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灰色预测模型理论及其应用灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测.灰色预测模型只需要较少的观测数据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具.本文主要围绕灰色预测GM(1,1)模型及其应用进行展开。
一、灰色系统及灰色预测的概念1.1灰色系统灰色系统产生于控制理论的研究中。
若一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全的，我们称之为白色系统。
若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。
灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部分是未知的。
区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关系。
特点：灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
1.2灰色预测灰色系统分析方法是通过鉴别系统因素之间发展趋势的相似或相异程度，即进行关联度分析，并通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。
生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。
灰色预测是用灰色模型GM(1,1)来进行定量分析的，通常分为以下几类：(1) 灰色时间序列预测。
用等时距观测到的反映预测对象特征的一系列数量（如产量、销量、人口数量、存款数量、利率等）构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或者达到某特征量的时间。
(2) 畸变预测（灾变预测）。
通过模型预测异常值出现的时刻，预测异常值什么时候出现在特定时区内。
(3) 波形预测，或称为拓扑预测，它是通过灰色模型预测事物未来变动的轨迹。
灰色预测模型的研究及应用
灰色预测模型是一种用于预测问题的数学模型，广泛应用于各个领域。
它在1982年由中国科学家GM灰所提出，因此得名为“灰色预测模型”。
灰色预测模型基于灰色系统理论，它假设事物的发展具有一定的规律性和趋势性，但也存在不确定性的因素。
它通过对已知数据的分析和处理，来预测未来的发展趋势。
灰色预测模型的核心思想是将已知数据序列分解为两个部分：灰色部分和白色部分。
灰色部分是由数据的数量级和函数形式决定的，因此可以用来预测未来的趋势。
白色部分则是由不确定的随机因素引起的，往往被视为噪声，不具备预测能力。
灰色预测模型有多种形式，其中最常用的是GM(1,1)模型。
该模型通过建立一阶线性微分方程来描述数据的变化趋势，然后利用指数累减生成灰色模型。
基于灰色模型，可以进一步进行累加、累减、累乘等操作，来实现更复杂的预测。
灰色预测模型在各个领域都有广泛的应用。
其中最典型的应用是经济预测领域，包括国民经济、金融市场等。
此外，它还可以应用于工业生产、环境保护、农业发展、医疗卫生等方面的预测。
灰色预测模型的优点是简单易懂、计算量小、适用范围广。
它可以对数据的趋势进行较为准确的预测，尤其适用于数据量较小或者不完整的情况下。
缺点是对数据的要求较高，数据的采
样点要均匀分布，并且在建立模型时需要进行一些参数的选择，可能存在主观性和不确定性。
总之，灰色预测模型是一种有效的预测方法，具有广泛的应用前景。
在实际应用中，需要对具体问题进行合理的建模和参数选择，以提高预测的准确性。
灰色模型在建筑物沉降预测中的应用
1灰色模型在建筑物沉降预测中的应用
灰色预测模型是一种受现实条件限制的统计模型，可以通过灰色系统理论快速准确地预测某一特定客观系统的动态发展趋势。
灰色模型不仅能处理给定的离散数据和按某种模型解释的岩性结构，还可以考虑多种相互关联的随机事件的影响。
因此，灰色模型可以成为建筑物沉降预测的有力工具。
2灰色模型的原理及其特点
灰色模型的基本原理是研究和调整历史数据，从中推导出灰色关联度等指标，再结合自因果模型和不确定性前景分析以及历史发展变化，最后拟合出一条考虑了因果影响和历史发展走势的预测曲线。
灰色模型具有不确定性预测、多变量综合评估、适合任何未知现象及表现形式、能够考虑多种条件的影响等特点，因而成为建筑物沉降预测的有力工具。
3灰色模型在建筑物沉降预测中的应用
建筑物沉降是建筑物安全性检查的重要内容，灰色预测模型是沉降预测中不可或缺的方法之一。
通过收集建筑物及其周围环境以及历史发展变化的数据，将这些数据进行统计分析，然后利用灰色系统模型对建筑物的沉降进行未来几年的预测，从而对沉降趋势有一定的认知，根据预测变化趋势的大小，可以采取相应的措施和治理措施，从而避免危险出现。
4由此可见，
灰色模型在建筑物沉降预测中具有重要的意义，它不仅能处理给定的离散数据，还可以考虑多种相互关联的随机事件的影响，有助于预测更准确、更可靠。
但灰色模型也有其不足，其缺点在于不能排除外部干扰，而外部干扰因素可能会造成建筑物沉降预测结果的不准确性。
因此，建筑物沉降预测应充分考虑外部干扰因素的影响，采取多种技术和方法，分步进行有效的预测，以达到理想的预测目的。
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种应用广泛的数据分析方法，它可以帮助我们预测未来一段时间内的数据趋势。
而在时序预测中，灰色模型是一种常用的模型之一。
本文将介绍灰色模型的基本原理、应用范围和优缺点。
一、灰色模型的基本原理灰色系统理论最早由中国科学家陈裕昌教授提出，它是一种用于处理少量数据和缺乏信息的系统分析方法。
灰色模型的基本原理是通过对数据进行灰色关联分析、灰色预测等处理，来实现对未来时序数据的预测。
灰色模型的关键在于建立数据的灰色关联度，通过对数据进行加权处理，将不规则的数据变为规则的规整数据，进而实现对未来数据的预测。
这种方法不仅可以用于单变量时序数据的预测，还可以用于多变量时序数据的预测，具有一定的灵活性和适用范围。
二、灰色模型的应用范围灰色模型在实际应用中具有广泛的应用范围，主要包括以下几个方面：1. 经济领域：灰色模型可以用于对经济指标的预测，如国内生产总值、消费指数、失业率等。
通过对这些指标的预测，可以帮助政府和企业制定发展战略和政策。
2. 工业领域：灰色模型可以用于对工业生产数据的预测，如原材料价格、产量、需求量等。
这对于企业的生产计划和库存管理具有重要意义。
3. 环境领域：灰色模型可以用于对环境数据的预测，如空气质量、水质数据等。
通过对这些数据的预测，可以帮助政府和环保部门采取相应的措施来改善环境。
4. 医疗领域：灰色模型可以用于对医疗数据的预测，如疾病发病率、病人数量、医疗资源需求等。
这对于医院和卫生部门的资源配置和医疗服务规划具有重要意义。
三、灰色模型的优缺点灰色模型作为一种时序预测方法，具有以下优点：1. 适用范围广：灰色模型可以处理各种类型的时序数据，包括线性和非线性数据，适用范围广泛。
2. 数据要求低：灰色模型对数据的要求相对较低，对于缺乏信息或者数据量较少的情况也可以进行预测。
3. 预测精度高：灰色模型在一定范围内可以取得较高的预测精度，对于短期和中期的预测效果较好。
灰色预测模型的研究及其应用
灰色预测模型（Grey System Prediction Model）是指在不能得到完
全的定性分析或定量关系的基础上，根据历史数据观察研究发展趋势的一
种统计学的预测模型。
灰色预测模型由灰色系统理论的预测和模糊系统理
论的分析组成，灰色理论是一种动态系统理论，它可以把一般现象用数学
模型很好地表示出来，从而模拟现象并预测它们的未来发展趋势。
目前，
灰色系统理论已经广泛地应用于经济学、管理学、决策学、社会学等领域，用以对复杂系统的研究和预测。
例如，可以应用灰色预测模型来预测某一
地区的经济发展情况；可以应用灰色预测模型来预测一种货币的发行情况；可以应用灰色预测模型来预测某一社会团体的发展趋势；还可以应用灰色
预测模型来预测某一股票市场的发展趋势等。
灰色预测模型的研究和应用
越来越广泛，已经成为现代管理学领域的一种热门研究话题。
第十章灰色模型介绍及应用（徐利艳天津农学院 2.4万字） 10.1灰色理论基本知识10.1.1概言10.1.2有关名词概念10.1.3GM建模机理10.2灰色理论模型应用10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用10.1灰色理论基本知识10.1.1概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。
对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。
本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
信息不完全是“灰”的基本含义。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。
灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。
时序预测中的灰色模型介绍时序预测是一种在实际生活和工作中非常常见的问题。
许多领域，如气象、经济、交通等都需要进行时序数据的预测，以便做出相应的决策。
其中，灰色模型是一种常用的预测方法，它能够对具有短时、小样本、非线性和不确定性的时序数据进行较为准确的预测。
1. 灰色模型的基本原理灰色模型是由中国科学家陈纳新教授于1982年提出的，它是一种基于少量数据，将不确定性和不完备性信息转化为可用信息的数学模型。
灰色系统理论是从不确定性的角度出发，描述了不确定性系统的非随机性特征。
灰色模型的基本原理是将时序数据进行建模，并通过建模得到的规律进行预测。
2. 灰色模型的应用范围灰色模型广泛应用于各种领域的时序数据预测中，如经济学、环境科学、医学、工程技术等。
在经济学领域，灰色模型被用于短期经济预测、股票市场预测等。
在环境科学领域，灰色模型被用于气象预测、气候变化预测等。
在医学领域，灰色模型被用于疾病传播预测、流行病学预测等。
在工程技术领域，灰色模型被用于负荷预测、能耗预测等。
3. 灰色模型的优势灰色模型在应对短时、小样本、不确定性等问题时，具有很大的优势。
首先，灰色模型能够较好地处理非线性问题，因为它不要求时序数据服从某种特定的分布。
其次，灰色模型对于不完备信息的处理能力较强，它能够通过建模得到的规律，对缺失信息进行补充，从而提高预测的准确性。
此外，灰色模型的计算简单，不需要过多的参数调整，因此适用于处理小样本数据。
4. 灰色模型的不足虽然灰色模型在处理短时、小样本、不确定性等问题上具有一定优势，但也存在一些不足之处。
首先，灰色模型对数据的要求较高，需要较为连续的时序数据，且对数据的质量要求较高。
其次，灰色模型在处理长期预测问题时，效果不如传统的时间序列分析方法。
另外，灰色模型的理论研究相对较少，其应用也相对较为局限。
5. 灰色模型的改进与发展为了克服灰色模型的不足，研究者们提出了许多改进和扩展的方法。
例如，改进了灰色模型的建模方法，提高了对不完备信息的处理能力；引入了混沌理论、粒子群算法等方法，提高了灰色模型的预测精度；将灰色模型与其他预测方法相结合，形成了集成预测模型等。
符合气象特征的灰色模型及其应用研究灰色模型是一种常用的时间序列预测方法，它基于灰色系统理论，可以在数据较少或缺乏长期统计数据的情况下，对时间序列进行准确的预测和分析。
在气象学领域，灰色模型的应用非常广泛，可以用于天气预测、气候变化研究、灾害性天气事件的预警等方面。
气象特征是指气象要素在时间和空间上的变化规律。
在气象预测和研究中，了解气象特征对于预测和评估气象事件的发生和发展至关重要。
通过对气象特征的探索和分析，可以提高气象预测的准确性，加强对气象灾害的预警和应对能力。
灰色模型在气象学中的应用主要分为两个方面：一是气象时间序列的预测，二是对气象特征的研究和分析。
下面将详细介绍这两个方面的应用。
首先，灰色模型在气象时间序列的预测方面具有很大的优势。
对于短期气象预测和中长期气候变化研究来说，常常缺乏足够长期的气象观测数据。
而灰色模型可以利用较短期的数据，通过建立合适的模型，对未来气象情况进行预测。
例如，气温、降水量等气象要素的灰色模型可以通过历史观测数据，预测未来一段时间内的气象情况。
这对于农业、水利等领域的决策和规划具有重要意义。
其次，通过灰色模型的研究和分析，可以探索和描述气象特征。
气象特征的分析对于理解气象系统的运行规律、发现异常现象以及预测气候变化具有重要价值。
利用灰色模型，可以对气象特征进行模拟、揭示其变化规律，进而为气候模型的建立和改进提供参考。
例如，通过分析气象要素与气候变化之间的关系，可以研究全球气候变暖、降水分布变化等气候现象，为气候变化风险评估和适应性决策提供科学依据。
此外，灰色模型还可以应用于灾害性天气事件的预警和监测。
通过对灾害性天气事件的历史数据进行灰色模型建模和分析，可以预测未来可能发生的灾害性天气事件，为防灾减灾提前制定措施，降低灾害损失。
例如，对于暴雨、台风等极端天气事件，灰色模型可以对其发生时间、区域范围和强度进行预测，为政府和公众的应急准备提供科学依据。
总之，灰色模型在气象学中具有广泛的应用前景。
灰色系统模型的应用第一节灰色系统模型在现金流量预测中的应用一、灰色理论应用在现金流量预测中我们选取伊利集团的2000—2007年财务报表的现金流量表中的“经营活动产生的净现金流”作为分析预测的对象。
伊利集团是我国著名的奶业生产集团，知名度较高，且长期以来生产经营较为规范，其报表可信度较高，所以，用该公司的财务报表的数据，可以较好的反映实际情况，有利于我们进行分析和验证。
而2008年出现的儿童奶粉事件，给乳制品产业带来了致命的打击，所以不采用2008年的财务报表。
在使用GM(1,1)时,首先要对实际的原始数据进行一定的处理或假设：1.企业在长期来看,不存在负现金流。
尽管企业在短期,例如月现金流无法避免存在负现金流，但对于一个持续经营的企业来说，尽量保持正的现金流，是大多数的企业理财所应达到的目标。
当然,当企业的实际数据出现负现金流时，也可用适当的办法进行处理。
2.企业在一定时期内的经营条件和外部环境不存在大的波动。
即企业在相似的外部环境和促销手段下进行。
这种假设避免了现金流大的波动，从而避免预测失真。
由于对于一般的销售型企业来说，经营活动的现金流量是主要的资金来源，筹资活动和投资活动并不是经常发生的项目。
而且，经营活动产生的现金流量通常情况下较稳定，不会产生大的波动，也很少有负值的出现，即使在短时期内可能出现应收账款较多，资金周转不开的情况，但从一年时间来看，在一年内的现金收入通常会大于现金流出。
对于一个健康的正在成长的企业来说，经营活动现金流量应该是正数。
所以，以下选择的伊利集团现金流量表中2000-2007的数据符合前述假设和模型的要求，见表1。
表1 伊利集团2000年至2007年的现金流量作为异常数据，剔除掉，再得到原始序列：(0)(0)(0)(0)((1),(2)(6))(3067.03,4211.81,5099.5,6700.01,4953.75,7781.31)X x x x =⋅⋅⋅=首先应用原来未改进的方法进行预测，X 的 1-AGO 为：(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)((1),(2),(3),(4),(5),(6))(3067.03,7278.84,12378.34,19078.35,24032.1,31813.41)X x x x x x x ==对(1)X 作紧邻均值生成(1)(1)(1)1()(()(1))2,362z k x k x k k =+-=⋅⋅⋅构造 B 矩阵和 Y 矩阵。
《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言随着科技的飞速发展，现代数据处理与分析逐渐变得尤为重要。
其中，灰色系统理论成为了一个引人注目的研究领域。
在众多灰色模型中，灰色GM（1,1）模型因其独特的预测能力和实际应用价值而备受关注。
本文将深入探讨灰色GM（1,1）模型的优化及其应用，旨在为相关研究与应用提供有价值的参考。
二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中的一种预测模型，主要用于处理不完全的数据序列。
该模型通过累加生成数据序列，使得原始数据序列从灰色状态转化为白色状态，从而实现对未来趋势的预测。
其基本思想是利用部分已知信息和生成数据序列来挖掘系统内在规律，进而进行预测。
三、灰色GM（1,1）模型的优化尽管灰色GM（1,1）模型具有一定的预测能力，但在实际应用中仍存在一些局限性。
为了进一步提高模型的预测精度和适用范围，本文提出以下优化措施：1. 数据预处理：在建模前，对原始数据进行预处理，如去除异常值、平滑处理等，以提高数据的质量。
2. 模型参数优化：通过引入遗传算法、粒子群优化算法等智能优化算法，对模型的参数进行优化，以提高模型的预测精度。
3. 模型检验与修正：对模型进行检验，如残差检验、后验差检验等，对不符合要求的模型进行修正，确保模型的可靠性。
四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在许多领域都有广泛的应用，如经济预测、农业预测、能源预测等。
下面以经济预测为例，探讨灰色GM（1,1）模型的应用：1. 经济预测背景：经济预测是一个复杂的系统过程，涉及众多因素。
利用灰色GM（1,1）模型可以有效地处理不完全的经济数据，实现对未来经济趋势的预测。
2. 模型应用：首先，收集相关的经济数据，如GDP、工业增加值等。
然后，对数据进行预处理，建立灰色GM（1,1）模型。
通过模型的运算，可以得到未来一段时间内的经济预测值。
最后，根据预测结果，制定相应的经济政策和发展策略。
第十章灰色模型介绍及应用 10.1灰色理论基本知识10.1.1概言10.1.2有关名词概念10.1.3 GM建模机理10.2灰色理论模型应用10.2.1GM（1，1）模型的应用——污染物浓度问题10.2.2 GM（1，1）残差模型的应用——油菜发病率问题 10.2.3GM模型在复杂问题中的应用——SARS 疫情问题 10.2.4 GM（1，n）模型的应用——因素相关问题本章小结思考题推荐阅读书目第十章灰色模型介绍及应用10.1灰色理论基本知识10.1.1概言客观世界的很多实际问题，其内部的结构、参数以及特征并未全部被人们了解，人们不可能象研究白箱问题那样将其内部机理研究清楚，只能依据某种思维逻辑与推断来构造模型。
对这类部分信息已知而部分信息未知的系统，我们称之为灰色系统。
本章介绍的方法是从灰色系统的本征灰色出发，研究在信息大量缺乏或紊乱的情况下，如何对实际问题进行分析和解决。
灰色系统的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统，它通过对“部分”已知信息的生成、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
信息不完全是“灰”的基本含义。
灰色系统理论建模的主要任务是根据具体灰色系统的行为特征数据，充分开发并利用不多的数据中的显信息和隐信息，寻找因素间或因素本身的数学关系。
通常的办法是采用离散模型，建立一个按时间作逐段分析的模型。
但是，离散模型只能对客观系统的发展做短期分析，适应不了从现在起做较长远的分析、规划、决策的要求。
尽管连续系统的离散近似模型对许多工程应用来讲是有用的，但在某些研究领域中，人们却常常希望使用微分方程模型。
事实上，微分方程的系统描述了我们所希望辨识的系统内部的物理或化学过程的本质。
目前，灰色系统理论已成功地应用于工程控制、经济管理、未来学研究、生态系统及复杂多变的农业系统中，并取得了可喜的成就。
灰色系统理论有可能对社会、经济等抽象系统进行分析、建模、预测、决策和控制，它有可能成为人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。
10.1.2有关名词概念灰数：一个信息不完全的数，称为灰数。
灰元：信息不完全或内容难以穷尽的元素，称为灰元。
灰关系：信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。
具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的量化作用，称为灰关联。
灰色系统:含灰数、灰元或灰关系的系统称为信息不完全系统。
如果按照灰色理论去研究它。
则称此系统为灰色系统。
累加生成：由于灰系统对一切随机量都可看作是在一定范围内变化的灰色量，因此，为适应灰系统建模需要，提出“生成”的概念，“生成”即指对原始数据做累加（或累减）处理。
累加生成一般可写成AGO 。
若计(0)x为原始数列，()r x为r 次累加生成后数列，即(0)(0)(0)(0){(1),(2),()}x x x x n = ()()()(){(1),(2),()}r r r r x x x x n =则r 次累加生成算式为()(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1)()(1)()(1)(2)()()[(1)(2)(1)]()(1)()kr r r r r i r r r r r r x k xxxk x i x x x k x k x k x k ----=-----=++==++-+=-+∑ 一般常用的是一次累加生成，即(1)(0)1(1)(0)()()(1)()ki x k x i x k x k ===-+∑10.1.3GM 建模机理建立GM 模型，实际就是将原始数列经过累加生成后，建立具有微分、差分近似指数规律兼容的方程，成为灰色建模，所建模型称为灰色模型，简记为GM （Grey Model ）。
如GM （m,n ）称为m 阶n 个变量的灰色模型，其中GM （1，1）模型是GM （1，n ）模型的特例，是灰色系统最基本的模型，也是常用的预测模型，因此本章重点介绍几种GM （1，1）模型的建模过程和计算方法，并简单介绍GM （1，n ）建模过程。
GM （1，1）的建模机理GM （1，1）模型是GM （1，N ）模型的特例，其简单的微分方程形式（白化形式的微分方程）是+=dxax u dt利用常数变易法解得，通解为()-=+at u x t ce a若初始条件为00,(0)t x x ==，则可得到微分方程的特解为0()()-=-+at u ux t x e a a或时间响应函数(时间响应:一个输入量的规定变化引起输出量随时间的变化）(1)(1)((1))-+=-+at u ux t x e a a其中白化微分方程中的ax 项中的x 为dxdt的背景值，也称为初始值; ,a u 为常数（有时也将u 写成b ）。
按白化导数定义有差分形式的微分方程，即()()lim ∆→+∆-=∆t dx x t t x t dt t 显然，当时间密化值定义为1，即当1∆→t 时，上式可记为1[(1)()]lim ∆→=+-t dxx t x t dt 记为离散形式(1)()=+-dxx t x t dt这显然表明dxdt是一次累计生成，因此上述方程可改写为 (1)(1)(0)(1)()(1)=+-=+dxx t x t x t dt这实际也表明，模型是以生成数(1)x （(1)x是以(0)x的一次累加）为基础的。
当∆t 足够小时，()x t 到()+∆x t t 不会发生突变，因此可取()x t 与()+∆x t t 的平均值作为0∆→t 时的背景值，因此，背景值便可记为(1)(1)(1)1[(1)()]2=++x x t x t 或(1)(1)(1)1[(1)()]2=++x x k x k 于是白化的微分方程(1)(1)+=dx ax u dt可改写为 (0)(1)(1)1(1)[(1)()]2++++=x k a x k x k u 或(0)(1)(1)1(1)[(1)()]2+=-+++x k a x k x k u 即(1)(1)()x n x +因此，上述方程可以改写为矩阵方程形式，即(0)(1)())(a n n x n ⎥⎢⎥⎢=⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎦⎢+⎢⎣ 引入下列符号，设(0)(0)(0)(2)(3)()⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦N x x Y x n 111⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦E (1))(X n x n +于是便有[]⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦N a Y aX uE X E u令⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a a u ]12X E ⎢-⎢=⎢⎥⎢⎥⎢-⎢⎣则[]⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦N a Y aX uE X E Ba u解得1()-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦T T N a a B B B Y u将求解得到的代入微分方程的解式（也称时间响应函数），则(1)(1)(1)((1))-+=-+ak u ux k x e a a(*)由于(0)(1)(1)(1)=x x ，因此求导还原得(0)(0)(1)((1))-+=--ak ux k a x e a(*式左边依据是导数定义)上述两式便为GM （1，1）的时间响应式，及灰色系统预测模型的基本算式，当然上述两式计算结果只是近似计算值。
为简记，一般可以将GM （1，1）的建模过程记为(0)0(1)(0)((1);,)(1)(1)⋅⋅⇒⇒+⇒+IAGO GM AGOx GM x a u x k x k10.2灰色理论模型应用10.2.1GM （1，1）模型的应用——污染物浓度问题GM （1，1）模型是灰色系统最基本的模型，下面以污染物浓度问题说明GM （1，1）模型的建立及求解过程。
例10.1 某污染源中某种污染物质量浓度测量值如表10.1，试建立GM （1，1）模型表10.1 某污染物质量浓度测量值 （mg/L ）解：第一步，设原始数据为(0)(0)(0)(0)((1),(2),,(6))(3.936,4.575,4.968,5.063,5.968,5.507)==x x x x 第二步，对原始数据进行累加生成，即(1)(0)=xAGOx(1)(0)(1)(1) 3.936==x x(1)(1)(0)(2)[(1)(2)] 3.936 4.5758.511=+=+=x x x(1)(1)(0)(3)[(2)(3)]13.479=+=x x x (1)(1)(0)(4)[(3)(4)]18.542=+=x x x (1)(1)(0)(5)[(4)(5)]24.510=+=x x x (1)(1)(0)(6)[(5)(6)]30.017=+=x x x因此累加生成数据为(1)(0)(3.936,8.511,13.479,18.542,24.510,30.017)==x AGOx第三步，构造矩阵,N B Y(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1[(1)(2)]121 -6.2235 1.0000[(2)(3)]12 -10.9950 1.00001-16.0105 1.0000[(3)(4)]12 -21[(4)(5)]121[(5)(6)]12⎡⎤-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-+⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦x x x x B x x x x x x 1.5260 1.0000 -27.2635 1.0000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (0)(0)(0)[(2),(3),,(6)][4.575 4.968 5.063 5.968 5.507]==T TN Y x x x 第四步，计算1ˆ()-=T T N aB B B Y 。
先求1()-TB B ，即1622.6 -82.0 -82.0 5⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T B B 根据逆矩阵的求解方法，得1 0.0036 0.0592() 0.0592 1.1706-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T B B 再求T N B Y 的值，即-442.7641 26.0810⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T N B Y 进而求得ˆa的值为 10.0036 0.0592-442.7641-0.0539a ˆ() 0.0592 1.1706 26.0810 4.3322u -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦TTN a B B B Y计算GM1_1的程序如下function 10toliti01(X0)[m,n]=size(X0); X1=cumsum(X0); X2=[];for i=1:n-1X2(i,:)=X1(i)+X1(i+1); endB=-0.5.*X2; t=ones(n-1,1); B=[B,t]; YN=X0(2:end);P_t=YN./X1(1:(length(X0)-1)) A=inv(B.'*B)*B.'*YN.'; a=A(1) u=A(2) Bb1=B.'*Bb2=inv(B.'*B) b3=B.'*YN.' b4=u/ab5=X1(1)-b4 b6=-a*b5第五步，将,a u 的值代入微分方程的时间响应函数，令(1)(1)ˆ(1)(0) 3.936==xx ，得 (1)(1)0.0539ˆ(1)((1))84.326480.3904-+=-+=-ak k u uxk x e e a a第六步，求导还原得(0)(1)0.0539ˆ(1)((1)) 4.5443-+=--=ak k uxk a x e e a第七步，对上述模型进行精度检验。
