《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第4课时 两
角和与差的正弦、余弦 和正切公式
1. (必修4P 98第1题改编)sin75°cos30°－sin15°sin150°＝__________． 答案：
22
解析：sin75°cos30°－sin15°sin150°＝sin75°cos30°－cos75°·sin30°＝sin(75°－30°)＝sin45°＝
22
. 2. (必修4P 104习题5改编)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝2
5，则tan(α＋β)＝
________．
答案：1
解析：tan(α＋β)＝tan[(α－π6)＋(π6＋β)]＝
tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6＋β
＝
37＋2
5
1－37×25
＝1. 3. (必修4P 94习题2(1)改编)若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝__________．
答案：－
2
10
解析：由α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，sin α＝35，得cos α＝45，由两角和与差的余弦公式得
cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋5π4＝cos αcos 5π4－sin αsin 5π4＝－22(cos α－sin α)＝－210. 4. (必修4P 99第10题改编)计算：
2cos10°－sin20°
cos20°＝________．
答案： 3
解析：原式＝2cos （30°－20°）－sin20°
cos20°
＝
2（cos30°cos20°＋sin30°sin20°）－sin20°
cos20°
＝
2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32cos20°＋12sin20°－sin20°
cos20°
＝ 3.
5. (必修4P 115第6题改编)计算： sin7°＋cos15°·sin8°
cos7°－sin15°·sin8°
＝________．
答案：2－ 3 解析：sin7°＝sin(15°－8°)＝sin15°cos8°－cos15°sin8°，cos7°＝cos(15°－8°)＝cos15°cos8°＋sin15°sin8°，∴ 原式＝tan15°＝tan(45°－30°)＝1－tan30°
1＋tan30°
＝2－ 3.
1. 两角差的余弦公式推导过程
2. 公式之间的关系及导出过程
3. 公式 cos(α－β)＝cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β sin(α－β)＝sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β sin(α＋β
)＝sin(α
＋β
)＝sin α
cos β
＋cos α
sin β
tan(α－β)＝tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
tan(α＋β)＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
4. asin α＋bcos α＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)，其中cos φ＝
a a 2
＋b
2
，sin φ＝b a 2
＋b
2
，
tan φ＝b
a
.φ的终边所在象限由a 、b 的符号来确
定.
题型1 化简求值
例1 化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3[tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]＝________．
答案：1
解析：∵ tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝tan （18°－x ）＋tan （12°＋x ）
1－tan （18°－x ）tan （12°＋x ）＝tan30°
＝33
， ∴ tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝3
3
[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]，于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3×
3
3
[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1. 变式训练
求值：tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.
解：∵ tan60°＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°
1－tan20°tan40°＝3，
∴ tan20°＋tan40°＝3－3tan20°tan40°， ∴ tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝ 3. 题型2 给值求角 例2 若sin α＝55，sin β＝10
10
，且α、β为锐角，则α＋β的值为__________． 答案：π4
解析：(解法1)依题意有cos α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝25
5，cos β＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫10102＝310
10，
∴ cos(α＋β)＝255×31010－55×1010＝2
2
＞0.
∵ α、β都是锐角，∴ 0＜α＋β＜π，∴ α＋β＝π
4.
(解法2)∵ α、β都是锐角，且sin α＝55＜22，sin β＝1010＜2
2
，∴ 0＜α，β＜π4，0＜α＋β＜π2
，∴ cos α＝
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝25
5，cos β＝
1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫10102＝310
10，
