8.2 椭圆的几何性质(5)
——椭圆的参数方程（教案）
齐鲁石化五中 翟慎佳 2002.10.25
1．目的要求：
1．了解椭圆参数方程，了解系数a、b、含义。
2．进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。
3．培养理解能力、知识应用能力。
2．教学目标：
1．知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。
2．能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参数方程解决相关问题。
3．德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。
3．重点难点：
1．重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。
2．难点：椭圆参数方程的推导及应用。
4．教学方法：
引导启发，计算机辅助，讲练结合。
五．教学过程：
（一）引言（意义）
人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。
本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。
（二）预备知识（复习相关）
1．求曲线方程常用哪几种方法？
答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。
2．举例：含参数的方程与参数方程
例如：y=kx+1（k参数）含参方程，而（t参数）是参数方程。
3．直线及圆的参数方程？各系数意义？
（三）推导椭圆参数方程
1．提出问题（教科书例5）
例题．如图，以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个
圆。点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANO x，垂足为
N，过点B作BMAN，垂足为M。求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的参数方程。
2．分析问题
本题是由给定条件求轨迹的问题，
但动点较多，不易把握。故采用间接法
——参数法。
引导学生阅读题目，回答问题：
（1）动点M是怎样产生的？
M与A、B的坐标有何联系？
（2）如何设出恰当参数？
设∠AOX=为参数较恰当。
3．解决问题（板演）
解：设点M的坐标(x,y)，是以Ox为始边，OA为终边的正角，取为参数，那么 x=ON=|OA|cos， y=NM=|OB|sin 即
①引为点M的轨迹参数方程，为参数。
4．更进一步（板演：化普通方程）
分别将方程组①的两个方程变形，得两式平方后相加，
消去参数得方程
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程①是椭圆的参数方程。为参数，为离心角，常数a、b分别是椭圆长半轴和短半轴长。
5．加深理解
（1）椭圆参数方程（为参数），参数有明显几何意义。离
心角与∠MOX一般不同。参数方程提供了设点的方
法。
（2）椭圆参数方程与普通方程可互相转化。“设参←→消
参”。
（3）椭圆的参数方程也可由（a>b>0）三角换元直接得
出，即令，。双曲线也有类似换元。
（4）可仿P95例3，将圆压缩或拉伸的办法求到椭圆参数方
程
（四）参数方程的应用（例题分析）
例1．参数方程普通方程互化（1）（2）
例2. 练习：参数方程普通方程互化（1）（2）
例3．在椭圆上求点P，使P到L：x-y+4=0的距离最小。
分析1：（目标函数法）设P(x,y)为椭圆上任一点，由得
，则P到L的距离
y L x
L 1再想办法求最值，但太繁不可取。
分析2：（几何法）把直线L 平移到L 1与椭圆相切，
此时切点P 为所求的点。即设L 1：x-y+m=0,
由，整理得9y 2-2my+m 2-8=0.由△=4m 2-4·9(m 2-8)=0得m=±3.
如图可知m=3时最小. 可计算平行线间的距离，
，此时P （-）
分析3：（参数法）设P （2cos ,sin ），则有
，其中
当时，d 有最小值，
则， 即P （-）
方法小结：（1）本题运用参数方程比普通方程简单
（2）当直接设点的坐标不易求解时，可尝试建立参数方程例4．P(x,y)为椭圆上任一点，求2x+y 的最大值。
例5．设椭圆上一点P ，使OP 与x 轴正向所成
角∠POX=，求P 点坐标。
分析：本题容易产生错误：认为=，代入椭圆参数方程
x=2,y=3，从而P （2，3）。
事实上，若注意P 对应参数与∠POX 关系，可避免此误。
解：设P （，），由P 与x 轴正向所成的角为，
，即tan=2. 而sin>0,cos>0,
cos=, sin= P 点坐标为（，）。
（四）教学小结：
1．坐标法推导出椭圆的参数方程，学习了a 、b 、的几何意义
2．通过学习，完善了对椭圆的认识。椭圆的两个定义及两种方程都是等价的。
3． 参数方程在解决轨迹问题与极值问题时是有效的。
4．通过学习增强运用参数解题的意识。
（五）补充练习
1．点P 在椭圆7x 2+4y 2=28上，则点P 到直线3x-3y-16=0的距离的最大值为（ ）
A ． B. C. D.
2．P 是椭圆上任意一点，F 1、F 2是两个焦点，且满足PF 1PF 2的点P 有（
）
