当前位置：文档之家 › 1.3.1二项式定理

1.3.1二项式定理

  • 格式：doc
  • 大小：556.50 KB
  • 文档页数：8

1 1．3．1二项式定理 教学目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时

一、复习引入： ⑴22202122222()2abaabbCaCabCb；

⑵33223031222333333()33abaababbCaCabCabCb ⑶4()()()()()ababababab的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a，3ab，22ab，3ab，4b， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即04C种，4a的系数是04C；恰有1个取b的情况有14C种，3ab的系数是14C，恰有2个取b的情况有24C种，22ab的系数是24C，恰有3个取b的情况有34C种，3ab的系数是34C，有4都取b的情况有44C种，4b

的系数是44C， ∴40413222334444444()abCaCabCabCabCb． 二、讲解新课： 二项式定理：01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN

⑴()nab的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项： na，nab，„，nrrab，„，nb

，

⑵展开式各项的系数： 每个都不取b的情况有1种，即0nC种，na的系数是0nC；

恰有1个取b的情况有1nC种，nab的系数是1nC，„„， 2

恰有r个取b的情况有rnC种，nrrab的系数是rnC，„„， 有n都取b的情况有nnC种，nb的系数是nnC， ∴01()()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCbnN， 这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()nab的二项展开式，⑶它有1n项，各项的系数(0,1,)rnCrn叫二项式系数， ⑷rnrrnCab叫二项展开式的通项，用1rT表示，即通项1rnrrrnTCab． ⑸二项式定理中，设1,abx，则1(1)1nrrnnnxCxCxx 三、讲解范例： 例1．展开41(1)x．

解一： 411233444411111(1)1()()()()CCCxxxxx23446411xxxx． 解二：4444413123444111(1)()(1)()1xxCxCxCxxxx

23446411xxxx．

例2．展开61(2)xx．

解：66311(2)(21)xxxx 6152433221666663

1[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]xCxCxCxCxCxx

3223

6012164192240160xxxxxx． 3

第二课时 例3．求12()xa的展开式中的倒数第4项 解：12()xa的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项， 9129933939911212220TCxaCxaxa．

例4．求（1）6(23)ab，（2）6(32)ba的展开式中的第3项． 解：（1）24242216(2)(3)2160TCabab， （2）24242216(3)(2)4860TCbaba． 点评：6(23)ab，6(32)ba的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同 例5．（1）求93()3xx的展开式常数项；

（2）求93()3xx的展开式的中间两项 解：∵3992921993()()33rrrrrrrxTCCxx， ∴（1）当390,62rr时展开式是常数项，即常数项为637932268TC； （2）93()3xx的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

489912593423TCxx

，159510932693378TCxx 4

第三课时 例6．（1）求7(12)x的展开式的第4项的系数； （2）求91()xx的展开式中3x的系数及二项式系数 解：7(12)x的展开式的第四项是333317(2)280TCxx， ∴7(12)x的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()xx的展开式的通项是9921991()(1)rrrrrrrTCxCxx， ∴923r，3r， ∴3x的系数339(1)84C，3x的二项式系数3984C．

例7．求42)43(xx的展开式中x的系数 分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）42)43(xx42]4)3[(xx

02412344(3)(3)4CxxCxx22224(3)4Cxx3234444(3)44CxxC，

显然，上式中只有第四项中含x的项， ∴展开式中含x的项的系数是76843334C

（法二）：42)43(xx4)]4)(1[(xx44)4()1(xx )(4434224314404CxCxCxCxC0413222334444444(4444)CxCxCxCxC ∴展开式中含x的项的系数是34C334444C768． 例8．已知nmxxxf4121)( *(,)mnN的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含2x项的系数最小值 分析：展开式中含2x项的系数是关于nm,的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得3642nm，从而转化为关于m或n的二次函数求解 解：1214mnxx展开式中含x的项为

1124mnCxCx11(24)mnCCx 5

∴11(24)36mnCC，即218mn， 1214mnxx展开式中含2x的项的系数为

t222224mnCC22

2288mmnn，

∵218mn， ∴182mn， ∴222(182)2(182)88tnnnn216148612nn

23715316()44nn，∴当378n时，t取最小值，但*nN，

∴ 5n时，t即2x项的系数最小，最小值为272，此时5,8nm． 6

第四课时 例9．已知41()2nxx的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列， （1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22nnCC，即0892nn，∴8(1nn舍去）

∴81841()2rrrrTCxx82481()2rrrrCxx1638412rrrrCx08rrZ ①若1rT是常数项，则04316r，即0316r， ∵rZ，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1rT是有理项，当且仅当4316r为整数，

∴08,rrZ，∴ 0,4,8r， 即 展开式中有三项有理项，分别是：41xT，xT8355，292561xT 例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001． 解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)CCC， 展开式中第三项为2260.0020.00006C，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998CC，

一般地当a较小时(1)1nana 四、课堂练习： 1.求623ab的展开式的第3项.

2.求632ba的展开式的第3项.

3.写出n33)x21x(的展开式的第r+1项. 4.求732xx的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数. 5.用二项式定理展开：

（1）53()ab；（2）52()2xx. 7

6.化简：（1）55)x1()x1(；（2）4212142121)x3x2()x3x2( 7．5lgxxx展开式中的第3项为610，求x．

8．求nxx21展开式的中间项 答案：1. 262242216(2)(3)2160TCabab 2. 262224216(3)(2)4860TCbaab

3. 2331311()()22rnrrnrrrrnnTCxCxx 4.展开式的第4项的二项式系数3735C，第4项的系数3372280C 5. （1）335543222333()510105abaababababbbb； （2）5223215()52040322328xxxxxxxxxxxxx. 6. （1）552(1)(1)22010xxxx； （2）1111442222432(23)(23)192xxxxxx 7. 5lgxxx展开式中的第3项为232lg632lg551010xxCxx 22lg3lg50xx

5lg1,lg2xx10

10,1000xx

8. nxx21展开式的中间项为2(1)nnnC 五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A组1. 2. 3.4 七、板书设计（略） 八、教学反思： (a+b) ｎ = 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其

中rnC（r=0,1,2,„„,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.

合集下载

1.3.1二项式定理

1.3.1二项式定理


Liangxiangzhongxue
C03a3 C13 a2b C23 ab2 C33 b3
Bqr6401@
共有四项
三、概念形成
普 概念1.二项式定理
通
高 探索
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
中 课 程
＝C03 a3＋ C13a2b＋ C23ab2＋C33b3 (a＋b)4＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) (a＋b)
(1-x)n＝C 0-C 1x＋C 2x2-…＋(-1)rC rxr＋…＋(-1)nC nxn
nn
n
n
n
Liangxiangzhongxue
Bqr6401@
四、应用举例
普 例1.(1)求(2a+3b)6展开式中的第3项
通 高
(2)求(3b+2a)6展开式中的第3项
中 课
解: (1) T21 C62 (2a)62 (3b)2 2160a4b2
系数：
Liangxiangzhongxue
2.二项式系数与项的系数不同，二项式系数是组合数，而 项的系数是该项的数字因数。
3.通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需明确r=？， 一般地，比所说的第几项少1。
Bqr6401@
三、概念形成
普 概念1.二项式定理
通 例子1：展开(a+b)5
3360
Liangxiangzhongxue
Bqr6401@
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
例4.化简
(1) Cn0 Cn1 Cn2 L Cnr L Cnn
(2) Cn0 Cn1 Cn2 L (1)r Cnr L (1)n Cnn
(3) Cn0 2Cn1 4Cn2 L 2r Cnr L 2n Cnn
1.3.1二项式定理

1.3.1二项式定理

二项式定理习题课学案——课前预习部分基本概念和公式()n a b +=（1）右侧展开式一共 项；（2）通项公式 ；（3）写出二项式系数和 (1)n x +=(1)n x +=6(2)x += ；展开式系数和为 教材典型例题及习题回顾1（27页例2）求7(12)x +的展开式的第4项的二项式系数和系数2（28页例3）求91()x x -展开式中含3x 的项，并说明它是展开式的第几项3（28页B 组第3题）求81()x x -展开式中的常数项4（30页A 组第4题）已知331+n x x（）展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中 常数项5（32页B 组第4题）在50展开式中，有多少个有理项6（31页习题A 组第7题）用二项式定理证明（2）10991-能被100整除7（31页练习B ）设8878710(31)x a x a x a x a -=++++则（1）871a a a +++= ；（2）87610a a a a a -+-+=8（35页12题）（4）求210(1)(1)x x x ++-展开式中4x 的系数； （5）求31(2)x x+-展开式的常数项二项式定理习题课课堂练习例1 ①55+（1（= ②1225566666619999C C C C +++++=③1231248(2)n n n n n n C C C C -+-++-= 例2①5(2)x a +的展开式中，2x 的系数等于40，则(2)0x a e x dx +=⎰ ②在()n x y +的展开式中，第七项的二项式系数最大，则n 的值可能是例3①2521(2)(1)x x +-的展开式中的常数项为 ②34(12)(1)x x +-展开式中2x 的系数等于对应练习：1. 4()a x +的展开式中3x 的系数等于8，则实数a =2.10(1)i -（i 为虚数单位）的二项展开式中第五项为3. 101)3x的展开式中含x 的正整数次幂的项数是（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 4.设a Z ∈且013a ≤<，若201851a +能被13整除，则a =（ ）A. 0B. 1C. 11D. 125.在2101()x x -的展开式中系数最大的项是（ ）A. 第6项B. 第6、7项C. 第4、6项D. 第5、7项6.若6260126(1)mx a a x a x a x +=++++，12663a a a +++=，则实数m 的值为（ ） A. 1 B. 1- C. 3- D. 1或3-高考真题赏析1.（2013辽宁卷第7题）使(3()n x n N++∈的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 72.（2015全国卷Ⅱ第15题）4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数 之和为32，则a =。

1.3.1二项式定理(三中李福禄)

1.3.1二项式定理(三中李福禄)

课题：二项式定理昌邑三中 李福禄教学目标：理解二项式定理，能够应用通项公式求特殊项教学重点：二项式定理的理解及展开式的应用教学难点：1.理解用组合的知识推导二项式定理2．理解通项的定义并会灵活应用3.区分项的系数与二项式系数教学过程【课前准备】㈠知识链接1.（a + b ） 2=______________________________________2. (a + b )3=____________________________________________3.C mn =_________________________=________________________ ㈡问题导引1. (a + b )3展开式有几项？每项的次数和是几？系数有怎样的规律？2. ()4b a + 展开式有几项？每项的次数和是几？系数又有怎样的规律？【学习探究】问题探究：观察()4b a +=（a+b ）（a+b ）（a+b ）（a+b ）,则 ①()4b a +展开式中各项都是几次式？为什么？ ②()4b a +展开式中的项分别是4a ,43223,,,b ab b a b a 组成上述每一项需要几步完成？ ③从组合的观点看，4a 项可以这样产生：从四个因式（括号）中都不取b,而全部取a ，共有C 4404C 种方法， 故4a 的系数是04C ；b a 3项可以这样产生：从四个因式（括号）中任取一个因式（括号）中的b ，再从其余三个因式（括号）中全部取a ，共有C 3314C 种方法，故b a 3系数是14C ;依此类推，试确定4322,,b ab b a 项的系数？ 知识点梳理1. （a +b ）n=_____________________________________________________2. 二项式系数__________________________3. 通项公式T 1+r =________________________________ 思考与讨论1. 试判断(x-2y+z)5展开式中x 2y 2z 项的系数？2. 二项式系数与项的系数一样么？3. 二项展开式的通项是第几项？4. （1+X ）n =_______________________________________________________ ㈢典例分析例1：展开（2x -x 1）6解：（2x -x 1）6 =612⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x =()3612x x -=31x ()[]612-+x =()()()()()()[]6656246336426516632222221C x C x C x C x C x C x x+-+-+- =64x 3－192 x 2 +240 x －160+x 60－212x +31x 例2：求（1+2x ）7展开式的第4项的二项式系数及系数解：（1+2x ）7展开式的第4项是T 4=T 13+=C 37·14·(2x)3= C 37·23·x 3所以展开式的第4项的二项式系数是C 37=35，展开式的第4项的系数是C 37·23=280. ㈣变式拓展例3：求展开式(x-x 1)9中含x 3的项，并说明它是展开式的第几项？ 解：(x-x1)9展开式的通项是 T 1+r =C r 9x r -9(-x1)r =(-1)r r r x C 299- 依题意，有 9-2r=3，r=3所以，展开式中含x 3的项为T ()333934841x x C -=-= 它是展开式的第4项。

二项式定理(讲课用)

二项式定理(讲课用)


2
2016年新课标14
(2x x)5 展开式中 x3 的系数是________．
2016年山东高考
若(ax2 1 )5的展式中x5 的系数是-80，则实数a=____.
x 2014年新课标13 (x y)(x y)8的展式中 x2 y7 的系为________．
知识方面： 思想方法：
艾萨克·牛顿（1643—1727,英国）被誉为人类 历史上最伟大的科学家之一,不仅是伟大的物理学家、 天文学家,而且还是伟大的数学家。1664年，年仅22 岁的牛顿。在数学方面就有了第一项创造性成果， 就是发现了二项式定理，又称牛顿二项式定理。
二项式定理就是研究 (a b)n 是如何展开的。
探究1：a b2 (a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 探究2：a b3 (a+b)(a+b)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3
探究3：a b4 a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
问题1：展开式中各项是如何得到的？
（项的结构特点）
问题2：展开式各项的系数是如何确定的？
（项的系数特点）
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)

C
0
4
a4

C
1
4
a3b

C
2
(n∈N*)
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a b n2 2 Cnkankbk Cnnbn
(n∈N*)
上述公式叫做二项式定理
问题5：二项式定理的公式有什么特征：