2020高考数学题型整理分类《(6)空间几何体的三视图、表面积与体积》解析版(含历年真题)
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（六）小题考法——空间几何体的三视图、表面积与体积
A组——10＋7提速练
一、选择题
1.如图为一个几何体的侧视图和俯视图，则它的正视图为( )
解析：选B 根据题中侧视图和俯视图的形状，判断出该几何体是在一个正方体的上表面上放置一个四棱锥(其中四棱锥的底面是边长与正方体棱长相等的正方形、顶点在底面上的射影是底面一边的中点)，结合选项知，它的正视图为B.
2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )
A．10 B．12
C．14 D．16
解析：选B 由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为2＋4×22×2＝12，故选B.
3．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
A.π2＋1 B.π2＋3
C.3π2＋1 D.3π2＋3
解析：选A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝13×12π×12×3＋13×12×2×2×3＝π2＋1.
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4．(2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．80 B．160
C．240 D．480
解析：选B 如图所示，题中的几何体是从直三棱柱ABC-A′B′C′中截去一个三棱锥A-A′B′C′后所剩余的部分，其中底面△ABC是直角三角形，AC⊥AB，AC＝6，AB＝8，BB′＝10.因此题中的几何体的体积为12×6×8×10－13×12×6×8×10＝23×12×6×8×10＝160，故选B.
5．(2018·湖州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的长为( )
A.5 B．22
C．3 D．23
解析：选C 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AD，BC的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D1-MNB1，故通过计算可得，D1B1＝22，D1M＝B1N＝5，MN＝2，MB1＝ND1＝3，故该三棱锥中最长棱的长为3.
6．一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为( )
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A．72＋6π B．72＋4π
C．48＋6π D．48＋4π
解析：选A 由三视图知，该几何体由一个正方体的34部分与一个圆柱的14部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×2×2＋14×2π×2×4＝72＋6π，故选A.
7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )
A．207 B．216－9π2
C．216－36π D．216－18π
解析：选B 由三视图知，该几何体是一个棱长为6的正方体挖去14个底面半径为3，高为6的圆锥而得到的，所以该几何体的体积V＝63－14×13×π×32×6＝216－9π2，故选B.
8．(2018·贵阳检测)三棱锥P-ABC的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C 依题意，设题中球的球心为O，半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则4πR33＝500π3，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为R2－r2＝3，因此三棱锥P-ABC的高的最大值为5＋3＝8，故选C.
9.(2019届高三·浙江第二次联考)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π B．15π4
C．33π4 D．6π 第
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解析：选B
由三视图还原直观图知，该几何体为底面半径为1，高为3的圆锥挖去一个球心为圆锥底面圆的圆心且与圆锥相切的半球，易知圆锥的母线长为2，则圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形，球的半径为32，故该几何体的表面积为π×1×2＋12×4π×322＋π×12－π×322＝15π4，故选B.
10．(2018·嘉兴高三期末)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)是( )
A．36＋242 B．36＋125
C．40＋242 D．40＋125
解析：选B 由三视图可知该几何体为一正方体和一正四棱台的简单组合体．正方体的棱长为2 cm，正四棱台上底面的边长为2 cm，下底面的边长为4 cm，棱台的高为2 cm，可求得正四棱台的斜高为22＋12＝5(cm)，故该几何体的表面积S＝22×5＋12×(2＋4)×5×4＋42＝36＋125(cm2)．故选B.
二、填空题
11．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的________．
解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为13×6×2＝4.而直三棱柱的体积为12×2×2×4＝8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的12.
答案：12 第
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12．(2019届高三·浙江名校联考)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是________，该几何体的表面积是________．
解析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，由3＝13×12×3×(1＋2)x，解得x＝2.作出该几何体的直观图并标注相应棱的长度如图所示，则S表＝12×3×(1＋2)＋12×2×3＋12×22＋12×2×7＋12×1×7＝53＋37＋42.
答案：2 53＋37＋42
13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________，体积为________．
解析：由三视图作出该空间几何体的直观图(如图所示)，
可知其表面积为12×1×2＋12×5×2＋12×1×2＋12×2×5＝2＋25，体积为13×12×1×2×2＝23.
答案：2＋25 23
14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，球O与正方体的各条棱都相切，M为球O上的一点，点N是△ACB1外接圆上的一点，则线段MN长度的取值范围是________． 第
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解析：易求得棱切球的半径为2，易知△ACB1为正三角形，则球心O到△ACB1的外接圆上任意一点的距离均为12＋22＝3，于是OM＝2，ON＝3.因为|OM－ON|≤|MN|≤|OM＋ON|，所以线段MN长度的取值范围是[3－2，3＋2]．
答案：[3－2，3＋2]
15．(2018·浙江高考数学原创猜题卷)已知一个空间几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则这个几何体的体积为________cm3，表面积为________cm2.
解析：由三视图可知，空间几何体是一个四棱锥，该四棱锥的底面为直角梯形，一条侧棱与底面垂直．如图所示，四边形ABCD是直角梯形，因为AB⊥AD，AB＝AD＝2 cm，BC＝4 cm，所以CD＝22
cm.因为PA＝2 cm，AD＝AB＝2 cm，所以PD＝PB＝22 cm，连接AC，易得AC＝25 cm，因为PA⊥平面ABCD，所以PC＝PA2＋AC2＝26 cm，
所以该几何体的体积为13×2＋4×22×2＝4 cm3.
易得S梯形ABCD＝2＋4×22＝6 cm2，
S△PAB＝12×2×2＝2 cm2，
S△PAD＝12×2×2＝2 cm2，
S△PBC＝12×22×4＝42 cm2，
△DPC中，PC边上的高为222－62＝2 cm，
所以S△PDC＝12×26×2＝23 cm2，
所以该几何体的表面积为6＋2＋2＋23＋42＝(10＋23＋42)cm2.
答案：4 (10＋23＋42)
16．某几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直径为2的半圆和一个正三角形组成，则此几何体的体积是________，表面积是________． 第
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解析：由题意可知，该几何体是由一个正三棱柱和半个圆柱组合而成的，正三棱柱的底面边长为2，高为4，半圆柱的底面半径为1，高为4，所以V＝12×2×3×4＋12π×12×4＝43＋2π，表面积S＝2×4×2＋12×3×2×2＋π×12＋π×1×4＝16＋23＋5π.
答案：43＋2π 16＋23＋5π
17．已知在三棱锥P-ABC中，VP-ABC＝433，∠APC＝π4，∠BPC＝π3，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱锥P-ABC外接球的体积为________．
解析：如图，取PC的中点O，连接AO，BO，设PC＝2R，则OA＝OB＝OC＝OP＝R，∴O是三棱锥P-ABC外接球的球心，易知，PB＝R，BC＝3R，∵∠APC＝π4，PA⊥AC，O为PC的中点，∴AO⊥PC，又平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AO⊥平面PBC，∴VP-ABC＝VA-PBC＝13×12×PB×BC×AO＝13×12×R×3R×R＝433，解得R＝2，∴三棱锥P-ABC外接球的体积V＝43πR3＝32π3.
答案：32π3
B组——能力小题保分练
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．16 B．20
C．52 D．60
