第四章一次函数一．函数1.函数的概念一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了唯一的y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
也就是说，函数是两个变量之间的关系。
注意：（1）函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量y与x，可以说y是x的函数，不能说y是函数（2）函数是有顺序性的，如y=0.5x+3表示y是x的函数，而变形后的等式x=2y-6,则表示x是y的函数2.自变量取值范围使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
3.函数的三种表示法列表法、关系式法（一定要是等式）、图像法【例1】下列关于变量x,y的关系式：①x-3y=1;②y=∣x∣;③2x-y2=9.其中y是x的函数的是，x是y的函数的是变式训练：1.下列关系式中哪些是函数，哪些不是？【例2】写出下列函数关系中自变量的取值范围【例3】写出y与 x的函数关系式并指出自变量的取值范围（1）一个长方形周长为24，一边长为x, 面积为y（2）一个长方形菜园，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，垂直于墙的一边为x，菜园的面积为y变式训练：1.写出下列函数关系式，并写出自变量的取值范围（1）周长为24的等腰三角形，它的底边长y与腰长x之间的函数关系（2）周长为24的等腰三角形，它的腰长y与底边长x之间的函数关系小测验（10分钟）1.下列四个图像中，不表示某一个函数图像的是（）2.设路程为s，速度为v，时间为t，当s=60时，t=60/v,在这个表达式中（）A. t是s的函数B. t是v的函数C. v是t的函数D. v是s的函数3.已知x-3y=6,若把y看成x的函数，则可表示为4.已知变量x与y有如下关系：①y=x ②y =∣x∣③∣y∣= x ④ x2-y=0 ⑤ x-y2=0，其中y是x的函数关系的有（填序号）5.对于圆的周长公式C=2πR , 其中自变量是，因变量是，常量是6.写出下列函数关系式中，自变量的取值范围二、一次函数与正比例函数1.正比例函数和一次函数的概念一次函数：y=kx+b（k，b为常数，k≠0）正比例函数：y=kx（k≠0）一次函数有（填序号）变式训练：1.下列关系中符合正比例关系的是（）A.距离s一定时,速度v和时间tB.圆的面积s和半径rC.正方体的体积和棱长aD.正方形的周长C和它的边长a其中属于一次函数的是3.粮库有粮50t，每天运走5t，写出剩下的粮食P（t）与运粮天数t (天)的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
第3课时函数的表示方法——图象法【知识与技能】学会用列表、描点、连线画函数图象.【过程与方法】通过画函数图象,提高对函数的理解。
【情感与态度】直观感受函数，体会数形结合思想.【教学重点】重点是函数图象的画法.【教学难点】难点是准确画出函数图象。
一、提出问题,创设情境我们在前面学习了函数意义，并掌握了函数关系式的确立.但有些函数问题很难用函数关系式表示出来，然而可以通过图来直观反映.例如用心电图表示心脏生物电流与时间的关系。
对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示则会使函数关系更清晰.我们这节课就来解决如何画函数图象的问题。
二、导入新课已知函数关系式，怎样画出函数图象呢？画出函数y＝2x的图象.对于自变量x的每一个确定的值，可得出对应函数y的唯一值.列表如下：各组对应值作为点的横纵坐标在平面直角坐标系中描出各点，得到函数y＝2x的图象,如下图。
【教学说明】引导学生通过列表描点连线,体会如何画函数图像。
例画出前面第1课时活动三中的函数s=v2/256的图象.（1）列表：因为这里v≥0，我们分别取v=0,10，20,30,40,求出它们对应的s值,列成表格：（2）描点：在坐标平面内描出（0, 0）,（10, 0.4），（20，1。
6），（30，3.5），（40，6.3）等点。
（3）连线：将以上各点按照自变量由小到大的顺序用平滑曲线连接，就得到了s=v2256的图象，如图所示。
【教学说明】通过列表——描点--连线体会函数图象的形成过程，体会数形结合思想.三、运用新知，深化理解1.如图是一种古代计时器——“漏壶"的示意图,在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度。
人们根据壶中水面的位置计算时间。
用x表示时间,y表示壶底到水面的高度.下面的哪个图象适合表示y与x的函数关系?2.a是自变量x取值范围内的任意一个值,过点（a，0）画y 轴的平行线，与图中曲线相交.下列哪个图中的曲线表示y是x 的函数？为什么？3。
八年级下册第19章《一次函数》实际应用常考题专练（三）1．某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量为5L，在整个过程中，油箱里的油量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示．（1）机器每分钟加油量为L，机器工作的过程中每分钟耗油量为L．（2）求机器工作时y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时x的值．2．甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两地相向而行，乙车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，途径C地，甲车到达C地停留1小时，因有事按原路原速返回A 地．乙车从B地直达A地，两车同时到达A地．甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与甲车出发后所用的时间x（时）的函数图象如图所示．（1）求t的值．（2）求甲车距它出发地的路程y与x之间的函数关系式．（3）直接写出两车相距120千米时乙车行驶的时间．3．甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，在同一条公路上，匀速行驶，相向而行，到两车相遇时停止．甲车行驶一段时间后，因故停车0.5小时，故障解除后，继续以原速向B 地行驶，两车之间的路程y （千米）与出发后所用时间x （小时）之间的函数关系如图所示．（1）求甲、乙两车行驶的速度V 甲、V 乙．（2）求m 的值．（3）若甲车没有故障停车，求可以提前多长时间两车相遇．4．已知A 、B 两地之间有一条长240千米的公路．甲车从A 地出发匀速开往B 地，甲车出发两小时后，乙车从B 地出发匀速开往A 地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和y （千米）与甲车行驶的时间x （时）之间的函数关系如图所示．（1）甲车的速度为 千米/时，a 的值为 ．（2）求乙车出发后，y 与x 之间的函数关系式．（3）当甲、乙两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．5．一辆货车从A地去B地，一辆轿车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，轿车的速度大于货车的速度．两辆车之间的距离为y（km）与货车行驶的时间为x（h）之间的函数关系如图所示．（1）两车行驶多长时间后相遇？（2）轿车和货车的速度分别为，；（3）谁先到达目的地，早到了多长时间？（4）求两车相距160km时货车行驶的时间．6．如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA表示货车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）甲、乙两地相距km，轿车比货车晚出发h；（2）求线段CD所在直线的函数表达式；（3）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离甲地多远？7．小蕾家与外婆家相距270km ，她假期去看望外婆，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小蕾到A 服务区，于是，小蕾与爸爸约定，她先搭乘顺路车到A 服务区，爸爸驾车到A 服务区接小蕾回家．两人在A 服务区见面后，休息了一会儿，然后小蕾乘坐爸爸的车以60km /h 的速度返回家中．返回途中，小蕾与自己家的距离y （km ）和时间x （h ）之间的关系大致如图所示．（1）求小蕾从外婆家到A 服务区的过程中，y 与x 之间的函数关系式；（2）小蕾从外婆家回到自己家共用了多长时间？8．甲、乙两店销售同一种蔬菜种子．在甲店，不论一次购买数量是多少，价格均为4.5元/kg ．在乙店价格为5元/kg ，如果一次购买2kg 以上的种子，超出2kg 部分的种子价格打8折．设小明在同一个店一次购买种子的数量为xkg （x ＞0）．（1）设在甲店花费y 1元，在乙店花费y 2元，分别求y 1，y 2关于x 的函数解析式；（2）若小明计划在同一个店将45元全部用于购买这种蔬菜种子，则他在哪个店购买种子的数量较多？9．在一条笔直的公路上有A ，B ，C 三地，C 地位于A ，B 两地之间，甲车从A 地沿这条公路匀速驶向C 地，乙车从B 地沿这条公路匀速驶向A 地，在甲车出发至甲车到达C 地的过程中，甲、乙两车与C 地的距离y 1（单位：km ），y 2（单位：km ）与甲车行驶时间t （单位：h）之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：（1）求甲、乙两车的行驶速度；与甲车行驶时间t之间的函数关系式；（2）求乙车与C地的距离y2（3）求乙车出发多少小时，两车相遇？10．某人因需要经常去复印资料，甲复印社按A4纸每10页2元计费，乙复印社则按A4纸每10页1元计费，但需按月付一定数额的承包费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）乙复印社要求客户每月支付的承包费是元；（2）当每月复印页时，两复印社实际收费相同；（3）如果每月复印200页时，应选择复印社？参考答案1．解：（1）由图象可得，机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），故答案为：3，0.5；（2）当10＜x≤60时，设y关于x的函数解析式为y＝ax+b，，解得，，即机器工作时y关于x的函数解析式为y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）；（3）当3x＝30÷2时，得x＝5，当﹣0.5x+35＝30÷2时，得x＝40，即油箱中油量为油箱容积的一半时x的值是5或40．2．解：（1）（480﹣60）÷60＝420÷60＝7（小时），t＝＝3，即t的值是3；（2）当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y＝kx，360＝3k，得k＝120，即当0≤x≤3时，y与x的函数关系式为y＝120x，当3＜x≤4时，y＝360，当4＜x≤7，设y与x的函数关系式为y＝ax+b，，得，即当4＜x≤7，y与x的函数关系式为y＝﹣120x+840，由上可得，y与x的函数关系式为y＝；（3）设乙车行驶的时间为m小时时，两车相距120千米，乙车的速度为60千米/小时，甲车的速度为360÷3＝120（千米/小时），甲乙第一次相遇前，60+（60+120）×（m﹣1）+120＝480，得m＝，甲乙第一次相遇之后，60+（60+120）×（m﹣1）＝480+120，得m＝4，甲车返回A地的过程中，当m＝5时，两车相距120+1×60＝180（千米），（120﹣60）×（m﹣5）＝180﹣120，得m＝6，答：两车相距120千米时乙车行驶的时间是小时、4小时或6小时．3．解：（1）由图可得，，解得，，答：甲的速度是60km/h乙的速度是80km/h；（2）m＝（1.5﹣1）×（60+80）＝0.5×140＝70，即m的值是70；（3）甲车没有故障停车，则甲乙相遇所用的时间为：180÷（60+80）＝，若甲车没有故障停车，则可以提前：1.5﹣＝（小时）两车相遇，即若甲车没有故障停车，可以提前小时两车相遇．4．解：（1）由题意可知，甲车的速度为：80÷2＝40（千米/时）；a＝40×6×2＝480，故答案为：40；480；（2）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由图可知，函数图象经过（2，80），（6，480），∴，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝100x﹣120（2≤x≤6）；（3）两车相遇前：80+100（x﹣2）＝240﹣100，解得x＝；两车相遇后：80+100（x﹣2）＝240+100，解得x＝，答：当甲、乙两车相距100千米时，甲车行驶的时间是小时或小时．5．解：（1）由图象可得，两车行驶1小时后相遇；（2）由图象可得，轿车的速度为：180÷1.8＝100（km/h），货车的速度为：180÷1﹣100＝80（km/h），故答案为：100km/h，80km/h；（3）由题意可得，轿车先到达目的地，180÷80﹣1.8＝2.25﹣1.8＝0.45（小时），即轿车先到达目的地，早到了0.45小时；（4）设两车相距160km时货车行驶的时间为a小时，相遇前：180﹣160＝（100+80）a，解得a＝，相遇后，80a＝160，解得a＝2，由上可得，两车相距160km时货车行驶的时间是小时或2小时．6．解：（1）由图象可得：甲、乙两地相距300km，轿车比货车晚出发1.2小时；（2）设线段CD所在直线的函数表达式为：y＝kx+b，由题意可得：解得：∴线段CD所在直线的函数表达式为：y＝110x﹣195；（3）设OA解析式为：y＝mx，由题意可得：300＝5m，∴m＝60，∴OA解析式为：y＝60x，∴∴答：货车出发3.9小时两车相遇，此时两车距离甲地234千米．7．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣90x+270（0≤x≤2）；（2）把x＝2代入y＝﹣90x+270，得y＝﹣180+270＝90，从A服务区到家的时间为：90÷60＝1.5（小时），2.5+1.5＝4（小时），答：小蕾从外婆家回到自己家共用了4小时．8．解：（1）由题意可得，y＝4.5x，1＝5x，当0≤x≤2时，y2＝5×2+（x﹣2）×5×0.8＝4x+2，当x＞2时，y2（2）当y＝45时，在甲店中，45＝4.5x，得x＝10，在乙店中，45＝4x+2，得x＝10.75，∵10＜10.75，∴在乙店购买的数量较多．9．（1）甲车行驶速度是240÷4＝60（km/h），乙车行驶速度是200÷（﹣1）＝80（km/h），∴甲车行驶速度是60km/h，乙车行驶速度是80km/h；＝200；（2）当0≤t≤1时，y2＝kt+b，当1＜t≤时，设y2∵图象过点（1，200），（，0），∴，∴，∴y＝﹣80t+280；2当＜t≤4时，∵（4﹣）×80＝40（km），∴图象过点（4，40），＝kt+b，设y2∵图象过点（4，40），（，0），∴，∴，＝80t﹣280．∴y2＝；∴y2（3）设乙车出发m小时，两车相遇，由题意得：80m+60（m+1）＝200+240，解得：m＝．∴乙车出发小时，两车相遇．10．解：（1）由图可知，乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元，故答案为：18；（2）设甲对应的函数解析式为y＝ax，50a＝10，解得，a＝0.2，即甲对应的函数解析式为y＝0.2x，设乙对应的函数解析式为y＝kx+b，，得，即乙对应的函数解析式为y＝0.1x+18，令0.2x＝0.1x+18，解得，x＝180，答：当每月复印180页时，两复印社实际收费相同，故答案为：180；（3）当x＝200时，甲复印社的费用为：0.2×200＝40（元），乙复印社的费用为：0.1×200+18＝38（元），∵40＞38，∴当x＝200时，选择乙复印社，故答案为：乙．。
