1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )()F x ()f x (),-∞+∞()F x ()f x A ．偶函数 B ． 奇函数C ． 非奇非偶函数 D ．不能确定2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数()f x cos x ()g x 2x ()f g x ⎡⎤⎣⎦为 ( )A ．B ． 2x 2cos x C ． D ．2cos x cos x3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )()f x A ． ()()1222f x dx f x c '=+⎰B ．()()22f x dx f x c'=+⎰C ． ()()()222f x dx f x ''=⎰D ．()()2f x dx f x c'=+⎰4．设且()22cos sin f x x '= ,则=( )()00f =()f x A ． B ． 212x x -212x -C ． D ．1x -313x x-5．设是的一个原函数,则2xe-()f x ( )()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ．22xe -28xe-C ． D ．22xe--24xe-6．设,则=( )()xf x e -=()ln f x dx x'⎰A ．B ． 1x-c +ln x c -+C ．D ． 1c x+ln x c +7．若是的一个原函数,则ln x x ()f x =()f x '8．设的一个原函数为()()tan 2f x k x =,则 2ln cos 23x k =9．若,则()2f x dx x c =+⎰=()231x f x dx -⎰10．()()2cos 2sin 2d θθθ=⎰11．若,则()()f x dx F x c =+⎰()xx ef e dx --=⎰12．若,则()ln cos f x x '=⎡⎤⎣⎦()f x =13．计算()23x xe dx +⎰14．计算()()sin ln cos ln x x dx x⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰15．计算ln(tan )sin cos x dxx x ⎰16．计算21arctan1x dx x +⎰17．计算11sin dx x+⎰18．计算19．计算20．计算21．计算22．计算23. 计算()221tan xex dx+⎰24．已知的一个原函数为,求()f x sin x x()3x f x dx '⎰1、解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A()()f x F x '∴=2、解:(1),()()cos sin f x x x '==- ()()()22sin 2g x x x f g x x'==∴=-⎡⎤⎣⎦(2)()2cos 2cos (sin )xx x '=- 选B sin 2x =-∴3、解:()()12222f x dx f x d x''=⎰⎰()122f x c =+选A4、解：(1)()22cos 1cos f x x '=- ()1f x x'∴=- (2)()22x f x x c=-+且得()00f =0c =,选A ()22x f x x =-5、解：(1)原式=()()()022limx f x x f x x∆→-∆--⎡⎤⎣⎦-2∆()2f x '=-(2)()2xF x e-= ()()222x xf x e e --'∴==-(3) 原式= 选D222(2)4xx ee ----=6、解：(1)()()ln ln ln f x dx f x d xx''=⎰⎰()ln f x c=+(2)(),xf x e -= ()1lnln 1ln x xf x e ex-∴===(3)原式=选C 1c x+7、解：(1)()ln F x x x= ()()1ln f x F x x'∴==+(2) ()()11ln f x x x''=+=8、解：()2ln cos 23F x x =()()2sin 223cos 2xf x x -∴=-故 ()()4tan 21ln 3x F x x '=-=+43k =-9、解： 原式=()()331113f x d x ---⎰()3113x c =--+10、解：原式=2222cos sin 4sin cos d θθθθθ-⎰221144sin cos d d θθθθ=-⎰⎰11cot tan 44t cθθ=--+或1csc 2c θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11、解：原式=()()xxx f edeF e c----=-+⎰12、解：()ln cos f x dx xdx'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰()1ln sin f x x c =+()1sin sin c x xf x e c e -==⋅13、解:原式=()22323x xx x e e dx ⎡⎤++⋅⎢⎥⎣⎦⎰()2923xxxe dx dx e dx=++⎰⎰⎰219232ln 91ln 3x x xx e e c ⋅⋅=++++14、解:原式=()()sin ln cos ln ln x x d x⋅⎰()()sin ln sin ln x d x =⎰=()21sin ln 2x c +⎡⎤⎣⎦15、解:原式=()2ln tan tan cosx dxx x⎰()ln tan tan tan x d xx=⎰()()ln tan ln tan x d x =⎰ ()21ln tan 2x c =+⎡⎤⎣⎦16、解:原式=221arctan11x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰21arctan111x d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰11arctan arctand x x=-⎰211arctan 2cx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17、解:原式=21sin 1sin xdx x --⎰21sin cos cos x dx dx x x=-⎰⎰2cos tan cos d xx x =+⎰1tan cos x cx=-+18、解:2,1,2t x t dx tdt==-=原式=()2221211tdt dt tt t=++⎰⎰=2arctan t c+c+回代19、解:令2tan ,sec x t dx tdt==原式=32tan sec sec ttdtt⎰=2tan sec td t⎰()2sec 1sec t d t=-⎰31sec sec 3t t c =-+()()3122221113x x c +-++回代20、解:令2sin ,2cos x t dx tdt ==原式=2cos 2sin cos t dtt t ⎰1csc 2tdt =⎰()1ln csc cot 2t t c -+公式12c 回代21、解:(倒代换)令211,x dx dt t t-==原式==-11arcsin 333t c =-=-+13arcsin 3c x-+回代13arccos 3c x=+(注:(三角代换)令3sec ,x t =,3sec tan dx t tdt =原式=3sec tan 19sec tan 3t t dt t c t t =+⎰)13arccos 3c x+回代22、解:2,1,xt e t ==+ ()222ln 1,1tx tdx dtt=+=+原式=222211211t t t dt dtt t ⋅+-=++⎰⎰=()2arctan t t c-+2c-+回代23、解： 原式=()221tan2tan xex x dx++⎰2tan 2tan x d x e xdx=+⎰⎰2x e 222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰22tan x xe dx +⎰2tan x e x c=+24、解： ()sin x F x x= ()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==原式()3x df x =⎰()()323x f x f x x dx=-⋅⎰2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x --=⋅-⎰2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx xdx =--++⎰⎰2cos 4sin 6cos x x x x x c=--+1．设初等函数在区间有定义，则在上一定 （ ）()f x [],a b ()f x [],a b A ．可导 B ．可微C ．可积D ．不连续2．若连续，下列各式正确的是 （ ）f A ．()()ba d f x dx f x dx =⎰B ．()()df x dx f x dx dx =⎰C ． ()()bx d f t dt f x dx =⎰D ．()()xad f t dt f x dx =⎰3. 下列关系式中正确的是 （ ）A ．B ．21100x x e dx e dx =⎰⎰211x x e dx e dx≥⎰⎰C ．D ．以上都不对211x x e dx e dx ≤⎰⎰4．下列各式中，正确的是 （ ）A ．B ．2101x e dx ≤≤⎰211x e dx e≤≤⎰C ． D ．以上都不对2120x e e dx e ≤≤⎰5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是 （ ）[]1,1-AB ．C1x 6．设在上，[],a b ()()()0,'0,''0f x f x f x ><>记，，，则有 （ ）()110S f x dx =⎰()()2S f b b a =⋅-()()32b aS f b f a -=+⎡⎤⎣⎦A ． B ．123S S S <<213S S S <<C ． D ．312S S S<<231S S S <<7．xx →=8．设连续，且，则 ()f x ()()xe xF x f t dt -=⎰()'F x =9．设连续，则 ()'f x 1'2x f dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰10．设则()()120121f x f x dx x=-+⎰ ()1f x dx =⎰11．设连续，且则 ()f x ()21301,(1)x f t dt x x -=+>⎰()8f =12．设，则y 的极小值为()01xy t dt =-⎰13．方程，确定，求cos 0yx t e dt tdt +=⎰⎰()y y x =0x dydx=14．设在连续，且满足，求 ()f x []0,1()()13243f x x x f x dx =-⎰()f x 15．讨论方程在区间内实根的个数4013101xx dt t --=+⎰()0,116．设在连续，且在单调减少，讨论在区间()f x [],a b (),a b ()()1xa F x f t dt x a=-⎰的单调性(),a b 17．求()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰18．设其中为连续函数，求()()2xa x F x f t dt x a=-⎰f ()lim x a F x →19．设，且可导，，求()()01122xf t dt f x =-⎰()f x ()0f x ≠()f x20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性()f x ()0xf t dt ⎰21．1321sin x x x dx-⎡⎤⎣⎦⎰22．已知，求221x t e dt -⎰()1xf x dx⎰23．1⎰24．设连续，证明()f x 并由此计算()()20sin 2sin f x dx f x dx ππ=⎰⎰0π⎰1、解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
1填空题［解答］- -L ，令宀”—.］，可得丁 —］当 ■- - ■- 时，广- 一， T 单调递减• 4分面积之比是，即"z 3 27两直线的交点可求得 亠…厂-方法一：已知其一根为，〔，设方程为 （X — *）（说》+加+ ◎ — Q2通过比较可得 丿- I - .'J . ： - ，可解得另外一根为 ：.:一-3x(3^-1)(3^ + !)- 2(3r-l>0… "… i- | 即 … ■ ： - ■ ：. - |所以禺士 I j+（?+令申訂尹叙"吕F ［（护乍"（寻斗备）的=農⑶设/0）在［一兀.兀］上连续，当门=—时，片何=J 小值•［解答］'■ - J.丿］-「■ / -1 : ■ ■所以一'」「•.的单调递减区间是 ⑵曲线- ■-与其在 「：或•,.T - 1处的切线所围成的部分被 严轴分成两部分, 这两部 ［解答］直线方程为 2 2* ，即求解蕾护—9置+ 2 = 0方法二：分解方程有 27^-3^-6r + 2=0小、取最（丁 > 0J 的单调减少区间__cos3]dx =| /'(疋)必—2&J /(JT)cos^xdx+ J cos 令."ll..，则⑷「• ； - ■-绕-V = -■：<■ - ./ - 1.1旋转所成旋转体体积［解答］令.■八.■一：辽I “二一 1，则当T ：；''时,=可［（o3 co?3卩+ 2必uw朝+护加CQS炉/级二血％十2应护）S 3 2当上-:时，£> 4 7T=Jlj? （a2 cos3厘+2丑cow <P+护” ccs 阿@二Jr（一吁汁+—a2b -抵护）所以# = %—兀=巧血沪+£訂）JT⑸ 求心脏线•-| I ■-:'.和直线「- .及厂一围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积—［解答］将极坐标化为直角坐标形式为，：：1 J. '：! '- .■-: - --!--贝y r】-.拧一._.「：-」! -I !- _ ： 1-1 - ■- !- ! 1- -_ r 一=64TF(1 + eos (14- 2 cos 0) gin3豳mJ所以.'■'■ ■ -| ■ I ■■ ；■' ：J| : I .-.]l' I ■ ■ 1.' !•• :1.. -- - C.'/(町CM拌忑曲：=coJ Mxdx —肚](1 + cos 2榔)必—a7T 所以/(A) COS 冲干"x二64TT J：(1 + (14 2x)(1- F〕必=64幵(0 + 耳)迫+ 2的(1 —町必(f = l + x)=開zrf尸(2 —负玄―1)处=647T(5f4- 2?-加)；=160TT2 •计算题⑴ 在直线…J. 一与抛物线：：- .：■ ? ■''的交点上引抛物线的法线，求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积•［解答］由题意可计算两法线的方程为；'-：-1 |： ' - J，即£ - 1 I - IL—■尸-5 二-*(x_4),即卩齐 +4尹一24=0?两直线的交点为卜-：，则15⑵过抛物线」-厂上的一点I；■. / 作切线，问上为何值时所作的切线与抛物线 :-:.- 所围成的面积最小.［解答］直线的斜率上二；X二4，则直线方程为■- - ■■ : T T .，与抛物线相交, 即J . *「)；/ ： - 1，设方程的两根为",二;且1 --，贝U，I 一I , l l 一■■■从而x2-冋=』(心丰心『 _4耳光=2』2桂，一+ 3工；一彳二(x2- x T)(z2 +z L) = 4(2 - a)^f2a2一4盘+ ?£ 二J ' (―x2十4K一1一2口疋十/)么=j l［cc2- 1 —J14- (4 —禺=——4乞 + 3 -(2/ —+ 3)住二 （4 戊-4） =0又」！ I .. ;■'，所以.-:⑶求通过点 …I 的直线| ■■' 一.中使得 T - I ■■'.■■为最小的直线方程. ［解答］设.•一 ■... 一：，则：…丨一.:一」i*卜 J ］/ -/⑴］也二 J ：［* - 2//0）+ 严0）处 =［［『—+〔P —姑）f + 2t 曲斗歹可忑 二 丁-豔 +亍（P -2b ） + 4局+ 2沪善7 -軒肿HE 亦由「’厂.可得-:：-，：，：'''-4--- I 即--=I 可得3又"：＜ -|则当：-：时为最小，此时「I ,方程为［解答］7 — : n ：:- 令-〔「可得y*Cr) = 2(2-张-4心一丹"当，1 一 1时，JI '，即\ 在.【一 1取最小值，此时 当--v 时，+.「.一 ■- ，即/ 在厂一匕取最大值此时.二］，X = !■■■■.⑸ 求曲线- r 与」-，所围阴影部分面积 ・】，并将此面积绕 匸轴旋转所构成 的旋转体体积，如图所示.Q J［解答］二 | ］ 丁 •:" * 11 二 i ■■ ?■V - 2可严- 2x — x a )dte 十 2忒 JT (F 一 F +2x)dtr则卜 ⑷求函数- 的最大值与最小值./W = o37163= -------- JT30⑹ 已知圆 ：•厂 "，其中■: > L ； > J ，求此圆绕 丁轴旋转所构成的旋转体 体积和表面积［解答］令.•"•：：，如图所示，则耳=匸打@ +于尸砂—J ：亞& -肿—丹妙=4 =2a 7b7T l£二匸2砲_析_卄11 + (—P ----------------- a cos =4砧沪、Q a cos &⑺ 设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，① 若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？ ［解答］抛物线方程为 ：一 .’.T ，则在水下 工'到---；7-'这一小块所受的静压力为 所以整块薄板所受的静压力为若下沉$，此时受到的静压力为P 2 二 (6 十珅尹=U0/+1920,24 4 5十［2兀@?十 -y 2「要使一_ _，解得②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？［解答］建立如图坐标系，则抛物线方程为则在水下二至【I孟+让这一小块所受的静压力为dP 二6(2：0_叫辭所以整块薄板所受的静压力为= ±f(2O-x)^ = ^f= 3200-1920 = 1280若下沉/，此时受到的静压力为曷=&] (20+J = 160/ +1280要使二i - _ ,解得.二-.。
不定积分、定积分及其几何应用1、⎰+.d )ln (ln 123x x x x求Cx x +--21)ln (22、.sin 1d ⎰+xx求⎰-dx x x2cos sin 1=-+tan cos .x xc 13、求⎰-dxe x114、.d csc 4⎰x x 求.cot cot 313c x x +--5、⎰.d cos 3x x 求.sin 31sin 3c x x +-6、.d )(ln 112x x x⎰-求.)arcsin(ln c x +7、求⎰+.d )1(35x x xc x x ++++323)1(123138、.d 1323x xx ⎰+⋅求9、⎰-.4d 2xx x求10、⎰-dxxx24求 11、.4d 22⎰-x xx求12、⎰xx x d 2sin cos 2求x x x d cos sin 23⎰⋅.cos 214c x +-=13、.1d 23⎰-x xx求.211arccos 2122c x x x+-+14、.d cos 23x x x ⎰⋅求().cos sin 21222c x x x ++15、 .d 2432x xx x ⎰-求 c x x +-12174517245416、⎰'=t t f t f t t t f d )()(,cos )(ln 求设ct t t +-⋅sin cos17、 ．求⎰+202sin 8sin πdx xx2ln 6118、 ．求⎰+1012dx ex )13(3-e 19、 ．求⎰-+121x x dx4π20、．⎰+401dx xx3ln 221、 ⎰-1224．求dx x x 233-π22、．求⎰-eex x x dx)ln 1(ln 23、求⎰π02sin xdxx 24、．求⎰π02cos xdx x 25、求⎰-+21 2121sin 1－dxxx26、⎰+2232)sin (cos ππ－dxx x 27、如果.,612ln 2x e dtxt求π=-⎰28、求．⎰403cos sin πdx xxx 214-π29、 ．求⎰-3232)4(x dx)12(33-29、．，计算：dx e x⎰∞+-0)21min(⎰⎰+∞-+2ln 2ln 021dx e dx x =+1221(ln )30、 ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1010)(dx x f x x x xe x f x 1243--e π31、 ．求⎰∞++122)1(x x dx41π-32、 ．求dx x x x ⎰∞+++1222)1(21⎰∞+++122)111(dxx x =+14π33、设，求⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+=-01011)(x e e x xx f xx⎰∞--2)1( dx x f 34、设，求⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=011)(22x e x x x f x ⎰∞-1)(dx x f 35、()⎰∞+-+311x x dx求42π36、设为连续函数，满足，求)(x f C 98)()(1816120+++=⎰⎰x x dt t f t dt t f x x)(x f 37、设有连续的二阶导数，且，求)(x f a b f b a f ='=')()(，⎰'''ba dxx f x f )()(38、． 计算设⎰⎰==-11 )()(22dt t tf I dx e t f t x 39、⎰⎰++++1021021)]1ln(1[大小与不计算积分，试比较dx x dx x x x 40、⎰⎰+-10102)1ln()2(大小与不计算积分，试比较dx x dx x x 41、若间有什么关系？与问的原函数为xe xf x e x f xx )(,)(⎰'dxx f x )(并求42、若间有什么关系？与问的原函数为xxx f x x x f sin )(,sin )(⎰'dx x f x )(并求 、．为自然数，、求)()1(4310n dx xx n⎰-,sin 2t x =令 原式=+⎰22102cos n tdtπ=+2221()!!()!!n n 44、nn nx n a n n dx e x f a x x x x x f 220lim )2()21()()1(21210)(∞→-==⎩⎨⎧≤≤-≤≤=⎰ ，， 求：，，设函数()()()1202112 a f x edx xedx x e dx n nxnxnx ==+----⎰⎰⎰=-+--11222ne e n n ()=1()lim lim()21222 n n n n n n a e e →∞→∞--=-+45、设，为偶函数，且[]上连续 ，在，)0()()(>-a a a x x f ϕ)(x ϕ（常数），证明：k x f x f =-+)()(⎰⎰=-aaadxx k dx x x f 0)()()(ϕϕ⎰⎰+=-aa dx x x f dx x x f 00)()()()(ϕϕ左边⎰⎰+-=aadxx x f dx x x f 0)()()()(ϕϕ=⎰c x dxaϕ()046、)()0()()()()(1x F x dt t f xx F x f x ''≠=∞+-∞⎰，求 可导，且，在设113xf x '()47、设，求dt ttx f x ⎰=21sin )(⎰10)(dx x xf 原式=)11(cos 21)(21102-=⎰dx x f 48、为偶函数．证明：函数⎰++=xdt t t x F 02)1ln()()()1ln()()(02u t dt t t x F x x-=++=-∞+-∞∈∀⎰- ， =-+-⎰ln()12u u du x=++⎰ln()u u dux120 =F x ()∴ 为偶函数F x ()49、为偶函数．证明：设)( , )cos 21ln()(02x F dt x t x x F ⎰+-=πF x x t x dt()ln(cos )-=++⎰1220πt u x u x du =--+-⎰ππln(cos )()1220=-+⎰ln(cos )1220x u x du π=F x ()221d d 0d )(502=+-⎰=-=t tx u txu et t x x 所确定的，求是由方程、若22e具有连续导数．，求及，、已知)(,)2(1)(0)2(21)2(5110220x f dx x f x dx x f f f ⎰⎰''=='=（0）52、试求抛物线和抛物线相切于纵坐标y=3处的切线及x 轴所围成的平面1)2(2-=-x y 图形面积。
定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解 （1）()f x ¢=422x x xee---；（2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解 对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求． 例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点． 解 由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下： 故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点． 例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析 两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解 由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析 该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则． 解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注 此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析 易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则． 解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求． 例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小． 解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==． 故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析 被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注 在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析 本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解 因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò． 分析 由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性． 解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续． 分析 要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解 由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ． 错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析 这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元． 例15 计算3sin x xdx pò．分析 被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法． 解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-． 例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò． 分析 被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析 被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法． 解 由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1） 而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò， （2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析 被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò． （1） 令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =． （2） 将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析 被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解． 解 由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=． 故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò． 分析 该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。
