中考数学反比例函数-经典压轴题

2009-2013年中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II ) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6=),(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .解析：因为A，B 在反比例函数xy 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y xBy x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 解：(1)∵ 反比例函数xmy =的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10．∴ 反比例函数的表达式为xy 10=． ∵ 点C ﹙5，n∴ 2510==n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ，∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，∴ S △AOC = S △AOB + S △BOC =()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．（2007福建福州）如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，．点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>的交点，428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，．过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，点C 在双曲线8y x =上，当8y =时，1x=．∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8y x=上， 4COE AOF S S ∴==△△ COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形． COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．（3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m，．过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·．解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．图2图3图4例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线1y x b2过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．【答案】解：（1）设反比例函数的解析式kyx，∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴k43，即k=12。

押成都卷第17-18题押题方向一：圆的综合问题3年成都真题考点命题趋势2023年成都卷第17题圆周角、相似、正切从近年成都中考来看，圆的综合问题从2022年起就和反比例函数互换了位置，试题难度明显降低，试题以解答题形式呈现，整体难度中上；预计2024年成都卷还将重视圆综合问题（圆的相关概念与定理、相似、勾股、三角函数）的考查。

2022年成都卷第17题圆周角、相似、勾股定理、余弦1．（2023·四川成都·中考真题）如图，以ABC 的边AC 为直径作O ，交BC 边于点D ，过点C 作CE AB ∥交O 于点E ，连接AD DE ，，B ADE ∠=∠．(1)求证：AC BC =；(2)若tan 23B CD ==，，求AB 和DE 的长．2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以BC 为直径作⊙O ，交AB 边于点D ，在 CD 上取一点E ，使 BE CD =，连接DE ，作射线CE 交AB 边于点F ．(1)求证：A ACF ∠=∠；(2)若8AC =，4cos 5ACF ∠=，求BF 及DE 的长．1）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”；2）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角；3）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化。

比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等；4）注意圆的相关知识和相似、三角函数、勾股定理结合解决相关计算问题。

1．如图，AB 为O 的直径，D ，E 是O 上的两点，延长AB 交O 的切线CD 于点C ．(1)求证：BDC A ∠=∠；(2)若3sin 5E =，4=AD ，807AC =，求CD 的长．2．如图，以ABC 的边AC 为直径的O 恰为ABC 的外接圆，ABC ∠的平分线交O 于点D ，过点D 作∥DE AC 交BC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若25AB =tan 2ACB ∠=，求CE 的长．3．如图，AB 是O 的直径，C 是O 上一点，D 是弧AC 的中点，E 为OD 延长线上一点，且2CAE C ∠=∠，与OE 交于点F ．(1)求证：AE AB ⊥；(2)若9DB =，3tan 4C =，求半径OA 的长．4．如图，AB 是O 的直径，弦CD 交直径AB 于点E ，过点A 作O 的切线交弦CD 的延长线于点F ，点D 为EF 的中点．(1)求证：AED C ∠=∠．(2)作半径OD ，若6AE =，10EF =，求tan AOD ∠的值．5．已知：如图，AB 是O 直径，直线l 经过O 的上一点C ，过点A 作直线l 的垂线，垂足为点D ，AC 平分DAB ∠．(1)求证：直线l 与O 相切；(2)若603DAB CD ∠=︒=，，求O 的半径．6．如图，以点O 为圆心，AB 长为直径作圆，在O 上取一点C ，延长AB 至点D ，连接DC ，DCB DAC ∠=∠，过点A 作AE AD ⊥交DC 的延长线于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若4CD =，2DB =，求AE 的长．7．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点O 为AB 边上一点，以OA 为半径的O 与BC 相切于点D ，分别交AB AC ，边于点E F ，．(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)若2BD =，1tan 2CAD ∠=，求O 的半径．押题方向二：反比例函数与一次函数综合压轴3年成都真题考点命题趋势2023年成都卷第18题求函数解析式、交点坐标、面积、位似的性质等。

1．如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 在x 轴的正半轴上，在第一象限内以OA 为边作OABC ，点()2,C y 和边AB 的中点D 都在反比例函数()0k y x x =>的图象上，已知OCD 的面积为92（1）求反比例函数解析式；（2）点(),0P a 是x 轴上一个动点，求PC PD -最大时a 的值；（3）过点D 作x 轴的平行线（如图2），在直线l 上是否存在点Q ，使COQ ∆为直角三角形？若存在，请直接写出所有的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图：在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，2OB =，//AB x 轴，双曲线k y x=经过点B ，将AOB 绕点B 逆时针旋转，使点O 的对应点D 落在x 轴正半轴上．AB 的对应线段CB 恰好经过点O ．（1）求证OBD 是等边三角形；（2）求出双曲线的解析式，并判断点C 是否在双曲线上．请说明理由；（3）在y 轴上是否存在一点P ．使PBD △的周长最小．若存在．求点P 的坐标：若不存在，请说明理由．3．如图，点(,4)A m ，(,2)B n 在反比例函数k y x=的图象上，AD x ⊥轴于点D ，BC x ⊥轴于点C ，3DC =． （1）求m ，n 的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB ，已知在线段DC 上存在一E 点，使ABE ∆的面积等于5，请求出点E 的坐标．（3）设P 是x 轴上的一个动点，是否存在点P 使得的ABP ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，平面直角坐标系中，点A （0，2），点B （3，﹣2），以AB 为边在y 轴右侧作正方形ABCD ，反比例函数k y x=（x ＞0）恰好经过点D ． （1）求D 点坐标及反比例函数解析式；（2）在x 轴上有两点E ，F ，其中点E 使得ED +EA 的值最小，点F 使得|FD ﹣FA |的值最大，求线段EF 的长．5．如图，一次函数2y kx =+的图象与y 轴交于点A ，正方形ABCD 的顶点B 在x 轴上，点D 在直线2y kx =+上，且AO =OB ，反比例函数n y x =（0x >）经过点C ．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PCD ∆的周长最小时，求出P 点的坐标；（3）在（2）的条件下，以点C 、D 、P 为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点M 的坐标．6．如图在平面直角坐标系中，O 为原点，A 、B 两点分别在y 轴、x 轴的正半轴上，△AOB 的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，P在反比例函数4yx=的图像上．（1）求点P的坐标；（2）若OA＝OB，则①∠P的度数为；②求出此时直线AB的函数关系式；（3）如果直线AB的关系式为y＝kx＋n，且0＜n＜2，作反比例函数nyx=-，过点P(0，1)作x轴的平行线与4yx=的图像交于点M，与nyx=-的图像交于点N，过点N作y轴的平行线与y＝kx＋n的图像交于点Q，若MN＋QN的和始终是一个定值d，求此时k的值及定值d．7．如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y＝6x（x＞0）图象上一点，点B在x轴上，AD＝BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y＝6x（x＞0）图象于点E．（1）平行四边形ABCD的面积等于，（2）设D点横坐标为m，①试用m表示点C的坐标；②试用m表示点E的坐标．（要有推理和计算过程）（3）求CE：EB的值．（4）求EB的最小值．8．点A ，C 是反比例函数()0k y k x=>图象上的两点，AB x ⊥轴．（1）如图1，当ABC ∆是边长为2的等边三角形时，求k 的值；（2）如图2，当AC BC =时，连接OA ，随着点A 在反比例函数图象上移动，四边形OACB 的面积是否为定值？若是，请用含k 的代数式表示这个定值；若不是，请说明理由．9．定义：对于函数y ，我们称函数叫做函数|y |的正值函数．例如：函数y 1x =的正值函数为y =|1x |． 如图，曲线y 4x=(x ＞0)请你在图中画出y =x +3的正值函数的图象． （1）写出y =x +3的正值函数的两条性质； （2）y =x +3的正值函数的图象与x 轴、y 轴、曲线y 4x =(x ＞0)的交点分别是A ，B ，C ．点D 是线段AC 上一动点(不包括端点)，过点D 作x 轴的平行线，与正值函数图象交于另一点E ，与曲线交于点P ．①试求△PAD 的面积的最大值；②探索：在点D 运动的过程中，四边形PAEC 能否为平行四边形？若能，求出此时点D 的坐标；若不能，请说明理由．10．如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=kx(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．（1）写出中点D的坐标，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN ON的最小值．参考答案1．（1）6y x =；（2）6；（3）存在．点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ -⎪⎝⎭ 解：（1）当2x =时，2k y =， 2,2k C ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， OABC 中，//BC OA ，2B c k y y ∴==， D 是边AB 的中点，124D B k y y ∴==，即：4,4D k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 作CE x ⊥轴于点,E DF x ⊥轴于点F ，则()19422422OCD CDFE k k S S ∆⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭梯形，解得：6k =． ∴反比例函数解析式为：6y x=． ()2在PCD 中，PC PD CD -<，当,,P C D 在一条直线上时，PC PD CD -=，由()1知，(),(32,34,2C D ），∴设直线CD 的解析式为：1y k x b =+， 则1123,342k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得：139,42k b =-=， CD ∴的解析式为：3942=-+y x ， 由39042x -+=，得6x =， PC PD ∴-最大时，a 的值为6；()3设点Q 的坐标为3,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，①当∠QOC=90°时，则OQ 2+OC 2=QC 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫+++=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m=94-， ∴点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②当∠OCQ=90°时，则CQ 2+OC 2= OQ 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：m=174， ∴点Q 的坐标为173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③当∠OQC=90°时，则CQ 2+OQ 2= OC 2，即：()22222233232322m m ⎛⎫⎛⎫-+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：， ∴点Q的坐标为23,22⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ -⎪⎝⎭． 综上所述，点Q 的坐标为93,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或173,42⎛⎫ ⎪⎝⎭或23,22⎛⎫ ⎪ +⎪⎝⎭或2322⎛⎫ ⎪ -⎪⎝⎭．2．（1）见解析；（2）双曲线解析式为：y =，在，理由见解析；（3）存在，点(0,3P 解：（1）∵//AB x 轴，∴ABO BOD ∠=∠，∵AOB ∆绕点B 逆时针旋转△CDB∴ABO=CBD ∠∠，∴BOD OBD ∠=∠，∵OB BD =，∴BOD BDO ∠=∠=∠OBD，∴BOD 是等边三角形．（2）由（1）得：BOD 是等边三角形，∴60BOD ∠=︒，y B x B =OB•cos60°=2×1=12∴B ， ∵双曲线k y x=经过点B ，∴1k ==∴双曲线的解析式为y x=； ∵60ABO ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴30A ∠=︒，∴2AB OB =，∵AB BC =，∴2BC OB =，∴OC OB =，∴(1,C -，∵1(-⨯=，∴点C 在双曲线上；（3）∵PBD △的周长BD PB PD =++，且BD 是定值， ∴当PB PD +取最小值时，PBD △有最小值，如图，作点B 关于y 轴的对称点'B ，连接'B D 交y 轴于点P ，∵B ，∴2OB =，()'-13B ，∵BOD 是等边三角形，∴2BO OD ==，∴点D （2，0），设直线'B D 解析式为y kx b =+，∴02k b k b=-+=+⎪⎩，∴k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴33y x =-+， 当0x =时，3y =，∴点P ． 3．（1）3m =，6n =，12y x=；（2）(4,0)E ；（3）存在，点(5,0)P ．解：（1）点(,4)A m ，(,2)B n 在反比例函数k y x=的图象上， 42k m n ∴==，即2n m =，3DC =，3n m ∴-=，3m ∴=，6n =，∴点(3,4)A ，点(6,2)B ，3412k ∴=⨯=，∴反比例函数的表达式为12y x=； （2）设点(,0)E x ， 3DE x ∴=-，6CE x =-，4=AD ，2BC =，()()11163436295222ABE ADE BCE ABCD S S S S x x x ∆∆∆=--=⨯⨯-⨯---⨯=-+=四边形，4x ∴=，∴点(4,0)E ；（3）ABP ∆的周长AB AP BP =++，又AB 是定值，∴当AP BP +的值最小是，ABP ∆的周长最小，如图，作点B 关于x 轴的对称点(6,2)F -，连接AF 交x 轴于点P ，此时PA PB +有最小值，设直线AF 的解析式为y kx b =+，4326k b k b=+⎧⎨-=+⎩， 解得210k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AF 的解析式为210y x =-+，当0y =时，5x =，∴点(5,0)P ．4．（1）D （4，5），20y x=；（2）8021EF = （1）作DM ⊥y 轴于M ，BN ⊥y 轴于N ，∵点A （0，2），点B （3，﹣2），∴OA =2，ON =2，∴AN =4，BN =3，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =90°，AB =AD ，∴∠NAB +∠DAM =90°，∵∠NAB +∠ABN =90°，∴∠DAM =∠ABN ，在△ANB 和△DMA 中，90ABN DAM ANB DMA AB AD ∠=∠⎧⎪∠+∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANB ≌△DMA （AAS ），∴AM =BN =3，DM =AN =4，∴OM =5，∴D （4，5）， ∵反比例函数k y x =（x ＞0）恰好经过点D ． ∴k =4×5=20， ∴双曲线为20y x=； （2）如图2所示：作A 点关于x 轴对称点A ′，连接DA ′，交x 轴于点E ，此时ED +EA 的值最小，∵A （0，2），∴A ′（0，﹣2），设直线DA ′的解析式为：y ax b =+，把A （0，﹣2），D （4，5）代入得245b a b =-⎧⎨+=⎩， 解得：742a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，故直线DA ′解析式为：724y x =-， 当0y =则87x =， 故E 点坐标为：（87，0）， 延长DA 交x 轴于F ，此时|FD ﹣FA |的值最大，设直线AD 的解析式为y mx n =+，把A （0，2），D （4，5）代入得245n m n =⎧⎨+=⎩， 解得342m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 的解析式为324y x =+， 当0y =则83x =-， ∴F （83-，0）， ∴88807321EF =+=． 5．（1）y =x +2，8y x =；（2）P （103，0）；（3）M 的坐标为（43，2），（83，6）或（163，﹣2）． （1）设一次函数y =kx +2的图象与x 轴交于点E ，连接BD ，如图1所示．当x =0时，y =kx +2=2，∴OA =2．∵四边形ABCD 为正方形，OA =OB ，∴∠BAE =90°，∠OAB =∠OBA =45°，∴∠OAE =∠OEA =45°，∴OE =OA =2，点E 的坐标为（﹣2，0）．将E （﹣2，0）代入y =kx +2，得：﹣2k +2=0，解得：k =1，∴一次函数的解析式为y =x +2．∵∠OBD =∠ABD +∠OBA =90°，∴BD ∥OA ．∵OE =OB =2，∴BD =2OA =4，∴点D 的坐标为（2，4）．∵四边形ABCD 为正方形，∴点C 的坐标为（2+2﹣0，0+4﹣2），即（4，2）．∵反比例函数y n x =（x ＞0）经过点C ，∴n =4×2=8，∴反比例函数解析式为y 8x=． （2）作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '交x 轴于点P ，此时△PCD 的周长取最小值，如图2所示．∵点D 的坐标为（2，4），∴点D '的坐标为（2，﹣4）．设直线CD '的解析式为y =ax +b （a ≠0），将C （4，2），D '（2，﹣4）代入y =ax +b ，得：4224a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解得：310a b =⎧⎨=-⎩，∴直线CD '的解析式为y =3x ﹣10． 当y =0时，3x ﹣10=0，解得：x 103=，∴当△PCD 的周长最小时，P 点的坐标为（103，0）．（3）设点M 的坐标为（x ，y ），分三种情况考虑，如图3所示． ①当DP 为对角线时，10423240x y ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：432x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴点M 1的坐标为（43，2）； ②当CD 为对角线时，10243042x y ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：836x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴点M 2的坐标为（83，6）； ③当CP 为对角线时，10243420x y ⎧+=+⎪⎨⎪+=+⎩，解得：1632x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴点M 3的坐标为（163，﹣2）．综上所述：以点C 、D 、P 为顶点作平行四边形，第四个顶点M 的坐标为（43，2），（83，6）或（163，﹣2）．6．（1）P(2，2)；（2）①22.5°；②4y x =-+-（3）k ＝2，d ＝3．解：（1）过P 作PC⊥x 轴于点C ，作PD⊥y 轴于点D ，PE⊥AB 于点E ，如图1，∵AP 和BP 分别是∠BAF 和∠ABC 的平分线，∴PC=PE=PD，设PC=a ，则P （a ，a ），把P （a ，a ）代入4y x=中得，a 2=4， ∴2a =±，由于0a >，因此2a =，∴P(2，2)；（2）①∵OA=OB，∠A0B=90°，∴∠OAB=45°，∴∠BAD=135°，∵∵AP 和BP 分别是∠BAF 和∠ABC 的平分线，∴∠PAD=67.5°，∠POA=45°，∴∠APO=∠PAD -∠POA=22.5°，∴∠P＝22.5°；②过P 作PD⊥y 轴于点D ，如图2，∵OA=OB，OP 平分∠AOB，∴OP⊥AB，∵AP 平分∠BAD，∴PH=PD，由（1）知P （2，2），∴PH=PD=OD=2，OP= ，∴OH=2，OH=4-∴A（0，4-，B（4-0），设直线AB 的解析式为：y =mx +n （m ≠0），则(440n m n ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩ ，解得14m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴直线AB的函数关系式为4y x =-+-（3）如图，把y ＝1代入4y x=中，x ＝4， ∴M(4，1)． 把y ＝1代入n y x=-中，x ＝－n ， ∴N(－n ，1)． 把x ＝－n 代入 y ＝kx ＋n 中，y ＝－kn ＋n ，∴Q(－n ，－kn ＋n)．∴MN＋QN ＝（4＋n ）＋（－kn ＋n －1）＝－kn ＋2n ＋3＝（－k ＋2）n ＋3，∵0＜n ＜2，∴当k ＝2时，MN ＋QN 为定值，定值d ＝3．7．（1）12；（2）①C(3m，6m )m +，6m ）；（3；（4）﹣2解：（1）如图，作DH⊥AB 于H ，设D （m ，n ）． ∵DA＝DB ，DH⊥AB，∴AH＝BH ＝m ，∵点D 在y ＝6x 上， ∴mn＝6，∴S 平行四边形ABCD ＝AB•DH＝2mn ＝12．故答案为12．（2）①由题意D （m ，6m），其中m ＞0 由（1）可知AB ＝2m ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD＝AB ＝2m ，∴C（3m ，6m）． ②∵B（2m ，0），C （3m ，6m ）， 设直线BC 的解析式为y=kx ＋b将点B 和点C 的坐标代入，得0263mk b mk b m=+⎧⎪⎨=+⎪⎩ 解得：2612k m b m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线BC 的解析式为y ＝26mx ﹣12m ，由26612y x y x m m⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得1)6x m y m ⎧=⎪⎨=⎪⎩或(16(1x m y m ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩（因为点E在第一象限，而(1m -＜0，故舍去），m +，6m）． （3）作EF⊥x 轴于F ，CG⊥x 轴于G ．∵EF∥CG， ∴CE BE ＝FG BF． （4）∵CE BE，AD ， 要使得BE 最小，只要AD 最小，=， ∴AD 的最小值为∴BE＝﹣8．（1）k =（2）四边形OACB 的面积是k ，为定值．（1）设点(),2A a ，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则BD =1CD =，如图1，则()C a +．∵ 点A ，C 在同一个反比例函数的图象上，∴2a a =+∴a =∴2k ==（2）四边形OACB 的面积是定值． 证明如下：设,k A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点C 作CD AB ⊥于点D ，如图2， ∵AC BC =， ∴2k BD a =，即点C 的纵坐标为2k a． ∵点C 在反比例函数的图象上， ∴2,2k C a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴CD a =，∴ABC ∆的面积为11222k k AB CD a a ⋅=⋅⋅=． ∵Δ2OAB k S =， ∴ 四边形OACB 的面积是k ，为定值．9．（1）①图象与x 轴交于(﹣3，0)，②当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小；（2）①m32=-时，△PAD 的面积最大，最大值为258；②能，D (﹣1，2)． （1）y =x +3的正值函数为y =|x +3|，函数图象如图所示：函数y =|x +3|的性质：①图象与x 轴交于（﹣3，0）．②当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小．③当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大．（2）①如图2中，设D（m，m+3），则P（43m+，m+3），∴PD43m=-+m2343m mm--+=+，∴S△APD12=•（2343m mm--++）•（m+3）12=-（m2+3m﹣4）12=-（m32+）2258+，∵12-＜0，∴m32=-时，△PAD的面积最大，最大值为258．②如图2中，连接EC．假设四边形APCE是平行四边形，则AD=CD．∵A（﹣3，0），C（1，4），∴D（﹣1，2），∴P（2，2），E（﹣5，2），∴DE=DP=3．∵DE=DP，AD=DC，∴四边形APCE是平行四边形，符合条件．10．（1）D(32，2)，y=3x；（2）458；（3）4．（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．∵OD=DB，∴D(32，2)．∵y=kx经过D(32，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=3x．（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(34，4)，F(3，1)，∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣12×4×34﹣12×3×1﹣12×3×(3﹣34)=458．（3）如图②中，作N J⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，∴BH∴sin∠CBH =CH BH ∵OM ⊥BH ，∴∠OMH =∠BCH =90°．∵∠MOH +∠OHM =90°，∠CBH +∠CHB =90°， ∴∠MOH =∠CBH ．∵OB =OH ，OM ⊥BH ，∴∠MOB =∠MOH =∠CBH ，∴sin∠J OD ，∴N J=ON •sin∠NOD ON ，∴NH ON =NH +N J ，根据垂线段最短可知，当J ，N ，H 共线，且与HK 重合时，HN ON 的值最小，最小值=HK 的长．∵OB =OH ，BC ⊥OH ，HK ⊥OB ，∴HK =BC =4，∴HN ON 是最小值为4．。

一次函数与反比例函数综合题【例1】。

如图，直线l：y=ax+b交x轴于点A（3，0）,交y于第一象限的点P，点P的轴于点B(0,-3），交反比例函数y kx横坐标为4.的解析式；（1）求反比例函数y kx（2)过点P作直线l的垂线l1,交反比例函数y k的图象于x点C,求△OPC的面积.【答案】见解析。

【解析】解：（1）∵y=ax+b交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B（0，-3)，∴3a+b=0，b=－3,解得：a=1,即l1的解析式为:y=x－3，当x=4时，y=1，即P（4，1），将P点坐标代入y k得：k=4，x；即反比函数的解析式为：y4x（2）设直线l1与x轴、y轴分别交于点E,D，∵OA=OB=3,∴∠OAB=∠OBA=45°，∵l⊥l1，∴∠DPB=90°，∴∠ODP=45°，设直线l1的解析式为：y=－x+b,将点P(4,1）代入得：b=5，联立:y=－x+5，y4x，解得：x=1，y=4或x=4，y=1，即C(1，4），∴S△OPC=S△ODE－S△OCD－S△OPE=12×5×5－12×5×1－12×5×1=152.【变式1—1】.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为(4，2）,直线y=–12x+3交AB,BC于点M，N，反比例函数kyx的图象经过点M，N．（1）求反比例函数的解析式；（2)若点P在x轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵B(4,2)，四边形OABC为矩形，∴OA=BC=2，在y=–12x+3中，y=2时，x=2，即M(2,2),将M（2，2）代入kyx=得：k=4，∴反比例函数的解析式为：4yx=.（2）在4yx=中，当x=4时，y=1，即CN=1，∵S四边形BMON=S矩形OABC－S△AOM－S△CON=4×2－12×2×2－12×4×1=4,∴S△OPM=4,即12·OP·OA=4，∵OA=2，∴OP=4,∴点P 的坐标为（4,0）或(－4，0)。