用三垂线法求二面角的方法(新)

其射影 BC,。

从而得到二面角的平面角为ACB 。

用三垂线法求二面角的方法垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：如图 , PB 是平面 的斜线 , PA 是平面 的垂线, 求证：a PB证明：∵ PA 是平面 的垂线 , 直线 a 平面∴直线 a PA 又∵直线 a AB AB PA A ∴直线 a 平面 PAB 而 PB 平面 PAB ∴ a PB总结： 定理论述了三个垂直关系， ①垂线 PA 和平面 a 垂直 .三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体 几何中有广泛的应用。

求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。

运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作（ 找）另一个平面的垂线 , 过垂足作二面角的棱的垂线。

.② 证：证明由①所得的角是二面角的平面角 （ 符合二面角的定义 ） 。

③ 求： 二面角的平面角的大小 （ 常用面积相等关系求垂线段长度 ） 。

ACB 为二面角 B CD A 的平面角1、如右图所示的四面体 ABCD 中， AB 平面 BCD ， BC CD 且 BCC ABD 的大小； ② 求二面角 B CD A 的大小； 1．解： ① ∵ AB 面 BCD BC AB BD AB CBD 为二面角 C AB D 的平面角 ∵ BC CD 且 BC CD 1∴ CBD = 4∴二面角 C AB D 的大小为4C②∵ AB 面 BCDBC CD ∴由三垂线定理得 CD AC 直线 a 平面 , 直线 a 垂直 ; 射影 AB.其射影 BC,。

从而得到二面角的平面角为ACB 。

∵ AB 平面 BCD ∴ AB BC AB BD∴ AB AD 2 BD 2 1在 Rt ABC 中， tan ACB AB 1， BC面角 B CD A 的大小为4方法点拨： 本题①的方法是直接运用二面角的定义求解∵ BC CD ∴ BDBC 2 CD 2 2, 本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线 AC 及2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示）为VB 的中点．求二面角A—VB— D 的余弦值．2 解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴ DA⊥VP又∵ AD⊥ AB ∴AD⊥平面VAB ∵ VAB 是正三角形， E 为VB的中点，∴ AE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE. 所以AED 就是所求二面角的平面角则斜线为DE, 其射影为AE 从而得到二面角的平面角为AED 。

3．一个三棱锥S ABC 的三视图、直观图如图．求二面角3 解：由正视图、俯视图知AC4 ；由正视图、侧视图知，点B 在平面SAC 上的正投影为BD 平面SAC，BD AC ；由俯视图、侧视图知，点S 在平面ABC 上的正投影为则SO2 ，SO 平面ABC ，SO AC ．如图．作CH AB于H，作OE//CH交AB 于E，则OE AB，连接SE，因OE 是SE 在底面ABC 内的射影，而OEAB ，故由垂线定理得SE AB ，∴ SEO为二面角SAB C 的平面角．由已知得DA=2,AE= 3 ∴DE= 7 ∴ COS AEDAE 21ED 7故二面角A—VB—D的余弦值为21方法点拨：本题的关键是过二面角的一个平面VBD上一点 D 到二面角的另一个平面AVB的垂线D，ES AB C 的正切值．AC 的中点D，则BD 3 ，DC 的中点O，D△ABC 中，易求得 BA BC 13 ，由△ ABO 的面积相等关系： 1 AO 2 BD 得 OE AO BD AB 9， 13，1AB OE ， 2 Rt SEO 中， tan SEO SO 2 13 ， OE 9 故二面角 S AB C 的正切值为 2 139 方法点拨：本题的难点是过二面角的一个平面 S AB 上一点 S 作二面角的另一个平面 ABC 的垂线 SO, 再过垂足 O 作二面角的棱 AB 的垂线 ,从而得到斜线 SE 及其射影 OE, 从而得到二面角的平面角为 SEO 。

4．如图， SA=BC=2 求二面角 ABC 是以 ABC 为直角的三角形， SA ，AB= 4. N 、D 分别是 AB 、 BC 的中点。

S —N D —A 的正切值． 平面ABC ，4. 解： 过 A 作 AF DN 且与 DN 的延长线相交于点 ∵ SA 平面 ABC ∴由三垂线定理得 DF SF ∴ SFA 就是二面角CF ，S —ND —A 的平面角， 在 Rt BDN 中,DNBD 2 BN 2 5 在 Rt AFN 中， Sin ANF AF AN Sin BND BD ND ∴ AF 15 AN 25 ∴tan SFA SA AF故二面角 S —ND —A 的正切值为 5 ． C方法点拨：本题的关键是找到从二面角的一个平面SND 一点 S 到二面角的另一个平面 AND 的垂线 AF, 过垂足 A 作二面角的棱 SFA 。

DN 的垂线 AF, 从而得到斜线 AF 及其射影 AF, 从而得到二面角的平面角为5. 如图所示，圆柱底面的直径 AB 长度为 2 2， O 为底面圆心， 正三角形 ABP 的一个顶点 CO 的延长线交 O 于点 E ， BP 的中点为 F . 求二面角 F CE B 的正切值 . P 在上底面的圆周上， PC 为圆柱的母线，KF∴ tan KNF = 2 , 即二面角 F CE B 的正切值为 2 . KN方法点拨： 本题的难点是找到二面角的一个平面BCE 的垂线 PC,则过二面角的一个平面 FCE 上一点方法点拨： 本题的难点是过二面角的一个平面 PFD 上一点 D 作二面角的另一个平面 PAF 的垂线 DH,再过垂足 H 作二面角的棱 PF 的垂线 DO,从而得到斜线 DO 及其射影 OH, 从而得到二面角的平面角为 HOD 。

5.解：取 BC 的中点 K , 取OC 的中点 N ,则 KN ∥OB∵F 是 PB 的中点 ∴FK ∥PC∵ PC 为圆柱的母线∴ PC ⊥平面 CEB ∴ FK ⊥平面CEB ∵正三角形 ABP 中， O 为 AB 的中点 ∴ AB ⊥ OP∴由三垂线定理的逆定理得 AB ⊥ OC ∴ KN ⊥OC ∴由三垂线定理得 CE ⊥ FN∴KNF 为二面角 F CE B 的平面角由已知得 KN 1OB 2 , OP 622PC 2∴ KF12PCF 作 PC 的平行线 FK 就是二面角的另一个平面 BCE 的垂线 , 过垂足 K 作二面角的棱 CE 的垂线 KN, 从而得到斜线 FN 及其射影 KN, 从而得到二面角的平面角为 FNK 。

6、 如图， P-AD-C 是直二面角，四边形 ABCD 是∠ BAD=1200的菱形， PA=AB=2， PA ⊥ AD ，试问在线段 AB （不包括端点 ） 上是否存在一点 F ，使得二面角 A-PF-D 的大小为 450? 若存在，请求出 AF 的长，若不存在，请说明理由． 6. 解：设 AF=x, 过点 D 作 BA 延长线的垂线 DH ，垂足为 H 。

∵PA ⊥ AD ，二面角 P-AD-C 是直二面角， ∴PA ⊥面 ABCD ，∴ PA ⊥DH由于 DH ⊥ AB ，DH ⊥ PA,且 PA AB=A ，故 DH ⊥平面 PAB P D过 H 作 PF 的垂线 HO,O 为垂足，再连接 D0，由三垂线定理得： 所以∠ HOD 就为二面角 A-PF-D 的平面角。

在 Rt △ ADH 中，求得： AH=1,DH= 3在 Rt △ FHD 中， FH=AF+AH=x+1, PFH 的面积相等关系得,OH=FH PA PF 2(1 x) 4 x 2 DD0⊥ 在 Rt △HOD 中，当∠ HOD=4o5,则有： OH=DH 此, 时： 2(1 x)3，解得： x=2 6 4 24x 所以,在 AB 上存在一点 F ，使得二面角 A-PF —D 的大小为 45o ，此时 AF=2 6 4.7．如图，在底面是直角梯形的四棱锥 Ｓ— ABCD 中，∠ ＡＢＣ＝９０°， ＳＡ⊥面 ABCD ， SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，1 ＡＤ＝ 1．求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值．2SC延长 BA 、 CD 相交于点 E ，连结 SE ，则 SE 是所求二面角的棱 ∥ ＢＣ，ＢＣ＝２ ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ ，∴ ＳＥ⊥ＳＢ ⊥面 ABCD ，得面 SEB ⊥面 EBC ，EB 是交线 . ⊥ＥＢ，∴ ＢＣ⊥面 SEB ，7. 解法一： ∵ＡＤ ∵ＳＡ 又ＢＣ 故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影，∴ CS ⊥ ＳＥ， 所以∠ ＢＳＣ 是所求二面角的平面角 ∵ ＳＢ＝ SA 2 AB 2BC∴ｔｇ∠ ＢＳＣ ＝SB即所求二面角的正切值为2,BC 1,BC2 2 2SBC解法二：延长 BA 、CD 相交于点 E ，连结 SE ， SE ，垂足为 F ，连结 FD过 A 作 AF ∵ＳＡ⊥面 ABCD ∴AD ⊥SA 又∵∠ ＡＢＣ 则 SE 是所求二面角的棱 ＝９０°， 而 AD ∴AD ⊥AB ∴由三垂线定理得：SA A ∴DA ⊥面 SAESE ⊥DF ∴∠DFA 是所求二面角的平面角 由已知得 A 为 BE 的中点 ∴ AE 1 ， SE 2由 SAE 面积相等关系得 AF SA SE AE 2SAD BC BCAD2在 Rt FAD 中， tan DFA AD 2AF 2 即所求二面角的正切值为 解法三（提示） ：取 SC 的中点 Q ， BC 的中点 H ， 连结 QH 、DH 、DQ ， 则 QH // SB,DH // AB , 从而平面 QHD // 平面 SBA ， 所以面 QHD 与面 SCD 所成二面角的大小等于面 SCD 与面 而面 QHD 与面 SCD 的公共棱为 QD ，。

∵ＳＡ ⊥面 ABCD ∴SA ⊥BC,又∵∠ ＡＢ ∴BC ⊥面 SAB ∴CH ⊥面 QHDＣ＝９０° 由已知得 : SD SA 2 AD 2 5 ,CD2DH 2 CH2∴ QD QCCSBA 所成 52由三垂线逆定理QD QH 所以, CQH 是面QHD 与面 SCD 所成二面角的平面角∴ SD=CD,又 Q 为 SC 的中点51由已知得 : CH BC21,QH 1 SB 2 在 Rt QHC 中 , tan CQHCH QH2 22 22解法四（提示用面积投影法）：∵ ＳＡ ⊥面ABCD ∴ SA ⊥BC,又∵∠ ＡＢＣ ＝９０°∴BC ⊥面 SAB ∵BC//AD∴AD ⊥面 SAB C 在平面 SAB 上的射影为 B, D 在平面 SAB 上的射影为 A, ∴面 SCD 的投影面为面 SAB，设 Q 为S C 的中点 ,所求二面角的大小为 ，则由已知得 : SDSA 2 AD 2 5,CD DH 2 CH 2 522方法点拨： 本题的难点是作二面角的公共棱 , 方法①是先延展两个面 SCD 与面 SBA 得到公共棱 SE,然后找其中一个面 SBA 的重线 DA 或 CB, 方法②是先平移面 SBA 到面 HQD 得到公共棱 QD,然后找 其中一个面HQD 的垂线 ,, 解法 3 用二面角的定义得 面 QHD 与面 SCD 所成二面角的平面角为HQC, 解法 四用三垂线法得 面 QHD 与面 SCD 所成二面角的平面角为 HNC .8. （ 本 小 题 满 分 14 分 ） 已 知 ABC 和 DBC 所 在 的 平 面 互 相 垂 直 ， 且 Ａ Ｂ ＝ Ｂ Ｃ ＝Ｂ Ｄ ，CBA DBC 1200 ，求：⑴．直线 AD 与平面 BCD 所成角的大小； ⑵．直线 AD 与直线 BC 所成角的大小； ⑶．二面角 A-BD-C 的余弦值．8. 解：⑴如图，在平面 ABC 内，过 A 作 AH ⊥BC ，垂足为 H ，ABC 和 DBC 所在的平面互相垂直∴ AH ⊥平面 DBC ，∴∠ ADH 即为直线 AD 与平面 BCD 所成的角由题设知 △AHB ≌△ AHD ，则 DH ⊥BH ，AH=DH ，∴∠ ADH 45°⋯⋯⋯⋯⋯ .5分 ⑵∵ BC ⊥DH ，且 DH 为 AD 在平面 BCD 上的射影， ∴BC ⊥AD ，故 AD 与 BC 所成的角为 90° ⋯⋯9 分⑶过 H 作 HR ⊥BD ，垂足为 R ，连结 AR ，则由三垂线定理知， AR ⊥BD ，故∠ ARH 为二面角 A —BD —C 的平面角 的补角 ， 设 BC =a , 则由题设知， AH =DH = 3a,BH a , 在△ HDB 中，22故二面角 A —BD —C 的余弦值的大小为SC SB 2 BC 23,QDSD 2 SQ 22,S,SSAB212 SA AB2,S SCD12SCDQcosS SABSSCD从而求得 tanHR = 3 a ，∴ tan ARH = AH =24 HR1⋯4 分9．如图，在四棱锥 C ABDE 中， AE 平面 ABC ， BD 平面 ABC ，M 为 CD上一点， BD （Ⅰ）求证： （Ⅱ）当 EM ABC 为正三角形， BC 2AE 2. AE// 平面 BCD； BD 时，求二面角 M AB C 的正切值 .9 解：（Ⅰ）∵ AE 平面 ABC ， BD 平面 ABC ∴ AE ∥ BD而 AE 平面 BCD BD 平面 BCD∴ AE ∥平面BCDⅡ）∵ BD 平面 ABCM 做 MN BC ， 垂足为 N ，则有MN ∥ BD ，∴ EMN且 MN∥2MGN 为二面角 M AB C 的平面角， ∵ EAN ANM NME ， 2 M 为 CD 的中点， N 为 BC 的中点，在∴平面 BCD 平面 ABC在平面 BCD 中过点 AE ，过 N 做 NG AB 于G ，在四边形 AEMN 中， ∴四边形 AEMN 为矩形 ∴ MN = AE 1 ，∴ Rt MN 平面 ABC ， 则 MG AB ，则MNG 中， MN 1， NG BN sin ABC 3∴tan MGN MN 2 NG 23 10. （2012 广东理 ）如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，底面 矩形， PA 证明： 1） ABCD 为 平面 ABCD ，点 E 在线段 PC 上， PC 平面 BDE 。