,……………13分如今,415RT max=+=.……………14分。

本题选择 B 选项.
2．与向量 a 1, 3, 2 平行的一个向量是（ ）
A．
1 3
,1,1
B． 1, 3, 2
C．
1 2
,
3 2
,
1
D． 2, 3, 2 2
【答案】C
【解析】由题意可得：
1 2
,
3 2,11 21,3,
2
，即
1 2
,
3 2
,
1
1,
3,
2
，满足
向量平行的充要条件.
本题选择 C 选项.
（ ），
为预测人口数， 为初期人口数， 为预测期内年增长率， 为预测期间隔年数。如果在某一
时期有
，那么在这期间人口数
A． 呈下降趋势 【答案】A 【解析】 【分析】
B． 呈上升趋势
C． 摆动变化
D． 不变
可以通过 与 之间的大小关系进行判断。 【详解】
当
时，
，
所以 【点睛】
，呈下降趋势。
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广东省江门市 2019 年普通高中高二调研测试（一）
数学理科试卷
评卷人 得分
一、单选题
1．“ x 0 ”是“ ln x 1 0 ”的（ ）
A． 充分非必要条件 B． 必要非充分条件 C． 非充分非必要条件 D． 充要条件 【答案】B
【解析】求解指数不等式 ln x 1 0 有： 0 x 11 ，则 1 x 0 ， 据此可得：“ x 0 ”是“ ln x 1 0 ”的必要非充分条件
A． 4 B． -6 【答案】D
C． 4 或-6
D． 1 或 1 46
【解析】若 k 0 ，则圆锥曲线为双曲线，其标准方程为： x2 y2 1，则 c2 1 1 ，

2019届广东省江门市高三调研测试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|230}A x x x =+-<，{|21}xB x =≥，则AB =（ ）A ．(,3]-∞-B ．(,1]-∞C ．(3,0]-D ．[0,1) 2. i 是虚数单位，R 是实数集，a R ∈，若12a iR i+∈-，则a =（ ） A ．12 B ．12- C ．2 D ．-2 3.已知:0p a <；2:q a a >，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要4. e 是自然对数的底数，若1(,1)x e -∈，ln a x =，1()2xb =，xc e =，则（ ）A ．b c a >>B ．a b c >> C. c b a >> D ．c a b >> 5.若||1a =，||2b =，()(2)1a b a b +-=-，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．3π-B ．6π- C. 3π D ．6π 6.若抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线222813x y p-=的右焦点，则此双曲线的离心率为（ ）A B 7.已知点(,)a b 在直线230x y ++=上运动，则24ab+有（ ）A ．最大值16B 最小值16 D 8.已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//m n ，//m α ⇒ //n α ②//αβ，//m n ， m α⊥⇒ n β⊥ ③m n ⊥，m α⊥⇒ //n α，或n α⊂ ④αβ⊥，//m α ⇒ m β⊥ 其中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．49.正项等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若11a =，2635128a a a a +=，则下列结论正确的是（ ） A ．n N +∀∈，1n n S a +≤ B ．n N +∃∈，312n n n n a a a a ++++=+ C. n N +∀∈，12n n n a a a ++≤ D ．n N +∃∈，212n n n a a a +++= 10.已知函数()sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像（ ） A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称 C. 关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称 11.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱的长度为（ ）A ．4B ．3 C.．12.设m R ∈，函数22()()()xf x x m e m =-+-（e 是自然对数的底数），若存在0x 使得01()2f x ≤，则m =（ ） A ．14 B ．13 C. 12D ．1 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.直线20x y +=被曲线222610x y x y +--+=所截得的弦长等于 ．14.已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数2z x ay =+仅在点(3,4)取得最小值，则a 的取值范围是 ．15.球O 是正方体1111ABCD A B C D -的外接球，若正方体1111ABCD A B C D -的表面积为1S ，球O 的表面积为2S ，则12S S = ． 16.已知函数cos ,[,0]2()(0,1]x x f x x π⎧∈-⎪=∈，若12()f x dx π-=⎰ ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2cos cos cos a A b C c B =+. （1）求A ；（2）若7,8a b ==，求c .18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，n N +∀∈，11(21)44n n S n a =++. （1）求123,,a a a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法给予证明.19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =； （2）若AB BC =，13CBB π∠=，12CAB π∠=，求直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值.20. 在平面直角坐标系Oxy 中，(2,0)A -，(2,0)B ，P 为不在x 轴上的动点，直线PA 、PB 的斜率满足14PA PB k k =-.（1）求动点P 的轨迹Γ的方程；（2）若(3,0)T ，,M N 是轨迹Γ上两点，1MN k =，求TMN ∆面积的最大值. 21. 已知函数()ln f x x ax =-，a 是常数且a R ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(1,0)-，求a 的值；（2）若10a e<<（e 是自然对数的底数），试证明：①函数()f x 有两个零点，②函数()f x 的两个零点12,x x 满足122x x e +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）证明：直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，并求点(1,2)M 到,A B 两点的距离之积. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()||2f x x a x =-+，a 是常数，且a R ∈. （1）求不等式()21f x x ≤+的解集；（2）若1x ≥-时恒有()0f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: DBACC 6-10:ADBAC 11、12：BC 二、填空题13. 4 14. (,2)-∞- 15. 2π16. 14π+三、解答题17.（1）由余弦定理222cos 2c a b B ac +-=，222cos 2a b c C ab+-=，得2cos cos acosA b C c B a =+= ∴1cos 2A =∵0A π<<，∴3A π=.（方法二）由正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =， 得4sin cos 2sin cos 2sin cos 2sin()R A A R B C R C B R B C =+=+A B C π++=，所以1cos 2A =， ∵0A π<<，∴3A π=.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 得222178282c c =+-⨯⨯⨯ 即28150c c -+= 解得：3c =或5c =. 18.（1）分别取1,2,3n =得1113144S a a ==+，21225144S a a a =+=+，312337144S a a a a =++=+， 解得11a =，23a =，35a =. （2）猜想21n a n =-1n =时，由（1）知，11211a ==⨯-，猜想成立，假设()n k k N +=∈时，21k a k =-则1111111[(23)][(21)]4444k k k k k a S S k a k a +++=-=++-++111(23)(21)44k k k a k a +=+-+ 所以111(21)(21)44k k k a k a +-=+因为21k a k =-，所以1212(1)1k a k k +=+=+- 所以，1n k =+时21n a n =-成立， 综上所述，任意n N +∈，21n a n =-. 19.（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接AO ，∵四边形11BB C C 是菱形，∴11BC B C ⊥且O 为1B C 中点， ∵1AB B C ⊥，1ABBC B =，∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂平面1ABC ，∴1B C AO ⊥， O 为1B C 中点，AO 为1B C 的垂直平分线，∴1AC AB =.（2）不妨设2AB BC ==，则1BO C O =，11CO B O ==， ∵12CAB π∠=，∴1AO =，2224AB BO AO =+=，AO BO ⊥又1AO B C ⊥，1B C BO O =，∴AO ⊥平面11BB C C（方法一）以O 为原点，1,,OB OB OA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Oxyz ， 则(0,0,1)A，B ，1(0,1,0)B ，(0,1,0)C - 设平面ABC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则30n AB a c n ACb c ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩， b c -==，设(1,3,n =-，直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB 与平面ABC 所成角的正弦值为111|||cos ,|7||||2n AB n AB n AB <>=== （方法二）设点1B 到平面ABC 的距离为h ， 三棱锥1A BCB -的体积113BCB V S AO ∆=⨯⨯ 三棱锥1B ABC -的体积13ABCV S h ∆=⨯⨯ =，得h =直线1AB 与平面111A B C 所成角的正弦值，即直线1AB与平面ABC 所成角的正弦值为17h AB ==. 20.（1）设(,)P x y 为轨迹Γ上任意一点， 依题意，1224y y x x ⨯=-+-， 整理化简得：221(0)4x y y +=≠ （2）设:MN y x b =+由2214x y y x b⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2252(1)04x bx b ++-=，250b ∆=->设1122(,),(,)M x y N xy ，则1285x x b+=-，2124(1)5x x b =-，12|||MN x x=-=T 到直线MN 的距离d =TMN ∆的面积1||2S MN d =⨯⨯==设22()(3)(5)f x x x =+-，'()2(3)(1)(25)f x x x x =-+-+ 解'()0f x =，得1x =或52x =-或3x =-因为250b ∆=->，即'()0f x =有且仅有一个解1x =，TMN ∆165=. 21.（1）切线的斜率'(1)1k f a ==-(1)f a =-，(1)01(1)2f ak -==---解12aa -=-，得2a = （2）①解1'()0f x a x =-=，得1x a=当10x a <<时，'()0f x >；当1x a>时，'()0f x <，所以()f x 在1x a =处取得最大值1()ln 1f a a=--(1)0f a =-<，因为10a e <<，所以1()ln 10f a a =-->，()f x 在区间1(1,)a有零点，因为()f x 在区间1(0,)a 单调递增，所以()f x 在区间1(0,)a有唯一零点.由幂函数与对数函数单调性比较及()f x 的单调性知，()f x 在区间1(,)a+∞有唯一零点，从而函数()f x 有两个零点. ②不妨设1210x x a <<<，作函数2()()()F x f x f x a =--，20x a<<， 则1()0F a=，222(1)'()'()'()0(2)ax F x f x f x a x ax -=+-=≥- 所以11()()0F x F a <=，即112()()0f x f x a --<，112()()f x f x a->又12()()f x f x =，所以122()()f x f x a->因为1210x x a <<<，所以1221,(,)x x a a -∈+∞，因为()f x 在区间1(,)a+∞单调递减，所以122x x a -<，122x x a+>又10a e <<，1e a>，所以122x x e +>22.（1）由122x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数得直线l的普通方程为30x y +-=由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=（2）方法一：将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得22(1)(2)4(1)0+-=即210t -+=24140∆=-=>，方程有两个不同的根，即直线与曲线相交于两点由参数t 的几何意义得12||||||1MA MB t t ==（方法二）由224030x y x x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得：x =，17y =，||||[1MA MB =+⨯-= 23.（1）依题意，||1x a -≤11x a -≤-≤，11a x a -≤≤+不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+（2）()0f x ≥即||20x a x -+≥等价于30x a x a ≥⎧⎨-≥⎩或0x ax a <⎧⎨+≥⎩等价于3x aa x ≥⎧⎪⎨≥⎪⎩或x a x a <⎧⎨≥-⎩ 当0a ≥时，原不等式的解集为{|}x x a ≥{|}x a x a -≤<{|}x x a =≥-当0a <时，原不等式的解集为{|}3ax x ≥因为1x ≥-时，()0f x ≥恒成立，所以01a a ≥⎧⎨-≤-⎩或013a a <⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞（方法二）3,(),x a x af x x a x a-≥⎧=⎨+<⎩()f x 是单调递增函数，当1x ≥-时，()f x 的最小值为(1)|1|2f a -=+-()0f x ≥恒成立当且仅当|1|20a +-≥，即|1|2a +≥解得：1a ≥或3a ≤-，即a 的取值范围为(,3][1,)-∞-+∞.。

广东省江门市鹤城中学2019-2020学年高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 圆与圆的位置关系为(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离参考答案：B2. 已知函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，则f（2）+f（）=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2参考答案：A【考点】函数的值．【分析】利用函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，求出相应函数值，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，∴f（2）=f（﹣2）=﹣f（2），∴f（2）=0，f（）=f（﹣）=﹣f（）=log22=1，∴f（2）+f（）=1，故选：A．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．3. 设集合，集合。

若中恰含有一个整数u，则实数a的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：B4. 设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：A5. “是真命题”是“是假命题”的（）A、必要不充分条件B、充分不必要条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件参考答案：A略6. 已知z是纯虚数，复数是实数，则z=（）A. －2iB. 2iC.D.参考答案：【分析】根据复数的运算及复数相等，即可得到结论．【详解】∵是实数，∴设a，a是实数，则z+1＝a（2﹣i）＝2a﹣ai，∴z＝2a﹣1﹣ai，∵z为纯虚数，∴2a﹣1＝0且﹣a≠0，即a，∴z＝2a﹣1﹣ai，故选：D．7. 若复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. iB. －iC. 1D. －1参考答案：B【分析】利用已知求得，再利用复数的乘法、除法运算计算即可得解．【详解】，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，故选:B【点睛】本题主要考查了复数的对称关系，还考查了复数的除法、乘法运算，属于基础题．8. 如图，已知P，Q是函数的图象与x轴的两个相邻交点，R是函数的图象的最高点，且=3，若函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的解析式是（）A．B．C．D．参考答案：C由已知，得，则，，于是，得，又，∴，，由，及，得，故，因为与的图象关于对称，则．9. 设都有上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”。