《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。
其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为常用的一种预测模型。
该模型通过对原始数据进行累加生成，建立微分方程模型，从而进行预测。
然而，传统的灰色GM（1,1）模型在处理复杂问题时，可能存在预测精度不高、稳定性不强等问题。
因此，本文旨在探讨灰色GM（1,1）模型的优化方法及其应用，以提高模型的预测精度和稳定性。
二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，适用于处理信息不完全、数据不精确的问题。
该模型通过累加生成原始数据序列，建立微分方程模型，从而进行预测。
然而，传统的灰色GM（1,1）模型在处理复杂问题时，可能存在模型参数过多、计算复杂等问题。
三、灰色GM（1,1）模型的优化为了解决传统灰色GM（1,1）模型存在的问题，本文提出以下优化方法：1. 数据预处理：在建立模型前，对原始数据进行预处理，如去除异常值、填补缺失值等，以提高数据的准确性和可靠性。
2. 模型参数优化：通过优化模型参数，减少模型参数的数量和复杂性，从而提高模型的计算效率和预测精度。
具体方法包括采用遗传算法、粒子群算法等优化算法对模型参数进行优化。
3. 引入其他变量：针对某些复杂问题，可以引入其他相关变量，扩展模型的适用范围和提高预测精度。
4. 模型检验与修正：在建立模型后，需要对模型进行检验和修正，以确保模型的稳定性和可靠性。
具体方法包括对模型进行残差分析、后验差比检验等。
四、灰色GM（1,1）模型的应用优化后的灰色GM（1,1）模型可以广泛应用于各种领域，如经济预测、农业预测、医学预测等。
以经济预测为例，可以通过建立灰色GM（1,1）模型，对经济指标进行预测，为政府和企业提供决策支持。
在农业预测方面，可以应用灰色GM（1,1）模型对农作物产量进行预测，为农业生产提供科学依据。
在医学预测方面，可以应用灰色GM（1,1）模型对疾病发病率进行预测，为疾病预防和控制提供参考。
第24卷第11期Vol.24No.11控 制 与 决 策Cont rolan dDecision2009年11月Nov.2009收稿日期:2008211216;修回日期:2009202223.基金项目:国家自然科学基金项目(709010141,90924022,70473037);教育部高等学校博士学科点专项基金项目(200802870020);江苏省普通高校研究生科研创新计划项目(CX08B 2039R );南京航空航天大学科研创新基金项目(Y08112091);淮阴工学院科研基金项目.作者简介:崔杰(1978—),男,江苏泗阳人,博士生,从事系统工程、管理科学与工程的研究;党耀国(1964—),男,河南驻马店人,教授,博士生导师,从事灰色系统理论、区域经济学等研究. 文章编号:100120920(2009)1121702205一种新的灰色预测模型及其建模机理崔 杰1,2,党耀国1,刘思峰1(1.南京航空航天大学经济与管理学院,南京210016;2.淮阴工学院经济管理学院,江苏淮安223001)摘 要:为了提高灰色模型的预测精度,并拓展其应用范围,针对具有近似非齐次指数律特征的数据序列,构建了一种新的灰色预测模型N GM (1,1,k ).通过最小二乘法求出了新灰色模型参数的计算公式,以微分方程作为演绎推理工具,得到了该模型的时间响应序列函数,并对其建模精度进行了理论和实验分析.研究结果表明了所提出的灰色模型的有效性和适用性.关键词:灰色系统;灰色预测模型;预测精度;建模机理中图分类号:N94 文献标识码:ANovel grey forecasting model and its modeling mechanismCU I J ie1,2,D A N G Yao 2g uo 1,L I U S i 2f eng1(1.College of Economics and Management ,Nanjing University of Aeronautics and Astronautics ,Nanjing 210016,China ; 2.College of Economics and Management ,Huaiyin Institute of Technology ,Huai ’an 223001,China.Correspondent :CU I Jie ,E 2mail :nuaacui2008@ )Abstract :To improve the forecasting accuracy of grey forecasting and broaden its application fields ,this paper develop s a novel grey forecasting model ,termed N GM (1,1,k ),which is based on the non 2homogeneous dispersion index function ,and the formula computing the parameters of the novel grey model is proposed through the least square method.The f unction of the time response sequence of the novel grey model is solved by taking differential equations as a deductive reasoning tool.The modeling accuracy of the novel grey model is theoretically and experimentally analyzed.Research results show the effectiveness and applicability of the proposed grey N GM (1,1,k )model.K ey w ords :Grey systems ;Grey forecasting model ;Simulation accuracy ;Modeling mechanism1 引 言 灰色预测模型作为灰色系统理论的重要组成部分,目前已经在农业、工业、科技、医疗等领域得到了成功的应用,尤其是灰色GM (1,1)模型,如今已经成为应用最为广泛的灰色预测模型.然而,该模型的建模精度问题一直备受灰色系统理论研究者的关注[123].近年来,已有众多学者对灰色模型进行了深入研究,取得了大量的研究成果.刘思峰等从数据变换,提高原始序列光滑度的角度构建了一系列缓冲算子,并成功地应用于大量受扰动因素冲击的系统预测,取得了良好的建模效果[428];徐涛、刘斌和党耀国等分别从原始序列模拟误差平方和最小,一次累加序列模拟误差平方和最小以及新信息优先利用的角度,对灰色模型的初始条件进行了改进,提高了灰色模型的预测精度[9211];王义闹和罗党等分别从改进灰导数白化值与灰导数白化背景值等不同的角度,对灰色模型进行了优化,在一定程度上提高了模型的建模精度[12214].穆勇和谢乃明等从GM (1,1)模拟齐次指数序列精度的角度出发,分别提出了无偏GM (1,1)模型以及离散灰色模型.该模型对具有白指数律特性的原始序列可进行完全拟合[15,16].上述学者的研究成果对于完善灰色预测理论体系,推动灰色系统理论的发展起到了积极的作用.然而,众多改进后的灰色模型在实际系统行为特征数第11期崔杰等:一种新的灰色预测模型及其建模机理 据序列的预测应用中,依然常常出现预测效果不甚理想的现象.产生这种现象的根源何在?纵观现有灰色预测模型的研究成果,作者发现目前绝大部分灰色模型的研究成果仅从模型建模参数的角度进行优化研究,即对原模型进行不断地修正,以更好地拟合具有纯指数律特征的数据序列,却忽视了灰色GM(1,1)模型适用的数据序列类型的局限性.从灰色GM(1,1)模型的建模过程可知,它是一种基于累加生成灰指数律的最小二乘建模方式,对具有近似齐次指数律特性的离散数据序列具有理想的拟合预测效果.同理,在GM(1,1)模型基础上改进、演变得到的系列优化的灰色模型和无偏灰色模型以及离散灰色模型,同样仅对具有白指数律的离散数据序列具有较好的模拟预测效果.然而,除了近似齐次指数律数据序列外,现实中还存在大量系统的特征数据序列具有非齐次指数特性,利用仅适用于拟合预测齐次指数律数据序列的灰色模型,去模拟具有非齐次指数律特性的数据序列,常常会出现较大建模误差.目前,以灰色模型能够模拟预测的数据序列类型与实际系统行为数据序列类型的一致性为目标,对经典灰色GM(1,1)模型进行拓展的研究成果比较鲜见.本文根据经典灰色模型的建模机理,构建了一种基于近似非齐次指数离散函数的新灰色预测模型,利用最小二乘法和矩阵运算法推演出该新灰色模型参数的计算公式,并以微分方程为推理工具,求出了新灰色预测模型的模拟时间响应序列函数.2 新灰色预测模型NG M(1,1,k)的构建 无论是GM(1,1)模型,还是优化的GM(1,1)模型以及无偏GM(1,1)模型,其建模的基础都是基于原始序列累加生成后的灰指数律,即原始序列x(0)(k)≈ca k,k=1,2,…,n.然而,现实中存在大量服从近似非齐次指数增长律的数据序列,因此需要探索基于其他增长规律的数据序列预测模型.下面针对原始数据序列服从近似非齐次指数律x(0)(k)≈ca k+b,k=1,2,…,n的情形,构建一种灰色N GM(1,1,k)预测模型.定义1 称x(0)(k)+az(1)(k)=kb(1)为基于非齐次指数离散函数的灰色预测模型(N GM(1,1,k)).将一阶微分方程d x(1)d t+ax(1)=tb(2)称为N GM(1,1,k)模型的白化形式.定理1 设原始非负序列为X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)},x(0)(i)≥0,k=1,2,…,n.X(0)的一次累加生成序列为X(0)={x(1)(1), x(1)(2),…,x(1)(n)}.其中x(1)(k)=∑ki=1x(0)(i),k=1,2,…,n.X(1)的紧邻均值生成序列Z(1)={z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n)}.其中z(1)(k)=12(x(1)(k)+x(1)(k-1)),k=2,3,…,n.若^a=[a,b]T为参数列,且Y=x(0)(2)x(0)(3)…x(0)(n),B=-z(1)(2)2-z(1)(3)3……-z(1)(n)n,则N GM(1,1)模型x(0)(k)+az(1)(k)=kb的最小二乘估计参数列满足^a=(B T B)-1B T Y.证明 将数据代入N GM(1,1)模型x(0)(k)+ az(1)(k)=kb,得x(0)(2)+az(1)(2)=2b,x(0)(3)+az(1)(3)=3b, …x(0)(n)+az(1)(n)=nb,即Y=B^a.对于a和b的一对估计值,以-az(1)(k) +bk代替x(0)(k),k=1,2,…,n,可得误差序列ε= Y-B^a.设s=εTε=(Y-B^a)T(Y-B^a)=∑nk=2(x(0)(k)+az(1)(k)-bk)2,使s最小的a和b应满足5s5a=2∑nk=2(x(0)(k)+az(1)(k)- bk)z(1)(k)=0,5s5b=-2k∑nk=2(x(0)(k)+az(1)(k)-bk)=0.解得a=∑nk=2kz(1)(k)∑nk=2kx(0)(k)-∑nk=2k2∑nk=2(z(1)(k))2-→ ←∑nk=2k2∑nk=2x(0)(k)z(1)(k)(∑nk=2kz(1)(k))2,b=1∑nk=2k2[∑nk=2kx(0)(k)+a∑nk=2kz(1)(k)].3071 控 制 与 决 策第24卷由Y=B^a得B T B^a=B T Y,^a=(B T B)-1B T Y,Y=x(0)(2)x(0)(3)…x(0)(n),B=-z(1)(2)2-z(1)(3)3……-z(1)(n)n,B T B=-z(1)(2)2-z(1)(3)3……-z(1)(n)nT-z(1)(2)2-z(1)(3)3……-z(1)(n)n=∑nk=2(z(1)(k))2-∑nk=2kz(1)(k)-∑nk=2kz(1)(k)∑nk=2k2,(B T B)-1=1∑nk=2k2∑nk=2(z(1)(k))2-(∑nk=2kz(1)(k))2×∑nk=2k2∑nk=2kz(1)(k)∑nk=2kz(1)(k)∑nk=2(z(1)(k))2,B T Y=-z(1)(2)2-z(1)(3)3……-z(1)(n)nT-z(0)(2)-z(0)(3)…-z(0)(n)=-∑nk=2x(0)(k)z(1)(k)∑nk=2kx(0)(k),^a=(B T B)-1B T Y=1∑nk=2k2∑nk=2(z(1)(k))2-(∑nk=2kz(1)(k))2×∑nk=2k2∑nk=2kz(1)(k)∑nk=2kz(1)(k)∑nk=2(z(1)(k))2×-∑nk=2x(0)(k)z(1)(k)∑nk=2kx(0)(k)=∑nk=2kz(1)(k)∑nk=2kx(0)(k)-∑nk=2k2∑nk=2(z(1)(k))2-→←∑nk=2k2∑nk=2x(0)(k)z(1)(k)(∑nk=2kz(1)(k))21∑nk=2k2[∑nk=2kx(0)(k)+a∑nk=2kz(1)(k)]=ab.□定理2 设B,Y,^a如定理1所述.^a=(B T B)-1B T Y,则:1)取^x(1)(1)=x(1)(1)=x(0)(1),则^x(1)(k)=(x(0)(1)-ba+ba2)e-a(k-1)+bak-ba2,k=1,2,…,n;(3)2)还原值^x(0)(k)=^x(1)(k)-^x(1)(k-1),k=2,3,…,n.证明 令x(1)(t)=y,t=x,u=-ay+bx,则式(2)可转化为d ud x=-au+b,(4)即d(-au+b)-au+b=-a d x.(5)对式(5)两边同时不定积分,然后化简得-au+b=C1e-ax,(6)其中C1=e c,c为常数.将x(1)(t)=y,t=x,u=-ay+bx代入式(6),化简得x(1)t=C1a2e-at+bat-ba2.(7)取x(1)(1)=x(0)(1),则C1=a2(x(0)(1)-b a+b a2)e a.将C1代入式(7),化简可得^x(1)(t)=(x(0)(1)-ba+ba2)e-a(t-1)+bat-ba2,t=1,2,…,n.因此^x(1)(t)=(x(0)(1)-ba+ba2)e-a(k-1)+bak-ba2,4071第11期崔杰等:一种新的灰色预测模型及其建模机理 k =1,2,…,n; ^x (1)(t )-^x (1)(k -1)= ∑ki =1^x(0)(i )-∑k-1i =1^x(0)(i )=^x (0)(k ), k =2,3,…,n.□3 新灰色模型的建模精度分析311 理论分析GM (1,1)模型的建模精度一直是众多灰色理论研究者探讨的热点问题之一,但至今仍未得到科学合理的解释.文献[17]用纯指数增长序列数据做模拟,得到了如下结论:GM (1,1)模型具有一定的适用范围,但在进行长期预测时常出现令人意想不到的误差.下面从GM (1,1)模型的时间响应序列式的结构入手,对其进行理论分析,探索长期预测过程中存在较大误差的根源.通过一次累减生成,得到GM (1,1)模型的时间响应序列式的还原式^x(0)(k )=^x (1)k )-^x (1)(k -1)=(1-e a )(x (0)(1)-b a )e -a (k-1).(8)同理,对N GM (1,1,k )模型的模拟时间响应序列式进行还原,得到其模拟还原值形式为^x(0)(k )=(1-e a )(x (0)(1)-b a +b a2)e -a (k-1)+ba ,k =1,2,…,n.(9)从上述两种灰色模型的时间响应式的结构可以看出,GM (1,1)模型的模拟时间响应序列式的还原值是具有纯指数增长律特性的数据序列;N GM (1,1,k )模型的时间响应式的还原值具有近似非齐次指数增长律的特性.在利用GM (1,1)模型进行系统行为数据序列的预测过程中,常常会出现较大的误差,甚至会出现令人难以接受的建模误差,这说明GM (1,1)模型的时间响应式还原值的纯指数特性与现实中大量系统行为数据序列的分布特性并非具有一致性.从理论分析的结果可知,本文提出的N GM (1,1,k )模型在一定程度上可以弥补上述缺陷,具有一定的理论价值和应用价值.为了进一步验证新模型的建模效果,下面用实际系统行为数据序列分别建立GM (1,1)模型、无偏GM (1,1)模型和N GM (1,1,k )模型,并对3种模型的建模精度进行对比分析.312 实验分析以某市1993～1999年的科技经费投入为基础数据来验证本文提出的新灰色预测模型的有效性.数据序列如下[18](单位:亿元):X(0)=(1.05,2.12,3.87,6.78,11.57,19.48,35.62).根据灰色模型的建模要求对原始序列进行光滑性检验(检验过程略).计算结果表明,该数据序列基本满足灰色建模的光滑性要求[1].下面以1993～1998年的数据为建模数据,以1999年数据为(模拟)预测数据,分别建立GM (1,1)模型、无偏GM (1,1)模型与N GM (1,1,k )模型进行模拟预测,得到的结果如表1所示.表1 3类灰色预测模型建模效果比较模 型平均相对误差/%一步预测误差/%GM (1,1)5.13 5.65无偏GM (1,1)4.48 4.73N GM (1,1,k )2.681.76 从3种模型得到的建模结果可以看出,利用经典GM (1,1)模型和无偏GM (1,1)模型得到的建模误差相对较大.如平均相对误差,二者都保持在4%～5%,预测误差也是如此.而利用新的灰色N GM (1,1,k )模型所得到的结果则明显好于其他两种模型,无论是模拟误差还是预测误差,均显著低于前两种模型.从模型本身所具有的特点进行分析,其原因主要在于:经典GM (1,1)模型和无偏GM (1,1)模型仅仅对具有近似齐次指数律特性的离散数据序列具有理想的拟合预测效果,对具有非齐次指数特征的数据序列则难以取得比较高的建模精度,而新的N GM (1,1,k )模型恰好能够弥补它们的不足,适合具有非齐次指数律特征的系统行为数据序列的模拟预测.从上述分析过程和结果不难看出,本文新构建的灰色N GM (1,1,k )模型,对于灰色预测模型理论体系的拓展而言,是一次有益的尝试,相信它在今后的实际应用中将会得到广泛的关注.4 结 论 灰色预测模型是通过对反映数曲线进行模拟,最后利用最小二乘准则求解模型参数的指数拟合模型.通过研究得到以下结论:1)N GM (1,1,k )模型也是在一次累加生成基础上的最小二乘建模方式,完全符合灰色预测模型的建模机理;2)新的N GM (1,1,k )模型是基于近似非齐次指数增长律的新灰色预测模型,可称为广义GM (1,1)模型,是GM (1,1)模型的拓展,而经典GM (1,1)模型可看作是N GM (1,1,k )模型的特例;3)N GM (1,1,k )模型的提出对于灰色预测模型理论体系的拓展具有重要意义.参考文献(R eferences)[1]刘思峰,党耀国,方志耕.灰色系统理论及其应用[M ].第3版.北京:科学出版社,2004:128.5071 控 制 与 决 策第24卷(Liu S F,Dang Y G,Fang Z G.Grey system theory and its application[M].3rd ed.Beijing:Science Press, 2004:128.)[2]邓聚龙.灰理论基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2002:23225.(Deng J L.The basis of grey theory[M].Wuhan: Press of Huazhong University of Science Technology, 2002:23225.)[3]邓聚龙.灰预测与灰决策[M].修订版.武汉:华中科技大学出版社,2002.(Deng J L.Grey prediction and grey decision[M].Revised Edition.Wuhan:Press of Huazhong University of Science Technology,2002.)[4]刘思峰.冲击扰动系统预测陷阱与缓冲算子[J].华中理工大学学报,1997,25(1):25227.(Liu S F.The trap in the prediction of a shock disturbed system and the buffer operator[J].J of Huazhong University of Science and Technology,1997, 25(1):25227.)[5]刘思峰.缓冲算子及其应用[J].灰色系统理论与实践,1992,2(1):45250.(Liu S F.Buffer operator and its application[J].Theories and Practices of Grey System,1992,2(1):45250.)[6]党耀国,刘思峰,刘斌,等.关于弱化缓冲算子的研究[J].中国管理科学,2004,12(2):1082111.(Dang Y G,Liu S F,Liu B,et a1.Study on the weakening buffer operators and researches[J].Chinese J of Management Science,2004,12(2):1082111.)[7]党耀国,刘斌,关叶青.关于强化缓冲算子的研究[J].控制与决策,2005,20(12):133221336.(Dang Y G,Liu B,Guan Y Q.Study on the strengthening buffer operators[J].Control and Decision,2005,20(12):133221336.)[8]崔杰,党耀国.一类新的弱化缓冲算子及其应用[J].控制与决策,2008,23(7):7412744.(Cui J,Dang Y G.Study on a kind of novel weakening buffer operators and its applications[J].Control and Decision,2008,23(7):7412744.)[9]徐涛,冷淑霞.灰色系统模型初始条件的改进及应用[J].山东工程学院学报,1999,13(1):15219.(Xu T,Leng S X.Improvement and application of initial value of grey systems model[J].J of Shandong Institute of Engineering,1999,13(1):15219.)[10]刘斌,刘思峰,翟振杰,等.GM(1,1)模型时间响应函数的最优化[J].中国管理科学,2003,11(4):54257.(Liu B,Liu S F,Zhai Z J,et al.Optimum time response sequence for GM(1,1)[J].Chinese J of Management Science,2003,11(4):54257.)[11]党耀国,刘思峰,刘斌.以x(1)(n)为初始条件的GM模型[J].中国管理科学,2005,13(1):1322134.(Dang Y G,Liu S F,Liu B.The GM models that x(1)(n)be taken as initial value[J].Chinese J of Management Science,2005,13(1):1322134.)[12]王义闹,刘开第,李应川.优化灰导数白化值的GM(1,1)建模法[J].系统工程理论与实践,2001,21(5): 1242128.(Wang Y N,Liu K D,Li Y C.GM(1,1)modeling method of optimizing the whiting values of grey derivative[J].Systems Engineering2Theory& Practice,2001,21(5):1242128.)[13]罗党,刘思峰,党耀国.灰色模型GM(1,1)优化[J].中国工程科学,2003,5(8):50253.(L uo D,Liu S F,Dang Y G.The optimization of grey model GM(1,1)[J].Engineering Science,2003,5(8): 50253.)[14]张辉,胡适耕.GM(1,1)模型的精确解法[J].系统工程理论方法应用,2001,10(1):72274.(Zhang H,Hu S G.Accurate solution for GM(1,1) model[J].Systems Engineering Theory Methodology Applications,2001,10(1):72274.)[15]穆勇.优化灰导数白化值的无偏灰色GM(1,1)模型[J].数学的实践与认识,2003,33(3):13216.(Mu Y.An unbiased GM(1,1)model with optimum grey derivative’s whitening values[J].Mathematics in Practice and Theory,2003,33(3):13216.)[16]谢乃明,刘思峰.离散GM(1,1)模型与灰色预测模型建模机理[J].系统工程理论与实践,2005,25(1):93298.(Xie N M,Liu S F.Discrete GM(1,1)and mechanism of grey forecasting model[J].Systems Engineering2 Theory&Practice,2005,25(1):93298.)[17]刘思峰,邓聚龙.GM(1,1)模型的适用范围[J].系统工程理论与实践,2000,20(5):1212124.(Liu S F,Deng J L.The range suitable for GM(1,1) [J].Systems Engineering2Theory&Practice,2000, 20(5):1212124.)[18]中国统计局.中国统计年鉴[M].北京:中国统计出版社,199322000.(The Chinese Statistics Bureau Arranges.Chinese statistics yearbook[M].Beijing:Chinese Statistics Press,199322000.)6071。
预测未来2015年到2020年的货运量灰色预测模型是通过少量的、不完全的信息,建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题,制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时,都必须对未来进行科学的预测. 预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律,借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析,并形成科学的假设和判断.灰色系统的定义灰色系统是黑箱概念的一种推广;我们把既含有已知信息又含有未知信息的系统称为灰色系统.作为两个极端,我们将称信息完全未确定的系统为黑色系统；称信息完全确定的系统为白色系统.区别白色系统与黑色系统的重要标志是系统各因素之间是否具有确定的关系;建模原理模型的求解原始序列为：)16909 15781 13902 12987 12495 11067 101499926 9329 10923 7691())6(),...1(()0()0()0(==x x x构造累加生成序列)131159,114250,98469,84567,71580,59085,48018,37869,27943,18614,7691())6(),...1(()1()1()1(==x x x归纳上面的式子可写为称此式所表示的数据列为原始数据列的一次累加生成,简称为一次累加生成.对(1)X 作紧邻均值生成,....2))1()((21)()1()1()1(=-+=k k z k z k zMATLAB 代码如下：x=7691 18614 27943 37869 48018 590857 71580 84567 98469 114250 131159; z1=x1; for i=2:6 zi=xi+xi-1; endformat long g z z =Columns 1 through 37691Columns 4 through 632906Columns 7 through 991518Columns 10 through 11因此)53551.5 42943.5 3290623278.5 13152.5 ())5(),...1(()1()1()1(==z z z构造B 矩阵和Y 矩阵；对参数ˆα进行最小二乘估计,采用matlab 编程完成解答如下：B= -32906 -91518 ',ones10,1;Y=18614 27943 37869 48018 59085 71580 84567 98469 114250 131159'; format long g a=invB'BB'Y结果如下：a =即∂=,u=59277∂u = 则GM1,1白化方程为59277x 085.0)1(=-dtdx 预测模型为：697376.471-471.705067)1(ˆk *0.085)1(e k x =+再次通过线性回归模型对货运量进行预测：线性回归预测模型：一、定义一元线性回归预测是处理因变量y与自变量x 之间线性关系的回归预测法.二、模型的建立：1,设年份y, 货运量x y随x的变化函数,建立一元线性回归方程：Y=β0 + β1x其中β0、β1称为回归系数;散点图如下：首先根据x、y的现有统计数据,在直角坐标系中作散点图,观察y随x而变是否为近似的线性关系;若是,则求出的β0、β1值,就可确定其数学模型,然后由x的未来变化去求相应的y 值;,2,确定方法—最小二乘法使拟合的数值与实际值的总方差为最小,即拟合程度最好,则得两者之差e i根据极值原理,式对a、b分别求偏导,并令其=0,得z)()(()()222iiiiQiia aa b aaa ba bxyy xy x∂∂=∂∂∂=---∂=-----∑∑∑三,模型的求解：运用MATLAB 软件对数据进行一元线性回归分析：代码如下：x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 '; x=ones11,1 x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,x b,bint ,stats ,rcoplotr,rint;()()()()()()()()222i i i i i i i Q y b x x y i b b y b x b x b y b x xy x x y x x ∂∂⎡⎤=---∑⎣⎦∂∂∂⎡⎤⎡⎤=-----⎣⎦⎣⎦∂⎡⎤=-----⎣⎦∑∑()()()()()()2002(7.4.8)i i i i xy xxx x y y b x x ix x y y b x xiS S =---=---==-∑∑∑∑令其，即所以结果：b =+006bint =+006stats =+005注：+006 为110^6 后同理因为,p<,所以可知回归方程为y=-1579600 + 800x 先观察观察模型残差：如图所示,应该剔除第2组数据;MATLAB代码为：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones10,1 x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;结果为：b =+006bint =+006stats =+005其中：+006 为110^6同理+005 为110^5剔除之后结果如下：回归系数回归系数估计值回归系数置信区间β0+006 +006 +005β1+006 +006 +006R2= F= +005 p< s2 = +005将异常数据去除后,再次对去除异常点的数据进行最小二乘法拟合一个多元回归模型,残差图如下：因为,p<, 无异常数据可剔除因此,可知最终回归方程为y=-1787900 + 900x,对ployfit拟合的函数进行评价与估计;运用polyconf函数对多项式评价和置信区间估计,matlab代码如下：x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfitx,y,1结果为：p =+006S =R: 2x2 doubledf: 8normr: +003对2015年的货运量预测,即y=polyconfp,2015y =+004DELTA =+003其中所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2015年的货运量在之间;同理对2016年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2016年的货运量在之间;对2017年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004- +003, +004++003 即,2017年的货运量在之间;对2018年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004- +003, +004+ +003 即,2018年的货运量在之间;对2019年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004+ +003即,2019年的货运量在之间;对2020年的货运量预测,即y =+004DELTA =+003所以预测区间为：+004-+003, +004++003即,2020年的货运量在之间;附：MATLAB代码：1, x=1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones11,1 x;y=7691 10923 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;2,x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ';x=ones10,1 x;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909'; plotx,y, '+';b,bint,r,rint,stats=regressy,xb,bint ,stats ,rcoplotr,rint;3,x=1991 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 ;y=7691 9329 9926 10149 11067 12495 12987 13902 15781 16909;p,S=polyfitx,y,1y=polyconfp,2015。
