4.2一元二次方程的解法(1)

1 一元二次方程经典例题及答案

1、下列方程：(1)x2-1=0； (2)4 x2+y2=0； (3)（x-1）（x-3）=0； (4)xy+1=3．

(5)3212xx其中，一元二次方程有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2、一元二次方程（x+1）（3x-2）=10的一般形式是 ，二次项

，二次项系数 ，一次项 ，一次项系数 ，常数项 。

二、牛刀小试正当时，课堂上我们来小试一下身手！

3、小区在每两幢楼之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少？

4、一个数比另一个数大3，且两个数之积为10，求这两个数。

5、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）

A.3(x+1)2= 2(x+1) B.05112xx

C.ax2+bx+c= 0 D.x2+2x= x2-1

6、把下列方程化成ax2+bx+c= 0的形式，写出a、b、c的值：

(1)3x2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)

7、当m为何值时，关于x的方程(m-2)x2-mx+2=m-x2是关于x的一元二次方程？

8、若关于的方程(a-5)x∣a∣-3+2x-1=0是一元二次方程，求a的值?

三、新知识你都掌握了吗？课后来这里显显身手吧！

9、一个正方形的面积的2倍等于15，这个正方形的边长是多少？

10、一块面积为600平方厘米的长方形纸片，把它的一边剪短10厘米，恰好得到一个正方形。求这个正方形的边长。

11、判断下列关于x的方程是否为一元二次方程：

(1)2（x2－1）=3y； (2)4112x；

一元二次方程的解法因式分解和因式分解

一元二次方程是代数学中非常重要的一个概念，它在解决实际问题中有广泛的应用。在解一元二次方程的过程中，我们可以运用因式分解和求根公式两种方法。本文将从这两个方面来详细介绍一元二次方程的解法。

我们来介绍因式分解法。一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx +

c = 0，其中a、b、c为常数，且a≠0。我们可以通过因式分解将其转化为两个一次方程的乘积形式，进而求解方程。

以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们首先要找到两个数的和为5，乘积为6的特性。根据这个特性，我们可以将方程分解为(x + 2)(x + 3) = 0。通过零乘积法则，我们得到x + 2 = 0或x

+ 3 = 0，进而解得x的值分别为-2和-3。所以，原方程的解为x =

-2或x = -3。

通过这个例子，我们可以看到因式分解法可以将原方程转化为两个一次方程，从而更容易求解。但需要注意的是，并不是每个一元二次方程都可以通过因式分解法求解，因为它要求方程的系数能够被分解成两个数的乘积。

接下来，我们来介绍另一种解一元二次方程的方法——求根公式法。求根公式是利用二次方程的一般形式ax^2 + bx + c = 0中的系数a、b、c计算方程的解。具体求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

同样以一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0为例，我们可以根据求根公式计算出方程的解。将a、b、c代入公式中，得到x = (-5 ±

√(5^2 - 4*1*6)) / 2*1，化简后可得x = -2或x = -3，与因式分解法得到的结果一致。

通过这个例子，我们可以看到求根公式法可以直接利用方程的系数计算出解，不需要进行因式分解的步骤。但需要注意的是，在使用求根公式时，我们需要保证方程中的判别式b^2 - 4ac大于等于0，否则方程将无实数解。

因式分解法和求根公式法是解一元二次方程常用的两种方法。因式分解法适用于方程的系数可以被分解成两个数的乘积的情况，通过将方程转化为两个一次方程的乘积形式来求解；而求根公式法适用于一般的一元二次方程，通过利用方程的系数计算出解。在实际运用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。无论是因式分解法还是求根公式法，都为我们解决一元二次方程提供了有效的工具。

一元二次方程的解法及解题步骤

只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。

含义及特点

（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。

（2）由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根按重数计算），根的情况由判别式（△=b2-4ac）决定。

判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与根的判别式 有如下关系：△=b2-4ac

①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；

②当△=0时，方程有两个相等的实数根；

③当△<0时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

方法 一、公式法

先判断△=b2-4ac，

若△<0原方程无实根；

若△=0，

原方程有两个相同的解为：

X=-b/（2a）；

若△>0，

原方程的解为：

X=（（-b）±√（△））/（2a）。

方法二、配方法 先把常数c移到方程右边得：

aX2+bX=-c

将二次项系数化为1得：

X2+（b/a）X=- c/a

方程两边分别加上（b/a）的一半的平方得：

X2+（b/a）X +（b/（2a））2=- c/a +（b/（2a））2

方程化为:

（b+（2a））2=- c/a +（b/（2a））2

①、若- c/a +（b/（2a））2<0，原方程无实根；

第01讲一元二次方程的定义与解法（核心考点讲与练）

【基础知识】

一．一元一次方程的定义

（1）一元一次方程的定义

只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．

通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．

（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）

这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．

二．二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．

三．一元二次方程的定义

（1）一元二次方程的定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．

（2）概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

四．一元二次方程的一般形式

（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．

其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．