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高中奥林匹克物理竞赛解题方法五：极限法

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高中奥林匹克物理竞赛解题方法五：极限法

五、极限法

方法简介

极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判定或导出一样结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有专门作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使咨询题化难为易，化繁为简，思路灵活，判定准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的成效。

赛题精讲

例1：如图5—1所示， 一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立

弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度

系数为k，那么物块可能获得的最大动能为

。

解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，

小球所受合力为零的位置速度、动能最大。因此速最大时有

mg=kx ① 图5—1

由机械能守恒有 221)(kxExhmgk ②

联立①②式解得 kgmmghEk2221

例2：如图5—2所示，倾角为的斜面上方有一点O，在O点放一至

斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点

的时刻最短。求该直轨道与竖直方向的夹角。

解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时刻t应该与角有关，

求时刻t关于角的函数的极值即可。

由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为

cosga

该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时刻为t，那么

OPat221

因此cos2gOPt ①

图5—2 由图可知，在△OPC中有

)90sin()90sin(OCOP

因此)cos(cosOCOP ②

将②式代入①式得 gOCgOCt)]2cos([coscos4)cos(coscos2

明显，当2,1)2cos(即时，上式有最小值.

因此当2时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时刻最短。

此题也能够用作图法求解。

例3：从底角为的斜面顶端，以初速度0水平抛出一小球，不计

空气阻力，假设斜面足够长，如图5—3所示，那么小球抛出后，

离开斜面的最大距离H为多少？

解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。

以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，

那么由：gtvvytan0，解得运动时刻为tan0gvt

该点的坐标为 2202200tan221tangvgtygvtvx

由几何关系得：tancos/xyH

解得小球离开斜面的最大距离为 sintan220gvH。

这道题假设以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解那么更加简便。

例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m

的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m。 假设不计空气阻力，取

2/10smg，求所需的最小初速及对应的发射仰角。

解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如下图的

直角坐标，此题的任务确实是水流能通过点A〔d、h〕的最小初速度和发射仰角。 图5—3

图5—4 依照平抛运动的规律，水流的运动方程为20021sincosgttvytvx

把A点坐标〔d、h〕代入以上两式，消去t，得：

hhdhhddhdgdhdgddhgdv]2cos2sin[/)]12(cos2sin/[)tan(cos2/222222222220

令 ,sin/,cos/,tan/2222hdhhdddh则上式可变为

,,6.7134arctan45arctan2145245902,1)2sin(,,)2sin(/022220最小时亦即发射角即当显然vdhhhdgdv

且最小初速0v=./5.9/103)(22smsmhhdg

例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为

M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端突然停止。

铁板和水平面间摩擦因数为，人和铁板间摩擦因数为

，且>>。如此，人能使铁板朝其跑动方向移动

的最大距离L是多少？

解析：人突然停止奔驰后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度gmMgmMmMfa)(1。

由于铁板移动的距离vavL故,212越大，L越大。v是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以可不能引起铁板运动的最大加速度奔驰。

人在铁板上奔驰但铁板没有移动时，人假设达到最大加速度，那么地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦gmM)(，依照系统的牛顿第二定律得：

02MmaF

因此 gmmMmFa2 ①哈

设v、v分不是人奔驰终止及人和铁板一起运动时的速度

因为 vmMmv)( ②

图5—5 且Lavlav12222,2

并将1a、2a代入②式解得铁板移动的最大距离

lmMmL

例6：设地球的质量为M，人造卫星的质量为m，地球的半径为R0，人造卫星围绕地球做圆周运动的半径为r。试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度

)2(00rRgRv，并用该式求出那个发射速度的最小值和最大值。〔取R0=6.4×106m〕，设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g〕

解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。设卫星从地面发射的速度为发v，卫星发射时具有的机械能为

02121RMmGmvE发 ①

进入轨道后卫星的机械能为rMmGmvE2221轨 ②

由E1=E2，并代入,rGMv轨解得发射速度为 )2(00rRRGMv发 ③

又因为在地面上万有引力等于重力，即：gRRGMmgRMmG0020所以④

把④式代入③式即得：)2(00rRgRv发

〔1〕假如r=R0，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小

为smgRv/109.730min.

〔2〕假如r，所需发射速度最大〔称为第二宇宙速度或脱离速度〕为

smgRv/102.11230max

例7：如图5—6所示，半径为R的匀质半球体，其重心在球心

O点正下方C点处，OC=3R/8， 半球重为G，半球放在

水平面上，在半球的平面上放一重为G/8的物体，它与半

球平在间的动摩擦因数2.0， 求无滑动时物体离球心 图5—6

O点最大距离是多少？ 解析：物体离O点放得越远，依照力矩的平稳，半球体转过的角度越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，有限度。

设物体距球心为x时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，依照平稳条件有：cos8sin83xGRG

得 tan3Rx

可见，x随增大而增大。临界情形对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，那么：

RRxNfmm6.03,,2.0tan所以.

例8：有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间

静摩擦因数3.0，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳

与杆的夹角30，如图5—7所示。

〔1〕假设以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离LLh(5/21为杆长〕，要使杆不滑倒，力F最大不能越过多少？

〔2〕假设将作用点移到5/42Lh处时，情形又如何？

解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。

杆的受力如图5—7—甲所示，由平稳条件得

0)(0cos0sinfLhLFmgTNfTF

另由上式可知，F增大时，f相应也增大，故当f增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，现在满足：Nf

解得：hhLmgLFmas/tan)(tan

由上式又可知，当LhhhL66.0,/tan)(0即当时对F就没有限制了。

〔1〕当0152hLh，将有关数据代入maxF的表达式得

NF385max

〔2〕当,5402hLh不管F为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。 图5—7

图5—7—甲 例9：放在光滑水平面上的木板质量为M，如图5—8所示，板上有

质量为m的小狗以与木板成角的初速度0v〔相关于地面〕

由A点跳到B点，AB间距离为s。求初速度的最小值。 图5—8

解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左运动。小狗落到板上的B点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。

由于水平方向动量守恒，有MmvvMvmvsincos00即 ①

小狗在空中做斜抛运动的时刻为 gvtsin20 ②

又vttvscos0 ③

将①、②代入③式得 2sin)(0mMMgsv

当0,4,12sinv时即有最小值，mMMgsvmin0。

例10：一小物块以速度smv/100沿光滑地面滑行，然后沿光滑

曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9

所示， 当高台的高度h多大时，小物块飞行的水平距离s最

大？那个距离是多少？〔g取10m/s2〕

解析：依题意，小物块经历两个过程。在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s是高度h的函数。

设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v，依照机械能守恒定律，

mghmvmv2202121 ①

小物块做平抛运动的水平距离s和高度h分不为：221gth ②

vts ③

以上三式联立解得：22022020)4()4(222gvhgvghghvs

当mgvh5.2420时，飞行距离最大，为mgvs5220max。

图5—9

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高中物理解题方法和技巧典例

高中物理解题方法和技巧典例

高中物理解题方法和技巧典例

高中物理解题方法和技巧典例包括：

整体法：适用于求系统所受的外力，计算整体合外力时，作为整体的几个对象之间的作用力属于系统内力不需考虑，只需考虑系统外的物体对该系统的作用力，故可使问题化简。

隔离法：当研究的物体不处于同一直线上时，可以将其隔离，分别研究各部分的运动情况，最后再将各部分的运动情况综合起来。

图像法：利用图像法处理物理问题，可以使问题变得更加直观，便于分析和解决。

等效法：将一个复杂的物理问题简化成一个等效的物理问题，然后再分析和解决这个等效的物理问题。

积分法：在物理学中，有些问题的解决需要使用积分方法，如微积分方程等。

向量法：向量在物理学中具有重要的地位，可以用来表示力、位置等物理量。

对称法：对称法可以用来简化物理问题，使其更加直观和易于解决。

类比法：类比法可以将不同的物理问题进行类比，从而找到解决问题的方法。

状态分析法：状态分析法是一种通过分析物体在不同状态下的性质和规律，来解决物理问题的方法。

极限法：极限法是一种通过取极限值来求解物理问题的方法。

巧用极限法解答高中物理试题

巧用极限法解答高中物理试题

79巧用极限法解答高中物理试题 王乐天 （湖南省宁乡县第一中学 湖南宁乡 430100） 摘要：近代以来，极限法在促进现代物理领域教育事业的发展过程中起到了巨大的促进作用。因此，文章主要对极限法进行了简要的概述，以此来了解极限法的发展历史以及应用过程。总结如何巧用极限法来解答高中物理试题，并提出了在解题过程中需要注意的重点难点，从而使其在促进我们高中学生自身学习成绩进步的同时，也能促进高中物理学科领域得到进一步发展。 关键词：极限法；高中物理；解答试题。 随着极限法在高中物理学科中得到了广泛的应用，它有限地提高了我们学生的学习成绩，并引导我们掌握更加简便的方法来解答物理试题，从而有效地提高了我们学习的效率。因此，各个院校以及领导、物理教师一定要注重发挥极限法的重要作用，以此促进物理教育事业整体水平的提高。 一、极限法的概述 在高中物理试题中常用的解题方法中，极限法是其中之一。但是极限法的起源却要追溯到对于数学领域的研究过程中。在中国古代的东汉时期，一位著名的数学方面的科学家刘徽提出了一种计算圆周率的方法，即“割圆术“。这种方法是利用正多边形进行内接或者外切的实验来使其无限地接近于圆，刘徽利用这种方法最后求出了圆周率的近似值。[1]由此也可以看出，刘徽的圆周率应用的方法与极限法是极其吻合的，都是一个从有限认识到无限认识的过程。同时值得注意的是，运用这种极限法计算出来的圆周率使其在未来以前多年间稳居世界领先位置，并且为中国教育事业的发展做出了突出的贡献，就可以看出极限法对于促进我国教育事业发展起到的重要作用，所以在将其运用到高中物理试题的解答过程中时，我们学生本身一定要掌握好极限法本质的特征，在充分理解极限法原理与应用的基础之上，不断提高我们自身的学习成绩。 二、巧用极限法来解答高中物理试题 在高中物理教学中，我们在学习瞬时速度的一节课时，应用到解题方法就是极限法。一般在对瞬时速度的相关习题进行分析时，我们都会从运动学的角度入手。根据高中物理课本中的基础知识我们可以知道，物理中平均速度的公式是V=△X/△T，而当我们在求物体运行的瞬时速度的时候，就可以假设△T趋近与无限小时，我们就可以将V当做是物体运动过程中的瞬时速度。而我们在计算公式中的瞬时速度的物理学含义则是表示某人或者某个物体在某一时间点所移动的速度。 在极限法运用的过程中，只出现一个物理量变化的情况很多，但是这并不代表表不存在两个物理量会发生变化情况的存在。如果一旦物理量中的两个同时发生上升或者下降的变化，但是值得注意的是，这种变化之间的关系必须是函数关系。[2]这是只要我们对其中一个变量进行持续不断地改变时，一定会在某一个时刻使另一个变量出现极限值。利用这种极限法来解决这类的物理试题不仅简化了试题的计算量，而且提供了极为有效的解题方法，使的我们对于物理的学习更加方便易懂，从而能达到提高我们学习效率与学习成绩的目的。 三、在用极限法解答高中物理试题时要注意的重点难点 （一）物理思想 在我们学习高中物理的过程中，我们常常会遇见十分繁琐的物理试题，有时候物理试题甚至是一环套一环十分麻烦，因此我们不仅是不会做，更加是因为物理题型过难，我们收到打击而失去了学习物理的兴趣。但是，如果在我们学习与解决问题的过程中掌握了极限法的物理思想，那么我们就可以将复杂难懂的物理试题转化成一个又一个的小问题，从而循序渐进地去解决，这样就简便多了。 而且对于物理科目的学习来说，极限法是一种较为直观且简便的方法。比如在我们学习伽利略定律过程中，科学家就是应用极限法的的物理思想将实验中的第二斜面推到水平面的极限，从而得出科学的物理定律。由此可见，极限法对于物理学领域的发展以及研究发挥着至关重要的作用。 （二）如何应用极限法解决问题 在应用极限法进行解决物理问题时，一定要保证两个物理量之间具有相应的函数关系，这样我们才能在试验中通过改变其中一个变量，从而得到另一个变量的 （下转第89页）

高中奥林匹克物理竞赛解题方法整体法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法整体法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法整体法

第一讲：整体法

方法简介

整体法是以物体系统为研究对象，从整体或全过程去把握物理现象的本质和规律，是一种把具有相互联系、相互依赖、相互制约、相互作用的多个物体，多个状态，或者多个物理变化过程组合作为一个融洽加以研究的思维形式。整体思维是一种综合思维，也可以说是一种综合思维，也是多种思维的高度综合，层次深、理论性强、运用价值高。因此在物理研究与学习中善于运用整体研究分析、处理和解决问题，一方面表现为知识的综合贯通，另一方面表现为思维的有机组合。令活运用整体思维可以产生不同凡响的效果，显现“变”的魅力，把物理问题变繁为简、变难为易。

例1 如图所示，人和车的质量分别为m和M，人用水平力F拉绳子，图中两端绳子均处于水平方向， 不计滑轮质量及摩擦，若人和车保持相对静止，且水平地面是光滑的，则车的加速度为 . 例2 用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，并对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大小的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图可能是（ ）

例3 有一个直角架AOB，OA水平放置，表面粗糙，OB竖直向下，表面光滑，OA上套有小环P，OB上套有小环Q，两个环的质量均为m，两环间由一根质量可忽略、不何伸长的细绳相连，并在某一位置平衡，如图所示.现将P环向左移动一段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态相比，OA杆对P环的支持力N和细绳上的拉力T的变化情况是（ ）

A．N不变，T变大 B．N不变，T变小

C．N变大，T变小 D．N变大，T变大

例4 如图所示，质量为M的劈块，其左右劈面的倾角分别为0130、0245质量分别为m1=3kg和m2=2.0kg的两物块，同时分别从左右劈面的顶端由静止开始下滑，劈始终在水平面保持静止，各相互接触面之间的动摩擦因数均为μ=，求：两物块下滑过程中(m1和m2均未达到底端前)劈块受到地面的摩擦力。（g=10m/s2）

高考物理解题方法与技巧讲解5---极限临界方法

高考物理解题方法与技巧讲解5---极限临界方法

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高考物理解题方法与技巧讲解

专题05极限临界方法

极限临界方法是解决物理问题经常用到的一种方法。伽利略应用极限临界方法探

究力与运动的关系。他做了著名的斜坡实验，在这个实验中，两个光滑斜坡对接，其

中一个斜坡的倾角可以调节，当从一个斜坡某一点让小球自由滚下，能看到小球滚到

另一斜坡与起点等高处，这个实验最关键的问题是要使阻力足够小，使小球达到与起

点等高处，只有这样，才能进行极限思维：当斜坡倾角趋近于零时，小球运动到无穷

远处，小球永不停息地运动下去。这就是伽利略的理想实验，它一方面以真实的科学

实验为根据，抓住关键性的科学事实，为理想实验的进行提供可靠的基础；另一方

面，又要充分发挥极限临界方法的能动作用，进行合乎逻辑的推理。

极限临界方法实际上是依据一定的实验基础，进行理想推演的思维过程，是思维

由存在向虚无、或由虚无向存在推进的过程，对于我们解决一些物理问题有所启迪：

一种情况是对于有些问题不容易得出通解，我们可以应用极限临界方法求其特解（特

解是理想状况下的不存在的解），由特解再回溯通解的有关特性；另一种情况是先求

出问题的通解，再由极限临界方法逼近其特解，得出极值。极限临界方法是临界方法

与极限方法的综合。

典例1.（19

年海南卷年海南卷））如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面（纸面）上，铜

线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。当铜线通有顺时针方向电流时，铜线

所受安培力的方向（

） 2 / 12

A.

向前 B.

向后 C.

向左 D.

向右

【答案】A

【解析】以竖直轴为对称轴，把半圆形通电铜线对称等分，每一段通电铜线长趋近于

零但不为零，每一段通电铜线可以看作直线段，对称轴两边的对称直铜线受到的安培

力由左手定则确定，其方向关于对称轴对称且斜向上，合力竖直向上。由此得出半圆

形通电铜线受到的合力竖直向上。

【点评与总结】本题利用极限思维方法将半圆形通电铜线化曲为直，从而有利于问题

的解决。也可以用等效法处理：半圆形铜线的受力与水平直径长的铜导线等效。