2011年数学建模暑假培训第一次模拟题目(秦宣云)

2011数学建模考试题（开卷）1.某饮料公司拥有甲、乙两家饮料厂，都能生产A、B两种牌号的饮料。

甲饮料厂生产A饮料的效率为8吨/小时，生产B饮料的效率为10吨/小时；乙饮料厂生产A饮料的效率为10吨/小时，生产B饮料的效率为4吨/小时。

甲饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为1000元/吨和1100元/吨；乙饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为850元/吨和1000元/吨。

现该公司接到一生产订单，要求生产A饮料1000吨，B饮料1600吨。

假设甲饮料厂的可用生产能力为200小时，乙饮料厂的生产能力为120小时。

（1）请你为该公司制定一个完成该生产订单的生产计划，使总的成本最小（要求建立相应的线性规划模型，并给出计算结果）。

（2）由于设备的限制，乙饮料厂如果生产某种牌号的饮料，则至少要生产该种牌号的饮料300吨。

此时上述生产计划应如何调整（给出简要计算步骤）？2.讨价还价中的数学。

在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。

对购物的消费者来说，总希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望λ>1。

这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"黄金数"方法，即按实际价b定出的价格a，使b:a≈0.618。

虽然商品价值b位于商品价格a 的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。

对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？一种常见的方法是"对半还价法"：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：北京大学参赛队员(打印并签名) ：1. 姚胜献2. 许锦敏3. 刘迪初指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘业辉日期： 2011 年 9 月 12日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：交巡警服务平台的设置与调度摘要本文通过建立整数规划模型，解决了分配各平台管辖范围、调度警务资源以及合理设置交巡警服务平台这三个方面的问题；通过建立线性加权评价模型定量评价了某市现有交巡警服务平台设置方案的合理性，并根据各个区对服务平台需求量的不同，提出了重新分配全市警力资源的解决方案。

在计算交巡警服务平台到各个路口节点的路程时，使用了图论里的floyd算法。

针对问题一的第一个子问题，首先假设交巡警服务平台对某个路口节点的覆盖度是二元的，引入决策变量，建立了0-1整数规划模型。

交巡警出警应体现时间的紧迫性，所以选择平均每个突发事件的出警时间最短作为目标函数，运用基于MATLAB的模拟退火算法进行求解，给出了中心城区A的20个服务平台的管辖范围，求得平均每个案件的出警时间为1.013分钟。

2011-2012第一学期《数学建模》选修课试题卷一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型模型指为了某种特定目的将原型的某一部分信息简化、压缩、提炼而构造成的原型替代物。

如地图、苯分子图.2．数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成的，描述现实对象（原型）数量规律的数学结构。

具体地说，数学模型也可以描述为：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构称之为数学模型.如概率的功利化定义.3．抽象模型通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓思维模型.如汽车司机对方向盘的操作.二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类.形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等;抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。

2．数学建模的基本步骤1）建模准备：确立建模课题的过程；2）建模假设：根据建模的目的对原型进行抽象、简化。

有目的性原则、简明性原则、真实性原则和全面性原则；3）构造模型：在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的各条款，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出根据已知条件和数据，分析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解模型的数学刻划实际问题的数学模型.；4）模型求解：构造数学模型之后，方法和算法，并借助计算机完成对模型的求解；5）模型分析：根据建模的目的要求，对模型求解的数字结果，或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分析，或进行误差分析等。

；6）模型检验：模型分析符合要求之后，还必须回到客观实际中去对模型进行检验，看它是否符合客观实际；7）模型应用：模型应用是数学建模的宗旨，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用.3．数学模型的作用数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。

A题问题分析：1、第一问利用matlab或者地理学的绘图软件实现应该不难；从而根据图来分析污染程度，做出适当解释；（比赛前数学中国预测过一个赛题，题目初衷跟这个题目差不多，有的学校把它作为模拟题，那么恭喜你们中奖了）2、第二问让大家通过数据分析说明污染的原因，这个时候需要利用功能区的因素，一般情况下，大家应该也就是些工业区的原因，只不过你需要用数据来验证下；至于分析方法，大家可以根据平时的积累来选择方法；（当然也不排除其他原因）3、这一问是要你确定污染源的问题，其实就是找到污染最严重的位置，大家应该也不难找到，通过利用算法来找吧，至于什么算法自行选择；（注意，要分析污染源的传播特征来建立模型，至于“什么是重金属传播特征”自己去百度下吧）4、模型评价，并对你的模型扩展，这一问大家应该不难解决吧，其实就是开放性的做个报告；B题个人见解：这个题目一看就知道是个优化问题；第一问有三段话，每一段其实是对方案的一次帅选；针对第一段内容，首先建立3分钟区域圈，然后可以得出一些方案，这里可能得出好几个甚至无数个方案，不过不要担心；至于筛选规则，提醒下大家：不要筛没了，也不要留的太多（一般情况下，晒到处理不好，方案没了）第二段主要让你给出调度方案，就是一个配置问题，设计或者选用合适算反来解决是王道！第三段是要你添加一些点，这个应该不难做吧，可以参考下图论的那些个经典算法；本题还有其他的解题思路：就是通过建立目标规划模型解决！重点还是实现上啦，其实图论及目标规划很简单，关键是求解算法及实现，这个大家可得花功夫奥！这一问其实是一个全局的配置问题；过多的我也不能做解释了，大家自己思考吧，找出一些问题，尤其是区域边界处的设点拥挤问题；下面是给你一个问题，让你给出一个方案，这个问题是个资源调配问题，把握两个原则：时间最短、围堵区域最小。