人教版高中数学必修第二册双曲线

高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。

定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。

(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
例1 点 M (x，y)与定点F (c，0)的距离和它到定直线l : x a2 的 c
距离的比是常数 c (c a 0)，求点M的轨迹 .
a
解：设 d是点M到直线 l的距离，则
点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 2a、2b的双曲线 .
双曲线的第二定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直线l的距离的比
是常数 e c (e 1)，则这个点的轨迹是椭圆 . a
l'
y
定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的
l
d .M
准线，常数e是双曲线的离心率 .
对于双曲线
x2 a2

y2 b2
1，
.
.
F’ O
F
x
右焦点F2 (c，0)，对应的右准线方程是
x

a2 c
.
左焦点F1(c，0)对应的左准线方程是
x


a2 c
.
焦点在y轴上的双曲线的准线方程是：y a2 c
例2 已知双曲线 x2 － y2 a2 b2
1(a
0,b
0)的焦点F（1 c,0）F2 (c,0),
P(x0, y0 )是双曲线右支上任意点，求证：| PF1 | a ex0 ，
| PF2
| a ex0
其中e为双曲线的离心率。 l'
y
l
证明：双曲线的左准线为x a2
P.
c
由整双理曲得线:的| P第F1二|定ex义0 得a：x|0PF1ac|2

双曲线教学目标:1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。

重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。

难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。

【教学内容】1、引入：太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。

在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。

在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。

问这牛群是怎样组成的？ （阿基米德分牛问题）2、双曲线的基本概念1.双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数)2,0(221F F a a a <>且的动点P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点21,F F 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数a 2应当满足的约束条件：21212F F a PF PF <=-，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支；3. 若常数a 满足约束条件：21212F F a PF PF ==-，则动点轨迹是以21F F 、为端点的两条射线（包括端点）；4．若常数a 满足约束条件：21212F F a PF PF >=-，则动点轨迹不存在； 5．若常数0=a ，则动点轨迹为线段21F F 的垂直平分线。

2.双曲线的标准方程：1．当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a b y a x ，其中222b a c +=；2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：)0,0(12222>>=-b a bx a y ，其中222b a c +=.注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有222b ac +=；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.3.双曲线的简单几何性质:（1）对称性：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

范围
，
，
对称轴
轴 ， 轴；实轴长为 ,虚轴长为
对称中心
原点
焦点坐标
焦点在实轴上， ；焦距：
顶点坐标
（ ,0） ( ,0)
(0, ,) (0， )
离心率
1)
准线方程
准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
顶点到准线的距离
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
顶点 （ ）到准线 （ ）的距离为
焦点到准线的距离
8.
(
（2）过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
9. 直线与双曲线的位置关系
直线 ： 双曲线C： （ ＞0， ＞0）
1)当 ，即 时，直线 与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；
2)当b2-a2k2≠0，即 时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2)
仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;
俯视大地时，什么都比你低，你会自负;
只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底，
才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
工作好，才有好的生活！）
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~~~专业文档，VIP专享。更多精彩文档，尽在~~~3.双曲线的内外部
(1)点 在双曲线 的内部 .
(2)点 在双曲线 的外部 .
4. 形如 的方程可化为
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
当 ，双曲线的焦点在 轴上；
5.求双曲线的标准方程，
应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.
6.离心率与渐近线之间的关系
1） 2）
若2a=2 时，即 ,当 ，动点轨迹是以 为端点向右延伸的一条射线；当 时，动点轨迹是以 为端点向左延伸的一条射线；