狄拉克梳状函数（图）
上一回说到，单位冲激函数有诸多妙用。在数字信息技术时代，由单位冲激函数派生出的狄拉克梳状函数用途更广。本文专门介绍如下：
狄拉克梳状函数的定义式为
（1）其时域波形是周期为T的单位冲激串，所以也称为理想抽样函数，如下图所示：
图1 狄拉克梳状函数的时域波形
我们当然可以按周期函数的傅立叶级数方法求其频谱。其傅立叶系数为
（2）所以其傅立叶级数展开式为
（3）可见其频率成分只分布在ω＝nω1 （n=0，±1，±2，…）的离散频点，各频率分量幅度值均为1/T 。其双边频谱图如下：
图2 狄拉克梳状函数的傅立叶系数
其频谱为离散频谱，谱线高度为1/T，频率间隔为ω1＝2π/T 。
其实引进了冲激函数的概念之后，对一般周期函数也可以求其傅里叶变换为
（4）其中C n为周期函数的傅立叶系数。
所以根据式（4）和（2），可以用傅里叶变换直接对狄拉克梳状函数式（1）求其频谱函数
（5）其频谱图如下：
图3 狄拉克梳状函数的傅里叶变换
可见狄拉克梳状函数的傅里叶变换仍然是频域的狄拉克梳状函数，频谱冲激串的周期是基频ω1 ，并且冲激强度也均为ω1 。
用狄拉克梳状函数表示离散信号和离散频谱，将给信号分析和处理带来极大的方便。详情且听下回分解。
