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专题：学习能力型问题
1学习能力型问题常见的有以下几种类型：
(1)概念学习型；(2)公式学习型；(3)方法学习型． 2学习能力型问题的特点
(1)内容新
学习能力型习题中常常出现过去没有学习过的新的概念、定理、公式或方法，要求通过
自己学习以后，理解这些概念、定理、公式或方法，并且能运用它们解决有关的问题.
(2)抽象性
这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略，比较抽象，没有解释性和说明
性的语言，需要自己去仔细揣摩、领会和理解.与平时在课堂里教师指导下学习新知识有很
大的区别，没有教师的讲解、举例和解说，没有许多感性的内容，比较抽象和概括，对独立
学习能力和抽象思维能力要求较高.因此解这类问题往往感到很困难.
(3)学了就用
这里学习新知识的时间很短，要求通过阅读很快就能理解新的概念、定理、公式和方法，
并能立即运用它们解决有关的问题，不举例题，没有模仿的过程.因此对思维的敏捷性和独
创性要求较高.
3解学习能力型习题的步骤
(1)阅读理解
首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本质：这里
分为两步：1、字面理解：要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解：要求深入理解新
的概念的本质属性，分清新的定理和条件和结论，理解新的方法的关键等。
(2)运用
在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上，运用它们解决有关的问题。
4新定义运算问题
4.1定义数对运算
例 1 (1)对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当
,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：
(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=
A.(4,0)
B. (2,0)
C. (0,2)
D. (0,4)-
(2)( 10山东) 定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a =(m , n )，
b =(p , q )，令a ⊙b =mq – np ，下面说法错误的是( )
A.若a 与b 共线，则a ⊙b =0
B. a ⊙b = b ⊙a
C.对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b =λ(a ⊙b )
D. (a ⊙b )2+(a ·b )2=| a |2| b |2
4.2定义集合运算
例2 对于集合N M ,，定义N M -=}|{N x M x x ∉∈且, )(N M N M -=⊕
);(M N -设},2)1(|{},,3|{2R x x y y B R x y y A x ∈+--==∈==，则=⊕B A _____.
4.3定义函数运算
例3 (1)定义运算：a ⊗b=,,,⎩⎨⎧<≥b
a b b a a 已知函数),3(2)(x x f x -⊗=那么函数
)1(+=x f y 的大致图像是_________________.
(2)(11天津) 对实数a 和b ，定义运算“⊗”： ⎩⎨⎧>-≤-=⊗.
1,,1,b a b b a a b a 设函数f (x )= (x 2
–2)⊗(x –1)，x ∈R ．若函数y =f (x ) – c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是
A. ( –1, 1]∪(2,+∞)
B. ( –2, –1]∪(1,2]
C. ( –∞, –2)∪(1,2]
D.[ –2, –1]
5新定义概念问题
5.1与集合有关的新定义
例4若，且A x A x ∈∈1
,则称A 是“伙伴关系集”，在集合M={2
1，1,2,3}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集”的概率为________.
变式：定义平面点集},|),{(2R y R x y x R ∈∈=，对于集合2
R M ⊆，若对∀0P M r PP R P r M ⊆<∈>∃∈}|||{,0,02使得，则称集合M 为开集，给出下列命题：
①集合是开集；}1)3()1(|),{(2
2<-+-y x y x ②集合}0,0|),{(>≥y x y x 是开集；③开集
在全集2R 上的补集仍然是开集；④两个开集的并集是开集；其中正确的所有的命题的序号
是_____.（析：类比开区间，此题很容易求解）
5.2与数列有关的新定义
例5 若数列{}n a 满足212n n a p a +=（p 为正常数，n *∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ）
A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C ．甲是乙的充要条件
D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
(评：关键是掌握新定义数列的本质，应遵循新定义法则，借助新数列的性质，向已有的熟
悉的知识转化，即可求解，考查考生的阅读理解能力和学习的潜能.)
变式：如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，
1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，）
，我们称其为“对称数列”． (Ⅰ)设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依
次写出{}n b 的每一项；
(Ⅱ)设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数
列，求{}n c 各项的和S ；
