2019届高考数学二轮复习专题突破课时作业9等差数列与等比数列理

等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导： 由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ， 所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ， 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。

第一部分专题二 数列-2021届高三数学二轮专题复 习课件 【精品 】
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专题二 数 列
真题研析 命题分析 知识方法
所以 an＝2n. (2)由于 21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝ 64，27＝128， 所以 b1 对应的区间为：(0，1]，则 b1＝0； b2，b3 对应的区间分别为：(0，2]，(0，3]则 b2＝b3＝1， 即有 2 个 1； b4，b5，b6，b7 对应的区间分别为：(0，4]，(0，5]，(0， 6]，(0，7]，则 b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有 22 个 2；
第一部分专题二 数列-2021届高三数学二轮专题复 习课件 【精品 】
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专题二 数 列
真题研析 命题分析 知识方法
b8，b9，…，b15 对应的区间分别为：(0，8]，(0，9]，…， (0，15]，则 b8＝b9＝…＝b15＝3，即有 23 个 3；
b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式． (1)证明：由题设得 4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即 an＋1＋ bn＋1＝12(an＋bn)． 又因为 a1＋b1＝1， 所以{an＋bn}是首项为 1，公比为12的等比数列． 由题设得 4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即 an＋1－bn＋1＝ an－bn＋2.
专题二 数 列
真题研析 命题分析 知识方法
－2Sn＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…(n－1)(－ 2)n－1＋n(－2)n，②

(2)在各项均为正数的数列{an}中，a1＝1，a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0，Sn 是数列 {an}的前 n 项和，若对 n∈N*，不等式 an(λ－2Sn)≤27 恒成立，则实数 λ 的 取值范围为_(－__∞__，__1_7_]_.
∵a2n＋1－2an＋1an－3a2n＝0， ∴(an＋1＋an)(an＋1－3an)＝0， ∵an>0，∴an＋1＝3an，又a1＝1， ∴数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1， Sn＝11－－33n＝32n－12， ∴不等式 an(λ－2Sn)≤27 即 λ≤2Sn＋2a7n＝3n＋32n－71－1 对 n∈N*恒成立，
所以 2an1
2an
＝4，
所以an＋1－an＝2，
所以数列{an}是公差为2的等差数列，
因为a2，a4，a7成等比数列，
所以 a24＝a2a7，
所以(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋12)， 解得a1＝6，
所以an＝6＋2(n－1)＝2n＋4， 因为Sn为数列{bn}的前n项和，且bn是1和Sn的等差中项， 所以Sn＋1＝2bn， 当n≥2时，有Sn－1＋1＝2bn－1， 两式相减得bn＝2bn－2bn－1，即bn＝2bn－1， 当n＝1时，有S1＋1＝b1＋1＝2b1， 所以b1＝1， 所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，所以bn＝2n－1，
考向3 错位相减法
例3 (2022·上饶模拟)从①b5－b4＝18b2，②S5＝b4－2，③log3bn＋1－1＝ log3bn这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是正项等比数列，且2an＝an＋1＋ an－1(n≥2)，S3＝b3＝9，b4＝a14，________. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

专题十一 等差数列与等比数列一、单选题1．（2021·全国高三专题练习（理））设数列{}n a 满足13a =，26a =，()2*129n n na a n a +++=∈N ，（ ）A ．存在*n ∈N ，n a Q ∈B ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等差数列C ．存在*n ∈N，n a =D ．存在0p >，使得{}1n n a pa +-是等比数列2．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ） A ．119B ．121C ．120D ．122二、多选题3．（2021·全国高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1114240,1n n n n a a a a a λλμ++++--==，则下列结论正确的是（ ）A ．若11,2λμ==，则{}n a 是等差数列 B ．若11,2λμ==，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1nn + C ．若12,2λμ==，则{}1n a +是等比数列 D ．若12,2λμ==，则122n n S n +=--第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 三、解答题4．（2021·全国高三专题练习（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22111224n n n n n n a a a a a a ----=++(2n ≥)，11a =.（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和n S .（2）若141n n b S =-，试求数列{}n b 的前n 项和n T .5．（2021·浙江温州市·高三二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2,,n n n S n n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数．（1）求23,a a 及通项公式n a ；（2）记1n n n b a a +=+，求数列{}12n n b -⋅的前2n 项的和2n T ．6．（2021·全国高三专题练习（文））已知数列{}n a 对任意的*n N ∈都满足312233333nn a a a a n ++++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令3413431log log n n n b a a -+=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .7．（2021·天津河西区·高三一模）已知数列{} n a 是等差数列，{} n b 是递增的等比数列，且11a =，12b =，222b a =，3331b a =-． （1）求数列{} n a 和{} n b 的通项公式；（2）若()()1211 n a n n n c b b +=--，求数列{} n c 的前n 项和n S ．8．（2021·浙江宁波市·高三专题练习）在①22n n nS +=；②112n n n a a a +-=-，77428S a ==；③11n n a n a n++=，36S =这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加解答.问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，___________，若2n nn a a b =，求数列{}n b 的前n 项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分.9．（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 的前n 项之和为n S ，11a =，11n n a pa +=+(p为常数)（1）当1p =时，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和；（2）当2p =时，求证数列{}1n a +是等比数列，并求n S .10．（2021·莆田第二十五中学高二期末）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，111a b ==，5435()a a a =-，5434()b b b =-.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）221n n n c a b +=，求数列{}n c 的前n 项和n S .11．（2021·江苏高三专题练习）由整数构成的等差数列{}n a 满足31245,2a a a a ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的通项公式为2nn b =，将数列{}n a ，{}n b 的所有项按照“当n 为奇数时，n b 放在前面；当n 为偶数时、n a 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{}n c ，1b ，1a ，2a ，2b ，3b ，3a ，4a ，4b ，……，求数列{}n c 的前43n +项和43n T +.12．（2020·江苏南京市·南京师大附中高三月考）已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足22(2)21nn n S a n S =≥-. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）设1n n b S =，()211n n n n b c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T . 13．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学）已知各项均为正数的等差数列{}n a 的首项为1，且满足235621a a a =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的通项公式为2(1)2n n a n n a b a a +=+，其前n 项和为{}n S ，证明1n S <.14．（2020·天津静海区·高三月考）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 和n S 满足：()()2411,2,3n n S a n =+=⋅⋅⋅．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求{}n b 的前n 项和n T ；（3）在（2）的条件下，对任意*n ∈N ，23n mT >都成立，求整数m 的最大值． 15．（2020·江苏南通市·高三期中）已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为1(,)d a Z d Z ∈∈，前n 项的和为n S ，且7549,2426S S =<<.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项的和为T n ，求T n .16．（2020·陕西西安市·长安一中高二期中（文））正项数列{}n a 满足：2(21)20n n a n a n ---=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（2021·山东高三专题练习）已知数列{}n a 中10a =，且1210n n a a ---=，()*2,n n N ≥∈.（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设()1n n b n a =+，求数列{}n b 的n 项和n T .18．（2021·全国高三专题练习）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()()12123n n n a n S +-=+（1n =，2，3，…）． （1）证明：数列21n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）求数列{}n S 的前n 项和n T ．19．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三期中（理））数列{}n a 中，12a =，()121n n n a a n++=.（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n b a n=-，数列{}12nn n b b +的前n 项和为n S .求证：1n S <. 20．（2021·全国）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*112n n a S n =+∈N ． （1）求n S ；（2）若21log 2n n n n b a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．21．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知数列{}n a 是递增的等差数列，23a =，若13181,,a a a a a -+成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若13n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n S ，求n S . 22．（2021·江西新余市·高二其他模拟（理））等比数列{}n a 中，12a =，且2，21a +，3a 成等差数列，（1）求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足122nb n a a a ⋅⋅⋅=，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS ．23．（2020·湖南永州市·高三月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，*11()n n a S n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n a ，1b ，2b ，，n b ，1n a +组成一个2n +项的等差数列，记其公差为n d ，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020·天津滨海新区·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项.（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 25．（2020·宁夏银川一中高三月考（理））已知数列{}n a 满足114a =，112n n n n a a a a ---=⋅（2n ≥，*n N ∈），0n a ≠ （1）证明数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭*()n N ∈为等比数列，求出{}n a 的通项公式； （2）数列{}n a 的前项和为n T ，求证：对任意*n N ∈，23n T <. 26．（2020·湖北武汉市·高二期末）已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，说明理由；并求{}n a 的通项公式．27．（2020·重庆高二月考）已知数列{}n a ，{}n b ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，214a b =，22n n S a =-，()211n n nb n b n n +-+=+()*n N ∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列. （3）若数列{}n c 的通项公式为,2,4n nn n n a b n c a b n 为奇数为偶数⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，令212n n n P c c -=+.n T 为{}n P 的前n 项的和，求n T .28．（2020·河北保定市·高碑店一中高一月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()112n n S a n N *+=∈（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设()()113log 1n n b S n N *+=-∈，令12231111nn n Tb b b b b b +=++⋅⋅⋅+，求n T . 29．（2021·湖北荆州市·沙市中学高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N ∈，{}n b 的通项公式为3411142,2,11n n b b a a S b ==-=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}221n n a b -的前n 项和()*n T n N∈．30．（2020·广东河源市·中山高级中学高二期中）已知等差数列{}n a 满足253,25a S ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 31．（2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二开学考试（理））已知数列{}n a 满足12a =，132n n a a +=+.（1）证明{1}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足3log (1)n n b a =+，n T 为数列{}·(1)n n b a +的前n 项和，求n T . 32．（2019·广东湛江市·高二期末（文））已知数列{}n a 是等比数列，首项11a =，公比0q >，其前n 项和为n S ，且11S a +，33S a +，22S a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 33．（2020·苏州市相城区望亭中学高二月考）已知等差数列{}n a 的公差d 大于0，且满足3655a a =，2716a a +=．数列{}n b 满足231222n b b a b =++1(*)2nn b n -++∈N ． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设121n n n n n a a a c b +++=，求n c 取得最大值时n 的值．34．（2020·湖北荆州市·沙市中学高二期末）已知等差数列{a n }满足a 1+a 4+a 7＝0，a 3+a 6+a 9＝﹣18，前n 项和为S n ． （1）求S 9（2）记b n ＝|a n |，求数列{b n }的前9项和T 9．35．（2020·福清西山学校高三期中（文））数列{}n a 中，n S 为前n 项和，且*23()n n S na n n N =+∈.（1）求证：{}n a 是等差数列； （2）若25,n a b ==，n T 是{}n b 的前n 项和，求n T .36．（2020·大同市煤矿第四中学校高三期中（理））已知数列{}n a 成等差数列，各项均为正数的数列{}n b 成等比数列，132,8b b ==，且2323a a b -=，3433a a b -=. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设2211log n n n c a b +=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S .37．（2020·陕西西安市·西安中学高二月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,(1,2,3,)2n n a a S n +===．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()312log 3n n b a +=时，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 38．（2020·湖南长沙市·高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1n n S a n +=-，*n ∈N .（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1n n n b a =+，若不等式922n nT m a ≥-+对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值.39．（2020·长沙市湖南师大第二附属中学有限公司高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，且13a =，11b =，3212b S +=，5322a a b -=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若2(()n n nn S c b n 为奇数）为偶数⎧⎪=⎨⎪⎩，设{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .40．（2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，*13 1 (N )n n S S n +-=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：31log n n b a +=，{}n b 的前n 项和为n T ，求12100111T T T +++的值.41．（2020·山西省长治市第二中学校高三月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，47a =，525S =，数列{}n b 满足113b =，113n n n b b n++=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．42．（2020·武威第六中学高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*32n n nS n N -=∈，正项等比数列{}n b 满足11b a =，56b a =. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 前n 项和n T . 四、填空题43．（2020·通榆县第一中学校高三月考（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,m k a a m k k N ⋅=≤<∈，则k 的取值集合是__________.44．（2020·桃江县第一中学高三期中）已知函数()1()1f x x -=+，数列{}n a 是正项等比数列，且10111a =，()()()()()32020202112f a f a f f a a f a +⋅⋅⋅++++=________.45．（2020·上海浦东新区·上外浦东附中高二月考）取出数列{},(4)n a n ≥的任意连续四项，若其中奇数项之和，偶数项之和均为同一个常数h （如连续四项1a ，2a ，3a ，4a ，满足1324a a a a h +=+=），则称数列{},(4)n a n ≥为错位等和数列，其中常数h 是公和.若n S 表示{}n a 的前n 项和，有如下命题： （1）若一个等差数列是错位等和数列，则1n a a =；（2）若一个等比数列是错位等和数列，则2n nh S =； （3）若12a a ≠，则错位等和数列一定是最小正周期为4的周期数列； （4）在错位等和数列{}n a 中，5h =，且201320146a a +=，若n 是偶数，则104,4210,4n k n k S k n k -=-⎧=⎨=⎩；其中，真命题的序号是________46．（2020·湖北省武昌实验中学高一月考）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知115a =，且对任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若n S t <恒成立，则实数t 的最小值为________.47．（2020·四川攀枝花市·高三月考（文））正项等比数列{}n a 满足1354a a +=，且22a ，412a ，3a 成等差数列，设*1()n n nb a a n N +=∈，则12n b b b ⋅⋅取得最小值时的n 值为_________．48．（2020·安徽省太和第一中学高三月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，则数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =______．。