突破三垂线法作平面角的难点

P
B
l
O
A
3、三垂线法
寻找二面角旳平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角旳平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D A
C B
寻找二面角旳平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二 面角旳平面角：
A B
C E
练习3： ABCD是正方形，O是正方形旳 中心，PO⊥平面ABCD ， E是PC旳中点， 求证：(1) PC⊥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P
E
D
C
A
O B
课堂小结
1. 二面角旳定义、二面角旳平面角； 2. 二面角平面角旳求法； 3. 平面与平面垂直旳鉴定.
2.3.2平面与平面 垂直旳鉴定
复习回忆
两直线所成角旳取值范围： 直线和平面所成角旳取值范围：
平面旳斜线和平面
O
所成旳角旳取值范围：
1
A
B
复习回忆
两直线所成角旳取值范围：[ 0o, 90o ]．
直线和平面所成角旳取值范围：[ 0o, 90o ]．
平面旳斜线和平面
O
所成旳角旳取值范围：
(0o, 90o)．
A
C
B
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC旳三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面旳二面角旳大小？ D
A B
C E
练习2：如图，已知三棱锥D-ABC旳三 个侧面与底面全等，且AB＝AC＝ 3 ， BC＝2，求以BC为棱，以面BCD与面 BCA为面旳二面角旳大小？ D

例题4、直角三角形ABC中，∠B= 90°， ∠C= 30°， D是BC的中点，AC=2，DE⊥平面ABC且DE=1，求E到斜线 AC的距离？
解：过点D作DF ⊥AC于F，连结EF， ∵DE⊥平面ABC，由三垂线定 理知EF⊥AC，即E到斜线AC的 距离为EF，在Rt ∆ABC中， ∠B= 90°，∠C= 30°，AC=2， ∴BC= 3, CD 3 2 A 3 ，∵DF⊥AC， ∴ CD 4 在Rt ∆EDF中
P
Q
C
R
A
B
小结：凡用三垂线定理或逆定理证明的 结论，都能由线面垂直的性质证明，我 们的学习目标应该是直接熟悉这两个定 理的应用。
例题2、空间四边形ABCD中，AB垂直于CD，BC垂直于 AD，求证：AC ⊥BD。
证明：如图，若AB是平面BCD的斜线，过 A作AO⊥平面BCD于O，连结BO， ∵AB⊥CD，∴CD⊥BO（三垂线逆定理）， 同理可得BC⊥OD，则O为∆BCD的垂心， ∴BD⊥OC，∵OC是AC的射影，∴BD⊥AC （三垂线定理）。 若AB ⊥平面BCD，垂线即是AB， 由条件BC⊥AD，则BC⊥BD（三 垂线逆定理），而BC是AC的射 影， ∴BD⊥AC（三垂线定理）
能力拓展：
1、如图所示：已知直三棱柱ABC-DEF中， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BC=1，AD 6 ，M是CF的中点，求证AE⊥DM。
AC 证明：连结AF， MF 3 CF 6 2, 2 AF 6 2 2
D E
F
∴ Rt ∆AFC∽ Rt ∆MDF， ∴ ∠AFC= ∠MDF ， ∴ ∠DMF+∠AFC=∠DMF+∠MDF= 90°， ∴ DM ⊥AF，又ABC-DEF为直三棱柱，∴ CF⊥EF，又EF⊥DF，∴ EF⊥平面AF，由三 垂线定理知AE⊥DM

C A BD AA 1BDC C 1B 1解二面角问题（一）寻找有棱二面角的平面角的方法和求解。

（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。

要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角，当然这种找出的角要有利于解决问题。

下面举几个例子来说明。

例1：如图，立体图形V －ABC 的四个面是全等的正三角形，画出二面角V －AB －C 的平面角并求出它的度数。

:例2：在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。

?[这样的类型是不少的，如下列几道就是利用定义法找出来的：1、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，找出二面角B －AC －B 1的平面角并求出它的度数。

|2、．边长为a 的菱形ABCD ，∠ACB=600，现沿对角线BD 将其折成才600的二面角，则A 、C 之间的距离为 。

（菱形两条对角线互相垂直，对折后的一条对角线成两条线段仍都垂直于另一条对角线，则所成的角是二面角的平面角）3、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长是4，过BC 的一个平面与AA 1交于D ，若AD =3，求二面角D ―BC ―A 的正切值。

总之，能用定义法来找二面角的平面角的，一般是图形的性质较好，能够较快地找到满足二面角的平面角的三个主要特征。

并且能够很快地利用图形的一些条件来求出所要求的。

在常见的几何体有正四面体，正三棱柱，正方体，以及一些平面图形，正三角形，等腰三角形，正方形，菱形等等，这些有较好的一些性质，可以通过它们的性质来找到二面角的平面角。

至于求角，通常是把这角放在一个三角形中去求解。

由图形及题目的已知条件来求这个三角形的边长或者角，再用解三角形的知识去求解。

（2）三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。

微专题 求二面角的平面角的常见解法确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a 上的任意一点O 为端点，在两个面内分别作垂直于a 的两条射线OA ，OB ，则∠AOB 为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）----最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A 向另一个平面β作垂线AB ，垂足为B ，再过点B 向棱a 作垂线BO ，垂足为O ，连接AO ，则∠AOB 就是二面角的平面角。

3、垂面法（空间一点垂面法）（1）方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。

（2）具体演示：过二面角内一点A 作于B ，作于C ，面ABC 交棱a 于点O ，则∠BOC 就是二面角的平面角。

αβaOA B【例1】如图，在三棱锥V －ABC 中，VA ＝AB ＝VB ＝AC ＝BC ＝2，VC ＝3，求二面角V －AB －C 的大小．【例2】、二面角α－l －β的大小为60°，A ，B 分别在两个面内且A 和B 到棱的距离为2和4，且AB ＝10，求AB 与棱l 所成角的正弦值．【跟踪训练1】（2023·全国·高一专题练习）假设P 是ABC 所在平面外一点，而PBC 和ABC 都是边长为2的正三角形，6PA P BC A --的大小为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【跟踪训练2】（2023·全国·高一专题练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角111B AC B --的正切值．【例3】 如图，在三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ABC ＝90°，SA ＝AB ，SB ＝BC .①证明：平面SBC ⊥平面SAB ；②求二面角A －SC －B 的平面角的正弦值．【跟踪训练3】在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，P A ∠平面ABCD ，P A =AB =a ，∠ABC =30°，求二面角P -BC -A 的正切值。