最新中考之反比例函数填空选择压轴题

一次函数、二次函数、反比例函数专题练习考点一：选择、填空压轴题设计意图：根据近四年福建省中考数学的压轴题特点，主要是考查与函数相关的知识点及其综合运用，通过例题的重现，让体会以函数为背景的选择、填空题的压轴题知识点的呈现方式及破题技巧。

∆，使1，如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角ABC∠90BAC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是=︒A B C D【分析】本题考查了动态和函数问题，解题的关键是要能在动态问题中寻求等量关系.要表示y与x之间函数关系图象就要先表示出。

【点评】本题将几何图形中的动态问题与一次函数结合在一起考察，属于综合题，难度适中．解答本题的关键是理解x与y所表示实际意义，并能根据已知条件表示出y与x之间的函数关系式，进而根据根据函数的性质来判断图象的形状，并能正确分析自变量的取值范围。

解决此类题型常用的方法是：以静制动，寻求等量关系，利用全等三角形、相似三角形等知识列出函数关系式。

.2，如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A.B分别在x轴、y轴的正半轴上，∠ABC ＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＞0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）A．1B．C．D．2【分析】根据题意可以求得OA和AC的长，从而可以求得点C的坐标，进而求得k的值，本题得以解决．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3，如图所示，在直角平面坐标系Oxy中，点A.B.C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接O A.O B.OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B.C分别作BE，CF垂直x轴于点E.F，OC与BE相交于点M，记△AO D.△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1.S2.S3，则（）A．S1＝S2+S3B．S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得到S1＝S2，S1＜S3，S2＜S3，用排除法即可得到结论．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，正确的识别图形是解题的关键．4，如图，在平面直角坐标中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A.B两点．正方形ABCD的顶点C.D在第一象限，顶点D在反比例函数y＝（k≠0）的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是．【分析】过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE（AAS），△CBF≌△BAO（AAS），则可求D（5，1），C（4，5），确定函数解析式y＝，C向左移动n个单位后为（4﹣n，5），进而求n的值；【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正方形的性质；熟练掌握反比例函数解析式的求法，灵活运用正方形的性质是解题的关键．5，如图，平面直角坐标系中，A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），反比例函数y＝的图象分别与线段AB，BC交于点D，E，连接DE．若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则k＝（）A．﹣20B．﹣16C．﹣12D．﹣8【分析】根据A（﹣8，0），B（﹣8，4），C（0，4），可得矩形的长和宽，易知点D的横坐标，E的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF的长，然后把问题转化到三角形ADF中，由勾股定理建立方程求出k的值．【点评】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD与BE的比是1：2是解题的关键．6，如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（）A．6B．5C．4D．3【分析】根据题意，可以设出点C和点A的坐标，然后利用反比例函数的性质和菱形的性质即可求得k 的值，本题得以解决．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质、菱形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7，如图，点A的坐标是（﹣2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y＝的图象恰好经过A′B的中点D，则k的值是（）A．9B．12C．15【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA＝BH，OB＝A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．【点评】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．8，如图，函数y＝（k为常数，k＞0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k＝2+；④若MF＝MB，则MD＝2M A．其中正确的结论的序号是．（只填序号）【分析】①设点A（m，），M（n，），构建一次函数求出C，D坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断．②△OMA不一定是等边三角形，故结论不一定成立．③设M（1，k），由△OAM为等边三角形，推出OA＝OM＝AM，可得1+k2＝m2+，推出m＝k，根据OM＝AM，构建方程求出k即可判断．④如图，作MK∥OD交OA于K．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构造平行线，利用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9，如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E.F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为．【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE.BF，然后根据三角形面积公式＝BE•BF＝mn＝．得到S△BEF【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键．10，如图，过原点的直线与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点A在第一象限．点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE．若AC＝3DC，△ADE的面积为8，则k的值为．【分析】连接O，CE，过点A作AF⊥x轴，过点D作DH⊥x轴，过点D作DG⊥AF；由AB经过原点，则A与B关于原点对称，再由BE⊥AE，AE为∠BAC的平分线，可得AD∥OE，进而可得S△ACE＝S△AOC；设点A（m，），由已知条件AC＝3DC，DH∥AF，可得3DH ＝AF，则点D（3m，），证明△DHC∽△AGD，得到S△HDC＝S△ADG，所以S△AOC＝S△AOF+S梯形AFHD+S△HDC＝k++＝12；即可求解；【点评】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键．11，如图，点A1.A3.A5…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点A2.A4.A6……在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∠OA1A2＝∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝…＝∠α＝60°，且OA1＝2，则A n（n为正整数）的纵坐标为．（用含n的式子表示）【分析】先证明△OA1E是等边三角形，求出A1的坐标，作高线A1D1，再证明△A2EF是等边三角形，作高线A2D2，设A2（x，﹣），根据OD2＝2+＝x，解方程可得等边三角形的边长和A2的纵坐标，同理依次得出结论，并总结规律：发现点A1.A3.A5…在x轴的上方，纵坐标为正数，点A2.A4.A6……在x轴的下方，纵坐标为负数，可以利用（﹣1）n+1来解决这个问题．【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质和判定，直角三角形30度角的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，并与方程相结合解决问题．考点二、图表解答题涉及函数的图表解答题主要考查两个方面的知识点：1、图象直观，从题目中所提供的图象把握有用信息；2、函数性质的综合运用。

中考反比例函数经典结论：如图，反比例函数k 的几何意义： (I) 12AOB AOC S S k ∆∆==； (II) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.(1) 如图①，OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)ky x x=>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线1(0)y x x=>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -=例2．(陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数xy 6=),(),,(2211y x By x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .解析：因为A ，B 在反比例函数xy 6=上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此),(),,(2211y x B y x A 中有1212,y y x x -=-=，所以24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x例3．(山东威海)如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数xmy =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．(1) 求反比例函数xmy =和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积．解：(1)∵反比例函数xmy =的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴m=(－2)×( －5)＝10． ∴反比例函数的表达式为xy 10=．∵点C ﹙5，n ﹚在反比例函数的图象上， ∴2510==n ．∴C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，解得⎩⎨⎧-==.31b k ， ∴所求一次函数的表达式为y ＝x －3．(2) ∵一次函数y=x －3的图像交y 轴于点B ，∴B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴OB ＝3．∵A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，∴S △AOC= S △AOB+ S △BOC=()22152215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．例4．（福建福州）如图，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解：（1）点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．∴点A 的坐标为(42)，． 点A 是直线12y x =与双曲线(0)ky k x =>的交点，428k ∴=⨯=．（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =∴点C 的坐标为(18)，． 过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形解法二：如图2，过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点C 在双曲线8y x=上，当8y =时，1x =． ∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8y x=上， 4COE AOF S S ∴==△△COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形．COA CEFA S S ∴=△梯形．1(28)3152CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．（3）反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形． 1124644POA APBQ S S ∴==⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8()P m m，．过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭∴·． 解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，． 若4m >，如图4，AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫∴+-= ⎪⎝⎭，解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，． 例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB 的边长为4，反比例函数的图象过点E （3，4）． （1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC 交于点D ，直线1y x b 2过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；（3）连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．图3O AyBFQE Px图4O x AyBF E QP【答案】解：（1）设反比例函数的解析式k y x， ∵反比例函数的图象过点E （3，4），∴k43，即k=12。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围．【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b，∴b=1，∴一次函数解析式为：y=x+1，∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，∴n=1+1，∴n=2，∴点A的坐标是（1，2）．∵反比例函数的图象过点A（1，2）．∴k=1×2=2，∴反比例函数关系式是：y=（2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ，∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案．2．平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，AD交y轴于P点（1）已知点A的坐标是（2，3），求k的值及C点的坐标；（2）在（1）的条件下，若△APO的面积为2，求点D到直线AC的距离．【答案】（1）解：∵点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，∴3= ，点C与点A关于原点O对称，∴k=6，C（﹣2，﹣3），即k的值是6，C点的坐标是（﹣2，﹣3）；（2）解：过点A作AN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥AC，如图，∵点A（2，3），k=6，∴AN=2，∵△APO的面积为2，∴，即，得OP=2，∴点P（0，2），设过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=kx+b，，得，∴过点A（2，3），P（0，2）的直线解析式为y=0.5x+2，当y=0时，0=0.5x+2，得x=﹣4，∴点D的坐标为（﹣4，0），设过点A（2，3），B（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=mx+b，则，得，∴过点A（2，3），C（﹣2，﹣3）的直线解析式为y=1.5x，∴点D到直线AC的直线得距离为：= ．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标是（2，3），平行四边形ABCD的两个顶点A、C在反比例函数y= （k≠0）图象上，点B、D在x轴上，且B、D两点关于原点对称，可以求得k的值和点C的坐标；（2）根据△APO的面积为2，可以求得OP的长，从而可以求得点P的坐标，进而可以求得直线AP的解析式，从而可以求得点D的坐标，再根据点到直线的距离公式可以求得点D到直线AC的距离．3．已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1）．（1）试确定此反比例函数的解析式；（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．【答案】（1）解：由题意得1= ，解得k=﹣，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，∴OA= =2，∠AOC=30°，∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，∴∠AOB=30°，OB=OA=2，∴∠BOC=60°．过点B作x轴的垂线交x轴于点D．在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD= ，OD= OB=1，∴B点坐标为（﹣1，），将x=﹣1代入y=﹣中，得y= ，∴点B（﹣1，）在反比例函数y=﹣的图象上（3）解：由y=﹣得xy=﹣，∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣的图象上，其中m＜0，∴m（ m+6）=﹣，∴m2+2 m+1=0，∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．∵△OQM的面积是，∴OM•QM= ，∵m＜0，∴mn=﹣1，∴m2n2+2 mn2+n2=0，∴n2﹣2 n=﹣1，∴n2﹣2 n+9=8．【解析】【分析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．4．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.5．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.6．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

反比例函数大题（二大题型）通用的解题思路：题型一．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k 1与k 2同号时，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k 1与k 2异号时，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝在同一直角坐标系中有0个交点． 题型二．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．题型一．反比例函数与一次函数的交点问题（共25小题）1．（2024•新北区校级模拟）如图，双曲线1k y x =与直线232y x =交于A ，B 两点．点(2,)A a 和点(,3)B b −在双曲线上，点C 为x 轴正半轴上的一点．（1）求双曲线1k y x =的表达式和a ，b 的值； （2）请直接写出使得12y y >的x 的取值范围；（3）若ABC ∆的面积为12，求此时C 点的坐标．【分析】（1）把点(2,)A a 和点(,3)B b −代入232y x =，求出a 与b 的值，再将A 点坐标代入1k y x=，即可求出反比例函数解析式；（2）根据A 与B 横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时x 的范围即可；（3）根据12ABC AOC BOC S S S ∆∆∆=+=，求出OC 的长，进而得到此时C 点的坐标．【解答】解：（1）直线232y x =过点(2,)A a 和点(,3)B b −， 3232a ∴=⨯=，332b =−， 2b ∴=−． 双曲线1k y x=过点(2,3)A ， 236k ∴=⨯=，∴双曲线1k y x =的表达式为16y x=；（2）观察图象，可得当2x <−或02x <<时，反比例函数值大于一次函数值，即使得12y y >的x 的取值范围是2x <−或02x <<；（3）(2,3)A ，(2,3)B −−，12ABC AOC BOC S S S ∆∆∆=+=， ∴11331222OC OC ⨯+⨯=， 4OC ∴=，∴此时C 点的坐标为(4,0)．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键．2．（2023•苏州）如图，一次函数2y x =的图象与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点(4,)A n ．将点A 沿x 轴正方向平移m 个单位长度得到点B ，D 为x 轴正半轴上的点，点B 的横坐标大于点D 的横坐标，连接BD ，BD 的中点C 在反比例函数(0)k y x x=>的图象上． （1）求n ，k 的值；（2）当m 为何值时，AB OD ⋅的值最大？最大值是多少？【分析】（1）首先将点(4,)A n 代入2y x =可求出n ，再将点A 的坐标代入/y k x =即可求出k ；（2）过点C 作直线EF x ⊥轴于F AB 于E ，先证ECB ∆和FCD ∆全等，得BE DF =，4CE CF ==，进而可求出点(8,4)C ，根据平移的性质得点(4,8)B m +，则4BE DF m ==−，12OD m =−，据此可得出(12)AB DD m m ⋅=−，最后求出这个二次函数的最大值即可．【解答】解：（1）将点(4,)A n 代入2y x =，得：8n =，∴点A 的坐标为(4,8)，将点(4,8)A 代入k y x=，得：32k =． （2）点B 的横坐标大于点D 的横坐标，∴点B 在点D 的右侧．过点C 作直线EF x ⊥轴于F ，交AB 于E ，由平移的性质得：//AB x 轴，AB m =，B CDF ∴∠=∠，点C 为BD 的中点，BC DC ∴=，在ECB ∆和FCD ∆中，B CDF BC DC BCE DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ECB FCD ASA ∴∆≅∆，BE DF ∴=，CE CF =．//AB x 轴，点A 的坐标为(4,8)，8EF ∴=，4CE CF ∴==，∴点C 的纵坐标为4，由（1）知：反比例函数的解析式为：32y x=， ∴当4y =时，8x =，∴点C 的坐标为(8,4)， ∴点E 的坐标为(8,8)，点F 的坐标为(8,0)，点(4,8)A ，AB m =，//AB x 轴，∴点B 的坐标为(4,8)m +，484BE m m ∴=+−=−，4DF BE m ∴==−，8(4)12OD m m ∴=−−=−2(12)(6)36AB OD m m m ⋅=−=−−+∴当6m =时，AB OD ⋅取得最大值，最大值为36．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象、二次函数的图象和性质，点的坐标平移等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式，理解点的坐标的平移，难点是在解答（2）时，构造二次函数求最值．3．（2024•常州模拟）如图，反比例函数1k y x =的图象与一次函数2y k x b =+的图象交于点(1,2)A −，1(4,)2B −． （1）求函数1k y x=和2y k x b =+的表达式； （2）若在x 轴上有一动点C ，当2ABC AOB S S ∆∆=时，求点C 的坐标．【分析】（1）将点(1,2)A −，1(4,)2B −分别代入反比例函数1k y x =和一次函数2y k x b =+的解析式，求解即可；（2）设AB 与y 轴交于点D 作//CE y 轴交AB 于点E ，利用三角形的面积公式，列出方程，求解即可．【解答】解：（1）将点(1,2)A −，1(4,)2B −分别代入反比例函数1k y x =和一次函数2y k x b =+的解析式， 1122k ∴=−⨯=−，222142k b k b −+=⎧⎪⎨+=−⎪⎩， 12k ∴=，21232k b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． ∴反比例函数的解析式为：2y x =，一次函数的解析式为：1322y x =−+． （2）如图，设AB 与y 轴交于点D ，过点C 作//CE y 轴交AB 于点E ，设(,0)C m ，13(,)22E m m ∴−+．13||22CE m ∴=−+．令0x =，则32y =， 3(0,)2D ∴， 32OD ∴=， 11315()[4(1)]2224AOB B A S OD x x ∆∴=⋅−=⨯⨯−−=． 1522ABC AOB S S ∆∆∴==． ∴115()22B A CE x x ⋅−=，即11315||52222m ⋅−+⋅=． 解得3m =−或9m =，∴点C 的坐标为(3,0)−或(9,0)．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．4．（2024•常州模拟）如图，一次函数1(0)y kx b k =+≠与函数为2(0)m y x x =>的图象交于1(4,1),(,)2A B a 两点．（1）求这两个函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足120y y −>时x 的取值范围；（3）点P 在线段AB 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，交函数2y 的图象于点Q ，若POQ ∆的面积为3，求点P 的坐标．【分析】（1）将A 点坐标代入即可得出反比例函数2(0)m y x x=>，求得函数的解析式，进而求得B 的坐标，再将A 、B 两点坐标分别代入1y kx b =+，可用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）由题意即求12y y >的x 的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x 的取值范围；（3）由题意，设(,29)P p p −+且142p ……，则4(,)Q p p ，求得429PQ p p=−+−，根据三角形面积公式得到14(29)32POQ S p p p∆=−+−⋅=，解得即可． 【解答】解：（1）反比例函数2(0)m y x x=>的图象经过点(4,1)A ， 14m ∴=． 4m ∴=．∴反比例函数解析式为24(0)y x x=>． 把1(2B ，)a 代入24(0)y x x=>，得8a =． ∴点B 坐标为1(2，8)， 一次函数解析式1y kx b =+图象经过(4,1)A ，1(2B ，8)， ∴41182k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．解得29k b =−⎧⎨=⎩． 故一次函数解析式为：129y x =−+．（2）由120y y −>，12y y ∴>，即反比例函数值小于一次函数值． 由图象可得，142x <<．（3）由题意，设(,29)P p p −+且142p ……， 4(,)Q p p∴． 429PQ p p∴=−+−． 14(29)32POQ S p p p∆∴=−+−⋅=． 解得152p =，22p =． 5(2P ∴，4)或(2,5)． 【点评】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．5．（2024•沭阳县模拟）如图，反比例函数k y x=的图象与一次函数y mx n =+的图象相交于(,1)A a −，(1,3)B −两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）设直线AB 交y 轴于点C ，点(,0)N t 是x 轴正半轴上的一个动点，过点N 作NM x ⊥轴交反比例函数k y x =的图象于点M ，连接CN ，OM ．若3COMN S >四边形，求t 的取值范围．【分析】（1）将点B ，点A 坐标代入反比例函数的解析式，可求a 和k 的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；（2）先求出点C 坐标，由面积关系可求解．【解答】解：（1）反比例函数k y x=的图象与一次函数y mx n =+的图象相交于(,1)A a −，(1,3)B −两点， 13(1)k a ∴=−⨯=⨯−，3k ∴=−，3a =，∴点(3,1)A −，反比例函数的解析式为3y x−=，由题意可得：313m n m n =−+⎧⎨−=+⎩，解得：12m n =−⎧⎨=⎩， ∴一次函数解析式为2y x =−+；（2）直线AB 交y 轴于点C ，∴点(0,2)C ，31222OMN OCN COMN S S S t ∆∆∴=+=+⨯⨯四边形， 3COMN S >四边形， ∴312322t +⨯⨯>， 32t ∴>． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．6．（2024•宿迁二模）已知函数1y x=的图象与函数(0)y kx k =≠的图象交于点(,)P m n （1）若2m n =，求k 的值和点P 的坐标．（2）当||||m n …时，结合函数图象，直接写出实数k 的取值范围．【分析】（1）由(0)y kx k =≠得n k m =，然后由2m n =可得到k 的值，设(2,)P n n ，将点P 的坐标代入反比例函数解析式可求得n 的值；（2）由(0)y kx k =≠得n k m =，然后结合条件||||m n …可得k 的取值范围． 【解答】解：（1）(0)y kx k =≠， 122y n n k x m n ∴====．2m n =，(2,)P n n ∴，21n n ∴=，解得：2n =±．m ∴=P ∴或(．（2）y kx =， y n k x m ∴==，||||m n …，1k ∴…．【点评】本题主要考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．7．（2024•泉山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数152y x =+和2y x =−的图象相交于点A ，反比例函数k y x =的图象经过点A ． （1）求反比例函数的表达式；（2）设一次函数152y x =+的图象与反比例函数k y x=的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO ∆的面积．【分析】（1）联立方程求得A 的坐标，然后根据待定系数法即可求得；（2）联立方程求得交点B 的坐标，进而求得直线与x 轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．【解答】解：（1）由1522y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=−⎩得24x y =−⎧⎨=⎩，(2,4)A ∴−， 反比例函数ky x =的图象经过点A ，248k ∴=−⨯=−，∴反比例函数的表达式是8y x =−； （2）解8152y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得24x y =−⎧⎨=⎩或81x y =−⎧⎨=⎩，(8,1)B ∴−，由直线AB 的解析式为152y x =+得到直线与x 轴的交点为(10,0)−，111041011522AOB S ∆∴=⨯⨯−⨯⨯=． 【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，通过方程组求得交点坐标是解题的关键．8．（2023•常州）在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x=的图象相交于点(2,4)A 、(4,)B n ．C 是y 轴上的一点，连接CA 、CB ．（1）求一次函数、反比例函数的表达式；（2）若ABC ∆的面积是6，求点C 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）先求得(0,6)D ，再根据ABC BCDACD S S S ∆∆∆=−得1(42)62CD ⨯⋅−=，进而得出6CD =，据此可得点C 的坐标．【解答】解：（1）点(2,4)A 在反比例函数m y x =的图象上， 248m ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为8y x =； 又点(4,)B n 在8y x =上，2n ∴=， ∴点B 的坐标为(4,2)，把(2,4)A 和(4,2)B 两点的坐标代入一次函数y kx b =+得2442k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得16k b =−⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析为6y x =−+．（2）对于一次函数6y x =−+，令0x =，则6y =，即(0,6)D ， 根据题意得：1(42)62ABC BCD ACD S S S CD ∆∆∆=−=⨯⋅−=， 解得：6CD =，0OC ∴=或12，(0,0)C ∴或(0,12)．【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，解题时注意：一次函数与反比例函数交点坐标同时满足一次函数与反比例函数解析式．9．（2024•姜堰区一模）如图，一次函数12y x a =−+的图象与反比例函数2(0)k y k x=>的图象在第一象限相交于点(,)A m n ，(2,3)B m n −．（1）求a 、k 的值；（2）当120y y >>时，直接写出x 的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，得到3m =，代入A 、B 点的坐标再代入一次函数解析式组成方程组求出n 和a ，最后求出k 值即可；（2）根据函数图象直接写出当120y y >>时自变量取值范围即可．【解答】解：（1）点(,)A m n ，(2,3)B m n −都在反比例函数图象上，3(2)mn n m ∴=⨯−，整理得：2(3)0n m −=，0m ≠，0n ≠，30m ∴−=，解得3m =．(3,)A n ，(1,3)B n 在直线12y x a =−+的图象上，∴623a n a n −+=⎧⎨−+=⎩，解得28n a =⎧⎨=⎩，(3,2)A ∴，(3,2)A 在反比例函数图象上，6k ∴=．8a ∴=，6k =．（2）由（1）可知：(3,2)A ，(1,6)B ，根据函数图象可知，120y y >>时，x 的取值范围为：13x <<．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．10．（2024•昆山市模拟）如图，一次函数11(0)y k x b k =+≠的图象与反比例函数22(0)k y k x=≠的图象相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(2,1)−，点B 的坐标为(1,)n ．（1）求这两个函数的表达式；（2）根据图象，直接写出满足21k k x b x+>的取值范围； （3）求ABO ∆的面积．【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）根据图像直接写出不等式的解集即可；（3）根据AOB AOC BOC S S S ∆∆∆=+代入数据计算即可．【解答】解：（1）(2,1)A −，(1,)B n 在反比例函数图象上，221k n ∴=−⨯=，22k n ∴==−，∴反比例函数解析式为：2y x =−， (2,1)A −，(1,2)B −在一次函数图象上，∴11212k b k b +−=⎧⎨+=−⎩，解得111k b =−⎧⎨=−⎩，∴一次函数解析式为：1y x =−−．（2）根据两个函数图象及交点坐标，不等式21k k x b x +>的解集为：2x <−或01x <<． （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，则(0,1)C −即1OC =，1131211222AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．11．（2024•兴化市一模）已知函数1(k y k x =是常数，0)k ≠，函数2392y x =−+． （1）若函数1y 和函数2y 的图象交于点(2,6)A ，点(4,2)B n −．①求k ，n 的值．②当12y y >时，直接写出x 的取值范围．（2）若点(8,)C m 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ，点D 恰好落在函数1y 的图象上，求m 的值．【分析】（1）①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可；②根据图形分布和解答横坐标直接写出不等式解集即可；（2）先根据平移条件得到(5,1)D m −，再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m 值即可．【解答】解：（1）①函数1y 和函数2y 的图象交于点(2,6)A ，点(4,2)B n −，264(2)k n ∴=⨯=⨯−，解得：12k =，5n =． ②由①可知，反比例函数解析式为12y x =，图象分布在第一、三象限，(2,6)A ，(4,3)B 12y y ∴>时，x 的取值范围为：02x <<或4x >．（2）点(8,)C m 在函数1y 的图象上，点C 先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D ， (5,1)D m ∴−， D 恰好落在函数1ky x =图象上， 5(1)8m m ∴−=，解得53m =−． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．12．（2024•南通模拟）如图，直线AB 交双曲线k y x=于A 、B 两点，交x 轴于点C ，且B 恰为线段AC 的中点，连接OA ．若6OAC S ∆=．求k 的值．【分析】设出点B 的坐标，进而可以表示出点A 和点C 的坐标，再根据OAC ∆的面积即可解决问题．【解答】解：设点B 坐标为(,)k a a ，点B 为线段AC 的中点， ∴22A B ky y a ==， 则点A 的坐标为2(,)2a k a ， ∴2A C x x a +=， ∴32C x a =，则点C 坐标为3(,0)2a ．又AOC ∆的面积为6， ∴132622k a a ⋅⋅=，解得4k =，故k 的值为4．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•亭湖区模拟）如图，等腰三角形OAB 中，AO AB =，点B 坐标为(4,0)顶点A 在反比例函数k y x=的图象上，且OAB ∆的面积为12．（1）k = ．（2）过B 点直线对应的解析式为y x b =+与双曲线k y x =在第一，三象限交点分别为点M ，N ． ①求点M ，N 的坐标．②直接写出不等式0k x b x −−…的解集．【分析】（1）过点A 作AC OB ⊥于点C ，利用三角形面积求得AC 即可求得点A 的坐标是(2,6)，将点A 的坐标代入反比例函数表达式，即可求解；（2）①求得一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立，解方程组即可求解；②根据图象即可求得．【解答】解：（1）过点A 作AC OB ⊥于点C ，等腰三角形OAB 中，AO AB =，点B 坐标为(4,0)，4OB ∴=，OAB ∆的面积为12， ∴1122OB AC ⋅=，6AC ∴=，(2,6)A ∴，顶点A 在反比例函数k y x =的图象上，解得：2612k =⨯=，故答案为：12；（2）①把B 点的坐标代入y x b =+得：40b +=，4b ∴=−，∴过B 点直线解析式为4y x =−， 联立412y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得62x y =⎧⎨=⎩或26x y =−⎧⎨=−⎩，(6,2)M ∴，(2,6)N −−； ②观察图象，不等式0k x b x −−…的解集是06x <…或2x −…．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点的求法，函数与不等式的关系，求得A 点的坐标以及数形结合是解题的关键.14．（2024•常熟市模拟）如图，一次函数112y x =−的图象与y 轴相交于B 点，与反比例函数(0,0)k y k x x =≠>图象相交于点(,2)A m ．（1）求反比例函数的表达式；（2）点C 在点A 的左侧，过点C 作y 轴平行线，交反比例函数的图象于点D ，连接BD ．设点C 的横坐标为a ，求当a 为何值时，BCD ∆的面积最大，这个最大值是多少？【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据三角形面积公式列出关于a 的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．【解答】解：（1）点(,2)A m 在一次函数112y x =−的图象上， ∴1122m −=，解得6m =， (6,2)A ∴，点(6,2)A 在反比例函数图象上，6212k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为：12y x =；（2）在一次函数112y x =−中，令0x =，则1y =−，(0,1)B ∴−，点C 的横坐标为a ，点C 的纵坐标为112a −，12(,)D a a ∴，12112CD a a ∴=−+， 1121(1)22BCD S a a a ∆=⨯−+⨯211642a a =−++2125(1)44a =−−+， 104−<，BCD S ∆∴有最大值，当1a =时，最大值254BCD S ∆=．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数关系式是关键．15．（2024•东海县一模）一次函数5y x =−+与反比例函数k y x=的图象在第一象限交于A ，B 两点，其中(1,)A a ．（1）求反比例函数表达式；（2）结合图象，直接写出5x−+…时，x 的取值范围； （3）若把一次函数5y x =−+的图象向下平移b 个单位，使之与反比例函数k y x =的图象只有一个交点，请直接写出b 的值．【分析】（1）待定系数法求出k 值即可；（2）根据图像和两个函数的交点坐标，直线写出不等式的解集即可；（3）把一次函数5y x =−+的图象向下平移b 个单位得到新的解析式为：5y x b =−+−，联立方程组得到2(5)40x b x −−+=，利用判别式等于0，解出b 值即可．【解答】解：（1）(1,)A a 在一次函数图象上，154a ∴=−+=，即(1,4)A ，(1,4)A 在反比例函数图象上，144k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为：4y x =； （2）联立方程组45y x y x ⎧=⎪⎨⎪=−+⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=⎩，(1,4)A ∴，(4,1)B ， 根据两个函数图象可知：不等式5kx x −+…的解集为：01x <…或4x …； （3）把一次函数5y x =−+的图象向下平移b 个单位得到新的解析式为：5y x b =−+−， 联立方程组54y x b y x =−+−⎧⎪⎨=⎪⎩，消掉得：45x b x −+−=， 整理得：2(5)40x b x −−+=，△2(5)160b =−−=， 54b ∴−=±，9b ∴=或1．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．16．（2024•钟楼区校级模拟）如图，已知反比例函数k y x=的图象与一次函数y ax b =+的图象相交于点(2,3)A 和点(,2)B n −．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）直接写出不等式k ax b x >+的解集；（3）若点P 是x 轴上一点，且满足PAB ∆的面积是10，请求出点P 的坐标．【分析】（1）将点A 坐标代入反比例函数解析式求出k ，从而求出点B 坐标，再通过待定系数法求一次函数解析式；（2）通过观察图象交点求解；（3）设点P 坐标为(,0)m ，通过三角形PAB 的面积为10及三角形面积公式求解．【解答】解：（1）将(2,3)代入k y x =得32k=，解得6k =，∴反比例函数解析式为6y x =．26n ∴−=，解得3n =−，所以点B 坐标为(3,2)−−，把(3,2)−−，(2,3)代入y ax b =+得：2332a b a b −=−+⎧⎨=+⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为1y x =+；（2）由图象可得当3x <−或02x <<时式kax b x >+；（3）设点P 坐标为(,0)m ，一次函数与x 轴交点为E ，把0y =代入1y x =+得01x =+，解得1x =−，∴点E 坐标为(1,0)−．11532222PAB PAE PBE S S S PE PE PE ∆∆∆∴=+=⨯+⨯=， ∴5102PE =，即5|1|102m +=，解得3m =或5m =−．∴点P 坐标为(3,0)或(5,0)−．【点评】本题考查一次函数与反比例函数的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与不等式的关系．17．（2024•姑苏区校级模拟）如图，以x 轴上长为1的线段AB 为宽作矩形ABCD ，矩形长AD 、BC 交直线3y x =−+于点F 、E ，反比例函数(0)k y x x=>的图象正好经过点F 、E ． （1）线段EF 长为 ；（2）求k 值．【分析】（1）表示出E 、F 的坐标，然后利用勾股定理即可求得EF 的长度；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到(3)(1)(2)k m m m m =−+=+−+，解得即可．【解答】解：（1）点F 、E 在直线3y x =−+图象上，∴设(,3)F m m −+，则(1E m +，(1)3)m −++，即(1,2)m m +−+EF ∴．故答案为：（2）反比例函数(0)k y x x=>的图象正好经过点F 、E ， (3)(1)(2)k m m m m ∴=−+=+−+，解得1m =，(3)122k m m ∴=−+=⨯=．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，求线段的长度，正确表示出点的坐标是解题的关键．18．（2024•昆山市一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数11(y k x b k =+，b 为常数，且10)k ≠与反比例函数22(k y k x=为常数，且20)k ≠的图象交于点(,6)A m ，(4,3)B −． （1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）当210k k x b x>+>时，直接写出自变量x 的取值范围； （3）已知一次函数1y k x b =+的图象与x 轴交于点C ，点P 在x 轴上，若PAC ∆的面积为9；求点P 的坐标．【分析】（1（2）根据函数图象，写出反比例函数图象在一次函数上方时且在x 轴上方时，自变量的取值范围，即可求解；（3）先求得点C 的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【解答】解：（1）将(4,3)B −代入2k y x=， 解得：212k =−，∴反比例函数表达式为12y x =−， 将(,6)A m 代入12y x=−， 解得：2m =−， (2,6)A ∴−，将(2,6)A −，(4,3)B −代入1y k x b =+，得112643k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得：1323k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数的表达式为：332y x =−+； （2）(2,6)A −，(4,3)B −， 根据函数图象可得：当210k k x b x >+>时，20x −<<； （3）332y x =−+，令0y =， 解得：2x =，(2,0)C ∴，设(,0)P p ，则|2|PC p =−，PAC ∆的面积为9， ∴1|2|692p ⨯−⨯=， 解得：5p =或1−，(5,0)P ∴或(1,0)P −．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数19．（2024•盐城模拟）如图，已知一次函数11y k x b =+的图象与反比例函数22k y x=，分别交于点A 和点B ，且A 、B 两点的坐标分别是(1,2)A −−和(2B ．)m ，连接OA 、OB ．（1）求一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x =的函数表达式； （2）求AOB ∆的面积．【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式，用AB 两点坐标求出直线解析式即可；（2）求出直线AB 与x 轴的交点M 的坐标，利用AOB BMO AMO S S S ∆∆∆=+代入数据计算即可．【解答】解：（1）点(1,2)A −−在反比例函数图象上，2k ∴=，反比例函数解析式为：2y x=； (2B ．)m 在反比例函数图象上，1m ∴=，即(2,1)B ，点AB 在一次函数11y k x b =+的图象上，∴11221k b k b −+=−⎧⎨+=⎩，解得：111k b =⎧⎨=−⎩， 一次函数解析式为：1y x =−，（2）设直线AB 交x 轴于点M ，当0y =，1x =，(1,0)M ，1OM =． 所以1131112222AOB BMO AMO S S S ∆∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=．小的分界点．20．（2024•天宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x b =+的图象与x 轴交于点(1,0)A −，与y 轴交于点B ，与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点C ，且AB BC =．点D 是x 轴正半轴上一点，连接CD ，45ODC ∠=︒．（1）求b 和k 的值；（2）求ACD ∆的面积．【分析】（1）将点A 坐标代入一次函数解析式，求出b 的值，再利用平行线分线段成比例的性质得出1OH OA ==，24CH OB ==，求出C 点坐标，即可求出k 的值；（2）根据45ODC ∠=︒得到DCH ∆是等腰直角三角形，求出AD ，再求ACD ∆的面积即可．【解答】解：（1）将点(1,0)A −代入一次函数2y x b =+，得20b −+=，解得2b =，(0,2)B ∴，2OB ∴=，在22y x =+中，令0y =，则1x =−，(1,0)A ∴−，1OA ∴=，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，则//OB ， ∴OA OB AB AH CH AC==， AB BC =， ∴1212AH CH ==， 2AH ∴=，4CH =，1OH OA ∴==，(1,4)C ∴， 反比例函数(0)k y x x=>的图象过点C ， 144k ∴=⨯=； （2）45ODC ∠=︒，CH x ⊥轴于点H ，45DCH ∴∠=︒，DCH ∴∆是等腰直角三角形，4DH CH ∴==，1146AD ∴=++=，ACD ∴∆的面积为：11641222AD CH ⋅=⨯⨯=．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质，求出点C 坐标是解决本题的关键．21．（2024•姑苏区校级一模）如图，一次函数1y kx b =+的图象与反比例函数2(0)m y x x=>的图象交于点(4,1)A 和点(2,)B n ．（1）求一次函数和反比例函数解析式；（2）过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连接OA ，求四边形OABC 的面积；（3）根据图象直接写出使kx b+<x 的取值范围．【分析】（1）采用待定系数法求函数解析式．先将点A 的坐标代入反比例函数解析式，求出m 值，再将点B 代入反比例函数解析式求出nn 值，然后将A 、B 点坐标代入一次函数解析数即可．（2）四边形OABC 的面积可由一次函数与坐标轴围成的三角形减去两个小三角形的面积得到，求出一次函数与坐标轴的交点即可求出面积．（3）结合图象确定x 的取值范围即可．【解答】解：（1）将点(4,1)A 代入2(0)m y x x =>中， 得14m =，解得4m =， 故24y x =； 将点(2,)B n 代入24y x =，可得422n ==，将(4,1)A ，(2,2)B 代入1y kx b =+，得1422k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得123k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， 故1132y x =−+；（2）如图所示，对于一次函数1132y x =−+，令0x =，则13y =，即(0,3)E令10y =，则6x =，即(6,0)D ，6OD ∴=，3OE =，(2,2)B ，BC y ⊥轴，2BC ∴=，321CE =−=，设AOD ∆的高为h ，由(4,1)A 可知1h =，DOE BOE AODOABC S S S S ∆∆∆=−−四边形 111222OD OE BC CE OD h =⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯111632161222=⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯5=；（3）结合图象可知，当mkx b x +<时， x 的取值范围为02x <<或4x >．【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数的图象性质、待定系数法等综合知识，解决本题的关键是求得正确的点的坐标，将四边形OABC 放在大三角形中求解面积．22．（2024•新北区一模）如图，反比例函数(0)k y x x=>与一次函数2y x m =+的图象交于点(1,4)A ，BC y ⊥轴于点D ，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B 、C ．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接AB ，若1OD =，求ABC ∆的面积．【分析】（1）将点A 坐标分别代入两个解析式得到k 、m 值即可；（2）将1y =分别代入两个解析式求出点B 、C 坐标，根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：（1）点(1,4)A 在反比例函数图象上，144k ∴=⨯=，∴反比例函数解析式为：4y x=， 2y x m =+的图象过点(1,4)A ，421m ∴=⨯+．解得2m =，∴一次函数解析式为：22y x =+．（2）将1y =代入4y x=得4x =， (4,1)B ∴，将1y =代入22y x =+得12x =−，1(2C ∴−，1)， 194()22BC ∴=−−=， 1927(41)224ABC S ∆∴=⨯⨯−=． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．23．（2024•武进区校级模拟）如图，直线3y x =−+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，与反比例函数(0)k y k x=≠的图象交于点C ，过点C 作CB x ⊥轴于点B ，3AD AC =． （1）求点A 的坐标及反比例函数的解析式；（2）若点E 是直线3y x =−+与反比例函数(0)k y k x=≠图象的另一个交点，求COE ∆的面积．【分析】（1）求出点A 、点D 的坐标，然后表示出AO 、DO 的长度，再根据//CB y 轴得出DA DO AC OB =，由3AD AC =得出3OD BO =，求出点的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）联立两个函数解析式求出点E 坐标，再根据三角形的面积公式求面积即可．【解答】解：（1）直线3y x =−+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，(0,3)A ∴，(3,0)D ，即3OA =，3OD =，CB x ⊥轴，//CB y ∴轴， ∴DA DO AC OB=， 3AD AC =，3OD OB ∴=，1OB ∴=，∴点C 的横坐标为1−，点C 在直线3y x =−+上， ∴点(1,4)C −，144k ∴=−⨯=−，∴反比例函数的解析式为4y x=−； （2）联立方程组34y x y x =−+⎧⎪⎨=−⎪⎩，解得14x y =−⎧⎨=⎩或41x y =⎧⎨=−⎩， ∴直线与反比例函数图象的另一个交点E 的坐标为(4,1)−，111115||||313422222COE AOC AOD C D S S S OA x OA x ∆∆∆∴=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=． 【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求函数解析式，求出反比例函数解析式是解答本题的关键．24．（2024•东海县一模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y x b =+的图象经过点(2,0)A −，与反比例函数ky x=的图象交于(,4)B a ，C 两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）点M 是反比例函数图象在第一象限上的点，且4MAB S ∆=，请求出点M 的坐标；（3）反比例函数具有对称性，适当平移就可发现许多神奇的现象．将该双曲线在第一象限的一支沿射线BC 方向平移，使其经过点C ，再将双曲线在第三象限的一支沿射线CB 方向平移，使其经过点B ，平移后的两条曲线相交于P ，Q 两点，如图2，此时平移后的两条曲线围成了一只美丽的“眸”， PQ 为这只“眸”的“眸径”，请求出“眸径” PQ 的长．【分析】（1）用待定系数法分别求一次函数和反比例函数的表达式；（2）由4MAB S ∆=，得点M 满足在与2y x =+M 在y x =或4y x =+上，列方程组求出交点，即可求出点M ；（3）将反比例函数平移后组成方程组求出交点，再求出PQ 长即可． 【解答】解：（1）把(2,0)A −代入y x b =+，得02b =−+， 2b ∴=，2y x ∴=+，把(,4)B a 代入2y x =+，得42a =+， 2a ∴=， 248k ∴=⨯=， 8y x∴=， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为：2y x =+，8y x=； （2）令2y x =+中0y =，得2x =−， ∴点(2,0)A −，AB ∴=142MAB S h ∆==⨯，h ∴=M 满足在与2y x =+∴点M 在y x =或4y x =+上，由8y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩22x y ⎧=−⎪⎨=−⎪⎩点M 在第一象限， ∴点M坐标为，由48y x y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得1122x y ⎧=−+⎪⎨=+⎪⎩2222x y ⎧=−−⎪⎨=−⎪⎩ 点M 在第一象限，∴点M坐标为(2−+2+，综上点M坐标为或(2−+2+； （3）平移之后的曲线为：866y x =−+和866y x =+−， 由866866y x y x ⎧=+⎪⎪−⎨⎪=−⎪+⎩，得11x y ⎧=⎪⎨=−⎪⎩22x y ⎧=−⎪⎨=⎪⎩，∴点(P −点Q，−，PQ ∴=【点评】本题考查了一次函数及反比例函数的性质的应用，待定系数法的应用及交点的求法是解题关键． 25．（2024•泗阳县校级二模）如图，已知(4,)A n −，(2,4)B −是一次函数y kx b =+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB ∆的面积； （3）直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x 的取值范围．【分析】（1）先把B 点坐标代入代入my x =，求出m 得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；。

中考数学与反比例函数有关的压轴题附答案解析一、反比例函数1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A（﹣2，3）和点B（m，﹣2）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）直线x=1上有一点P，反比例函数图象上有一点Q，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，直接写出点Q的坐标．【答案】（1）解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数y= 的图形上，∴k=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣，∵点B在反比例函数y=﹣的图形上，∴﹣2m=﹣6，∴m=3，∴B（3，﹣2），∵点A，B在直线y=ax+b的图象上，∴，∴，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1（2）解：∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是以AB为边的平行四边形，∴AB=PQ，AB∥PQ，设直线PQ的解析式为y=﹣x+c，设点Q（n，﹣），∴﹣ =﹣n+c，∴c=n﹣，∴直线PQ的解析式为y=﹣x+n﹣，∴P（1，n﹣﹣1），∴PQ2=（n﹣1）2+（n﹣﹣1+ ）2=2（n﹣1）2，∵A（﹣2，3）．B（3，﹣2），∴AB2=50，∵AB=PQ，∴50=2（n﹣1）2，∴n=﹣4或6，∴Q（﹣4. ）或（6，﹣1）【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出AB=PQ，AB∥PQ，设出点Q的坐标，进而得出点P的坐标，即可求出PQ，最后用PQ=AB建立方程即可得出结论．2．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）∵顶点在直线y=x+3上，∴﹣2+3=m﹣1，得m=2；（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，∵点N在抛物线上，∴点N的纵坐标为： a2+a+2，即点N（a， a2+a+2）在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，而NB2=（ a2+a+2）2，=（ a2+a）2+（a2+4a）+4∴NF2=NB2，NF=NB（3）解：连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA，∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB，∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°，又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ = ，PF2=PA×PB= ，过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，PG= = ，∴PO=PG+GO= ，∴P（﹣，0）设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，∴直线PF：y= x+ ，解方程 x2+x+2= x+ ，得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），当x=﹣3时，y= ，∴M（﹣3，）．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（x1， y1），B（x2， y2）两点（A与B不重合），直线AB与x轴交于P（x0，0），与y轴交于点C．（1）若A，B两点坐标分别为（1，3），（3，y2），求点P的坐标．（2）若b=y1+1，点P的坐标为（6，0），且AB=BP，求A，B两点的坐标．（3）结合（1），（2）中的结果，猜想并用等式表示x1，x2，x0之间的关系（不要求证明）．【答案】（1）解：∵直线y=ax+b与双曲线y= （x＞0）交于A（1，3），∴k=1×3=3，∴y= ，∵B（3，y2）在反比例函数的图象上，∴y2= =1，∴B（3，1），∵直线y=ax+b经过A、B两点，∴解得，∴直线为y=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴P（4，O）（2）解：如图，作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG 交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，∴= ，= = ，∵b=y1+1，AB=BP，∴= ，= = ，∴B（，y1）∵A，B两点都是反比例函数图象上的点，∴x1•y1= • y1，解得x1=2，代入= ，解得y1=2，∴A（2，2），B（4，1）（3）解：根据（1），（2）中的结果，猜想：x1， x2， x0之间的关系为x1+x2=x0【解析】【分析】（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y= 求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而即可求得P的坐标；（2）作AD⊥y轴于D，AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，BG⊥y轴于G，AE、BG交于H，则AD∥BG∥x轴，AE∥BF∥y轴，得出 = ， = = ，根据题意得出 = ， = = ，从而求得B（， y1），然后根据k=xy得出x1•y1= • y1，求得x1=2，代入 = ，解得y1=2，即可求得A、B的坐标；（3）合（1），（2）中的结果，猜想x1+x2=x0．2．如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B （0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．【答案】（1）解：∵A（5，0），∴OA=5．∵，∴，解得OC=2，∴C（0，﹣2），∴BD=OC=2，∵B（0，3），BD∥x轴，∴D（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴，设直线AC关系式为y=kx+b，∵过A（5，0），C（0，﹣2），∴，解得，∴；（2）解：∵B（0，3），C（0，﹣2），∴BC=5=OA，在△OAC和△BCD中∴△OAC≌△BCD（SAS），∴AC=CD，∴∠OAC=∠BCD，∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，∴AC⊥CD；（3）解：∠BMC=45°．如图，连接AD，∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，∴BD∥x轴，∴四边形AEBD为平行四边形，∴AD∥BM，∴∠BMC=∠DAC，∵△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°．【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出反比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定△OAC≌△BCD，得出AC=CD，∠OAC=∠BCD，进而AC⊥CD；（3）由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出△OAC≌△BCD，∴AC=CD，∵AC⊥CD，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠BMC=∠DAC=45°.3．如图，已知直线y=x+k和双曲线y= （k为正整数）交于A，B两点．（1）当k=1时，求A、B两点的坐标；（2）当k=2时，求△AOB的面积；（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为S n，若S1+S2+…+S n= ，求n的值．【答案】（1）解：当k=1时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+1和y= ，解得，，∴A（1，2），B（﹣2，﹣1）（2）解：当k=2时，直线y=x+k和双曲线y= 化为：y=x+2和y= ，解得，，∴A（1，3），B（﹣3，﹣1）设直线AB的解析式为：y=mx+n，∴∴，∴直线AB的解析式为：y=x+2∴直线AB与y轴的交点（0，2），∴S△AOB= ×2×1+ ×2×3=4；（3）解：当k=1时，S1= ×1×（1+2）= ，当k=2时，S2= ×2×（1+3）=4，…当k=n时，S n= n（1+n+1）= n2+n，∵S1+S2+…+S n= ，∴ ×（…+n2）+（1+2+3+…n）= ，整理得：，解得：n=6．【解析】【分析】（1）两图像的交点就是求联立的方程组的解；（2）斜三角形△AOB的面积可转化为两水平（或竖直）三角形（有一条边为水平边或竖直边的三角形称为水平或竖直三角形）的面积和或差；（3）利用n个数的平方和公式和等差数列的和公式可求出.4．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP= S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上．【答案】（1）解：∵点A（，1）在反比例函数y= 的图象上，∴k= ×1= ，∴反比例函数表达式为y= .（2）解：∵A（，1），AB⊥x轴于点C，∴OC= ，AC=1，∵OA⊥OB，OC⊥AB，∴∠A=∠COB，∴tan∠A= =tan∠COB= ，∴OC2=AC•BC，即BC=3，∴AB=4，∴S△AOB= × ×4=2 ，∴S△AOP= S△AOB= ，设点P的坐标为（m，0），∴ ×|m|×1= ，解得|m|=2 ，∵P是x轴的负半轴上的点，∴m=﹣2 ，∴点P的坐标为（﹣2 ，0）（3）解：由（2）可知tan∠COB= = = ，∴∠COB=60°，∴∠ABO=30°，∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，∴∠OBD=60°，∴∠ABD=90°，∴BD∥x轴，在Rt△AOB中，AB=4，∠ABO=30°，∴AO=DE=2，OB=DB=2 ，且BC=3，OC= ，∴OD=DB﹣OC= ，BC﹣DE=1，∴E（﹣，﹣1），∵﹣ ×（﹣1）= ，∴点E在该反比例函数图象上【解析】【分析】（1）由点A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数表达式；（2）由条件可求得∠A=∠COB，利用三角函数的定义可得到OC2=AC•BC，可求得BC的长，可求得△AOB的面积，设P点坐标为（m，0），由题意可得到关于m的方程，可求得m的值；（3）由条件可求得∠ABD=90°，则BD∥x轴，由BD、DE的长，可求得E点坐标，代入反比例函数解析式进行判断即可．5．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B、与y轴交于点A，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO= ，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限内的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．（3）若动点D在反比例函数图象的第四象限上运动，当线段DC与线段DB之差达到最大时，求点D的坐标．【答案】（1）解：∵tan∠ABO= ，∴ = ，且OB=4，∴OA=2，∵CE⊥x轴，即CE∥AO，∴△AOB∽△CEB，∴ = ，即 = ，解得CE=3，∴C（﹣2，3），∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数解析式为y=﹣（2）解：设D（x，﹣），∵D在第四象限，∴DF=x，OF= ，∴S△DFO= DF•OF= x× =3，由（1）可知OA=2，∴AF=x+ ，∴S△BAF= AF•OB= （x+ ）×4=2（x+ ），∵S△BAF=4S△DFO，∴2（x+ ）=4×3，解得x=3+ 或x=3﹣，当x=3+ 时，﹣的值为3﹣，当x=3﹣时，﹣的值为3+ ，∵D在第四象限，∴x=3﹣不合题意，舍去，∴D（3+ ，3﹣）（3）解：∵D在第四象限，∴在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，即当B、C、D三点共线时，其差最大，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得，解得，∴直线AB解析式为y=﹣ x+2，联立直线AB和反比例函数解析式可得，解得或（舍去），∴D（6，﹣1），即当线段DC与线段DB之差达到最大时求点D的坐标为（6，﹣1）【解析】【分析】（1）由条件可求得OA，由△AOB∽△CEB可求得CE，则可求得C点坐标，代入反比例函数解析式可求得m的值，可求得反比例函数解析式；（2）设出D的坐标，从而可分别表示出△BAF和△DFO的面积，由条件可列出方程，从而可求得D点坐标；（3）在△BCD中，由三角形三边关系可知CD﹣CB≤BC，当B、C、D三点共线时，其差最大，联立直线BC与反比例函数解析式可求得D点坐标．6．如图，在菱形ABCD中，， ,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若 ,①求证：△△；②求DF的长.【答案】（1）解：连结BD（2）解：①②【解析】【分析】（1）连结BD ，根据菱形的性质及等边三角形的判定方法首先判定出△CDB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出DE⊥BC，CE=2，然后利用勾股定理算出DE的长；（2）①首先判断出△AGD∽△EGF，根据相似三角形对应边成比例得出，又∠AGE=∠DGF，故△AGE∽△DGF；②根据相似三角形的性质及含30°直角三角形的边之间的关系及勾股定理得出EF的长，然后过点E作EH⊥DC于点H，在Rt△ECH中，利用勾股定理算出FH的长，从而根据线段的和差即可算出答案.7．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .设点E的坐标为（x, ）,∴ ,∴x=4m.∴为定值.（3）解：存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中,∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"由勾股定理得，GF= ，AD=∴ .由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.8．已知如图，二次函数的图象经过A（3，3），与x轴正半轴交于B 点，与y轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点O.（1）求B点的坐标及二次函数的解析式；（2）抛物线上一点Q（m，m+3），（m为整数），点M为△ABC的外接圆上一动点，求线段QM长度的范围；（3）将△AOC绕平面内一点P旋转180°至△A'O'C'（点O'与O为对应点），使得该三角形的对应点中的两个点落在的图象上，求出旋转中心P的坐标.【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，∴∠ADC=∠AEB=90°∵二次函数与y轴交于点C，点C坐标为（0，2）∵点A坐标（3，3）∴DA=AE=3∵∠DAC+∠CAE=90°∠EAB+∠CAE=90°∴∠DAC=∠EAB∴△ACD≌△ABE∴EB=CD=3-2=1OB=3+1=4∴点B的坐标为（4，0）将A（3，3）B（4，0）代入二次函数中得：解得：二次函数的解析式为：（2）解：将点Q（m，m+3）代入二次函数解析式得：m1=1；m2= （舍）∴m=1∴点Q坐标为(1,4)由勾股定理得：BC=2设圆的圆心为N∵圆经过点O，且∠COB=90°∴BC是圆N的直径，∴圆N的半径为，N的坐标为（2,1）由勾股定理得，QN=半径r= ，则≤QM≤（3）解：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P的坐标为当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，如图设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3得：解得：∴的坐标为（）∴旋转中心P的坐标为综上所述，旋转中心P的坐标为或【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥y轴于点D，AE⊥x轴于点E，求证△ACD≌△ABE，进而求得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；（2）将点Q （m，m+3）代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC，进而求得N的坐标，再利用勾股定理求得QN的长，确定取值范围即可；（3）分两种情况：当点A的对称点，点O的对称点在抛物线上时，利用旋转180°可知，∥，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，利用列出式子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心P的坐标；当点A的对称点，点C的对称点在抛物线上时，设点的横坐标为m，则点的横坐标为m-3，同理可求得m的值以及旋转中心P 的坐标.9．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线l平行于AB.∠EDF=90°，点D 在直线l上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系.（1）【探究发现】如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP=DB，请写出证明过程；（2）【数学思考】如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP=DB，请完成证明过程；（3）【拓展引申】如图4，在（1）的条件下，M是AB边上任意一点（不含端点A、B），N是射线BD上一点，且AM=BN，连接MN与BC交于点Q，这个数学兴趣小组经过多次取M点反复进行实验，发现点M在某一位置时BQ的值最大.若AC=BC=4，请你直接写出BQ的最大值.【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°∵CD∥AB∴∠CBA=∠DCB=45°，且BD⊥CD∴∠DCB=∠DBC=45°∴DB=DC即DB=DP（2）解：∵DG⊥CD，∠DCB=45°∴∠DCG=∠DGC=45°∴DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∵∠BDP=∠CDG=90°∴∠CDP=∠BDG，且DC=DG，∠DCP=∠DGB=135°，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DB=DP（3）解：如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，∵MH⊥MN，∴∠AMH+∠NMB=90°∵CD∥AB，∠CDB=90°∴∠DBM=90°∴∠NMB+∠MNB=90°∴∠HMA=∠MNB，且AM=BN，∠CAB=∠CBN=45°∴△AMH≌△BNQ（ASA）∴AH=BQ∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4 ，AC-AH=BC-BQ∴CH=CQ∴∠CHQ=∠CQH=45°=∠CAB∴HQ∥AB∴∠HQM=∠QMB∵∠ACB=∠HMQ=90°∴点H，点M，点Q，点C四点共圆，∴∠HCM=∠HQM∴∠HCM=∠QMB，且∠A=∠CBA=45°∴△ACM∽△BMQ∴∴∴BQ= +2∴AM=2 时，BQ有最大值为2.【解析】【分析】（1）DB=DP，理由如下：根据等腰直角三角形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，根据二直线平行，内错角相等得出∠CBA=∠DCB=45°，根据三角形的内角和得出∠DCB=∠DBC=45°，最后根据等角对等边得出 DB=DC ，即DB=DP；（2）利用ASA判断出△CDP≌△GDB ，再根据全等三角形的对应边相等得出DB=DP；（3）如图4，过点M作MH⊥MN交AC于点H，连接CM，HQ，利用ASA判断出△AMH≌△BNQ 根据全等三角形的对应边相等得出AH=BQ，进而判断出点H，点M，点Q，点C四点共圆，根据圆周角定理得出∠HCM=∠HQM ，然后判断出△ACM∽△BMQ ，根据相似三角形的对应边成比例得出,根据比例式及偶数次幂的非负性即可得出求出答案.10．综合与探究如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为( ，0).（1）求抛物线的解析式；（2）若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；（3）在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和( ，0)，∴，解得：；∴ .（2）解：ΔAA′B是等边三角形；∵，解得：，∴A( )，B( )，过点A分别作AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，∴AC= ，OC= ，在RtΔAOC中OA= ，∵点A′与点A关于原点对称，∴A′( )，AA′= ，∵B( )，∴A′B=2-(- )= ，又∵A( )，B( )，∴AD= ，BD= ，在RtΔABD中AB= ，∴AA′=A′B=AB，∴ΔAA′B是等边三角形（3）解：存在正确的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；设点P的坐标为：（x，y）．①当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P为：；②当AB为对角线时，有，解得：，∴点P为：；③当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P为：；综合上述， , ,【解析】【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在正确得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P 的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．11．如图，正方形、等腰的顶点在对角线上(点与、不重合)，与交于，延长线与交于点，连接 .（1）求证： .（2）求证：（3）若，求的值.【答案】（1）解：∵是正方形，∴，，∵是等腰三角形，∴，，∴，∴，∴（2）解：∵是正方形，∴，，∵是等腰三角形，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴，∴，（3）解：由(1)得，，，∴，由(2) ，∴，∵，∴，在中，，∴【解析】【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到，∠APF=∠ABP，可证明△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到，由（2）可得，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ即可求解．12．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．（1）抛物线的对称轴为直线x=-3，AB=4．求抛物线的表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标；（3）当m=4时，抛物线上有两点M（x1， y1）和N（x2， y2），若x1＜2，x2＞2，x1+x2＞4，试判断y1与y2的大小，并说明理由．【答案】（1）解：抛物线 y=-x2+mx+n的对称轴为直线x=-3，AB=4．∴点 A（-5，0），点B（-1，0）．∴抛物线的表达式为y=-（x+5）（ x+1）∴y=-x2-6x-5．（2）解：如图1，依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=-x2+bx．∴抛物线的对称轴为直线x＝，抛物线与x正半轴交于点C（b，0）．∴b＞0．记平移后的抛物线顶点为P，∴点P的坐标（，），∵△OCP是等腰直角三角形，∴ =∴b=2．∴点P的坐标（1，1）．（3）解：如图2，当m=4时，抛物线表达式为：y=-x2+4x+n．∴抛物线的对称轴为直线 x=2．∵点M（x1， y1）和N（x2， y2）在抛物线上，且x1＜2，x2＞2，∴点M在直线x=2的左侧，点N在直线x=2的右侧．∵x1+x2＞4，∴2-x1＜x2-2，∴点M到直线x=2的距离比点N到直线x=2的距离近，∴y1＞y2．【解析】【分析】（1）先根据抛物线和x轴的交点及线段的长，求出抛物线的解析式；（2）根据平移后抛物线的特点设出抛物线的解析式，再利用等腰直角三角形的性质求出抛物线解析式；（3）根据抛物线的解析式判断出点M，N的大概位置，再关键点M，N的横坐标的范围即可得出结论．13．小明利用函数与不等式的关系，对形如 ( 为正整数)的不等式的解法进行了探究．（1）下面是小明的探究过程，请补充完整：①对于不等式，观察函数的图象可以得到如表格：的范围的符号+﹣由表格可知不等式的解集为．②对于不等式，观察函数的图象可以得到如表表格：的范围的符号+﹣+由表格可知不等式的解集为________．③对于不等式，请根据已描出的点画出函数(x+1)的图象；观察函数的图象补全下面的表格：的范围的符号+﹣________________由表格可知不等式的解集为________．……小明将上述探究过程总结如下：对于解形如 ( 为正整数)的不等式，先将按从大到小的顺序排列，再划分的范围，然后通过列表格的办法，可以发现表格中的符号呈现一定的规律，利用这个规律可以求这样的不等式的解集．（2）请你参考小明的方法，解决下列问题：①不等式的解集为________．②不等式的解集为________．【答案】（1）或；+；-；或（2）或或；或且【解析】【解答】(1)②由表格可知不等式的解集为或，故答案为：或；③当时，，当时，，由表格可知不等式的解集为或，故答案为：+，﹣，或；(2)①不等式的解集为或或，故答案为：或或；②不等式的解集为或且，故答案为：或且【分析】根据题意可知在表格中写出相应的函数值的正负性，借此来判断相应的不等式的解集.（1）②根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；③根据表格中的数据可以直接写出不等式的解集；（2）①根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集；②根据小明的方法，可以直接写出该不等式的解集．14．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）（1）求反比例函数的解析式；（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．【答案】（1）解：∵点A（4，1）在反比例函数y= 的图象上，∴m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=（2）解：∵点B在反比例函数y= 的图象上，∴设点B的坐标为（n，）．将y=kx+b代入y= 中，得：kx+b= ，整理得：kx2+bx﹣4=0，∴4n=﹣，即nk=﹣1①．令y=kx+b中x=0，则y=b，即点C的坐标为（0，b），∴S△BOC= bn=3，∴bn=6②．∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，∴1=4k+b③．联立①②③成方程组，即，解得：，∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3【解析】【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出m的值；（2）设点B的坐标为（n，），将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，利用根与系数的关系可找出n、k的关系，由三角形的面积公式可表示出来b、n的关系，再由点A在一次函数图象上，可找出k、b的关系，联立3个等式为方程组，解方程组即可得出结论．15．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B=________°；（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5.若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长.【答案】（1）15（2）解：如图①中，在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC=90°，∠BAC=2∠BAD，∴∠B+2∠BAD=90°，∴△ABD是“准互余三角形”，∵△ABE也是“准互余三角形”，∴只有2∠B+∠BAE=90°，∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°，∴∠CAE=∠B，∵∠C=∠C=90°，∴△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，∴CE= ，∴BE=5﹣ = .（3）解：如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.∴CF=CD=12，∠BCF=∠BCD，∠CBF=∠CBD，∵∠ABD=2∠BCD，∠BCD+∠CBD=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°，∴A、B、F共线，∴∠A+∠ACF=90°∴2∠ACB+∠CAB≠90°，∴只有2∠BAC+∠ACB=90°，∴∠FCB=∠FAC，∵∠F=∠F，∴△FCB∽△FAC，∴CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，∴x=9或﹣16（舍去），∴AF=7+9=16，在Rt△ACF中，AC=【解析】【解答】（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，∴2∠B+∠A=90°，解得，∠B=15°；【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得CA2=CE•CB，由此即可解决问题；（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC，可得CF2=FB•FA，设FB=x，则有：x（x+7）=122，推出x=9或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出AC即可；。

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，m）和B（﹣8，﹣2），与y轴交于点C．（1）m=________，k1=________；（2）当x的取值是________时，k1x+b＞；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点．设直线OP 与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE=3：1时，求点P的坐标．【答案】（1）4；（2）﹣8＜x＜0或x＞4（3）解：由（1）知，y1= x+2与反比例函数y2= ，∴点C的坐标是（0，2），点A 的坐标是（4，4）．∴CO=2，AD=OD=4．∴S梯形ODAC= •OD= ×4=12，∵S四边形ODAC：S△ODE=3：1，∴S△ODE= S梯形ODAC= ×12=4，即OD•DE=4，∴DE=2．∴点E的坐标为（4，2）．又点E在直线OP上，∴直线OP的解析式是y= x，∴直线OP与y2= 的图象在第一象限内的交点P的坐标为（4 ，2 ）．【解析】【解答】解：（1）∵反比例函数y2= 的图象过点B（﹣8，﹣2），∴k2=（﹣8）×（﹣2）=16，即反比例函数解析式为y2= ，将点A（4，m）代入y2= ，得：m=4，即点A（4，4），将点A（4，4）、B（﹣8，﹣2）代入y1=k1x+b，得：，解得：，∴一次函数解析式为y1= x+2，故答案为：4，；（2）∵一次函数y1=k1x+2与反比例函数y2= 的图象交于点A（4，4）和B（﹣8，﹣2），∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣8＜x＜0或x＞4，故答案为：﹣8＜x＜0或x＞4；【分析】（1）由A与B为一次函数与反比例函数的交点，将B坐标代入反比例函数解析式中，求出k2的值，确定出反比例解析式，再将A的坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将B坐标代入一次函数解析式中即可求出k1的值；（2）由A与B 横坐标分别为4、﹣8，加上0，将x轴分为四个范围，由图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可；（3）先求出四边形ODAC的面积，由S四边形ODAC：S△ODE=3：1得到△ODE的面积，继而求得点E的坐标，从而得出直线OP的解析式，结合反比例函数解析式即可得．2．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．（1）求函数y=kx+b和y= 的表达式；（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M 的坐标．【答案】（1）解：把点A（4，3）代入函数y= 得：a=3×4=12，∴y= ．OA= =5，∵OA=OB，∴OB=5，∴点B的坐标为（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：解得：∴y=2x﹣5．（2）解：∵点M在一次函数y=2x﹣5上，∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），∵MB=MC，∴解得：x=2.5，∴点M的坐标为（2.5，0）．【解析】【分析】（1）先求反比例函数关系式，由OA=OB，可求出B坐标，再代入一次函数解析式中求出解析式；（2）M点的纵坐标可用x 的式子表示出来，可套两点间距离公式，表示出MB、MC，令二者相等，可求出x .3．如图，P1、P2（P2在P1的右侧）是y= （k＞0）在第一象限上的两点，点A1的坐标为（2，0）．（1）填空：当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将________（减小、不变、增大）（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，①求反比例函数的解析式；②求出点P2的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值．【答案】（1）减小（2）解：①如图所示，作P1B⊥OA1于点B，∵A1的坐标为（2，0），∴OA1=2，∵△P1OA1是等边三角形，∴∠P1OA1=60°，又∵P1B⊥OA1，∴OB=BA1=1，∴P1B= ，∴P1的坐标为（1，），代入反比例函数解析式可得k= ，∴反比例函数的解析式为y= ；②如图所示，过P2作P2C⊥A1A2于点C，∵△P2A1A2为等边三角形，∴∠P2A1A2=60°，设A1C=x，则P2C= x，∴点P2的坐标为（2+x， x），代入反比例函数解析式可得（2+x） x= ，解得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∴OC=2+ ﹣1= +1，P2C= （﹣1）= ﹣，∴点P2的坐标为（ +1，﹣），∴当1＜x＜ +1时，经过点P1、P2的一次函数的函数值大于反比例函数y= 的函数值【解析】【解答】解：（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小，故答案为：减小；【分析】（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，点P1离x轴的距离变小，而OA1的长度不变，故△P1OA1的面积将减小；（2）①由A1的坐标为（2，0），△P1OA1是等边三角形，求出P1的坐标，代入反比例函数解析式即可；②由△P2A1A2为等边三角形，求出点P2的坐标，得出结论.4．如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）.（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论.【答案】（1）解：设反比例函数的解析式为（k＞0）∵A（m，﹣2）在y=2x上，∴﹣2=2m，∴解得m=﹣1。

中考数学反比例函数 -经典压轴题附答案解析一、反比例函数1．如图，矩形 OABC 的顶点 A 、 C 分别在 x 、y 轴的正半轴上，点 D 为 BC 边上的点，反比2）将矩形 OABC 的进行折叠，使点 O 于点 D 重合，折痕分别与 x 轴、 y 轴正半轴交于点 F ，G ，求折痕 FG 所在直线的函数关系式． 【答案】 （1）∵反比例函数 y= （k ≠0）在第一象限内的图象经过点E （3， ）， ∴反比例函数的表达式为 y= ．又∵点 D （m ，2）在反比例函数 y= 的图象上， ∴2m=2 ，解得： m=1（2）解：设 OG=x ，则 CG=OC ﹣OG=2﹣x ，∵点 D （ 1， 2）， ∴CD=1．在 Rt △CDG 中，∠DCG=9°0，CG=2﹣x ，CD=1，DG=OG=x ， ∴CD 2+CG 2=DG 2 ，即 1+（ 2﹣ x ） 2=x 2 ，解得： x= ，∴点 G （0， ）．过点 F 作 FH ⊥ CB 于点 H ，如图所示．D （m ，2）和 AB 边上的点E （3，由折叠的特性可知： ∠GDF=∠GOF=9°0 ，OG=DG ，OF=DF ． ∵∠ CGD+∠CDG=90 ，°∠CDG+∠ HDF=90 ，° ∴∠ CGD=∠HDF ，∵∠ DCG=∠ FHD=90 ，°∴△ GCD ∽△DHF ，∴ =2 ，∴DF=2GD= ，∴点 F 的坐标为（ ，0）．设折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=ax+b ，∴折痕 FG 所在直线的函数关系式为 y=﹣ x+【解析】 【分析】（ 1）由点 E 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值， 再由点 B 在反比例函数图象上，代入即可求出 m 值；（ 2）设 OG=x ，利用勾股定理即可得 出关于 x 的一元二次方程，解方程即可求出 x 值，从而得出点 G 的坐标．再过点 F 作 FH ⊥CB 于点 H ，由此可得出 △GCD ∽△DHF ，根据相似三角形的性质即可求出线段 DF 的长 度，从而得出点 F 的坐标，结合点 G 、 F 的坐标利用待定系数法即可求出结论．∴有 ，解得：2．如图，一次函数y=kx+b 的图象交反比例函数y= （x> 0）的图象于A（4，-8）、 B （m，-2）两点，交x 轴于点C．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？（3）以O、A、B、P为顶点作平行四边形，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）解：∵反比例函数y= （x>0）的图象于A（4，-8），∴k=4 ×（-8）=-32．∵双曲线y= 过点B（m，-2），∴m=16 ．由直线y=kx+b 过点 A ， B 得：，解得，反比例函数关系式为，一次函数关系式为（2）解：观察图象可知，当0<x<4或x>16时，一次函数的值大于反比例函数的值（3）解：∵ O（0，0），A（4，-8）、B（16，-2），分三种情况：① 若OB∥AP，OA∥ BP，∵O（0，0），A（4，-8），∴由平移规律，点B（16，-2）向右平移 4 个单位，向下平移8 个单位得到P 点坐标为（20，-10）；② 若OP∥ AB，OA∥ BP，∵A（4，-8），B（16，-2），∴由平移规律，点O（0，0）向右平移12 个单位，向上平移 6 个单位得到P 点坐标为（12，6）；③ 若OB∥ AP，OP∥AB，∵B（16，-2），A（4，-8），∴由平移规律，点O（0，0）向左平移12 个单位，向下平移 6 个单位得到P 点坐标为（- 12，-6）；∴以O，A，B，P为顶点作平行四边形，第四个顶点P的坐标为（12，6）或（-12，-6）或（20，-10）【解析】【分析】（1）将点A（4，-8），B（m ，-2）代入反比例函数y= （x> 0）中，可求k、a；再将点A（4，-8），B（m，-2）代入y=kx+b 中，列方程组求k、b 即可；（2）根据两函数图象的交点，图象的位置可确定一次函数的值大于反比例函数的值时x 的范围；（3）根据平行四边形的性质，即可直接写出．3．如图，已知A（3，m），B（﹣2，﹣3）是直线AB 和某反比例函数的图象的两个交点．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x 满足什么范围时，直线AB 在双曲线的下方；（3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得△OBC 的面积等于△OAB 的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点 C 的坐标．【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（﹣2，﹣3）代入，可得k=﹣2×（﹣ 3 ）=6，∴反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2 ，∴A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（﹣2，﹣3）代入，可得解得，∴直线AB 的解析式为y=x﹣1（2）解：由题可得，当x满足：x<﹣2或0<x<3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C．如图所示，延长AO 交双曲线于点C1 ，∵点 A 与点C1 关于原点对称，∴AO=C1O，∴△ OBC1的面积等于△ OAB的面积，此时，点C1的坐标为（﹣3，﹣2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ，则△OBC2的面积等于△ OBC1的面积，∴△ OBC2的面积等于△ OAB的面积，由B（﹣2，﹣3）可得OB 的解析式为y= x ，可设直线C1C2 的解析式为y= x+b'，把C1（﹣3，﹣2）代入，可得﹣2= ×（﹣3）+b'，解得b'= ，∴直线C1C2 的解析式为y= x+ ，解方程组，可得C2（）；如图，过 A 作OB的平行线，交双曲线于点C3 ，则△OBC3 的面积等于△ OBA的面积，设直线AC3 的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= ×3+ ，解得=﹣，∴直线AC3 的解析式为y= x﹣，解方程组，可得C3（）；综上所述，点C的坐标为（﹣3，﹣2），（（））．【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,B 的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB 在双曲线的交点坐标为A,B，X 取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点 C 的坐标。

中考数学与反比例函数有关的压轴题及答案一、反比例函数1．如图，直线y=﹣ x+b 与反比例函数y=的图象相交于A（ 1， 4）， B 两点，延长AO 交反比例函数图象于点C，连接 OB．（1）求 k 和 b 的值；（2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围；（3）在 y 轴上是否存在一点P，使 S△PAC △AOBP 坐标，若不存在请说= S ？若存在请求出点明理由．【答案】（1）解：将A（ 1， 4）分别代入y=﹣ x+b 和得：4=﹣1+b，4=，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x 的取值范围为：x＞ 4 或 0＜ x＜1（3）解：过 A 作 AN⊥ x 轴，过 B 作 BM⊥ x 轴，由（1）知，b=5，k=4，∴直线的表达式为：y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：由，解得： x=4，或 x=1，∴B（ 4，1），∴，∵，∴，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥y 轴，设 P（ 0，t ），∴S△PAC=OP?CD+ OP?AE=OP（ CD+AE）=|t|=3 ，解得： t=3， t=﹣ 3，∴P（ 0， 3）或 P（0，﹣ 3）．【解析】【分析】（ 1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；（ 3）过 A 作 AM⊥ x 轴，过 B 作 BN⊥ x 轴，由（ 1）知， b=5， k=4，得到直线的表达式为： y=﹣ x+5，反比例函数的表达式为：列方程，求得B（ 4 ，1），于是得到，由已知条件得到，过 A 作 AE⊥ y 轴，过 C 作 CD⊥ y 轴，设 P（ 0，t ），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．2．如图，平行于y 轴的直尺（一部分）与双曲线y=（k≠0）（x＞0）相交于点A、 C，与x 轴相交于点 B、 D，连接 AC．已知点 A、 B 的刻度分别为 5， 2（单位： cm），直尺的宽度为2cm， OB=2cm．（1）求 k 的值；（2）求经过 A、 C 两点的直线的解析式；（3）连接 OA、 OC，求△OAC的面积．【答案】（1）解：∵AB=5﹣ 2=3cm， OB=2cm，∴A 的坐标是（ 2， 3），代入 y=得3=，解得： k=6（2）解： OD=2+2=4，在y= 中令 x=4，解得 y= ．则C 的坐标是（ 4，）．设AC 的解析式是 y=mx+n，根据题意得：，解得：，则直线 AC 的解析式是y=﹣x+（3）解：直角△ AOB 中， OB=2， AB=3，则 S△AOB= O B?AB=× 2× ；3=3直角△ ODC中， OD=4， CD=，则S△OCD=OD?CD=× 4×=3．在直角梯形ABDC 中， BD=2， AB=3，CD=，则S梯形ABDC=（AB+DC）?BD=（3+）×2= ．=S+S ﹣ S=3+ ﹣ 3=则 S△OAC △ AOB 梯形 ABDC △ OCD【解析】【分析】（ 1 ）首先求得 A 的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式；（ 2 ）首先求得 C 的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（ 3 ）根据 S△OAC=S△AOB+S 梯形ABDC﹣S△OCD利用直角三角形和梯形的面积公式求解．3．如图，点P（+1，﹣1）在双曲线y=（x＞0）上．（1）求 k 的值；（2）若正方形ABCD 的顶点C， D 在双曲线y= （ x＞ 0）上，顶点A， B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，求点 C 的坐标．【答案】（1）解：点将 x= ， y= P（，代入解析式可得：）在双曲线上，k=2；（2）解：过点 D 作 DE⊥ OA 于点 E，过点 C 作 CF⊥ OB 于点 F，∵四边形 ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠CBA=90 ，°∴∠ FBC+∠OBA=90 ，°∵∠ CFB=∠BOA=90 ，°∴∠ FCB+∠FBC=90 ，°∴∠ FBC=∠ OAB，在△ CFB和△ AOB 中，，∴△ CFB≌ △ AOB（ AAS），同理可得：△ BOA≌ △ AED≌ △ CFB，∴C F=OB=AE=b，BF=OA=DE=a，设 A（ a，0）， B（ 0， b），则D（ a+b， a） C（ b， a+b），可得： b（ a+b）=2， a（a+b） =2，解得： a=b=1．所以点 C 的坐标为：（1， 2）．【解析】【分析】（ 1）由待定系数法把 P 坐标代入解析式即可；（ 2） C、 D 均在双曲线上，它们的坐标就适合解析式，设出 C 坐标，再由正方形的性质可得△CFB≌ △ AOB△ BOA≌△ AED≌ △CFB，代入解析式得 b （ a+b） =2， a（ a+b） =2，即可求出 C 坐标 .4．如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴交于点B，与 y 轴交于点A，与反比例函数 y=的图象在第二象限交于点C， CE⊥ x 轴，垂足为点E， tan ∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点 D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点F，连接OD、 BF．如果 S△BAF=4S△DFO，求点 D 的坐标．【答案】（1）解：∵OB=4， OE=2，∴ BE=OB+OE=6．∵CE⊥ x 轴，∴∠ CEB=90 ．°在 Rt△ BEC中，∠ CEB=90°， BE=6， tan∠ ABO=，∴C E=BE?tan∠ ABO=6 × =3，结合函数图象可知点 C 的坐标为（﹣ 2， 3）．∵点 C 在反比例函数y=的图象上，∴m= ﹣ 2 × 3=﹣ 6，∴反比例函数的解析式为y=﹣（2）解：∵点 D 在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴ 设点D的坐标为（n，﹣）（ n＞ 0）．在 Rt△ AOB 中，∠ AOB=90°， OB=4， tan∠ABO=，∴O A=OB?tan∠ ABO=4 × =2．∵S△BAF= AF?OB=（OA+OF）?OB=（2+）×4=4+．∵点 D 在反比例函数y=﹣第四象限的图象上，∴S△DFO=×|﹣6|=3．∵S△BAF=4S△DFO，∴4+ =4 ×3，解得： n= ，经验证， n= 是分式方程 4+=4×3的解，∴点 D 的坐标为（【解析】【分析】（数图象即可得出点 C 可求出反比例函数系数，﹣ 4）．1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函的坐标，再根据点 C 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即m，由此即可得出结论；（2）由点 D 在反比例函数在第四象限的图象上，设出点 D 的坐标为（ n，﹣度，再利用三角形的面积公式利用含）（ n＞ 0）．通过解直角三角形求出线段OA 的长n 的代数式表示出S△BAF，根据点 D 在反比例函数图形上利用反比例函数系数k 的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n 的分式方程，解方程，即可得出n 值，从而得出点 D 的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形点坐标为.的边，顶点坐标为，（1）点的坐标是________，点的坐标是________（用表示）；（2）若双曲线过平行四边形的顶点和，求该双曲线的表达式；（3）若平行四边形与双曲线总有公共点，求的取值范围.【答案】（ 1）；（2）解：∵双曲线过点和点，∴ ，解得∴ 点的坐标为，，点的坐标为，把点的坐标代入，解得，∴双曲线表达式为（3）解：∵平行四边形与双曲线总有公共点，∴当点在双曲线，得到，当点在双曲线，得到，∴的取值范围.【解析】【分析】（ 1）由四边形ABCD 为平行四边形，得到 A 与 B 纵坐标相同， C 与 D 纵坐标相同，横坐标相差2，得出B、 C 坐标即可；（ 2）根据 B 与 D 在反比例图象上，得到C 与D 横纵坐标乘积相等，求出 b 的值确定出 B 坐标，进而求出k 的值，确定出双曲线解析式；（ 3）抓住两个关键点，将 A 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值；将 C 坐标代入双曲线解析式求出 b 的值，即可确定出平行四边形与双曲线总有公共点时 b 的范围．6．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度 y（ m）是面条的粗细（横截面积） s（ mm2）的反比例函数，其图象如图．（1）写出 y 与 s 的函数关系式；（2）求当面条粗 3.2mm 2时，面条的总长度是多少m？【答案】（1）解：设 y 与 x 的函数关系式为y=，将x=4， y=32 代入上式，解得：k=4×32=128，故 y=．答： y 与 x 的函数关系式y=（2）解：当x=3.2 时， y==40．答：当面条粗 3.2mm 2时，面条的总长度是40 米【解析】【分析】（ 1）根据图象可设出关系式，再把一个点的坐标代入可求出关系式；（2）把 x=3.2 代入关系式可求出y 的值，即得答案.7．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数的图象经过点A（1 ，4）， B（ m，n ）．（1）求反比例函数的解析式；（2）若二次函数的图象经过点B，求代数式的值；的图象只有一个交点，且该交（3）若反比例函数的图象与二次函数点在直线 y＝ x 的下方，结合函数图象，求 a 的取值范围．【答案】（ 1）解：将A（ 1，4 ）代入函数y＝得：k=4反比例函数y＝的解析式是（2）解：∵ B（ m， n）在反比例函数y＝上，∴m n=4 ，又二次函数y＝（ x－ 1）2的图象经过点B（ m， n），∴即 n-1=m2-2m∴（3）解：由反比例函数的解析式为，令y＝x，可得x2＝4，解得x＝±2．∴反比例函数的图象与直线y＝ x 交于点（2， 2），（－2，－ 2）．如图，当二次函数y＝a（ x－ 1）2的图象经过点（2， 2）时，可得a＝ 2；当二次函数 y＝a（ x－ 1）2 的图象经过点（－ 2，－ 2）时，可得 a＝－ .∵二次函数 y＝a（ x－ 1）2 图象的顶点为（ 1， 0），∴由图象可知，符合题意的 a 的取值范围是0＜ a＜ 2 或 a＜－.【解析】【分析】（ 1）只需将点 A 的坐标代入反比例函数的解析式就可得出答案。

专题05与反比例函数有关问题的压轴题之三大题型目录【题型一反比例函数与一次函数综合问题】 (1)【题型二实际问题与反比例函数综合问题】 (10)【题型三反比例函数与几何综合问题】 (18)【题型一反比例函数与一次函数综合问题】(1)求k 的值，并在图中画出函数k y x =的图象；(2)直接写出不等式24k x x+>的解集．【答案】(1)6k =，画图见解析；(2)30x -<<或1x >．（2）解：由()1,6A ，()3,B n -，根据函数图象可得：不等式24k x x+>的解集为：30x -<<【变式训练】1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数图象交于1A a -（，），B 两点，与x 轴交于点由图可知：当12y y >时，3x >或1x -<<（2）解：点()3,C k 在函数1y kx b =+的图像上，得3k b k +=,2b k =-,12(2)y kx k k x =-=-,当2x =时，10y =，即过定点(2,0)．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．(【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．4．（2023·浙江杭州·统考二模）设函数(1)若函数1y和函数2y的图像交于点①求b，n的值．210y y <<∴x 的取值范围是203x <<或1443x <<．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数与一次函数交点问题，掌握反比例函数和一次函数图像与性质是解题关键．【题型二实际问题与反比例函数综合问题】例题：（2023·浙江衢州·统考中考真题）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E ”形图都是正方形结构，同一行的“E ”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n ，测得对应行的“E ”形图边长b （mm ），在平面直角坐标系中描点如图1．探究1检测距离为5米时，归纳n 与b 的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E ”形图边长．素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E ”形图所成的角叫做分辨视角θ，视力【变式训练】(1)求EF的长．(2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图像，并写出至少一条该函数性质．(3)若要求CD不小于3dm，求OE的取值范围．【答案】(1)80dm(2)240.3yx=+，图象及性质见解析性质：当0x >时，y 随x 的增大而减小；（3）由3y ≥，240.33x+≥，则0.3243x x +≥，解得809x ≤，()2m S 之间的函数表达式；(2)现将另一长、宽、高分别为0.2m ，0.3m ，0.2m 与长方体A 相同重量的长方体于该水平玻璃桌面上．若桌面所受压强()Pa P 与受力面积()2m S 之间的关系满足（(2)当气体体积为32m时，气球内气体的压强是多少？(3)当气球内气体的压强大于180kpa时，气球就会爆炸．【答案】(1)画图见解析；90 pV =；(2)气球内气体的压强是45kPa；(3)00.5V<<【分析】（1）根据描点，连线即可画出函数图象；设函数解析式为把()1,90代入k p V=，∴90k pV ==；∴函数关系式为：90p V=；（2）当气体体积为2m 3时，气球内气体的压强是（3）当气球内气体的压强大于180kpa 时，气球就会爆炸．即∴90>180V，【题型三反比例函数与几何综合问题】【变式训练】【答案】10【分析】设4,A xx⎛⎫⎪⎝⎭，根据平行四边形对边平行得到点象为4yx=-及中点性质得到【答案】223/223【分析】设CD 的中点为E ，连接OE 股定理求出22112OE =+=，然后【详解】如图所示，设CD 的中点为∵四边形ABCD 是正方形，OA OB =∴根据对称性可得，OE 是AOB ∠∴AOF BOF ∠=∠，∵点E 在反比例函数1(0)y x x =>的图象上，∴()1,1E ，∴22112OE =+=，【答案】24【分析】设4OA a =，则AB 轴，点P 在CD 上，可得P 由于点Q 在反比例函数y =【答案】3【分析】过点B '作B C x '⊥轴于点C 的坐标，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B '作∵A 的坐标为()4,0-，则4OA =，将∴4AO A O '==，∴OB '=2OB =，在Rt AOB △中，cos BO BOA AB ∠==【答案】8323【分析】根据题意得出AE 值；先根据反比例函数解析式求出点310y x =-，求出103OF =【详解】解：∵顶点A 的坐标是∴6AE =，又ABCD Y 的面积是24，∴4AD BC ==，则()4,2D ，∴428k =⨯=，y【答案】1322(1)求双曲线k y x=的解析式，并直接写出点。

《中考压轴题》专题13：函数之一次函数、反比例函数和二次函数问题一、选择题1.函数y=ax 2+1与a y x =（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是【】A ．B ．C ．D ．2.二次函数2y ax b =+（b ＞0）与反比例函数a y x=在同一坐标系中的图象可能是【】A. B. C. D.3.函数a y x=与y=ax 2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是【】A. B. C. D.4.已知反比例函数k y x =的图像如图所示，则二次函数22y 2kx 4x k =-+的图像大致为【】A. B. C. D.5.已知反比例函数k y x =的图像如图所示，则二次函数22y 2kx 4x k =-+的图像大致为【】A. B. C. D.6.在平面直角坐标系中，函数y=x 2﹣2x （x≥0）的图象为C 1，C 1关于原点对称的图象为C 2，则直线y=a （a 为常数）与C 1、C 2的交点共有【】A.1个B.1个或2个C.个或2个或3个D.1个或2个或3个或4个7.函数k y x=与y=﹣kx 2+k （k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是【】A. B. C.D.8.已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y ax =与2y ax =的图象有可能是【】A. B. C. D.9.一次函数()y ax b a 0=+≠、二次函数2y ax bx =+和反比例函数()k y k 0x=≠在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。

则下列结论中，正确的是【】A ．b 2a k =+B ．a b k =+C ．a b 0>>D ．a k 0>>10.若正比例函数y=mx （m ≠0），y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y=mx 2+m 的图象大致是【】11.如图，已知抛物线21y x 4x =-+和直线2y 2x =.我们约定：当x 任取一值时，x 对应的函数值分别为y 1、y 2，若y 1≠y 2，取y 1、y 2中的较小值记为M ；若y 1=y 2，记M=y 1=y 2.下列判断：①当x ＞2时，M=y 2；②当x ＜0时，x 值越大，M 值越大；③使得M 大于4的x 值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有【】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12.二次函数的图象如图所示，反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是【】A ．B ．C ．D ．13.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则函数a y x=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是【】A ．B ．C ．D ．二解答题1.如图①，双曲线kyx（k≠0）和抛物线y=ax2+bx（a≠0）交于A、B、C三点，其中B（3，1），C（﹣1，﹣3），直线CO交双曲线于另一点D，抛物线与x轴交于另一点E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）抛物线在第一象限部分是否存在点P，使得∠POE+∠BCD=90°？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过B作直线l⊥OB，过点D作DF⊥l于点F，BD与OF交于点N，求DNNB的值．2.已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是，衍生直线的解析式是；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM 为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于A （﹣3，0），B （0，﹣3）两点，二次函数y=x 2+mx+n 的图象经过点A ．（1）求一次函数y=kx+b 的解析式；（2）若二次函数y=x 2+mx+n 图象的顶点在直线AB 上，求m ，n 的值；（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x 2+mx+n 的最小值为﹣4，求m ，n 的值．4.在平面直角坐标系中,抛物线()2y x k 1x k =+--与直线y kx 1=+交于A,B 两点，点A 在点B 的左侧.（1）如图1，当k 1=时，直接写出．．．．A ，B 两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P 为抛物线上的一个动点，且在直线AB 下方，试求出△ABP 面积的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，抛物线()()2y x k 1x k k >0=+--与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧）.在直线y kx 1=+上是否存在唯一一点Q ，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k 的值；若不存在，请说明理由.5.给定直线l ：y=kx ，抛物线C ：y=ax 2+bx+1．（1）当b=1时，l 与C 相交于A ，B 两点，其中A 为C 的顶点，B 与A 关于原点对称，求a 的值；（2）若把直线l 向上平移k 2+1个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线C 都只有一个交点．①求此抛物线的解析式；②若P 是此抛物线上任一点，过P 作PQ ∥y 轴且与直线y=2交于Q 点，O 为原点．求证：OP=PQ ．6.已知：直线y=ax+b 与抛物线2y ax bx c =-+的一个交点为A （0，2），同时这条直线与x 轴相交于点B ，且相交所成的角β为45°．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线2y ax bx c =-+的解析式；（3）判断抛物线2y ax bx c =-+与x 轴是否有交点，并说明理由．若有交点设为M ，N （点M 在点N 左边），将此抛物线关于y 轴作轴反射得到M 的对应点为E ，轴反射后的像与原像相交于点F ，连接NF ，EF 得△DEF ，在原像上是否存在点P ，使得△NEP 的面积与△NEF 的面积相等？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7.如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为．8.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．（1）试确定y与x之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元，试写出利润Q（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x的取值范围．9.大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x 天的销售量p 件与销售的天数x 的关系如下表：x （天）123...50p （件）118116114 (20)销售单价q （元/件）与x 满足：当1≤x ＜25时q=x+60；当25≤x≤50时1125q 40x=+．（1）请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系．（2）求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式．（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？10.如图，已知直线AB ：y kx 2k 4=++与抛物线21y x 2=交于A 、B 两点，（1）直线AB 总经过一个定点C ，请直接写出点C 坐标；（2）当1k 2=-时，在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使△ABP 的面积等于5；（3）若在抛物线上存在定点D 使∠ADB ＝90°，求点D 到直线AB 的最大距离.11.某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．【利润=（销售价-进价） 销售量】（1）请根据他们的对话填写下表：销售单价x（元/kg）101113销售量y（kg）（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？12.如图，抛物线y=ax 2+bx+c 关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，点B （2，43-）和点C （﹣3，﹣3）两点均在抛物线上，点F （0，34-）在y 轴上，过点（0，34）作直线l 与x 轴平行．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式．（2）设点D （x ，y ）是线段BC 上的一个动点（点D 不与B ，C 重合），过点D 作x 轴的垂线，与抛物线交于点G ．设线段GD 的长度为h ，求h 与x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时，线段GD 的长度h 最大，最大长度h 的值是多少？（3）若点P （m ，n ）是抛物线上位于第三象限的一个动点，连接PF 并延长，交抛物线于另一点Q ，过点Q 作QS ⊥l ，垂足为点S ，过点P 作PN ⊥l ，垂足为点N ，试判断△FNS 的形状，并说明理由；（4）若点A （﹣2，t ）在线段BC 上，点M 为抛物线上的一个动点，连接AF ，当点M 在何位置时，MF+MA 的值最小，请直接写出此时点M 的坐标与MF+MA 的最小值．13.如图，直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，抛物线()2y a x 2k =-+经过点A 、B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ．（1）求a ，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使△ABQ 是以AB 为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M 、N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．14.如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线过2y ax bx c(a 0)=++≠过O 、B 、C 三点，B 、C 坐标分别为（10，0）和（185，245-），以OB 为直径的⊙A 经过C 点,直线l 垂直于x 轴于点B.（1）求直线BC 的解析；（2）求抛物线解析式及顶点坐标；（3）点M 是⊙A 上一动点（不同于O ，B ），过点M 作⊙A 的切线，交y 轴于点E ，交直线l 于点F ，设线段ME 长为m ，MF 长为n ，请猜想m n ⋅的值，并证明你的结论；（4）点P 从O 出发，以每秒1个单位速度向点B 作直线运动，点Q 同时从B 出发，以相同速度向点C 作直线运动，经过t(0<t)秒时恰好使△BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值.15.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数ny x=（n 为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y=3kx+s ﹣1（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若二次函数y=ax 2+bx+1（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A （x 1，x 1），B （x 2，x 2），且满足﹣2＜x 1＜2，|x 1﹣x 2|=2，令t=b 2﹣2b+15748，试求出t 的取值范围．16.已知抛物线()25k 2y x k 2x 4+=-++和直线()()2y k 1x k 1=+++．（1）求证：无论k 取何实数值，抛物线总与x 轴有两个不同的交点；（2）抛物线于x 轴交于点A 、B ，直线与x 轴交于点C ，设A 、B 、C 三点的横坐标分别是x 1、x 2、x 3，求x 1•x 2•x 3的最大值；（3）如果抛物线与x 轴的交点A 、B 在原点的右边，直线与x 轴的交点C 在原点的左边，又抛物线、直线分别交y 轴于点D 、E ，直线AD 交直线CE 于点G （如图），且CA•GE=CG•AB ，求抛物线的解析式．17.如图①，直线l ：y=mx+n （m ＞0，n ＜0）与x ，y 轴分别相交于A ，B 两点，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△COD ，过点A ，B ，D 的抛物线P 叫做l 的关联抛物线，而l 叫做P 的关联直线．（1）若l ：y=﹣2x+2，则P 表示的函数解析式为；若P ：y=﹣x 2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P 的对称轴（用含m ，n 的代数式表示）；（3）如图②，若l ：y=﹣2x+4，P 的对称轴与CD 相交于点E ，点F 在l 上，点Q 在P 的对称轴上．当以点C ，E ，Q ，F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时，求点Q 的坐标；（4）如图③，若l ：y=mx ﹣4m ，G 为AB 中点，H 为CD 中点，连接GH ，M 为GH 中点，连接OM ．若OM=，直接写出l ，P 表示的函数解析式．18.如图，直线y=x ﹣4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线21y x bx c 3=++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）点M 在抛物线上，连接MB ，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M 的坐标；（3）点P 从点C 出发，沿线段CA 由C 向A 运动，同时点Q 从点B 出发，沿线段BC 由B 向C 运动，P 、Q 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q 点到达C 点时，P 、Q 同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D ，使P 、Q 运动过程中的某一时刻，以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，说明理由．19.如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中-3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L 与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20.如图，已知直线l的解析式为1y x12=-，抛物线y=ax2＋bx＋2经过点A（m，0），B（2，0），D51,4⎛⎫⎪⎝⎭三点．（1）求抛物线的解析式及A点的坐标，并在图示坐标系中画出抛物线的大致图象；（2）已知点P（x，y）为抛物线在第二象限部分上的一个动点，过点P作PE垂直x轴于点E,延长PE与直线l交于点F，请你将四边形PAFB的面积S表示为点P的横坐标x的函数，并求出S的最大值及S最大时点P的坐标；（3）将（2）中S最大时的点P与点B相连，求证：直线l上的任意一点关于x轴的对称点一定在PB所在直线上．21.今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行（以下简称并轨房），计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年（x为正整数）投入使用的并轨房面积为y百万平方米，且y与x的函数关系式为1y x56=-+．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x年投入使用的并轨房的单位面积租金z与时间x满足一次函数关系如下表：时间x（单位：年，x为正整数）12345…单位面积租金z（单位：元/平方米）5052545658…（1）求出z与x的函数关系式；（2）设第x年政府投入使用的并轨房收取的租金为W百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？22.如图，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形PACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD 重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（1，0），直线y=2x﹣1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点A到直线CD的距离；（3）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点的坐标．25.二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线1y x12=-+相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx 3=++与x 轴交于点A （﹣4，0），B （﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D ．①如图（1），若四边形ODAE 是以OA 为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE 的面积为6时，请判断平行四边形ODAE 是否为菱形？说明理由．②如图（2），直线1y x 32=+与抛物线交于点Q 、C 两点，过点D 作直线DF ⊥x 轴于点H ，交QC 于点F ．请问是否存在这样的点D ，使点D 到直线CQ 的距离与点C 到直线DF ：2？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．27．如图，已知一次函数11y x b 2=+的图象l 与二次函数22y x mx b =-++的图象'C 都经过点B （0,1）和点C ，且图象'C 过点A （52-，0）.（1）求二次函数的最大值；（2）设使21y y >成立的x 取值的所有整数和为s ，若s 是关于x 的方程131x 0a 1x 3⎛⎫++= ⎪--⎝⎭的根，求a 的值；（3）若点F 、G 在图象'C 上，长度为5的线段DE 在线段BC 上移动，EF 与DG 始终平行于y 轴，当四边形DEFG 的面积最大时，在x 轴上求点P ，使PD+PE 最小，求出点P 的坐标.28．如图，已知直线y 3x 3=-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过点A 和点C ，对称轴为直线l ：x 1=-，该抛物线与x 轴的另一个交点为B ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 在直线l 上，求出使△PAC 的周长最小的点P 的坐标；（3）点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由．29．如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣1交于A、B两点．点A的横坐标为﹣3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D．（1）求抛物线的解析式；=2S△BPD；（2）当m为何值时，S四边形OBDC（3）是否存在点P，使△PAD是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．30．已知：直线l：y=﹣2，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．31．如图，已知抛物线23y ax x c 2=-+与x 轴相交于A 、B 两点，并与直线1y x 22=-交于B 、C 两点，其中点C 是直线1y x 22=-与y 轴的交点，连接AC ．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC 为直角三角形；（3）△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFG ？（顶点D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．32．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M 0>，对于任意的函数值y ，都满足M y M -≤≤，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数()1y x 0x=>和()y x 14x 2=+-<≤是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数()y x 1a x b b a =-+≤≤>，的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数()2y x 1x m m 0=-≤≤≥，的图象向下平移m 个单位，得到的函数的边界值是t ，当m 在什么范围时，满足3t 14≤≤33．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A(-1，0)，B(5，0）两点，直线3y x 34=-+与y 轴交于点C ，，与x 轴交于点D.点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m.（1）求抛物线的解析式；（2）若PE =5EF ，求m 的值；（3）若点E /是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E /落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.34．某公司销售一种进价为20元/个的计算机，其销售量y （万个）与销售价格x （元/个）的变化如下表：价格x （元/个）…30405060…销售量y （万个）…5432…同时，销售过程中的其他开支（不含造价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y 与x 之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y （万个）与x （元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z （万个）与销售价格x （元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x （元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？35．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.36．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y （单位∶万元/吨）与销售数量x（x≥2）（单位∶吨）之间的函数关系式如图，B类杨梅深加工总费用s（单位:万元）与加工数量t（单位∶吨）之间的函数关系是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/吨．（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x这间的函数关系式;（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收人－经营总成本）.①求w关于x的函数关系式;②若该公司获得了30万元毛利润，问∶用于直销的A类杨梅有多少吨？（3）第二次该公司准备投人132万元资金，请设计－种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．37．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点.（1）求该抛物线线的函数解析式.=+，它与x轴的交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P.（2）已知直线l的解析式为y x m①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积.=-时，过P点分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F.是否存在这样的点P，使以P，E，F ②当m3为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.38.已知函数23y kx 2x 2=-+（k 是常数）（1）若该函数的图像与x 轴只有一个交点，求k 的值；（2）若点()M 1,k 在某反比例函数的图像上，要使该反比例函数和二次函数23y kx 2x 2=-+都是y 随x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围；（3）设抛物线23y kx 2x 2=-+与x 轴交于()()12x ,0,B x A ,0两点，且12x x <，2212x x 1+=，在y 轴上，是否存在点P ，使△ABP 是直角三角形？若存在，求出点P 及△ABP 的面积；若不存在，请说明理由。

反比例函数（1）1、如图，已知点A ，C 在反比例函数)0(>=a x a y 的图象上，点B ，D 在反比例函数)0(<=b xby 的图象上，AB ∥CD ∥x 轴，AB ，CD 在x 轴的两侧，AB =3，CD =2，AB 与CD 的距离为5，则b a -的值是 6【解】不妨取点C 的横坐标为1，∵点C 在反比例函数(0)ay a x=>的图象上，∴点C 的坐标为()1,a . ∵CD ∥x 轴，CD 在x 轴的两侧，CD =2，∴点D 的横坐标为1-. ∵点D 在反比例函数(0)by b x=<的图象上，∴点D 的坐标为()1,b -- . ∵AB ∥CD ∥x 轴，AB 与CD 的距离为5，∴点A 的纵坐标为5b --. ∵点A 在反比例函数(0)a y a x =>的图象上，∴点A 的坐标为,55a b b ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭. ∵AB ∥x 轴，AB 在x 轴的两侧，AB =3，∴点B 的横坐标为315355a b ab b +--+=++. ∵点B在反比例函数(0)by b x=<的图象上，∴点B的坐标为23155,5315b a b b b b a ⎛⎫+-+ ⎪++-⎝⎭ .∴225554155315a b b b b b b b b b a =-⎧+⎪⇒--=⎨++--=⎪+-⎩. ∵50b +≠，∴4153b b b --=⇒=-. ∴3a =.∴6a b -=.2、反比例函数x a y =（a ＞0，a 为常数）x y 2=在第一象限内的图象如图所示，点M 在xay =的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交x y 2=的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交xy 2=的图象于点B ，当点M 在的图象上运动时，以下结论：①S △ODB =S △OCA ；②四边形OAMB 的面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论有 ①②③【解】①由于A 、B 在同一反比例函数xy 2=图象上，则△ODB 与△OCA 的面积相等，都为×2=1，正确；②由于矩形OCMD 、三角形ODB 、三角形OCA 为定值，则四边形MAOB 的面积不会发生变化，正确；③连接OM ，点A 是MC 的中点，则△OAM 和△OAC 的面积相等，∵△ODM 的面积=△OCM 的面积=2a，△ODB 与△OCA 的面积相等，∴△OBM 与△OAM 的面积相等，∴△OBD 和△OBM 面积相等， ∴点B 一定是MD 的中点．正确；3、如图，两个反比例函数x k y 11=（其中k 1＞0）和xy 32=在第一象限内的图象依次是C 1和C 2，点P 在C 1上．矩形PCOD 交C 2于A 、B 两点，OA 的延长线交C 1于点E ，EF ⊥x 轴于F 点，且图中四边形BOAP 的面积为6，则EF ：AC 为（ ）A ．3﹕1B ．2﹕3C ．2﹕1D ．29﹕14【解】∵B 、C 反比例函数x y 32=的图象上，∴S △ODB =S △OAC =23 ∵P 在反比例函数x k y 11=的图象上， ∴S 矩形PDOC =k 1=6+23+23=9∴图象C 1的函数关系式为x y 9=∵E 点在图象C 1上，∴S △EOF =21×9=29，∴3=∆∆ACO EFO S S ，∵AC ⊥x 轴，EF ⊥x 轴，∴AC ∥EF ，∴△EOF ∽△AOC ，∴3=ACEF，故选：A4、如图，直线l 是经过点（1，0）且与y 轴平行的直线．Rt △ABC 中直角边AC =4，BC =3．将BC 边在直线l 上滑动，使A ，B 在函数x k y =的图象上．那么k 的值是 4155、如图，OABC 为菱形，点C 在x 轴上，点A 在直线y=x 上，点B 在xky =（k ＞0）的图象上， 若S 菱形OABC =2，则k 的值为2+1 ．【解】：∵直线y=x 经过点A ，∴设A （a ，a ），∴OA 2=2a 2，∴AO=2a ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=CO=CB=AB=2a ，∵菱形OABC 的面积是2，∴2a=2，∴a =1，∴AB=2，A （1，1）∴B （1+2，1）， 设反比例函数解析式为xky =（k ≠0），∵B （1+2，1）在反比例函数图象上， ∴k =（1+2）×1=2+1，故答案为：2 +1．6、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上，∠ABO=90°，点A 的坐标为（1，2），将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点C 恰好落在双曲线xky =（x ＞0）上，则k 的值为 3BACO 1xy l【解】易得OB=1，AB=2，∴AD=2，∴点D 的坐标为（3，2），∴点C 的坐标为（3，1），∴k =3×1=3．7、如图，平面直角坐标系中，直线1-=kx y 与反比例函数xy 6-=相交于点A ，AB ⊥x 轴，S △ABC =1，则k 的值为 81-8、如图，A 、B 是双曲线xky =（k ＞0）上的点，A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k = 4 ．【解】分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E ，再过点A 作AF ⊥BE 于F ． 则AD ∥BE ，AD=2BE=ak，∴B 、E 分别是AC 、DC 的中点． 在△ABF 与△CBE 中，∠ABF=∠CBE ，∠F=∠BEC=90°，AB=CB ， ∴△ABF ≌△CBE ．∴S △AOC =S 梯形AOEF =6． 又∵A （a ，a k ），B （2a ，a k 2），∴S 梯形AOEF =21（AF+OE ）×EF=21（a+2a ）×ak=6，得：k =4．9、（2006•长春）如图，双曲线xy 8=的一个分支为（ ）A B CO DxyA ．①B ．②C ．③D ．④【解】∵在xy 8=中，k =8＞0∴它的两个分支分别位于第一、三象限，排除①②； 又当x =2时，y =4，排除③；所以应该是④．故选D ．10、（2014•盐城）如图，反比例函数xky =（x ＜0）的图象经过点A （﹣1，1），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t 的值是215+【解】如图，∵点A 坐标为（﹣1，1），∴k=﹣1×1=﹣1，∴反比例函数解析式为xy 1-= ∵OB=AB=1，∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠AOB=45°， ∵PQ ⊥OA ，∴∠OPQ=45°，∵点B 和点B′关于直线l 对称， ∴PB=PB′，BB′⊥PQ ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P ⊥y 轴，∴点B′的坐标为（﹣t 1，t ），∵PB=PB′，∴t ﹣1=|﹣t 1|=t1，整理得t 2﹣t ﹣1=0，解得t 1=215+，t 2=215-（不符合题意，舍去），∴t 的值为215+．11、直线y=ax （a ＞0）与双曲线xy 3=交于A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）两点，则4x 1y 2﹣3x 2y 1= ﹣3 ． 【解】直线y=ax （a ＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线xy 3=交于两点，则这两点关于原点对称，∴x 1=﹣x 2，y 1=﹣y 2，又∵点A 点B 在双曲线xy 3=上， ∴x 1×y 1=3，x 2×y 2=3，∴原式=﹣4x 2y 2+3x 2y 2=﹣4×3+3×3=﹣3．12、如图，点A 在双曲线x y 1=上，点B 在双曲线xy 3=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 2 ．【解】过A 点作AE ⊥y 轴，垂足为E ，∵点A 在双曲线xy 1=上，∴四边形AEOD 的面积为1， ∵点B 在双曲线xy 3=上，且AB ∥x 轴，∴四边形BEOC 的面积为3， ∴矩形ABCD 的面积为3﹣1=213、已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）为反比例函数xky =图象上的点，当x 1＜x 2＜0时，y 1＜y 2，则k 的一个值可为 ﹣1 ．（只需写出符合条件的一个k 的值）【解】：∵x 1＜x 2＜0，∴A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）同象限，y 1＜y 2，∴点A ，B 都在第二象限， ∴k ＜0，例如k=﹣1等．故答案为：﹣1．（小于0均可）14、如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数xky =的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 4 ．【解】设C 的坐标为（m ，n ），又A （﹣2，﹣2），∴AN=MD=2，AF=2，CE=OM=FD=m ，CM=n ，∴AD=AF+FD=2+m ，AB=BN+NA=2+n ，∵∠A=∠OMD=90°，∠MOD=∠ODF ， ∴△OMD ∽△DAB ，∴DA OM AB MD =，即mmn +=+222， 整理得：4+2m =2m +mn ，即mn =4，则k =4．15、（2010•衡阳）如图，已知双曲线xky =（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k = 2 ．【解】：过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E ，∵在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∴DE ∥AB ，∵D 为Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，∴DE 为Rt △OAB 的中位线，∴DE ∥AB ，∴△OED ∽△OAB ，∴两三角形的相似比为：=21∵双曲线x k y =（k ＞0），可知S △AOC =S △DOE =21k ，∴S △AOB =4S △DOE =2k ， 由S △AOB ﹣S △AOC =S △OBC =3，得2k ﹣21k=3，解得k =2．故本题答案为：2．16、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数xky =（x ＞0）的图象交矩形OABC 的边AB 于点D ，交边BC 于点E ，且BE=2EC ．若四边形ODBE 的面积为6，则k = 3 ．【解】连接OB ，如图所示：∵四边形OABC 是矩形，∴∠OAD=∠OCE=∠DBE=90°，△OAB 的面积=△OBC 的面积，∵D 、E 在反比例函数xky =（x ＞0）的图象上，∴△OAD 的面积=△OCE 的面积， ∴△OBD 的面积=△OBE 的面积=21四边形ODBE 的面积=3，∵BE=2EC ，∴△OCE 的面积=21△OBE 的面积=23，∴k=3；故答案为：3．17、如图，双曲线)0(2>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 2.18、如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线xky =（k ＞0）经过A ，E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为24，则k =________819、如图，▱ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C 、D 在双曲线xky 上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k =_______12【解】如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，DG 交BC 于M 点，过C 点作CH ⊥DG ，垂足为H ，∵ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC ，∵BO ∥DG ，∴∠OBC=∠GDE ，∴∠HDC=∠ABO ，∴△CDH ≌△ABO （ASA ），∴CH=AO=1，DH=OB=2，设C （m+1，n ），D （m ，n+2），则（m+1）n=m （n+2）=k ，解得n=2m ，则D 的坐标是（m ，2m+2），设直线AD 解析式为y=ax+b ，将A 、D 两点坐标代入解得b=2，∴a=b=2∴y=2x+2，E （0，2），BE=4，∴S △ABE=21×BE×AO=2， ∵S 四边形BCDE=5S △ABE=5×21×4×1=10，∴S △ABE+S 四边形BEDM=10，即2+4×m =10，解得m =2，∴n =2m =4，∴k=（m +1）n =3×4=12．20、如图，O 为坐标原点，四边形OACB 是菱形，OB 在x 轴的正半轴上，sin ∠AOB =54，反比例函数xy 48=在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ，则△AOF 的面积等于 40【解】过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点F 作FN ⊥x 轴于点N ，如图所示．设OA =a ，BF =b ，在Rt △OAM 中，∠AMO =90°，OA =a ，sin ∠AOB =54， ∴AM =OA •sin ∠AOB =54a ，OM =53a ，∴点A 的坐标为（53a ，54a ）． ∵点A 在反比例函数x y 48=的图象上，∴53a ×54a =22512a =48，解得：a =10，或a =﹣10（舍去）． ∴AM =8，OM =6．∵四边形OACB 是菱形，∴OA =OB =10，BC ∥OA ，∴∠FBN =∠AO B ． 在Rt △BNF 中，BF =b ，sin ∠FBN =54，∠BNF =90°， ∴FN =BF •sin ∠FBN =54b ，BN =53b ，∴点F 的坐标为（10+53b ，54b ）． ∵点B 在反比例函数x y 48=的图象上，∴（10+53b ）×54b =48，解得：b =3)561(5-，或b =3)561(5+-（舍去）． ∴FN =3)561(4-，BN =61﹣5，MN =OB +BN ﹣OM =61﹣1．S △AOF =S △AOM +S 梯形AMNF ﹣S △OFN =S 梯形AMNF =21（AM +FN ）•MN =21（8+3)561(4-）×（61﹣1）=32×（61+1）×（61﹣1）=40．21、如图，在Rt △AOB 中，两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，将△AOB 绕点B 逆时针旋转90°后得到△A ′O ′B ．若反比例函数xky =的图象恰好经过斜边A ′B 的中点C ，S △ABO =4，tan ∠BAO =2，则k 的值为（ C ）A ．3B ．4C ．6D ．8 【解】设点C 坐标为（x ，y ），作CD ⊥BO ′交边BO ′于点D ， ∵tan ∠BAO =2，∴AO BO =2，∵S △ABO =21•AO •BO =4，∴AO =2，BO =4， ∵△ABO ≌△A ′O ′B ，∴AO =A ′0′=2，BO =BO ′=4， ∵点C 为斜边A ′B 的中点，CD ⊥BO ′，∴CD =21A ′0′=1，BD =21BO ′=2， ∴x =BO ﹣CD =4﹣1=3，y =BD =2，∴k =x •y =3•2=6．22、如图，已知点P （6，3），过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数xky =的图象交PM 于点A ，交PN 于点B ．若四边形OAPB 的面积为12，则k = 6 ．【解】∵点P （6，3），∴点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入反比例函数x k y =得，点A 的纵坐标为6k ，点B 的横坐标为3k ，即AM =6k ，NB =3k， ∵S 四边形OAPB =12，即S 矩形OMPN ﹣S △OAM ﹣S △NBO =12，6×3﹣21×6×6k ﹣21×3×3k=12，解得：k =6．23、（2017•临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数xky =（x ＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点．△OMN 的面积为10．若动点P 在x 轴上，则PM+PN 的最小值是 262解：∵正方形OABC 的边长是6，∴点M 的横坐标和点N 的纵坐标为6，∴M （6，6k ），N （6k ，6），∴BN=6﹣6k ，BM=6﹣6k ， ∵△OMN 的面积为10，∴6×6﹣21×6×6k ﹣⨯216×6k ﹣21×（6﹣6k）2=10，∴k=24，∴M （6，4），N （4，6），作M 关于x 轴的对称点M′，连接NM′交x 轴于P ，则NM′的长=PM+PN 的最小值， ∵AM=AM′=4，∴BM′=10，BN=2，∴NM′=262，24、如图，矩形OABC 中，A （1，0），C （0，2），双曲线x ky =（0＜k ＜2）的图象分别交AB ，CB 于点E ，F ，连接OE ，OF ，EF ，S △OEF =2S △BEF ，则k 值为 32【解】∵四边形OABC 是矩形，BA ⊥OA ，A （1，0），∴设E 点坐标为（1，m ），则F 点坐标为（2m，2）， 则S △BEF =21（1﹣2m ）（2﹣m ），S △OFC =S △OAE =21m ，∴S △OEF =S 矩形ABCO ﹣S △OCF ﹣S △OEA ﹣S △BEF =2﹣2m ﹣2m ﹣21（1﹣2m）（2﹣m ），∵S △OEF =2S △BEF ，∴2﹣2m ﹣2m ﹣21（1﹣2m ）（2﹣m ）=2•21（1﹣2m）（2﹣m ），整理得43（m ﹣2）2+m ﹣2=0，解得m 1=2（舍去），m 2=32，∴E 点坐标为（1，32）；∴k =32，．25、如图，直线63-=x y 分别交x 轴，y 轴于A ，B ，M 是反比例函数xky =（x ＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC ∥x 轴交AB 于C ，MD ⊥MC 交AB 于D ，AC•BD=34，则k 的值为（ ﹣3 ）【解】过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ， 令x =0代入63-=x y ，∴y =﹣6，∴B （0，﹣6），∴OB=6， 令y=0代入63-=x y ，∴x =32，∴（32，0），∴OA=32，∴勾股定理可知：AB=34，∴sin ∠OAB=AB OB =23，cos ∠OAB=AB OA =21 设M （x ，y ），∴CF=﹣y ，ED=x ，∴sin ∠OAB=ACCF ， ∴AC=y 332-，∵cos ∠OAB=cos ∠EDB=BDED， ∴BD=2x ，∵AC•BD=34，∴y 332-×2x =34，∴xy =﹣3， ∵M 在反比例函数的图象上，∴k=xy =﹣3，26、如图，已知点P （6，3），过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数xky =的图象交PM 于点A ，交PN 于点B ．若四边形OAPB 的面积为12，则k = 6 ．【解】∵点P （6，3），∴点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3， 代入反比例函数y =x k 得，点A 的纵坐标为6k ，点B 的横坐标为3k， 即AM=6k ，NB=3k，∵S 四边形OAPB =12，即S 矩形OMPN ﹣S △OAM ﹣S △NBO =12， 6×3﹣21×6×6k ﹣21×3×3k =12，解得：k =627、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC 和正方形DOFE 的顶点B ，F 在x 轴上，顶点C ，D 在y 轴上，且S △ADF =4，反比例函数xky =（x ＞0）的图象经过点E ，则k = 8 ．【解】设正方形ABOC 和正方形DOFE 的边长分别是m 、n ，则AB=OB=m ，DE=EF=OF=n ， ∴BF=OB+OF=m +n ，∴S △ADF =S 梯形ABOD +S △DOF ﹣S △ABF =21m （m +n ）+21n 2﹣21m （m +n ）=4，∴n 2=8， ∵点E （n ，n ）在反比例函数xky =（x ＞0）的图象上，∴k =n 2=8， 28、（2017•株洲）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O 位于坐标原点，斜边AB 垂直于x 轴，顶点A 在函数x k y 11=（x ＞0）的图象上，顶点B 在函数xky 22=（x ＞0）的图象上，∠ABO=30°，则21k k = 31- ．【解】如图，Rt △AOB 中，∠B=30°，∠AOB=90°，∴∠OAC=60°， ∵AB ⊥OC ，∴∠ACO=90°，∴∠AOC=30°， 设AC=a ，则OA=2a ，OC=a 3，∴A （a 3，a ）， ∵A 在函数xk y 11=（x ＞0）的图象上，∴k 1=a 3•a =23a Rt △BOC 中，OB=2OC=a 32，∴BC=3a ，∴B （a 3，﹣3a ）， ∵B 在函数x k y 22=（x ＞0）的图象上，∴k 2=﹣3a a 3=﹣323a ，∴21k k = 31-29、两个反比例函数x y 4=，x y 8-=的图象在第一象限，第二象限如图，点P1、P2、P3…P2010在xy 4=的图象上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1，3，5，7，9，11，…，过点P1、P2、P3、…、P2010分别作x 轴的平行线，与xy 8-=的图象交点依次是Q1、Q2、Q3、…、Q2010，则点Q2010的横坐标是______________-803830、如图所示，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上；点FAB 上，点B ，E 在反比例函数y=x 1（x ＞0）的图象上．正方形MNPB 中心为原点O ，且NP ∥BM ，（1）则正方形MNPB 面积为 4． （2）点E 的坐标为 ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛+21-5215， 【解】31、如图，梯形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线xky =（k ＞0）经过A 、E 两点，若AC ：OB=1：3，梯形AOBC 面积为24，则k = 710832、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数xky =（k ＞0，x ＞0）的图象经过顶点D ，分别与对角线AC ，边BC 交于点E ，F ，连接EF ，AF ．若点E 为AC 的中点，△AEF 的面积为1，则k 的值为 3【解】设A （a ，0），∵矩形ABCD ，∴D （a ，ak）， ∵矩形ABCD ，E 为AC 的中点，则E 也为BD 的中点，∵点B 在x 轴上，∴E 的纵坐标为ak 2， E )2,2(a k a ∵E 为AC 的中点，∴点C （3a ，a k ），∴点F （3a ，ak3）， ∵△AEF 的面积为1，AE ＝EC ，∴S △ACF ＝2，解得：k ＝3．33、如图，点A ，B 在反比例函数xky =（k ＞0，x ＞0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥y 轴于点E ，连结AE ．若OE ＝1，OC ＝32OD ，AC ＝AE ，则k 的值为 223【解】∵BD ⊥x 轴于点D ，BE ⊥y 轴于点E ，∴四边形BDOE 是矩形，∴BD ＝OE ＝1，把y ＝1代入xky =，求得x ＝k ， ∴B （k ，1），∴OD ＝k ，∵OC ＝32OD ，∴OC ＝32k ，∵AC ⊥x 轴于点C ，把x ＝32k 代入x k y =得，y ＝23，∴AE ＝AC ＝23，∵OC ＝EF ＝32k ，AF ＝23﹣1＝21，在Rt △AEF 中，AE 2＝EF 2+AF 2，∴（23）2＝（32k ）2+（21）2，解得k ＝±223，∵在第一象限，∴k ＝223，34、如图，点P 是函数y ＝x k 1（k 1＞0，x ＞0）的图象上一点，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为点A 、B ，交函数y ＝xk2（k 2＞0，x ＞0）的图象于点C 、D ，连接OC 、OD 、CD 、AB ，其中k 1＞k 2．下列结论：①CD ∥AB ；②S △OCD ＝221k k -；③S △DCP ＝12212(k k k ）-，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．① 【解】∵PB ⊥y 轴，P A ⊥x 轴，点P 在上，点C ，D 在上，设P （m ，），则C （m ，），A （m ，0），B （0，），令，则，即D （，），∴PC ＝，PD ＝，∵，，即，又∠DPC ＝∠BP A ，∴△PDC ∽△PBA ，∴∠PDC ＝∠PBC ，∴CD ∥AB ，故①正确；△PDC 的面积＝12212(k k k ）-，故③正确；S △OCD ＝S 四边形OAPB ﹣S △OCA ﹣S △DPC ＝12212(k k k ）-，故②错误；故选：B ．35、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥x 轴，AO ⊥AD ，AO ＝AD ．过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，DE ＝4CE ．反比例函数xky =（x ＞0）的图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF ．若S △EOF ＝811，则k 的值为 37【解】：延长EA 交x 轴于点G ，过点F 作FH ⊥x 轴于点H ，如图，∵AB ∥x 轴，AE ⊥CD ，AB ∥CD ∴AG ⊥x 轴．∵AO ⊥AD ∴∠DAE +∠OAG ＝90°． ∵AE ⊥CD ，∴∠DAE +∠D ＝90°．∴∠D ＝∠OAG ． 在△DAE 和△AOG 中，∴△DAE ≌△AOG （AAS ）．∴DE ＝AG ，AE ＝OG ． ∵四边形ABCD 是菱形，DE ＝4CE ，∴AD ＝CD ＝45DE ． 设DE ＝4a ，则AD ＝OA ＝5a ．∴OG ＝AE ＝3a ．∴EG ＝AE +AG ＝7a ．∴E （3a ，7a ）． ∵反比例函数xky =（x ＞0）的图象经过点E ，∴k ＝21a 2． ∵AG ⊥GH ，AH ⊥GH ，AF ⊥AG ，∴四边形AGHF 为矩形．∴HF ＝AG ＝4a ．∵点F 在反比例函数x k y =（x ＞0）的图象上，∴y ＝421a ． ∴F （421a , 4a ）．∴OH ＝421a ．∴GH ＝OH ﹣OG ＝49a∵S △OEF ＝S △OEG +S 梯形EGHF ﹣S △OFH ，S △EOF ＝811，得：a 2＝91．∴k ＝21a 2＝37．36、如图，在Rt △AOB 中,OAB ∠的外角平分线与OBA ∠外角平分线交于点C ，反比例函数)0(>=x xky经过点C ，延长CA 交x 轴于D ，延长CB 交y 轴于E ，连接DE 、DE 的中点F 恰好落在反比例函数)0(9<=x xy 图像上，则k = 1837、如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，A 点坐标为（－10,0），对角线AC 和OB 相交于点D 且AC·OB=160.若反比例函数xky = (x ＜0）的图象经过点D ，并与BC 的延长线交于点E,则S △OCE ∶S △OAB =________1:5O。

中考反比例试题及答案
一、选择题
1. 若函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（2，3），则k的值为（）。

A. 6
B. -6
C. 2
D. 3
答案：A
2. 已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（-2，1），则k的值为（）。

A. 2
B. -2
C. -1
D. 1
答案：B
二、填空题
3. 若反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（-1，-4），则k的值为____。

答案：4
4. 已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象在第一、三象限，若点（2，-1）在该图象上，则k的值为____。

答案：-2
三、解答题
5. 已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（-3，2），求k的值。

答案：k=-6
6. 若反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（4，-2），求k的值。

答案：k=-8
四、计算题
7. 已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（2，-3），求当x=-
6时，y的值。

答案：y=3
8. 若反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点（-1，4），求当x=-2时，y的值。

答案：y=2。

中考数学复习---《反比例函数综合》压轴题练习（含答案解析）一．反比例函数系数k的几何意义（共4小题）1．（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图像上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图像上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图像上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B．2．（2022•通辽）如图，点D是▱OABC内一点，AD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝，∠BDC＝120°，S△BCD＝，若反比例函数y＝（x＜0）的图像经过C，D两点，则k的值是（）A．﹣6B．﹣6C．﹣12D．﹣12【答案】C【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB∥OC，AB＝OC，∴∠COE＝∠1，∵BD与y轴平行，∴∠1＝∠ABD，∠ADB＝90°，∴∠COE＝∠ABD，在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE＝BD＝，∵S△BDC＝BD•CF＝，∴CF＝9，∵∠BDC＝120°，∴∠CDF＝60°，∴DF＝3，点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+9，4），∵反比例函数y＝（x＜0）的图像经过C，D两点，∴k＝m＝4（m+9），∴m＝﹣12，∴k＝﹣12，故选：C．3．（2022•宜宾）如图，△OMN是边长为10的等边三角形，反比例函数y＝（x ＞0）的图像与边MN、OM分别交于点A、B（点B不与点M重合）．若AB ⊥OM于点B，则k的值为．【答案】9【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图，∵△OMN是边长为10的等边三角形，∴OM＝ON＝MN＝10，∠MON＝∠M＝∠MNO＝60°设OC＝b，则BC＝，OB＝2b，∴BM＝OM﹣OB＝10﹣2b，B（b，b），∵∠M＝60°，AB⊥OM，∴AM＝2BM＝20﹣4b，∴AN＝MN﹣AM＝10﹣（20﹣4b）＝4b﹣10，∵∠AND＝60°，∴DN＝＝2b﹣5，AD＝AN＝2b﹣5，∴OD＝ON﹣DN＝15﹣2b，∴A（15﹣2b，2b﹣5），∵A、B两点都在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，∴k＝（15﹣2b）（2b﹣5）＝b•b，解得b＝3或5，当b＝5时，OB＝2b＝10，此时B与M重合，不符题意，舍去，∴b＝3，∴k＝b•b＝9，故答案为：9．4．（2022•乐山）如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴上，点D在y＝（k ＞0）上，且AD⊥x轴，CA的延长线交y轴于点E．若S△ABE＝，则k＝．【答案】3【解答】解：设BC与x轴交于点F，连接DF、OD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴S△ODF＝S△EBC，S△ADF＝S△ABC，∴S△OAD＝S△ABE＝，∴k＝3，故答案为：3．二．反比例函数图像上点的坐标特征（共4小题）5．（2022•宿迁）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，以OA为一边作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，则线段OB长的最小值是（）A．1B．C．2D．4【答案】C【解答】解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，∴当OB最小时，OA最小，设A点坐标为（a，），∴OA＝，∵≥0，即：﹣4≥0，∴≥4，∵≥0，两边同时开平方得：a﹣＝0，∴当a＝时，OA有最小值，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），∴A点坐标为（，），∴OA＝2，∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB为斜边，∴OB＝OA＝2．故选：C．6．（2022•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（）A．4B．﹣4C．﹣3D．3【答案】C【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBE＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠OAB＝∠CBE，∵点A的坐标为（4，0），∴OA＝4，∵AB＝5，∴OB＝＝3，在△ABO和△BCE中，，∴△ABO≌△BCE（AAS），∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，∴点C的坐标为（﹣3，1），∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，故选：C．7．（2022•江西）已知点A在反比例函数y＝（x＞0）的图像上，点B在x 轴正半轴上，若△OAB为等腰三角形，且腰长为5，则AB的长为．【答案】5或2或【解答】解：当AO＝AB时，AB＝5；当AB＝BO时，AB＝5；当OA＝OB时，设A（a，）（a＞0），B（5，0），∵OA＝5，∴＝5，解得：a1＝3，a2＝4，∴A（3，4）或（4，3），∴AB＝＝2或AB＝＝；综上所述，AB的长为5或2或．故答案为：5或2或．8．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图像上，BE⊥x 轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为，点F的坐标为．【答案】，（，0）．【解答】解：如图，方法一：作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，设点B（b，），D（a，），由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，∴OI＝BI，∴DI＝CI，∴＝，∵∠CID＝∠BIO，∴△CDI∽△BOI，∴∠CDI＝∠BOI，∴CD∥OB，∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，∴•（a﹣b）＝，∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，∴a＝2b，a＝﹣（舍去），∴D（2b，），即：（2b，），在Rt△BOD中，由勾股定理得，OD2+BD2＝OB2，∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，∴b＝，∴B（，2），D（2，），∵直线OB的解析式为：y＝2x，∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，当y＝0时，2﹣3＝0，∴x＝，∴F（，0），∵OE＝，OF＝，∴EF＝OF﹣OE＝，∴＝，方法二：如图，连接BF，BD，作DG⊥x轴于G，直线BD交x轴于H，由上知：DF∥OB，∴S△BOF＝S△BOD＝，∵S△BOE＝|k|＝3，∴＝＝，设EF＝a，FG＝b，则OE＝2a，∴BE＝，OG＝3a+b，DG＝，∵△BOE∽△DFG，∴＝，∴＝，∴a＝b，a＝﹣（舍去），∴D（4a，），∵B（2a，），∴＝＝，∴GH＝EG＝2a，∵∠ODH＝90°，DG⊥OH，∴△ODG∽△DHG，∴，∴，∴a＝，∴3a＝，∴F（，0）故答案为：，（，0）．三．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）9．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图像经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图像经过点D的反比例函数的解析式是．【答案】y＝﹣【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．∵tan∠ABO＝＝3，∴可以假设OB＝a，OA＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，∴∠ABO＝∠BCT，∴△AOB≌△BTC（AAS），∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，∴OT＝BT﹣OB＝2a，∴C（a，2a），∵点C在y＝上，∴2a2＝1，同法可证△CHD≌△BTC，∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，∴D（﹣2a，3a），设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，∴k＝﹣6a2＝﹣3，∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．故答案为：y＝﹣．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）10．（2022•怀化）如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a 的值为（）A．8B．9C．10D．11【答案】D【解答】解：设点B的坐标为（m，），∵S△BCD＝5，且a＞1，∴×m×＝5，解得：a＝11，故选：D．11．（2022•巴中）将双曲线y＝向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3， (1011)相交于2022个点，则这2022个点的横坐标之和为．【答案】4044【解答】解：直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）可由直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到，∴直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）到直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的平移方式与双曲线双曲线的相同，∴新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也可以由双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点以同样的方式平移得到，设双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为x i，x'i，（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），则新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标为x i+2，x'i+2（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），根据双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）图像都关于原点对称，可知双曲线与直线y＝k i x（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点也关于原点对称，∴x i+x'i＝0，（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），∴（x i+2）+（x'i+2）＝4（i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011），即新双曲线与直线y＝k i（x﹣2）﹣1（k i＞0，i＝1，2，3，⋅⋅⋅，1011）的交点的横坐标之和都是4，∴这2022个点的横坐标之和为：4×1011＝4044．故答案是：4044．。

2022年九年级中考数学:反比例函数解答压轴题1．一次函数y = -x +b 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与反比例函数ky x=（x >0）的图象交于点C 和点D ，y 轴上B 点下方一点（0，3）到直线AB △AOD 的面积为2.5(O 为坐标原点).(1)求反比例函数的解析式和D 点坐标； (2)直接写出不等式(0)kx b x x-+>>的解集2．如图，已知直线12y x =与双曲线y ＝nx 交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为4.(1)求n 的值；(2)直接写出不等式n x ＞12x 的解集．(3)过原点O 的另一条直线l 交双曲线y ＝nx于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点A 的坐标为(0，4)，一次函数112y x =--的图象与反比例函数m y x =的图象交于点B ，与x 轴交于点C ．求反比例函数的表达式．4．如图，直线1y k x b =+与双曲线2k y x=交于A ，B 两点，已知点A 的横坐标为3-，点B 的纵坐标为3-，直线AB 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点1(0,2),tan 3D AOC -∠=．(1)求双曲线和直线AB 的解析式；(2)若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点，OCP △的面积是ODB △的面积的3倍，求点P 的坐标．(3)若点E 在x 轴的负半轴上，是否存在以点E ，C ，D 为顶点构成的三角形与ODB △相似？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，一次函数1y k x b =+ 的图象与反比例函数y ＝2k x的图象相交于点A （3，1），B （﹣1，n ）两点．(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出满足k 1x +b ≥﹣2k x的x 的取值范围； (3)连接BO 并延长交双曲线于点C ，连接AC ，求ABC 的面积．6．如图，在平面直角坐标系中，直线1kx b y =+（0k ≠）与双曲线2axy =（0a ≠）交于A 、B 两点，已知点A (m ，2)，点B (－1，－4)．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)把直线y 1沿x 轴负方向平移2个单位后得到直线 y 3 ，直线y 3与双曲线y 2交于D 、E 两点，当y 2＞y 3时，求x 的取值范围．7．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()24，，双曲线(0)ky x x=>的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE ．(1)求k 的值及点E 的坐标；(2)若点F 是边OC 上一点，当FBC 与DEB 相似时，求直线FB 的解析式．8．如图，一次函数y 1＝ax +6的图象过点C （﹣3，0），它与反比次函数y 2＝kx 的图象交于第一、三象限内的点A （1，n ）和点B ．连接OA 、OB ．(1)求一次函数y 1＝ax +6与反比例函数y 2＝kx 解析式；(2)求△ABO 的面积；(3)结合图象，请直接写出不等式ax +b ≥kx 的解集．线 y 2=k 2x +b 交于点B 和点C ．(1)求直线AB 和反比例函数的解析式；(2)已知点D （-1，0），直线CD 与反比例函数图象在第一象限的交点为E ，直接写出点E 的坐标，并求△BCE 的面积． (3)结合图像直接写出不等式1k x≥k 2x +b 的解集．10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+与反比例函数6y x=-的图象交于()1,A m -，(),3B n -两点，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点C ．(1)求一次函数的解析式；(2)根据函数的图象，直接写出不等式6kx b x+≤-的解集；(3)点P 是x 轴上一点，且BOP △的面积等于AOB 面积的2倍，求点P 的坐标．11．如图，菱形OABC 的点B 在y 轴上，点C 坐标为（4，3），双曲线ky x=的图象经过点A ．(1)菱形OABC 的边长为 ； (2)求双曲线的函数关系式；(3)△点B 关于点O 的对称点为D 点，过D 作直线l 垂直于x 轴，点P 是直线l 上一个动点，点E 在双曲线上，当P 、E 、A 、B 四点构成平行四边形时，求点E 的坐标； △将点P 绕点A 逆时针旋转90°得点Q ，当点Q 落在双曲线上时，求点Q 的坐标．12．已知直线43y x =与双曲线ky x=交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为4，第一象限的双曲线上有一点P ，过点P 作PQ x ∥轴交直线AB 于点Q ，点A 到PQ 的距离为2．(1)直接写出k 的值及点B 的坐标； (2)求线段PQ 的长； (3)如果在双曲线ky x=上一点M ，且满足PQM 的面积为9，求点M 的坐标．13．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标为()6,0，且5AO AB ==，AH x ⊥轴于D ，交AH 于点M ．(1)求该反比例函数的表达式； (2)求ADDB的值．14．一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝mx（x ＞0）的图象交于点P (n ，2)，与x 轴、y 轴分别交于点A (﹣4，0)、C ，PB △x 轴于点B ，S △ACO ＝2．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)在反比例函数图象上求一点D ，使得以B 、C 、P 、D 为顶点的四边形是菱形； (3)若△P AB 与△P AQ 相似但不全等，判断平面内符合题意的点Q 有几个？并求出其中一个点的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，直线1y k x =和双曲线2k y x=在第一象限相交于点(1,2)A ，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为点B ．有一动点P 从原点出发沿y 轴以每秒1个单位的速度向y 轴的正方向运动，运动时间为t 秒(0)t >，过点P 作PD x ∥轴，交直线OA 于点C ，交双曲线于点D ．（1）求直线1y k x =和双曲线2k y x=的函数解析式； （2）设四边形CDAB 的面积为S ，当P 在线段OB 上运动时（P 不与B 点重合），求S 与t 之间的函数关系式；（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点D ，使以,,,A B C D 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出此时t 的值和D 点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，一次函数y ＝ax +b 的图象与y 轴交于点B （0，2），与x 轴交于点E （﹣32，0）与反比例函数ky x =（x ＜0）的图象交于点D ．以BD 为对角线作矩形ABCD ，使顶点A 、C 落在x 轴上（点A 在点C 的右边）． （1）求一次函数的解析式．（2）求点C 和点D 的坐标以及反比例函数的解析式．（3）直接写出在第三象限内，x 取何值时kx＜ax +b ．17．如图，一次函数y ＝12x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象交于B ，D 两点，且AC ＝BC ．（1）写出点A ，B 的坐标；（2）求出点D 的坐标，并直接写出当k x＞12x ＋1时，x 的取值范围；（3）若P 是x 轴上一点，PM △x 轴交一次函数于点M ，交反比例函数于点N ，当O ，C ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点P 的坐标．18．如图，一次函数y kx b =+的图象交反比例函数()0ay x x=>的图象于()4,8A -、(),2B m -两点，交x 轴于点C ．（1）求反比例函数与一次函数的关系式；（2）根据图象回答：在第四象限内，当一次函数的值小于反比例函数的值时，x 的取值范围是什么？（3）若点P 在x 轴上，点Q 在坐标平内面，当以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是矩形时，求出点P 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y =kx 和双曲线my x=交于点A (－3，2)．（1）填空：k = ，m = ；标；（3）在双曲线上找出点M，使得△AOM=45°，求出此时点M的坐标．20．如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数ykx（x＞0）的图象交于点A（a，6﹣a），点B（b，6﹣b），其中a＜b，a，b均为整数，与坐标轴的交点分别为C，D，AE△x轴，垂足为E（2，0）．（1）求反比例函数的表达式；（2）求直线l的函数表达式；（3）若M为直线AB上的动点，求线段OM长度最小值；（4）若P为坐标轴上一点，BP△OA，求点P的坐标．。

中考之反比例函数填空选择压轴题1、（2011•宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y= 2 （x＞0）的图象上，顶 x点 A1、B1 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3 在反比例函数 y= 2 （x＞0）的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 P2 点的坐标为___________，则 x点 P3 的坐标为__________。

2、已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两个实数根的倒数和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）x2+3x-2a=0有实根，且k为正整数，正方形ABP1P2的顶点P1、P2在反比例函数y=k 1（x x＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，求点 P2 的坐标．3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为 2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标．4、两个反比例函数y=3 x，y=6 x在第一象限内的图象如图所示，点P1、P2在反比例函数图象上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好在y=3 x的图象上，则NP1与NP2的乘积是______。

4、两个反比例函数y=3 x，y=6 x在第一象限内的图象如图所示，点P1、P2在反比例函数图象上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好在y=3 x的图象上，则NP1与NP2的乘积是______。

5、2007•泰安）已知三点P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函数y=k x的图象上，若 x1＜0，x2＞0，则下列式子正确的是（ ）A．y1＜y2＜0B．y1＜0＜y2C．y1＞y2＞0D．y1＞0＞y26、如图，已知反比例函数 y= 1 的图象上有点 P，过 P 点分别作 x 轴和 y 轴的垂线，垂足分 x别为 A、B，使四边形 OAPB 为正方形，又在反比例函数图象上有点 P1，过点 P1 分别作 BP和 y 轴的垂线，垂足分别为 A1、B1，使四边形 BA1P1B1 为正方形，则点 P1 的坐标是________。

完美WORD格式资料反比例函数一．填空题〔共19小题〕1．〔2021?湖州〕如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．假设点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，那么点P在线段ON上运动时， A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．2．〔2021?市中区一模〕如图，双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．假设点A的坐标为〔﹣6，4〕，那么△AOC的面积为．3．〔2021?石家庄校级一模〕如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y= 的图象经过点A，假设S△BEC=8，那么k= ．4．〔2021?同安区校级质检〕如图，直线y=﹣x+b与双曲线y=﹣〔x＜0〕交于点A，与x轴交于点B，那么OA2﹣OB2= ．专业整理分享完美WORD格式资料5．〔2021?邳州市二模〕如图，点P在双曲线y= 〔x＞0〕上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，假设OF﹣OE=6，那么k的值是．6．〔2021?遵义二模〕如图，矩形ABCD的对角线 BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．假设点A的坐标为〔﹣2，﹣2〕，那么k的值为．7．〔2021?黄石〕如下图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b〔a≠0〕的图象与反比例函数〔k≠0〕的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．A 〔﹣2，m〕，B〔n，﹣2〕，tan∠BOC=，那么此一次函数的解析式为．专业整理分享8．〔2021?遵〕如，直y= x与双曲y= 〔k＞0〕交于A、B两点，点 B的坐〔4，2〕，C双曲y= 〔k＞0〕上一点，且在第一象限内，假设△AOC的面6，点C的坐．9．〔2021?州〕如，点P1〔x1，y1〕，点P2〔x2，y2〕，⋯，点Pn〔xn，yn〕在函数〔x ＞0〕的象上，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，⋯，△P n A n﹣1A n都是等腰直角三角形，斜OA1、A1A2、A2A3，⋯，An﹣1An都在x上〔n是大于或等于2的正整数〕，点P3的坐是；点Pn的坐是〔用含n的式子表示〕．10．〔2021?宁波〕如，等腰直角三角形ABC点A在x上，∠BCA=90°，AC=BC=2 ，反比例函数y= 〔x＞0〕的象分与AB，BC交于点D，E．DE，当△BDE∽△BCA，点E的坐．11．〔2021?重〕如，菱形OABC的点O是坐原点，点A在x的正半上，点B、C均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°．点D在AB上，将四形OABC沿直0D翻折，使点B和点C分落在个坐平面的点B′和C′，且∠C′DB′=60．°假设某反比例函数的象点B′，个反比例函数的解析式．专业整理分享12．〔2021?芦淞区模拟〕双曲线，的局部图象如下图，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．假设PB=2PA，那么k= ．13．〔2021?阜宁县二模〕如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形DCAE的面积为 4，那么k的值为．14．〔2021?邓州市校级一模〕如图，梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，假设△OBC的面积等于3，那么k的值是．15．〔2021?三明〕如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥y轴，点P是y轴上的任意一点，那么△PAB的面积为．专业整理分享完美WORD格式资料16．〔2021?十堰〕如图，直线y=6x，y= x分别与双曲线y= 在第一象限内交于点A，B，假设S△OAB=8，那么k=．17．〔2021?漳州〕如图，点A〔3，n〕在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点M，那么△AMC周长的值是．18．〔2021?淄博模拟〕如图，直线y= x与双曲线 y=〔x＞0〕交于点A，将直线y= x向下平移个6单位后，与双曲线y=〔x＞0〕交于点B，与x轴交于点C，那么C点的坐标为；假设=2，那么k=．19．〔2021?桐乡市校级三模〕如图，点A〔a，b〕在双曲线上，AB⊥x轴于点B，假设点是双曲线上异于点A的另一点．专业整理分享完美WORD 格式资料〔1 〕k=；〔2〕假设a 2=169﹣b 2，那么△OAB 的内切圆半径r= ．二．解答题〔共 11小题〕20．解方程组：21．〔2021?淄博〕如图，点A 与点B 的坐标分别是〔 1，0〕，〔5，0〕，点P 是该直角坐标系内的一个动点．〔1 〕使∠APB=30°的点P 有 个；〔2 〕假设点P 在y 轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P 的坐标；〔3 〕当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？假设有，求点 P 的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；假设没有，也请说明理由．22．〔2021?湖州〕如图①， O 为坐标原点，点 B 在x 轴的正半轴上，四边形 OACB 是平行四边形，sin ∠AOB= ，反比例函数 y= 〔k ＞0〕在第一象限内的图象经过点 A ，与BC 交于点F ．1〕假设OA=10，求反比例函数解析式；2〕假设点F 为BC 的中点，且△AOF 的面积S=12，求OA 的长和点C 的坐标；〔3〕在〔2〕中的条件下，过点F 作EF ∥OB ，交OA 于点E 〔如图②〕，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？假设存在，请直接写出所有点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由．专业整理分享完美WORD格式资料23．〔2021?泉州〕如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P〔2，1〕．1〕求该反比例函数的关系式；2〕设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．24．〔2021?巴中〕如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b〔k≠0〕的图象与反比例函数y=的图象交于一、三象限内的A、B两点，直线A B与x轴交于点C，点B的坐标为〔﹣6，n〕，线段OA=5，E为x轴正半轴上一点，且tan∠AOE=．（1〕求反比例函数的解析式；2〕求△AOB的面积．专业整理分享完美WORD格式资料25．〔2021?龙岩〕如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点〔不与端点A、B重合〕，过点F的反比例函数y=〔k＞0，x＞0〕与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．〔1〕假设S△OCF=，求反比例函数的解析式；〔2〕在〔1〕的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；〔3〕AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？假设存在，请求出BF：FA的值；假设不存在，请说明理由．26．〔2021?广元〕如图，双曲线y=经过点D〔6，1〕，点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．1〕求k的值；2〕假设△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；3〕判断AB与CD的位置关系，并说明理由．27．〔2021?北海〕如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A〔﹣2，0〕、B〔0，1〕、C〔d，2〕．〔1〕求d的值；〔2〕将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′解析式；的专业整理分享完美WORD 格式资料〔3〕在〔2〕的条件下，直线 BC 交y 轴于点G ．问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数图象 上的点P ，使得四边形 PGMC ′是平行四边形？如果存在，请求出点M 和点P 的坐标；如果不存 在，请说明理由．28．〔2021?泰州〕如图，一次函数y 1=kx+b 图象与x 轴相交于点 A ，与反比例函数 的图象相交于B 〔﹣1，5〕、C 〔，0〕两点．点P 〔m ，n 〕是一次函数 y 1=kx+b 的图象上的动点．〔1 〕求k 、b 的值；〔2 〕设﹣1＜m ＜，过点P 作x 轴的平行线与函数的图象相交于点D ．试问△PAD 的面积是否存在最大值？假设存在，请求出面积的最大值及此时点 P 的坐标；假设不存在，请说明理由；〔3 〕设m=1﹣a ，如果在两个实数m 与n 之间〔不包括m 和n 〕有且只有一个整数，求实数a的取值范围．29．〔2021?淄博〕如图，正方形 AOCB 的边长为 4，反比例函数的图象过点E 〔3，4〕．〔1 〕求反比例函数的解析式；〔2 〕反比例函数的图象与线段 BC 交于点D ，直线过点D ，与线段AB 相交于点F ，求点F 的坐标；〔3 〕连接OF ，OE ，探究∠AOF 与∠EOC 的数量关系，并证明．专业整理分享完美WORD格式资料30．〔2021?长春一模〕如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B分别落在x轴、y轴的正半轴上，顶点C在第一象限，BC与x轴平行．BC=2，△ABC的面积为1．〔1〕求点C的坐标．〔2〕将△ABC绕点C顺时针旋转90°，△ABC旋转到△A1B1C的位置，求经过点B1的反比例函数关系式．专业整理分享完美WORD格式资料2021年03月05日1161622024的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题〔共19小题〕1．〔2021?湖州〕如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．假设点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，那么点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．考点：一次函数综合题．专题：压轴题．分析：〔1〕首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径〔或轨迹〕，如答图②所示．利用相似三角形可以证明；〔2〕其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0n0n的长度，B∽△AON，求出线段BB即点B运动的路径长．解答：解：由题意可知，OM=，点N在直线y=﹣x上，AC⊥x轴于点M，那么△OMN为等腰直角三角形，ON=OM=×=．如答图①所示，设动点P在O点〔起点〕时，点B的位置为B0，动点P在N点〔终点〕时，点B的位置为B n，连接B0B nAO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO?tan30°，AB n=AN?tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°〔此处也可用30°角的Rt△三边长的关系来求得〕，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON?tan30°=×=．现在来证明线段B0B n就是点B运动的路径〔或轨迹〕．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B iAO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i，又∵AB0=AO?tan30°，AB i=AP?tan30°∴，AB0：AO=AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i=∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n=∠AOP，专业整理分享完美WORD格式资料∴∠AB0B i=∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径〔或轨迹〕．综上所述，点B运动的路径〔或轨迹〕是线段B0B n，其长度为．故答案为：．点评：此题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．此题的要点有两个：首先，确定点B的运动路径是此题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，防止陷入坐标关系的复杂运算之中．2．〔2021?市中区一模〕如图，双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．假设点A的坐标为〔﹣6，4〕，那么△AOC的面积为9．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题；数形结合．分析：要求△AOC的面积，OB为高，只要求AC长，即点C的坐标即可，由点D为三角形OAB斜边OA的中点，且点A的坐标〔﹣6，4〕，可得点D的坐标为〔﹣3，2〕，代入双曲线可得k，又AB⊥OB，所以C点的横坐标为﹣ 6，代入解析式可得纵坐标，继而可求得面积．解答：解：∵点D为△OAB斜边OA的中点，且点A的坐标〔﹣6，4〕，∴点D的坐标为〔﹣3，2〕，专业整理分享完美WORD格式资料把〔﹣3，2〕代入双曲线，可得k=﹣6，即双曲线解析式为y=﹣，AB⊥OB，且点A的坐标〔﹣6，4〕，∴C点的横坐标为﹣6，代入解析式y=﹣，y=1，即点C坐标为〔﹣6，1〕，AC=3，又∵OB=6，S△AOC=×AC×OB=9．故答案为：9．点评：此题考查反比例函数系数k的几何意义及其函数图象上点的坐标特征，表达了数形结合的思想．3．〔2021?石家庄校级一模〕如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上，斜边AC上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E，双曲线y=的图象经过点A，假设S△BEC=8，那么k=16．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：方法1：因为S△BEC=8，根据k的几何意义求出k值即可；方法2：先证明△ABC与△OBE相似，再根据相似三角形的对应边成比例列式整理即可得到k=2S△BEC=16．专业整理分享完美WORD 格式资料解答：解：方法 1：设OB=x ，那么AB=，过D 作DH ⊥x 轴于H ，∵D 为AC 中点， ∴DH 为△ABC 中位线， DH=AB=，∵∠EBO=∠DBC=∠DCB ， ∴△ABC ∽△EOB ， 设BH 为y ， 那么EO=，BC=2y ， S △EBC =BC?OE=??2y==8，k=16．方法2：∵BD 是Rt △ABC 斜边上的中线， BD=CD=AD ， ∴∠DBC=∠ACB ，又∠DBC=∠OBE ，∠BOE=∠ABC=90°， ∴△ABC ∽△EOB ， ∴=， AB?OB=BC?OE ， S △BEC =×BC?OE=8， AB?OB=16， k=xy=AB?OB=16． 故答案为：16．点评：主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数k 的几何意义．反比例函数系数k 的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值 k ，同时|k|也是 该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．此题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．4．〔2021?同安区校级质检〕如图，直线 y=﹣x+b 与双曲线 y=﹣ 〔x ＜0〕交于点 A ，与x 轴交于点B ，那么OA 2﹣OB 2= 2 ．专业整理分享完美WORD 格式资料考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：由直线y=﹣x+b 与双曲线y=﹣〔x ＜0〕交于点A 可知：x+y=b ，xy=﹣1，又OA 2=x 2+y 2，222﹣OB2的值． OB=b ，由此即可求出OA 解答：y=﹣x+b 与双曲线y=﹣ 〔x ＜0〕交于点A ， 解：∵直线设A 的坐标〔x ，y 〕，∴x+y=b ，xy=﹣1，而直线y=﹣x+b 与x 轴交于B 点，∴OB=b2 2 2 2 2，∴又OA=x+y ，OB=b ∴ OA 2﹣OB 2=x 2+y 2﹣b 2=〔x+y 〕2﹣2xy ﹣b 2=b 2+2﹣b 2=2．故答案为：2．点评：此题难度较大，主要考查一次函数与反比例函数的图形和性质， 也考查了图象交点坐标和解析式的关系．∴ 5．〔2021?邳州市二模〕如图，点 P 在双曲线 y=〔x ＞0〕上，以 P 为圆心的⊙P 与两坐标轴都相切，点 E 为y 轴负半轴上的一点，过点 P 作PF ⊥PE 交x 轴于点F ，假设OF ﹣OE=6，那么k 的值是9．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：过P 点作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、B ，根据⊙P 与两坐标轴都相切可知，PA=PB ，由∠APB=∠EPF=90°可证△BPE ≌△APF ，得BE=AF ，利用OF﹣OE=6，求圆的半径，根据k=OA ×PA 求解．解答：解：如图，过 P 点作x 轴、y 轴的垂线，垂足为A 、B ，∵⊙P 与两坐标轴都相切，PA=PB ，四边形OAPB 为正方形，∵∠APB=∠EPF=90°，专业整理分享完美WORD 格式资料∴∠BPE=∠APF ， Rt △BPE ≌Rt △APF ， BE=AF ， OF ﹣OE=6，∴〔OA+AF 〕﹣〔BE ﹣OB 〕=6，即2OA=6，解得OA=3，k=OA ×PA=3×3=9．故答案为：9．点评：此题考查了反比例函数的综合运用． 关键是根据圆与坐标轴相切的关系作辅助线， 构造全等三角形，正方形，将有关线段进行转化．6．〔2021?遵义二模〕如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数 的图象上．假设点 A 的坐标为〔﹣ 2，﹣2〕，那么k 的值为 1或﹣3 ．∴考点：反比例函数综合题．专题：综合题；压轴题．分析：根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形， 找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出 S 四边形CEOF =S 四边形HAGO ，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k 2+4k+1=4，再解出k 的值即可．解答：解：如图：∵四边形ABCD 、HBEO 、OECF 、GOFD 为矩形，又∵BO 为四边形 HBEO 的对角线，OD 为四边形OGDF 的对角线，S △BEO =S △BHO ，S △OFD =S △OGD ，S △CBD =S △ADB ，S△CBD ﹣S △BEO ﹣S △OFD =S △ADB ﹣S △BHO ﹣S △OGD ，∴ S 四边形HAGO =S 四边形CEOF =2×2=4，xy=k 2+2k+1=4，解得k=1或k=﹣3．专业整理分享完美WORD格式资料故答案为1或﹣3．点评：此题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．7．〔2021?黄石〕如下图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b〔a≠0〕的图象与反比例函数〔k≠0〕的图象交于二、四象限的A、B两点，与x轴交于C点．A〔﹣2，m〕，B 〔n，﹣2〕，tan∠BOC=，那么此一次函数的解析式为y=﹣x+3．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题；压轴题．分析：过点B作BD⊥x轴，在直角三角形BOD中，根据的三角函数值求出OD的长，得到点B的坐标，把点B的坐标代入反比例函数的解析式中，求出反比例函数的解析式，然后把点A的横坐标代入反比例函数的解析式中求出点A的坐标，最后分别把点A和点B的坐标代入一次函数解析式，求出a和b的值即可得到一次函数解析式．解答：解：过点B作BD⊥x轴，在Rt△BOD中，∵tan∠BOC===，∴OD=5，那么点B的坐标为〔5，﹣2〕，把点B的坐标为〔5，﹣2〕代入反比例函数〔k≠0〕中，那么﹣2=，即k=﹣10，∴反比例函数的解析式为y=﹣，把A〔﹣2，m〕代入y=﹣中，m=5，专业整理分享完美WORD格式资料∴A的坐标为〔﹣2，5〕，把A〔﹣2，5〕和B〔5，﹣2〕代入一次函数y=ax+b〔a≠0〕中，得：，解得，那么一次函数的解析式为y=﹣x+3．故答案为：y=﹣x+3．点评：此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角函数值，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．8．〔2021?遵义〕如图，直线y= x与双曲线 y=〔k＞0〕交于A、B两点，点B的坐标为〔﹣4，﹣2〕，C为双曲线y=〔k＞0〕上一点，且在第一象限内，假设△AOC的面积为6，那么点C的坐标为〔2，4〕．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：压轴题．分析：把点B的坐标代入反比例函数解析式求出k值，再根据反比例函数图象的中心对称性求出点A的坐标，然后过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，设点C的坐标为〔a，〕，然后根据S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE列出方程求解即可得到a的值，从而得解．解答：解：∵点B〔﹣4，﹣2〕在双曲线y=上，=﹣2，k=8，根据中心对称性，点A、B关于原点对称，专业整理分享完美WORD 格式资料所以，A 〔4，2〕，如图，过点 A 作AE ⊥x 轴于E ，过点 C 作CF ⊥x 轴于F ，设点 C 的坐标为〔a ， 〕，假设S △AOC =S △COF +S 梯形ACFE ﹣S △AOE ，×8+×〔2+〕〔4﹣a 〕﹣×8，=4+ ﹣4， = ，∵△AOC 的面积为 6，∴ =6，整理得，a 2+6a ﹣16=0，解得a 1=2，a 2=﹣8〔舍去〕， ==4，∴点C 的坐标为〔2，4〕．假设S =S +S 梯形ACFE ﹣S△COF=，△AOC △AOE∴=6，解得：a=8或a=﹣2〔舍去〕∴点C 的坐标为〔8，1〕〔与图不符，舍去〕．故答案为：〔 2，4〕．专业整理分享完美WORD 格式资料点：本考了反比例函数与一次函数的交点， 反比例函数系数的几何意， 作助并表示出△ABC 的面是解的关．9．〔2021?州〕如，点P 1〔x 1，y 1〕，点P 2〔x 2，y 2〕，⋯，点P n 〔x n ，y n 〕在函数 〔x＞0〕的象上， △P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，⋯，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜OA 1 12 2 3 ，⋯，A n ﹣1n 都在x 上〔n 是大于或等于 2的正整数〕，点 3、AA 、A A A P 的坐是〔 + ， 〕 ；点P n 的坐是 〔+ ， 〕 〔用含n的式子表示〕．考点：反比例函数合．：合；．分析：12 23 3点P1于点E ，点PG ⊥x 于点G ，作PE ⊥x作PF ⊥x 于点F ，点P 作P 根据△P 1 121232 A 3都是等腰直角三角形，可求出 1 23的坐，OA，△PAA ，△PAP ，P ，P从而出一般律得出点P n 的坐．解答：解：点P 1作P 1E ⊥x 于点E ，点P 2作P 2F ⊥x 于点F ，点P 3作P 3G ⊥x 于点G ，∵△P 1OA 1是等腰直角三角形，P 1E=OE=A 1E=OA 1，点P 1的坐〔 a ，a 〕，〔a ＞0〕，将点P 1〔a ，a 〕代入y= ，可得a=1，故点P 1的坐〔 1，1〕，OA 1=2a ，点P 2的坐〔b+2，b 〕，将点 2，b 〕代入y= ，可得b=1，P 〔b+2故点P 2 的坐〔 +1，1〕，A 1F=A 2F= 1，OA 2=OA 1+A 1A 2=2，点P 3的坐〔c+2，c 〕，将点P 3〔c+2，c 〕代入y=，可得c=，故点P 3的坐〔+，〕，上可得：P 1的坐〔1，1〕，P 2的坐〔 +1，1〕，P 3的坐〔+，〕，律可得： P n 坐：〔 +，〕．专业整理分享完美WORD格式资料故答案为：〔+，﹣〕、〔+，﹣〕．点评：此题考查了反比例函数的综合，涉及了点的坐标的规律变化，解答此题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P123的坐标，从而总结出一般规律，难，P，P度较大．10．〔2021?宁波〕如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=〔x＞0〕的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为〔，〕．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：由相似三角形的对应角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根据反比例函数图象上点的坐标特征可设E〔a，〕，D〔b，〕，由等腰直角三角形的性质可以求得ab=3；最后，将其代入直线AD的解析式即可求得a的值．解答：解：如图，过点D作DF⊥BC于点F，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=〔x＞0〕的图象分别与AB，BC交于点D，E，∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E〔a，〕，D〔b，〕，∴C〔a，0〕，B〔a，2〕，A〔a﹣2，0〕，∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．∵△BDE∽△BCA，∴△BDE也是等腰直角三角形，∴DF=EF，专业整理分享完美WORD 格式资料a ﹣b=﹣，即ab=3．又∵点 D 在直线 AB 上，∴ =b+2 ﹣a ，即2a 2﹣2 a ﹣3=0，解得，a= ，∴点E 的坐标是〔，〕．故答案是：〔，〕．点评：此题综合考查了相似三角形的性质、 反比例函数图象上点的坐标特征、 一次函数图象上的点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式．解题时，注意双曲线的对称性的应用．11．〔2021?重庆〕如图，菱形OABC 的顶点O 是坐标原点，顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 、C 均在第一象限，OA=2，∠AOC=60°．点D 在边AB 上，将四边形OABC 沿直线0D 翻折，使点B 和点C 分别落在这个坐标平面的点 B ′和C ′处，且∠C ′DB ′=60．°假设某反比例函数的图象经过点B ′，那么这个反比例函数的解析式为y=﹣ ．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：连接AC ，求出△BAC 是等边三角形，推出 AC=AB ，求出△DC ′B ′是等边三角形，推出C ′D=B ′D，得出CB=BD=B ′C ′，推出A 和D 重合，连接BB ′交x 轴于E ，求出AB ′=AB=2，∠B ′AE=60°，求出B ′的坐标是〔3，﹣ 〕，设经过点 B ′反比例函数的解析式是 y= ，代入求出即可．专业整理分享完美WORD格式资料解答：解：连接AC，∵四边形OABC是菱形，CB=AB，∠CBA=∠AOC=60°，∴△BAC是等边三角形，AC=AB，∵将四边形OABC沿直线0D翻折，使点B和点C分别落在这个坐标平面的点B′和C′处，BD=B′D，CD=C′D，∠DB′C′=∠ABC=60°，∵∠B′DC′=60，°∴∠DC′B′=60，°∴△DC′B′是等边三角形，C′D=B′D，CB=BD=B′C′，即A和D重合，连接BB′交x轴于E，那么AB′=AB=2，∠B′AE=180°﹣〔180°﹣60°〕=60°，在Rt△AB′E中，∠B′AE=60°，AB′=2，∴AE=1，B′E=，OE=2+1=3，即B′的坐标是〔3，﹣〕，设经过点B′反比例函数的解析式是y=，代入得：k=﹣3，即y=﹣，故答案为：y=﹣．点评：此题考查了折叠性质，菱形性质，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的计算能力，题目比拟好，有一定的难度．12．〔2021?芦淞区模拟〕双曲线，的局部图象如下图，P是y轴正半轴上一点，过点P作AB∥x轴，分别交两个图象于点A，B．假设PB=2PA，那么k=﹣4．专业整理分享完美WORD格式资料考点：反比例函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：因为AB∥x轴，PB=2PA，所以可知A和B点的纵坐标相同，B点的横坐标的长度是A横坐标的2倍，从而可求出k的值，因为过第二象限，所以k＜0．解答：解：∵AB∥x轴，PB=2PA，∴=∴k=﹣4．故答案为：﹣4．点评：此题考查反比例函数图象的性质，以及从反比例函数获得信息，关键是看到纵坐标相同时，横坐标的不同，从而求出解．13．〔2021?阜宁县二模〕如图，D是反比例函数的图象上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数 y=﹣x+m与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，四边形 DCAE的面积为4，那么k的值为﹣2．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：由的图象经过点C，可求C〔0，2〕，代入一次函数y=﹣x+m求m的值，得出A点坐标，计算△AOC的面积，由四边形DCAE的面积为4，可知矩形OCDE的面积，从而得出k的值．解答：的图象经过点C，∴C〔0，2〕，解：∵∴将点C代入一次函数y=﹣x+m中，得m=2，y=﹣x+2，令y=0得x=2，∴A〔2，0〕，S△AOC=×OA×OC=2，专业整理分享完美WORD格式资料∵四边形DCAE的面积为4，∴S矩形OCDE=4﹣2=2，∴k=﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标求法，矩形面积与反比例系数的关系．关键是通过求三角形的面积确定矩形的面积．14．〔2021?邓州市校级一模〕如图，梯形ABCO的底边AO在x轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于D，且OD：DB=1：2，假设△OBC的面积等于3，那么k的值是．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：设C〔x，y〕，BC=a．过D点作DE⊥OA于E点．根据DE∥AB得比例线段表示点D坐标；根据△OBC的面积等于3得关系式，列方程组求解．解答：解：设C〔x，y〕，BC=a．那么AB=y，OA=x+a．过D点作DE⊥OA于E点．∵OD：DB=1：2，DE∥AB，∴△ODE∽△OBA，相似比为OD：OB=1：3，DE=AB=y，OE=OA=〔x+a〕．∵D点在反比例函数的图象上，且D〔〔x+a〕，y〕，y?〔x+a〕=k，即xy+ya=9k，∵C点在反比例函数的图象上，那么xy=k，ya=8k．∵△OBC的面积等于3，ya=3，即ya=6．8k=6，k=．故答案为：．专业整理分享完美WORD格式资料点评：此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强．15．〔2021?三明〕如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥y轴，点 P是y轴上的任意一点，那么△PAB的面积为1．考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题；探究型．分析：设A〔x，〕，那么B〔x，〕，再根据三角形的面积公式求解．解答：解：设A〔x，〕，AB∥y轴，∴B〔x，〕，S△ABP=AB?x=〔﹣〕×x=1．故答案为：1．点评：此题考查的是反比例函数系数k的几何意义，先根据题意设出A点坐标，再由AB∥y轴得出B点坐标是解答此题的关键．16．〔2021?十堰〕如图，直线y=6x，y= x分别与双曲线y=在第一象限内交于点A，B，假设S△OAB=8，那么k= 6．专业整理分享完美WORD格式资料考点：反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义．专题：压轴题．分析：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，根据双曲线设出点并用直线与双曲线解析式联立求出点A、B的横坐标，再根据﹣S△OBD，然后列式整理即可得到关于k的方程，求解即可．解答：解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，设点A〔x1，〕，B〔x2，〕，A、B的坐标，梯形ACDB联立，解得x1=，联立，解得x2=，S△OAB=S△OAC+S梯形ACDB﹣S△OBD，= x1? +〔+〕×〔x2﹣x1〕﹣x2?，= k+〔k﹣k+k﹣k〕﹣k，= ?k，∵=×k，×k，k，S△OAB=8，∴k=8，专业整理分享S△OAB=S△OAC+S完美WORD格式资料解得k=6．故答案为：6．点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数系数的几何意义，作出辅助线表示出△AOB的面积并整理成只含有k的形式是解题的关键．17．〔2021?漳州〕如图，点A〔3，n〕在双曲线y=上，过点A作AC⊥x轴，垂足为C．线段OA的垂直平分线交OC于点M，那么△AMC周长的值是4．考点：反比例函数综合题．专题：压轴题．分析：先求出点A的坐标，根据点的坐标的定义得到OC=3，AC=1，再根据线段垂直平分线的性质可知AM=OM，由此推出△AMC的周长=OC+AC．解答：解：∵点A〔3，n〕在双曲线y=上，∴n==1，∴A〔3，1〕，∴OC=3，AC=1．∵OA的垂直平分线交OC于M，∴AM=OM，∴△AMC的周长=AM+MC+AC=OM+MC+AC=OC+AC=3+1=4．故答案为：4．点评：此题主要考查了反比例函数的图象性质和线段中垂线的性质，将求△AMC的周长转换成求OC+AC是解题的关键．专业整理分享完美WORD格式资料18．〔2021?淄博模拟〕如图，直线y= x与双曲线 y=〔x＞0〕交于点A，将直线y= x向下平移个6单位后，与双曲线y=〔x＞0〕交于点B，与x轴交于点C，那么C点的坐标为〔，0〕；假设=2，那么k= 12．考点：反比例函数综合题．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意得到直线BC的解析式，令y=0，得到点C的坐标；根据直线AO和直线BC的解析式与双曲线y=联立求得A，B的坐标，再由条件=2，从而求出k值．解答：x向下平移个6单位后得到直线BC，解：∵将直线y=∴直线BC解析式为：y=x﹣6，令y=0，得x﹣6=0，∴C点坐标为〔，0〕；∵直线y= x与双曲线 y=〔x＞0〕交于点A，∴A〔，〕，又∵直线y= x﹣6与双曲线y=〔x＞0〕交于点B，且=2，∴B〔+，〕，将B的坐标代入y=中，得〔+〕=k，解得k=12．故答案为：〔，0〕，12．专业整理分享完美WORD 格式资料点评：此题考查一次函数与反比例函数的性质， 联立方程求出点的坐标， 同时还考查学生的计算能力．19．〔2021?桐乡市校级三模〕如图，点 A 〔a ，b 〕在双曲线上，AB ⊥x 轴于点B ，假设点 是双曲线上异于点 A 的另一点．1〕k=60；〔2〕假设a 2=169﹣b 2，那么△OAB 的内切圆半径 r=2 ．考点：反比例函数综合题． 专题：压轴题；数形结合．分析：〔1〕把P 点坐标代入反比例函数，即可求 k ；〔2〕先把A 点坐标代入反比例函数可得 ab=60，再结合 a 2=169﹣b 2组成方程组，解可得a 、b 的值，进而利用勾股定理可求 OA ，再结合直角三角形内切圆半径公式，易求 r ．解答：解：〔1〕把〔5 ，4 〕代入反比例函数，可得k=5 ×4 =60；〔2〕把〔a ，b 〕代入反比例函数，得ab=60与a 2=169﹣b 2联合组成方程组为： ，解得 或，即知OB=12，AB=5或OB=5，AB=12，在Rt △AOB 中，OA=13， 故△AOB 内切圆的半径 r= = =2．点评：此题考查了反比例函数的知识、勾股定理，解题的关键是能根据所给的点，求出 k ，并能解二元二次方程组．二．解答题〔共 11小题〕专业整理分享。