2019年高中数学第四章4.2.3导数的运算法则分层训练湘教版选修2-2

4．2 导数的运算
4．2.1 几个幂函数的导数 4．2.2 一些初等函数的导数表
4.2.2
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标
1.能根据定义求 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的 导数． 2．掌握基本初等函 数的导数公式． 3．能应用基本初等 函数的导数解决有关问题．
3
(3)y′＝(x x)′＝(x 2
)′＝3x
3 1 2
＝3
x.
2
2
(4)y′＝(x14)′＝ (x－ 4)′＝－ 4x－ 4－ 1＝－ 4x－ 5＝－x45 .
(5)y′＝(5
x3 )′＝(x
3 5
)′＝3x
3 5
-1＝3x
-
2 5
5
5
＝3 .
5 5
x2
(6)y′＝(2x)′＝ 2x公式是我们 解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择 公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当 记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检 验．
∴ y′＝ (lgx)′＝(log1 0x)′＝x·ln110.
(5)∵ y＝(s inx＋ cosx)2 － 1 22
＝ sin2x2＋ 2·s inx2·cos x2＋ cos 2x2－ 1＝ s inx.
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
求在点P处的切线方程
利用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程 的步骤：(1)求出函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y－y0 ＝ f′(x0)·(x－ x0)．
1
点为(x0，y0)，因为 y＝ x＝x 2 ，可根据幂函数 的求导公式确定函数在切点处的切线斜率，再由 切线过点(3,2)，从而确定切线的斜率，进而写出 所求切线的方程．

4.4 生活中的优化问题举例1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 ( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8 答案 C解析 原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时底面边长为( ) A.3V B.32V C.34V D ．23V答案 C解析 设底面边长为x ，则表面积S ＝32x 2＋43x V (x >0)． ∴S ′＝3x 2(x 3－4V )．令S ′＝0，得x ＝34V .3. 在边长为60 cm 的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解 设箱底边长为x cm ，则箱高h ＝60－x 2cm ，箱子容积V (x )＝x 2h ＝60x 2－x 32(0＜x ＜60)． V ′(x )＝60x －32x 2令V ′(x )＝60x －32x 2＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝40，并求得V (40)＝16 000.由题意知，当x 过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值． 答 当x ＝40 cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000 cm 3.4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解 当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升， 依题意得h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)， h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数； x ∈(80,120)时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)．因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答 汽车以80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f ′(x )＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．。

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编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
又f(1)＝4＋2＝6，
所以切点的坐标为(1,6)．
所以切线的方程为y－6＝7(x－1)，即7x－y－1＝0.
点评 根据导数的几何意义，可以通过求导数来求 切线的斜率，再根据切点是曲线与切线的公共点， 求出切点的坐标，代入直线方程的点斜式就可以求 出切线的方程．
【例的2图】 象点的P一(2个,0公)是共函点数，f(且x)＝两x条3＋曲a线x与在g点(xP)处＝有bx相2＋同c 的切线，求a，b，c的值．
的导函数恰好是已知的被积函数．
专题一 应用导数解决与切线相关的问题
根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率， 从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．
设函数f(x)＝4x2－ln x＋2，求曲线y＝f(x)在点 【例(11】，f(1))处的切线方程．
解 f′(x)＝8x－1x.
所以在点(1，f(1))处切线的斜率k＝f′(1)＝7，
【例3】 设函数f(x)＝－13x3＋2ax2－3a2x＋b(0<a<1)． (1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若当x∈[a＋1，a＋2]时，恒有|f′(x)|≤a，试确定a的取
值范围；
(3)当a＝
2 3
时，关于x的方程f(x)＝0在区间[1,3]上恒有两个相
异的实根，求实数b的取值范围．
第四章 导数及其应用

第四章 导数及其应用章末检测一、选择题1．(2013·广东改编)若曲线y ＝2x 2的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则切线l 的方程为( )A ．x ＋4y ＋3＝0B ．x ＋4y －9＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．4x －y －2＝0答案 D解析 y ′＝4x ，设切点M (x 0，y 0)，∴k ＝4x 0.又∵x ＋4y －8＝0的斜率k 1＝－14，∴k ＝4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝2x 20＝2，即切点为M (1,2)，k ＝4.故切线l 的方程为y－2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0，故选D. 2．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调减区间为( )A ．(－∞，－1)及(0,1)B ．(－1,0)及(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)及(1，＋∞) 答案 A解析 y ′＝4x 3－4x ＝4x (x 2－1)，令y ′<0得x 的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A. 3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时F (x )作的功为( )A. 3 JB.233J C.433 JD ．2 3 J答案 C解析 由于F (x )与位移方向成30°角．如图：F 在位移方向上的分力F ′＝F ·cos 30°，W ＝⎠⎛12(5－x 2)·cos 30°d x ＝32⎠⎛12(5－x 2)d x ＝ 32⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －13x 321＝32×83＝433(J)．4. (2012·重庆改编)已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )( )A ．在(－∞，0)上为减函数B ．在x ＝0处取极小值C ．在(4，＋∞)上为减函数D ．在x ＝2处取极大值 答案 C解析 使f ′(x )＞0的x 的取值范围为增区间；使f ′(x )＜0的x 的取值范围为减区间． 5．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．[－3，3]C ．(3，＋∞)D ．(－3，3)答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)恒成立，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3. 6．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( )A ．e 2B ．ln 2 C.ln 22 D ．e答案 D解析 f ′(x )＝x (ln x )′＋(x )′·ln x ＝1＋ln x ， ∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2， ∴ln x 0＝1，∴x 0＝e.7．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 答案 C解析 由题意得f ′(x )＝x －33x，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3； f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e＝13e＋1＞0.8．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面区域的面积为( )A ． (sin x －cos x )d xB ． (sin x －cos x )d xC ． (cos x －sin x )d xD ． (cos x －sin x )d x答案 D解析 如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0<x <π4阴影部分面积的2倍．故选D.9．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]答案 D解析 ∵f ′(x )＝x 2sin θ＋x ·3cos θ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin θ＋32cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3. ∵0≤θ≤5π12，∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1.∴2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2.10．方程2x 3－6x 2＋7＝0在(0,2)内根的个数有( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 令f (x )＝2x 3－6x 2＋7， ∴f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜0；由f ′(x )＜0得0＜x ＜2；又f (0)＝7＞0，f (2)＝－1＜0，f (x )在(0,2)内单调递减，∴方程在(0,2)内只有一实根． 二、填空题11．(2013·广东)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.答案 －1解析 求导得y ′＝k ＋1x，依题意k ＋1＝0，所以k ＝－1.12．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 在区间(－1,1)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 a ≥3解析 由题意应有f ′(x )＝－3x 2＋a ≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2，x ∈(－1,1)恒成立，故a ≥3.13.已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，给出以下说法：①函数f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数； ②函数f (x )在区间(－1,1)上无单调性； ③函数f (x )在x ＝－12处取得极大值；④函数f (x )在x ＝1处取得极小值．其中正确的说法有________． 答案 ①④解析 从图象上可以发现，当x ∈(1，＋∞)时，xf ′(x )＞0，于是f ′(x )＞0，故f (x )在区间(1，＋∞)上是增函数，故①正确；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在区间(－1,1)上是减函数，②错误，③也错误；当0＜x ＜1时，f (x )在区间(0,1)上是减函数，而在区间(1，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值，故④正确． 14．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为________． 答案 －1解析 ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)， 令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1. 所以log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 015 ＝log 2 014(x 1·x 2·…·x 2 013)＝log 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫12·23·…·2 0132 014＝log 2 01412 014＝－1. 三、解答题15．设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3.∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16.16．设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－62，求常数a ，b .解 令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0， 得x 1＝0，x 2＝a .f (0)＝b ，f (a )＝－a 32＋b,f (－1)＝－1－32a ＋b ， f (1)＝1－32a ＋b .因为23<a <1，所以1－32a <0，故最大值为f (0)＝b ＝1，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故a ＝63，b ＝1. 17．若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？解 若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调增函数，则f ′(x )≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立， 即12x 2－a ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，∴a ≤12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，∴a ≤(12x 2)min ＝0.当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立(只有x ＝0时f ′(x )＝0)． ∴a ＝0符合题意．若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调减函数， 则f ′(x )≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立， 即12x 2－a ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，∴a ≥12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立，∴a ≥(12x 2)max ＝3.当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±12时f ′(x )＝0)．因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3.18．如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域． (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． 解 (1)设长为x m ， 则宽为200xm.据题意⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤16，0＜200x ≤16，解得252≤x ≤16.y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16， (2)y ′＝800－259 200x2＝0， 解得x ＝18.当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000.当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元．。