西安交通大学2007年数学建模期末考试题

2007年数学建模d题体能测试
（实用版）
目录
1.2007 年数学建模竞赛 d 题介绍
2.体能测试题目分析
3.竞赛对学生能力的锻炼
正文
2007 年数学建模竞赛 d 题介绍
2007 年数学建模竞赛 d 题是全国大学生数学建模竞赛中的一道题目，该竞赛是由中国工业与应用数学学会主办的一项面向全国大学生的竞技活动。

这项活动旨在通过数学建模的方式，培养学生的创新意识和团队协作精神，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

体能测试题目分析
2007 年数学建模竞赛 d 题的题目是“体能测试”，要求参赛队员在规定时间内，根据给定的运动员体能测试数据，建立合适的数学模型，分析运动员的体能状况，并预测其在未来一段时间内的体能发展趋势。

这个题目主要考察了参赛队员的数学建模能力、数据分析能力和解决问题的能力。

在解决这个问题时，参赛队员需要充分了解运动员体能测试的相关知识，找到合适的数学模型来描述运动员的体能状况，并通过对数据的分析，预测运动员在未来一段时间内的体能发展趋势。

竞赛对学生能力的锻炼
参加数学建模竞赛对学生的能力锻炼是非常有益的。

首先，通过参加竞赛，学生可以提高自己的数学建模能力，学会如何将复杂的实际问题抽象成数学模型，并运用数学方法解决这些问题。

其次，参赛学生可以提高自己的数据分析能力，学会如何通过对数据的分析，找出问题的规律，从
而为解决问题提供有力支持。

最后，参加数学建模竞赛还可以培养学生的团队协作精神和创新意识，提高学生综合素质。

07年全国数学建模竞赛试题解答（由于懒得将图⽚依次贴出，需要者可以下载相关附件）乘公交看奥运摘要本设计要解决的是合理给出两站点间的最佳路线选择问题，即给出⼀条经济且省时的路线。

在处理此问题之前，我们根据调查和分析，对影响线路选择的因素进⾏筛选，最终确定了以下三个影响较⼤的因素：第⼀是换乘次数；第⼆是乘车时间；第三是乘车费⽤。

依据各因素对路线选择的影响程度,我们按不同的权重对它们进⾏考虑。

从实际情况分析，⼈们通常宁愿多乘坐⼏站地也不愿换车，所以我们赋予换乘次数较⼤的权重。

为了解决换乘次数最少，乘车时间相对较短、乘车费⽤相对较少的问题，经过尝试与探索，我们采⽤了现代分析的⽅法，对起始站和终点站有⽆相交站点进⾏分类讨论，归纳出直达，换乘⼀次，换乘两次的情况（三次以上的情形可以类推），并通过Matlab编制程序，给出了任意两站点间的最佳乘车路线以及换车的地点，最后还提出了进⼀步的意见和建议。

关键词：最佳路线换乘次数乘车时间乘车费⽤⼀、问题的重述第29届奥运会明年8⽉将在北京举⾏，作为城市枢纽的公共交通承担着⾮常重的运输任务。

近年来，北京市的公交系统有很⼤的发展，公交线路的条数和公交车数量在迅速增多，给⼈民⽣活带来便利的同时，也⾯临多条线路得选择问题，有时出⾏往往还需要转乘多辆公交车才能到达⽬的地。

如何在短时间、换乘次数最少、成本最低的情况到达⽬的地，是⼈们所关注的问题。

因此，我们通过建⽴线路选择的模型与算法，设计⼀套⾃主查询计算机系统，查询到出⾏时所需的最佳公交路线及换乘⽅法，给⼈们出⾏节约更多的时间和⾦钱。

要求：1、仅考虑公汽线路，建⽴任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。

并求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线。

（1）S3359→S1828 （2）S1557→S0481 （3）S0971→S0485（4）S0008→S0073 （5）S0148→S0485 （6）S0087→S36762、同时考虑公汽与地铁线路，解决1中问题。

数学建模2007b题摘要：一、数学建模简介1.数学建模的概念2.数学建模的重要性3.数学建模的应用领域二、2007b 题的背景和内容1.问题的提出2.问题的具体描述3.问题的难点和挑战三、解题思路和方法1.对问题的理解和抽象2.建立数学模型3.求解数学模型4.模型的检验和分析四、2007b 题的解答过程1.问题背景和数据收集2.建立数学模型3.求解数学模型4.结果分析和讨论五、结论和启示1.对问题的解答2.对数学建模的认识和体会3.对未来数学建模的展望正文：数学建模是一种重要的数学应用方式，通过对实际问题进行抽象、建模和求解，帮助人们理解和解决实际问题。

数学建模的重要性在于，它将数学的理论知识应用到实际问题的解决中，使得数学变得更加生动和有用。

数学建模广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域，为这些领域的研究提供了有力的工具和方法。

2007b 题是一道具有挑战性的数学建模题目，它的背景是生态学中的食物链问题。

题目描述了一个生态系统中，不同种类的鱼和它们的食物关系，要求我们通过建立数学模型，预测不同条件下鱼的数量变化。

这个问题既有生态学的背景，又涉及到数学模型的建立和求解，对解题者的综合能力提出了较高的要求。

解题思路和方法是解决数学建模问题的关键。

首先，我们需要对问题进行深入的理解和抽象，将问题转化为一个可以用数学语言描述的问题。

其次，我们需要建立一个合适的数学模型，这个模型既要符合问题的实际情况，又要能够用数学方法进行求解。

然后，我们用数学方法求解模型，得到模型的解。

最后，我们需要对模型的解进行分析，检验模型的正确性和有效性。

对于2007b 题，我们的解答过程分为四个步骤。

首先，我们收集了问题的背景资料和数据，对问题有了深入的理解。

然后，我们根据问题的实际情况，建立了一个合适的数学模型。

接着，我们用数学方法求解了模型，得到了模型的解。

最后，我们对模型的解进行了分析，检验了模型的正确性和有效性。

数学建模2007b题 -回复1.数学建模是一门综合性强、应用程度高的学科，能够将数学理论与实际问题相结合。

2. 2007年的数学建模B题，涉及了探究桥梁的安全性问题。

3.题目要求我们通过研究桥梁的结构，确定桥梁的安全等级。

4.在回答这个问题之前，我们需要对桥梁的结构进行分析。

5.桥梁的结构可以包括桥面、桥墩、桥梁横梁等。

6.我们可以通过计算桥梁的承载能力，来评估桥梁的安全性。

7.不同材料对桥梁的承载能力会有影响，如铁路桥梁与公路桥梁的不同要求。

8.另外，桥梁的使用寿命也是影响安全性的一个重要因素。

9.我们可以通过建立数学模型，来模拟桥梁在不同年限下的结构变化。

10.进一步分析这些变化，可以预测桥梁的寿命与安全性。

11.在进行模型建立时，我们需要考虑桥梁的实际使用情况。

12.不同的桥梁使用不同的参数，如车辆的荷载、风力等。

13.因此，在建立数学模型时，需要将这些参数纳入考虑范围。

14.除了参数的考量，我们还需要考虑到桥梁的几何构造。

15.比如，桥梁的弯曲性会影响到桥梁的承载能力。

16.因此，我们需要考虑桥梁的弯曲性对桥梁结构的影响。

17.另外，桥梁的温度变化也会引起结构的变形。

18.在模型建立时，我们需要将这些因素考虑进去。

19.通过建立桥梁的数学模型，我们可以通过计算来确定桥梁的安全等级。

20.这样的研究能够为桥梁的设计和维护提供参考依据。

21.此外，我们还可以通过模型来预测桥梁的寿命，从而规划维修计划。

22.使用数学建模分析桥梁的安全性问题，能够为保障人民的生命财产安全提供重要依据。

23.这样的研究对于交通运输行业的发展具有重要意义。

24.在今后的研究中，我们可以进一步完善桥梁的数学模型，提高准确性。

25.同时，我们还可以探索更多的因素，如地震等自然灾害对桥梁的影响。

26.通过不断地研究和探索，我们能够使得桥梁的设计更加安全可靠。

27.数学建模的研究还可以扩展到其他领域，如建筑工程、电力系统等。

高等数学（下册）期末考试汇编(2008-7-8)一、解答下列各题 1. 设)cos(y x e z xy +=，求yzx z ∂∂∂∂,. 2. 求曲线3222,,x t y t z t ===在1=t 处的切线与法平面方程。

3. 求曲面32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的法线方程。

4. 求微分方程x e y y y 236--=-'-''的通解. 5. 设),(y x f 连续，交换积分次序⎰⎰⎰⎰-+xx y y x f xy y x f x202110d ),(d d ),(d 2.6. 设有一物体，它是由曲面22y x z +=和228y x z --=所围成，已知它在任意的点),,(z y x 处的密度z =ρ，求此物体的质量.7. 设L 是从点)0,1(A 到点)2,1(-B 的直线段，求第一型曲线积分⎰+Ls y x d )(.8. 计算第一型曲面积分⎰⎰∑++2)124(d y x s，其中∑是平面1648=++z y x 在第一卦限的部分.9. 设222z y x u ++=在椭球面1222222=++c z b y a x 点),,(0000z y x M 处沿外法线方向的方向导数.10. （注意：学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2））（1） 设函数⎰-=22d )(x x xyy ye x F ，求)(x F '. （2） 函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-ϕ所确定，其中)(u ϕ有连续导数，b a ,为不全为零的常数，计算yz b x z a∂∂+∂∂. 二、求函数),(2x y x f x z =的偏导数22,xzx z ∂∂∂∂，其中f 具有二阶连续偏导数.三、计算第二型曲面积分⎰⎰∑∧++∧+∧+=y x z xx z x z y z x I d d )(d d d d )2(2，其中∑是曲面222y x z +-=在xoy 面上方部分，方向取上侧.四、若曲线积分⎰-+=Ly x x x y I d )3(d 33，其中L 为圆周)0(222>=+R R y x ，方向取正向，求R为何值时，I 有最大值.五、（注意：学习《工科数学分析》的做（1），其余的做（2））（1）求微分方程组x t x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222d d 的通解. (2)已知x xx x x x x e e xe y e xe y e xe y --++=+=+=23221,,是x x xe e y a y a y 221-=+'+''的特解，求21,a a 以及该方程的通解. 六、设)(x f 具有二阶连续的导数，试求)(x f 使得曲线积分⎰⋂'++-+=ABkx y x f x y x kf x f k e I d )(d )]()()1(['与积分路径无关.七、设D 为4,1,4,====xy xy x y x y 所围成的区域，F 是一元函数，且)()()()()(v f u f vu f v F u F +='+'，其中)(x f 为正的连续函数，计算⎰∂+⎪⎭⎫⎝⎛-D y y xy F x x y xF d )(d ，其中D ∂为D 的边界曲线，方向为正向.（2007-7-8）一、解答下列各题（每小题6分，共60分）1．设cos(),y u u z xy x x y∂∂=∂∂求和. 2．求曲线2,,31x t y t z t ==-=-在对应于1t =处的切线和法平面方程。

西安交通大学期末考试题（1）⒈简要回答以下问题（50分）⑴闭口系进行一放热过程，其熵是否一定减少，为什么？闭口系进行一放热过程，其非作功能是否一定减少，为什么？⑵某一工质在相同的初态1和终态2之间分别经历2个热力过程，一为可逆过程，一为不可逆过程。

试比较这两个过程中相应外界的熵变化量哪一个大，为什么？⑶简述压缩因子、通用压缩因子图及其应用。

⑷喷管中作可逆绝热流动时，进口初速的定熵滞止参数与出口速度的定熵滞止参数是否相同？作不可逆绝热流动时又如何？⑸如图所示为叶轮式压气机进行不可逆绝热过程1－2的T-s图，试在此图上表示出比可逆温度为60℃，喷管的速度系数ϕ＝0.96，空气的定值比热p c＝1.004 kJ/(kg·K)，试求流经喷管的空气流量。

②一简单燃气轮机循环，压气机的压力比π＝8:1，循环最高温度为1000℃，压气机进口环热效s-图，③汽轮机作功量Tw和水泵耗功量Pw；④锅炉吸热量Hq和冷凝器放热量Lq；⑤循环热效率tη；⑥装置中有哪部分进行的过程是不可逆的，并算出其有效能损失，设环境大气温度t＝27℃；⑦实施朗肯循环时的热效率。

⑶（20分）质量为2 kg的某理想气体，在可逆多变过程中，压力从0.5 MPa降至0.1 MPa，温度从162℃降至27℃，作出膨胀功267 kJ，从外界吸收热量66.8 kJ。

试求该理想气体的定值比热容pc和Vc[ kJ/(kg·K)]，并将此多变过程表示在vp-图和sT-图上（图上先画出4个基本热力过程线）。

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料(例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。

看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。

当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。

现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。

具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

2．设易拉罐是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。

5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。

2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“对论文格式的统一要求”）D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制煤矿安全生产是我国目前亟待解决的问题之一，做好井下瓦斯和煤尘的监测与控制是实现安全生产的关键环节（见附件1）。

瓦斯是一种无毒、无色、无味的可燃气体，其主要成分是甲烷，在矿井中它通常从煤岩裂缝中涌出。

瓦斯爆炸需要三个条件：空气中瓦斯达到一定的浓度；足够的氧气；一定温度的引火源。

西安交大期末考试试题及答案西安交通大学期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。

其数学表达式为：A. F = maB. F = m/aC. a = F/mD. a = F * m2. 在化学中，原子的相对原子质量是指：A. 原子核的质量B. 质子数C. 中子数D. 质子数和中子数之和3. 以下哪个选项不是计算机网络的拓扑结构？A. 星型拓扑B. 环形拓扑C. 总线拓扑D. 树形拓扑4. 经济学中，边际效用递减规律表明：A. 随着消费量的增加，消费者对商品的边际效用逐渐增加B. 随着消费量的增加，消费者对商品的边际效用逐渐减少C. 随着消费量的增加，消费者对商品的边际效用保持不变D. 消费者对商品的边际效用与消费量无关5. 以下哪个不是生物多样性的组成部分？A. 物种多样性B. 基因多样性C. 生态系统多样性D. 个体多样性6. 根据热力学第二定律，在一个孤立系统中，熵总是：A. 增加B. 减少C. 保持不变D. 先增加后减少7. 以下哪个是线性代数中矩阵的特征值？A. 矩阵的元素B. 矩阵的行列式C. 矩阵的秩D. 矩阵的逆8. 计算机编程中，递归算法的基本思想是：A. 将问题分解为更小的问题B. 将问题转化为更复杂的问题C. 将问题重复执行多次D. 将问题推迟解决9. 根据量子力学的不确定性原理，一个粒子的位置和动量不能同时被精确测量，因为：A. 测量设备不够精确B. 粒子太小，难以测量C. 这是量子力学的基本特性D. 粒子在测量时会移动10. 在心理学中，认知失调是指：A. 个体在面对矛盾信息时产生的不适感B. 个体在面对困难任务时产生的挫败感C. 个体在面对新信息时产生的好奇心D. 个体在面对压力时产生的焦虑感二、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述牛顿三大定律的内容。

2. 描述化学键的形成原理及其在分子结构中的作用。

2011年A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。

对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。

按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。

现对某城市城区土壤地质环境进行调查。

为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。

应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。

另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。

附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。

现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。

(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。

(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。

(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？B题交巡警服务平台的设置与调度“有困难找**”，是家喻户晓的一句流行语。

**肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。

为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。

每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。

由于警务资源是有限的，如何根据城市的实际情况与需求合理地设置交巡警服务平台、分配各平台的管辖范围、调度警务资源是警务部门面临的一个实际课题。

线性代数与解析几何考题汇编（2007.1A ）一、填空题(每小题3分,共12分)(1). 若矩阵201030503⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,则det(2)T AA = .(2). 若向量组123111,,111λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα的秩为2,则λ= .(3). 设矩阵121201 101A a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,已知齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有两个向量，则a = .(4). 设矩阵10301131a ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A =为正定矩阵，则a 的取值范围是 .二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1). 设两个非零矩阵,B A ,满足0B =A ，则必有(A) A 的列向量组线性相关. (B) A 的列向量组线性无关.(C) B 的列向量组线性相关. (D) B 的列向量组线性无关. 【 】(2). 曲线22220x y z ⎧-=⎨=⎩绕x 轴旋转一周所形成旋转面的名称是(A) 单叶双曲面. (B) 双叶双曲面. (C)椭圆面. (D) 抛物面. 【 】 (3). 已知3阶矩阵A 的特征值为1，2，3，则*A I -必相似于对角矩阵(A)012⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (B)125-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (C)512-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (D)125⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 【 】 (4).设矩阵111023004A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1*12A -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(A)12A . (B) 14A . (C) 18A . (D)116A . 【 】 三、(12分) 设方阵B 满足22I =+*A B B ,其中111111111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B . 四、(12分) 已知直线11:232x y z L -==--，直线2312:212x y z L -++==-. （1）记i L 的方向向量为(1,2)i a i =，求过1L 且与12a a ⨯平行的平面π的方程. （2）求2L 与π的交点.并写出1L 与2L 的公垂线的方程. 五、(12分)a 、b 取何值时,线性方程组1234122011231011114423x x x a x a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭有唯一解、无解、有无穷多解?并在有无穷多解时,求出该方程组的结构式通解.六、(12分). 设二次型222123123121323(,,)4()f x x x x x x x x x x x x =++++-,(1) 写出二次型123(,,)f x x x =T x Ax 的矩阵A ; (2) 求一个正交矩阵P ,使AP P 1-成对角矩阵; (3) 写出f 在正交变换Py x =下化成的标准形.七、 (12分) 设矩阵12314315a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭A =的全部特征值之积为24.(1) 求a 的值；(2) 讨论A 能否对角化，若能，求一个可逆矩阵P 使1P AP D -=为对角阵。