一：向量代数与空间几何
定理1：设
0
a，则向量
b
与
a
平行的充要条件为：存在唯一的实数，使得
ab
。
证：
充分性：已知一个向量
a
，且
0
a，因为规定a
是一个向量，当
0，方向与
a
相同；当
0时，方向与
a相反，但方向无论是相反还是相同，都成为两向量共线，即平行，故由
ab
，所以向量
b
与
a
平行。
必要性：已知
ab//，且0a，故设
b
与
a
的模长相差一个倍关系，即
ab
，故而
baa
，即
a
的模长等于
b
的模长，当
b
与
a
同向时，令
0，则
a
与
a
的方向相
同，则此次
b
与
a
同向且等模，故
ab
；当
b
与
a
反向时，令
0，则
a
与
a
的方向相
反，则此次
b
与
a
仍然同向且等模，故
ab
仍成立；故又假设存在不等于的实数满
足上面所述的关系，即
ab
（
），故
abb
)(0
，又
0
a，故
，与假设
矛盾，故假设不成立，所以能满足上述关系的实数唯一。
2.向量的平行时对应的坐标成比例：
如
),(
1
11,
zy
x
a
，
),(
2
22,
zy
x
b
，若
ba
//，则
ba
，则
zzyy
xx
21
21
21
，
注意：当
0
2x
时，而
0
2
2zy
，即
),0(
2
2,
zy
b
，若
ba
//，则
ba
zz
yyxx
21
21210
；
当
0
22yx
时，而
0
2z
，即
),0,0(
2z
b
，若
ba
//，则
ba
zzyyxx
212121
00
，但是
注意到无论
zz
21
为何值，
0
21xx
以及
0
21yy
都恒成立，因为
00时，可
以取任意实数。故就不需要约定z
1与z
2的关系，即
00
2121
yyxx
。
3.向量
),,(zyxr
，则在
x轴上的方向余弦为
rx
cos（注意：分母是
r
第五章 定积分及其应用
本章开始讨论积分学中的另一个基本问题：定积分.首先我们从几何学与力学问题引进定积分的定义,之后讨论它的性质与计算方法.最后，来讨论定积分的应用问题.
第1节 定积分的概念与性质
定积分问题举例
1.1.1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数)(xfy在区间ba,上非负、连续 由直线0,,ybxax及曲线)(xfy所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧)(xfy称为曲边
求曲边梯形的面积的近似值
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值 具体方法是 在区间ba,中任意插入若干个分点（图5-1）
,1210bxxxxxann
把ba,分成n个小区间
,,10xx,,21xx ,,32xx,,,1nnxx
它们的长度依次为.,,,1122011nnnxxxxxxxxx 经过每一个分点作平行于y轴的直线段 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形在每个小区间iixx,1上任取一点,i 以iixx,1为底、)(if为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形，ni,,3,2,1，把这样得到的n个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值 即
niiinnxfxfxfxfA12211.)()()()(
求曲边梯形的面积的精确值
显然 分点越多、每个小曲边梯形越窄 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值 因此 要求曲边梯形面积A的精确值 只需无限地增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 记,,,,max21nxxx于是 上述增加分点 使每个小曲边梯形的宽度趋于零 相当于令.0所以曲边梯形的面积为
第三章：泰勒公式以及导数运用
1.泰勒公式（注意：麦克劳林公式是特殊的泰勒公式，即0
0x）
（1）
)(
!!212
xxx
enn
x
o
nx
证：令ex
xf)(，
efxn
xxfxfxf
)()()()()(
，那么就有
1)0()0()0()0()(
fn
fff，
而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有
)(
!)0(
)0()0()(
xxf
ennn
x
o
nxff=
)(
!!212
xxx
nn
o
nx（2）
)(
)!12(!5!3sin121253
)1(
xxxx
mm
m
o
mxx
证：令xxfsin)(
，
)
2sin()()(
nxxfn
，故
2,1,0,
12,2,0
2sin)0(
)1()(
m
mnmn
n
mn
f
，
而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有
)(
!)0(
)0()0()()(
xxf
nnn
o
nxffxf
，
故
)(
)!12(!5!3)(121253
)1(
xxxx
mm
m
o
mxxf
（3）
)(
)!2(!4!21cos2242
)1(
xxxx
mm
m
o
mx
证：令
xxfcos)(，
)
2cos()()(
nxxfn
，故
2,1,0,
12,02,
2cos)0()1(
)(
m
mnmn
nm
n
f
,而根据带
有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有
)(
!)0(
)0()0()()(
xxf
nnn
o
nxffxf
，故
)(
)!2(!4!21)(2242
)1(
xxxx
mm
m
o
mxf
（4）
)(
!)1()1(
!2)1(
12)1(
xxxxnn
o
nn
x
证：令)1(
)(x
xf
，)1(
)1()1()()(
xfnn
nx
，故
)1()1()0()(
nfn
，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有
同济版高数下第9章
第9章 课本同济版高数下内容简述
本章主要讲述了多项式的基本性质及其求值的方法，包括多项式的插值、拉格朗日插值法、牛顿插值法和拉格朗日插值逼近定理等内容。
首先，我们知道多项式是由一个常数、一个一次项、一个二次项……依次类推构成的函数，并且在多项式中，每一项的次数都是正整数。一个常见的多项式的形式是：
$$P(x)=a\_nx^n+a\_{n-1}x^{n-1}+...+a\_1x+a\_0$$
其中，$a\_n$、$a\_{n-1}$、…、$a\_1$、$a\_0$ 都是常数。
在本章中，我们将介绍多项式的插值方法，这是指在已知一些点的函数值的情况下，求出函数的表达式的过程。
插值法分为线性插值和非线性插值两种。线性插值是指在已知的点中，用一条直线来近似拟合出函数的形式。这种方法的缺点在于，它只能插值一次函数，并且精度较低。
非线性插值法则比较精确，常见的有拉格朗日插值法和牛顿插值法。拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日发明的，它的基本思想是在已知的点中，用一个多项式来拟合出函数的形式。具体来说，我们可以设 $n+1$ 个点的横坐标分别为 $x\_0$、$x\_1$、…、$x\_n$，对应的纵坐标分别为 $y\_0$、$y\_1$、…、$y\_n$，则拉格朗日插值法的公式为：
$$P\_n(x)=\sum\_{i=0}^ny\_i\prod\_{j=0,j\ne i}^n\frac{x-x\_j}{x\_i-x\_j}$$
注意，在这个公式中，$x\_i$ 与 $x\_j$ 不能相等，否则会出现分母为 $0$ 的情况。
拉格朗日插值法有一个重要的性质，即拉格朗日插值多项式的各项系数是插值点的函数值。也就是说，如果我们知道了 $n+1$ 个点的横纵坐标，那么我们就可以求出拉格朗日插值多项式的各项系数。
另外，我们还可以使用牛顿插值法来求解多项式插值问题。牛顿插值法是由英国数学家牛顿发明的，它的基本思想是利用差商来递推求解。具体来说，我们可以设 $n+1$ 个点的横坐标分别为 $x\_0$、$x\_1$、…、$x\_n$，对应的纵坐标分别为 $y\_0$、$y\_1$、…、$y\_n$。我们可以设 $P\_0(x)=y\_0$，然后通过递推公式：
