第3课时 用公式法解一元二次方程

《公式法解一元二次方程》教案3

安福县城关中学 曹经富

教学设计说明：

根据教材的特点，把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的.

（1）教材分析

“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华.

（2）学情分析

学生的知识技能基础：学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程、一次函数以及二次根式的相关知识及应用，在本章中，又学习了一元二次方程的相关解法，初步体会了一元二次方程在解决实际问题中的具体应用，具备了利用数学知识解决实际问题的能力.

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了由具体问题抽象出数学模型的过程，初步积累了一定的数学建模方法；同时在以往的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的机会，具有一定的合作学习经验，具备了一定的合作与交流的能力.

教学目标

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程和判别式，培养数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想.

2. 能够根据方程的各项系数，判断出方程的根的情况，并能正确、熟练的使用求根公式解一元二次方程.

3.结合用公式法解一元二次方程的练习，培养快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力.

4.体验到所有的一元二次方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识.

教学重点、难点

教学重点：正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力.

关键是由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形式展开，利用学生已有的知识，通过自学让学生主动参与到教学活动中来，让学生处于主导地位.通过比较合理的问题设计、小组讨论形式让学生更好的掌握知识.

一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

要点一、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

要点诠释：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定cba.,的值；③计算acb42的值；④根据acb42的符号判定方程根的情况.

3.一元二次方程根的判别式的逆用

在方程002acbxax中，

（1）方程有两个不相等的实数根acb42﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根acb42=0；

（3）方程没有实数根acb42﹤0.

要点诠释：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则 acb42≥0.

4.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

要点诠释：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

《用公式法求解一元二次方程》教案2

学生知识状况分析

学生的知识技能基础:学生已学习了一元一次方程､二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能｡这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础｡

学生活动经验基础:学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础｡

教学任务分析

课程标准对方程的要求是:能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理｡本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是:(1)通过一元二次方程的建模过程，体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法；(2)通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气才能及个性｡

教学过程分析

整个教学过程共分七个环节进行｡第一环节:知识回顾；第二环节:情境引入；第三环节:方案设计；第四环节:问题解答；第五环节:学以致用；第六环节:反思归纳；第七环节:布置作业｡

第一环节:知识回顾

活动内容:

你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？

活动目的:

帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫｡

第二环节:情境引入

活动内容:

师提出问题:现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？

在一块长为16m，宽为12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半｡你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？ 活动目的:

用求根公式法解一元二次方程

一元二次方程是数学中常见的一类方程，它的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。求解一元二次方程的方法有很多，其中一种常用的方法是求根公式法。

求根公式法是通过使用一元二次方程的根的公式来求解方程。一元二次方程的根的公式如下：

x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)

其中，±表示两个解，一个为加号，一个为减号。根据这个公式，我们可以计算出一元二次方程的解。

下面我们通过一个具体的例子来说明求根公式法的应用。

例题：解方程x^2-5x+6=0

解：首先，我们将方程的系数代入根的公式中，得到：

x = (5±√((-5)^2-4*1*6))/(2*1)

化简得：

x = (5±√(25-24))/2

继续化简得：

x = (5±√1)/2

由于√1=1，所以我们可以得到：

x1 = (5+1)/2 = 3

x2 = (5-1)/2 = 2

因此，方程x^2-5x+6=0的解为x1=3和x2=2。

通过这个例子，我们可以看到求根公式法的求解过程。首先，我们将方程的系数代入根的公式中，然后化简得到最终的解。这种方法简单直接，适用于所有的一元二次方程。

需要注意的是，当方程的判别式b^2-4ac小于0时，方程没有实数解，此时方程的解为虚数解。此时，我们可以通过计算出的根的实部和虚部得到方程的解。

求根公式法是解一元二次方程的常用方法之一，它的原理简单清晰，适用范围广泛。在实际问题中，我们经常需要求解一元二次方程，求根公式法可以帮助我们快速准确地求解方程的解。

除了求根公式法外，还有其他方法可以用来解一元二次方程，比如配方法、因式分解法等。每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程。

求根公式法是解一元二次方程的一种简单有效的方法。通过代入方程的系数，利用根的公式进行计算，可以得到方程的解。在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的求解方法，以便更好地解决问题。