福州三中2017-2018学年第一学期高一数学半期考试(创新班)

福建省福州外国语学校2017-2018学年高一上学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.集合中*12{|}x N Z x∈∈含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 【答案】B考点：集合的概念.2.下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（ ）A ．1()f x x=B ．()f x =．()22x xf x -=- D ．2()1f x x =+ 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，函数1()f x x=在区间(,0),(0,)-∞+∞单调递减，在定义域上不是单调函数，所以不正确；函数()f x =0x ≤，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，所以不正确；函数2()1f x x =+满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数，所以不正确，故选C.考点：函数的单调性与奇偶性.3.方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 试题分析：由题意得，设函数()22x f x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220xx +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B.考点：函数的零点.4.设全集U R =，(2){|21}x x A x -=<，{|ln(1)}B x y x ==-，则如图中阴影部分表示的集合为 （ ）A ．{|1}x x ≥B ．{|12}x x ≤< C. {|01}x x <≤ D ．{|1}x x ≤ 【答案】B考点：集合的运算.5.定义在R 上的函数()y f x =，在(,)a -∞上是增函数，且函数()y f x a =+是偶函数，当1x a <，2x a >，且12||||x a x a -<-时，有（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x ≥ C. 12()()f x f x < D ．12()()f x f x ≤【解析】试题分析：由函数()y f x a =+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，可得函数()y f x =的图象关于x a =对称，又因为函数()y f x =，在(,)a -∞上是增函数，所以(,)a +∞为单调递减函数，又由12||||x a x a -<-，所以12()()f x f x >，故选A ． 考点：函数的图象的平移变换；函数的单调性与奇偶性的应用.6.国内快递重量在1000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1300km 的某地，它应付的邮资是（ ） A ．5.00元 B ．6.00元 C.7.00元 D ．8.00元 【答案】C考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式的求解、分段函数的求解、函数的表示等知识点的综合考查，本题解答的关键在于写出分段函数的解析式，判断出自变量属于那一段，然后将其代入其中一段的解析式，求出相应的函数值，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7.已知函数()22x x f x -=-，,,a b c R ∈，且满足0a b +>，0b c +>，0c a +>，则()()()f a f b f c ++的值（ ）A ．一定大于零B ．一定小于零 C.一定等于零 D ．都有可能 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x 的定义域为R ，因为()22(22)xxx xf x f x---=-=-+=-，所以函数为奇函数，因为0a b +>，0b c +>，0c a +>，所以,,a b b c c a >->->-，因为函数()22x x f x -=-为R 上的单调递减函数，所以函数()()()f a f b f b <-=-，即()()0f a f b +<，同理可得()()()()0,0f c f b f a f c +<+<，综上得()()()0f a f b f c ++<，故选B.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.8.已知函数2()x f x m -=（0m >，且1m ≠）恒过定点(,)a b ，则在直角坐标系中函数||1()()x b g x a+=的图象为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】D 【解析】试题分析：根据指数函数的性质，可得函数2()x f x m -=，恒经过定点(2,1)，即2,1a b ==，所以函数|1|1()()2x g x +=，当1x =-时(1)1g -=，且函数为偶函数，且在(1,)-+∞上函数为单调递减函数，所以函数的图象为D 项，故选D.考点：函数的图象.9.若函数(2),2()1()1,22x a x x f x x -≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的单调减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．13(,]8-∞ C.(0,2) D ．13[,2)8【答案】B考点：函数的单调性的应用.10.已知函数,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(,0)-∞ C.(1,0)- D ．[1,0)- 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，当0x >时，12102x x -=⇒=，满足题意，因为函数()f x 在R 上有两个零点，则当0x ≤时，0x e a +=必有一个零点，所以,(,0]xa e x =-∈-∞，所以[1,0)a ∈-，故选D.考点：函数的零点．11.若函数()(1)(0,1)xxf x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】A考点：函数的性质与函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了函数的图象问题，其中解答中涉及到函数的单调性和函数的奇偶性、函数的图象等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中根据函数的单调性与奇偶性，得出2,1k a =>是解答的关键，同时熟练掌握对数函数与指数函数的性质是解答此类问题的基础.12.设奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-.当[1,1]x ∈-时，函数2()21f x t at ≤-+，对一切[1,1]a ∈-恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．22t -≤≤B ．2t ≤-或2t ≥ C.0t ≤或2t ≥ D ．2t ≤-或2t ≥或0t =【答案】D 【解析】试题分析：由奇函数()f x 在区间[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，所以在区间[1,1]x ∈-的最大值为1，所以2121t at ≤-+当0t =时显然成立，当0t ≠时，则220t at -≥成立，又[1,1]a ∈-，令()22,[1,1]g a at t a =-∈-，当0t >时，()g a 是减函数，故令()10g ≥，解得2t ≥；当0t <时，()g a 是增函数，故令()10g -≥，解得2t ≤-，综上所述，2t ≥或2t ≤-或0t =，故选D.考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性与函数的最值等知识点的综合考查，对于函数的恒成立问题，此类问题的解答的关键是对题设关系的转化，借助函数的单调性确定函数的最值进行合理转化，这是函数恒成立问题解答的常用的转化技巧，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是 __________. 【答案】3a ≤-考点：二次函数的性质.14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，设4(log 7)a f =，2(log 3)b f =，0.6(0.2)c f =，则,,a b c 的大小关系（从小到大排列）是___________.【答案】b a c << 【解析】试题分析：由题意得，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，所以函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为0.6242log 3log 7log 10.20>=>>>，所以b ac <<.考点：函数的单调性与奇偶性的应用.15.已知函数22log (1),0()2,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】(0,1)考点：函数的零点与方程的根的关系.【方法点晴】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系问题，其中解答中涉及到分段函数的解析式及其函数的图象的应用，本题的解答中把方程函数()()g x f x m =-有3个零点，转化为函数()y f x =与y m =的图象有3个交点是解得关键，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.16.设定义域为R 的函数()f x 满足下列条件：对任意x R ∈，()()0f x f x +-=，且对任意12[1,](1)x x a a ∈>，，当21x x >时，有21()()0f x f x >>.给出下列四个结论：①()(0)f a f >；②1()2a f f +>；③13()(3)1a f f a ->+；④13()()1af f a a->+. 其中所有的正确结论的序号是_______. 【答案】①②④考点：函数奇偶性与单调性的综合应用.【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的综合问题，其中解答中涉及到函数的单调性判定、函数的奇偶性的判定、实数与代数式的比较大小.本题的解答中利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解答的关键，试题综合性强，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知集合{|32}A x x =-<<，{|4B x x =<-或1}x >，{|121,}C x m x m m R =-<<+∈.（1）求A B ，A B ；（2）若AB C ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|12}A B x x =<<，{|4A B x x =<-或3}x >；（2）122m ≤≤． 【解析】试题分析：（1）由题意得，根据集合的交集与并集的运算，即可求解A B ，A B ；（2）根据集合之间的关系，列出关系式，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：（1）{|12}A B x x =<<，{|4A B x x =<-或3}x >.………………5分（2）122m ≤≤.………………10分 考点：集合的运算.18.（12分）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，21()f x x x=+. （1）求()f x 的表达式；（2）判断并证明函数()f x 在区间(0,)+∞上的单调性.【答案】（1）2210()0,01,0x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪-+>⎩；（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数，证明见解析．试题解析：（1）∵()f x 是奇函数，∴对定义域R 内任意的x ，都有()()f x f x -=-.……1分令0x =得，(0)(0)f f =-，即(0)0f =.………………2分 又当0x >时，0x -<，此时2211()()[()()]f x f x x x x x=--=--+=-+-.………………4分综合可得：2210()0,01,0x x f x x x x x ⎧+<⎪⎪==⎨⎪⎪-+>⎩.………………6分（2）函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数，下面给予证明.………………6分 设120x x <<，则2212121211()()()()f x f x x x x x -=-+--+ 2121121()()x x x x x x =-++.………………8分∵120x x <<，∴210x x ->，210x x +>，120x x >， ∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故函数()f x 在区间(0,)+∞上是减函数.………………12分 考点：函数的解析式与函数的单调性的定义.19.（12分）设定义域为R 的函数12()2x x af x b+-+=+（a b ，为实数）.（1）若()f x 是奇函数，求a b ，的值；（2）当()f x 是奇函数时，证明对任何实数x ，c 都有2()33f x c c <-+成立. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）证明见解析．试题解析：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =，………………1分 即102ab-+=+，∴1a =，………………2分 ∴121()2xx f x b +-+=+，∵(1)(1)f f =--，∴1112241b b--=-++，∴2b =.………………4分（2）11211211()22212221x x x x xf x +--===-++++， ∵20x>，∴211x+>，10121x <<+，从而11()22f x -<<；………………10分 而2233333()244c c c -+=-+≥对任何实数c 成立，∴对任何实数x ，c 都有2()33f x c c <-+成立.………………12分 考点：函数的奇偶性；指数函数的性质.20.（12分）国庆黄金周及其前后是旅游旺季.某宾馆通过对9月26日至10月15日这20天的调查，得到部分日经济收入Q 与这20天中的第t 天*()t N ∈的部分数据如下表：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个最恰当的函数描述Q 与t 的变化关系：Q at b =+，2Q t at b =-++，t Q a b =，log b Q a t =，并求出该函数的解析式；（2）利用你选择的函数，确定日经济收入最高的是第几天；并求出最高日经济收入. 【答案】（1）219200Q t t =-++，*(120,)t t N ≤≤∈；（2）9t =或10时，Q 取得最大值290万元．试题解析：（1）由提供的数据知道，描述宾馆日经济收入Q 与天数的变化关系的函数不可能为常数函数，从而用四个中的任意一个进行描述时都应有，而Q at b =+，tQ a b =，log b Q a t =三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，∴选取二次函数进行描述最恰当.………………4分将(1,218)、(8,288)代入2Q t at b =-++，可解得19a =，200b =.………………6分 ∴219200Q t t =-++，*(120,)t t N ≤≤∈；………………8分 （2）219200Q t t =-++，∵120t ≤≤，*t N ∈， ∴9t =或10时，Q 取得最大值290万元.………………12分 考点：函数模型与性质.21.（12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且0x ≥时，1()()2xf x =，函数()f x 的值域 为集合A .（1）求(1)f -的值；（2）设函数()g x =B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1(1)2f -=；（2）{|1}a a ≥． 【解析】试题分析：（1）根据偶函数的性质可知，只需研究0x ≥时，()f x 的取值范围即为函数的值域，根据指数函数的单调性可求长所求；（2）根据偶次根式的倍开方大于等于零，以及A B ⊆建立关系式，可求出a 的取值范围.试题解析：（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴(1)(1)f f -=. 又0x ≥时，1()()2xf x =，∴1(1)2f =.则1(1)2f -=.………………4分考点：函数奇偶性的性质；集合关系中的参数取值问题.【方法点晴】本题主要考查了函数奇偶性的性质、集合关系中的参数取值问题，其中解答中涉及到函数的奇偶性的应用、函数单调性的应用，以及一元二次不等式的解法等知识点的综合考查，本题的解答中正确把握函数的奇偶性与单调性的判定与应用是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题.22.（12分）定义在[1,1]-上的奇函数()f x ，对任意,0m n ≠时，恒有()()0f m f n m n+>+.（1）比较1()2f 与1()3f 大小；（2）判断()f x 在[1,1]-上的单调性，并用定义证明；（3）若810a x -+>对满足不等式11()(2)024f x f x -+-<的任意x 恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）11()()23f f >；（2）函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数，证明见解析；（3）4a >．【解析】试题分析：（1）利用作差法，即可比较1()2f 与1()3f 大小；（2）利用单调性定义证明步骤，即可得出结论；（3）先确定x 的范围，再分离参数求最值，即可求a 的取值范围.试题解析：（1）∵11()023+-≠，11()()23011()23f f +>+-， ∴11()()023f f +>，∴11()()23f f >--∴11()()23f f >.………………4分（2）任取12[1,1]x x ∈-，且12x x <，21212121212121()()()()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x x x -+--=-=--+-.∵2121()()0()f x f x x x +->+-，210x x ->，∴21()()0f x f x ->，∴函数()f x 在[1,1]-上为单调递增函数.………………8分 （3）4a >.………………12分 考点：函数奇偶性与单调性的综合问题.【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与单调性的综合问题，其中解答中涉及到单调性的证明、函数奇偶性的应用，以及作差法比较大小等知识点的综合考查，本题的解答中熟记函数的单调性的判定方法和函数奇偶性的性质的应用是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.。

三明一中2017～18 学年（下）高一学段考试数学试卷（总分100 分，时间：120 分钟）（注意：请将所有题目的解答都写到“答题卡”上）一、选择题(本题12 小题，每小题3分，共36 分。

每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中。

)1. 已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为( )A．150°B．135°C．75°D．45°2. 设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l⊥β，则α⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3. 已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0 表示圆，则k的取值范围是( )⎣ 3 ⎫ A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.⎨－，＋∞⎭24. 在空间四边形A BCD 中，E，F，G，H 分别是A B，BC，CD，DA 上的点，当B D∥平面E FGH 时，下列结论中正确的是( )A．E，F，G，H 一定是各边的中点B．G，H 一定是C D，DA 的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且D H∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD，且B F∶FC＝DG∶GC5．无论k为何值，直线(k＋2)x＋(1－k)y－4k－5＝0 都过一个定点，则该定点为( ) A．(1,3) B．(－1,3) C．(3，－1) D．(3,1)6. 圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0 与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0 的公切线条数为( )A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条7. 若直线l1：x＋ay＋6＝0 与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0 平行，则l1，l2 间的距离是( )8 2A. 3B.4 23 C．4 2 D．2 28. 如图，四棱锥S-ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面A BCD，则下列结论中不．正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面S CDC．SA 与平面S BD 所成的角等于S C 与平面S BD 所成的角D．AB 与S C 所成的角等于D C 与S A 所成的角9. 经过点M(2,1)作圆x2＋y2＝5 的切线，则切线方程为( )A. 2x＋y－5＝0B. 2x＋y＋5＝0 C．2x＋y－5＝0 D．2x＋y＋5＝010. 如图，在直三棱柱A BC-A1B1C1 中，D 为A1B1 的中点，AB＝BC＝2 5，BB1＝，AC＝8，则异面直线B D 与A C 所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°11. 已知直线l过点P(3,4)且与点A(－2,2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为( )A．2x＋3y－18＝0 或2x－y－2＝0 B．3x－2y＋18＝0 或x＋2y＋2＝0C．2x－y－2＝0 D．2x＋3y－18＝012. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝( )A．28＋2πB．28＋πC．32＋2πD．32＋π二、填空题(本题4小题，每小题3分,共12 分)13. 在空间直角坐标系中，点(－1，b，2)关于y 轴的对称点是(a，－1，c－3)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝_.14. 经过两直线2x－3y－3＝0 和x＋y＋2＝0 的交点且与直线3x＋y－1＝0 垂直的直线l的方程为．15. 圆心为直线x－y＋2＝0 与直线2x＋y－8＝0 的交点，且过原点的圆的标准方程是．16. 如图，四面体P-ABC 中，P A＝PB＝13，平面P AB⊥平面A BC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝.三、解答题（共6题，52 分），解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本题满分8分)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为32，求直线l的方程．18.（本题满分8分)光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x 上的B点后被直线y＝x 反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1,6)，求B C 所在的直线方程．19.(本题满分8分)一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0 上，且直线y＝x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程．20.(本题满分8分)已知圆O1 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2 的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O1 与圆O2 外切，求圆O2 的方程；(2)若圆O1 与圆O2 交于A，B 两点，且|AB|＝2 2，求圆O2 的方程．21.(本题满分10 分)如图，在直三棱柱A BC-A1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1 的中点，求A D 与平面A1B1C1 所成角的正弦值．22.(本题满分10 分)在平面直角坐标系x Oy 中，O 为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x－3y－4＝0 相切．(1)求圆O的方程．(2)直线l：y＝kx＋3 与圆O交于A，B 两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形O AMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．草稿纸。

江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ▲ ．2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ▲ ． 3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ▲ ．4．函数()f x =的定义域为 ▲ . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为 ▲ 2cm . 6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP u u u r 和AB u u u r的夹角等于 ▲ ．7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ▲ ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ▲ ．9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ▲ ．10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r ， 则AD BC ⋅uuu r uu u r＝ ▲ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ▲ ． 13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ▲ ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请（第8题）在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝2π，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC ，求△ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足135a =，*112(2)n n a n n a -=-∈N ，≥,数列{}nb 满足*1()1n n b n a =∈-N ．（1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．C(第19题)18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，，b ()cos sin 22θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求⋅+a b a b的最大值和最小值；（2）若k k +=-a b b ，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积. （1）设ADx （x a ≥），DE y ，试将y 表示为x 的函数关系式； （2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =．①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ；②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．参考答案【填空题答案】1．1 2．π 3．2x - 4．(0 5.2π 6.4π 7．18．[2018,2019]9. 4 10.83- 11. 1 12. 100913.(),10π【解答题答案】15. 【解】（1）当m =3时，{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，， ………………………2分而()33A =-，，于是(][)33A =-∞-+∞R ，，ð， …………………………4分所以()[)37.A B =R ，ð…………………………6分（2）A B A B A =⇔⊆.若B =∅，则121m m -=+，解得2.m =- …………………………8分若B ≠∅，由B A ⊆得23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤， 解得21m -<≤.…………………………12分 综上得实数m 的取值范围是[]21-，. …………………………14分 16．【解】（1）由C －A ＝2π和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝2π－2A ,0<A <4π. …………………………4分 故sin B ＝cos2A ，即1－22sin A ＝13，sin A =. …………………………7分（2）由(1)得sin sin()cos 2C A A π=+==. ………………10分又由正弦定理sin sin BC ACA B=，得BC =， …………………………12分所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=…………………………14分17．【解】（1）由*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，得*112()n na n a +=-∈N1111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=-=----- ………………………4分又152b =-，所以{}n b 是以52-为首项，1为公差的等差数列 (6)分（2）因为17(1)2n b b n n =+-=-， 所以121127n n a b n =+=+-． (9)分13n ≤≤时数列{}n a 单调递减且1n a <，4n ≥时数列{}n a 单调递减且1n a >所以数列{}n a 的最大项为43a =，最小项为31a =-. ………………………14分18．【解】（1）a ·b ()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos 222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，. ……2分2cos θ+a b .于是2co 1c 2c θθθθθθ⋅-===-+a b a b …………………………4分 因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1c o s 12θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………6分 故当1cos 2θ=即π3θ=时，⋅+a b a b 取得最小值12-；当cos 1θ=即0θ=时，⋅+a b a b 取得最大值12.…………………………8分（2）由k k +=-a b b 得222221312cos 23(1)6cos 2cos 24k k k k k k k kθθθ++=-⇔++=+-⇔=a b a b . ……………11分因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1cos 212θ-≤≤. 不等式211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，解得22k ≤1k =-， 故实数k 的取值范围是{}221⎡-⎣. …………………………16分19．【解】（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以21(2)2xA E a=，即22a AE x=. …………………………2分 在△ADE 中，由余弦定理得y =…………………………4分因为0202AD a AE a ≤≤，≤≤，所以202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤， 解得2a x a ≤≤ 故y 关于x 的函数关系式为)2y a x a =≤≤. …………………………6分 （2）令2t x =，则224a t a ≤≤，且y =设()4224()4af t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，. …………………………8分若22122a t t a <≤≤，则()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>所以()f t 在222a a ⎡⎤⎣⎦，上是减函数. 同理可得()f t 在2224a a ⎡⎤⎣⎦，上是增函数. ………………11分于是当22t a =即x =时，min y =，此时DE //BC，且.AD = ……………………13分当2t a =或24t a =即x =a 或2a时，max y =，此时DE 为AB 或AC 上的中线. …………15分故当取AD 且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长. …………………………16分20．【解】（1）因为2n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩即21n a n =- ……………………2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2112(22n B n =⋅ ……………………4分 （2）①依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，12n n b b +=， 又因为12b =，所以0n b ≠，所以12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n b =， ………………………6分12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅，2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅，错位相减得 1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅所以1(1)22n n C n +=-⋅+ (1)0分②由题意10B ≠，所以10b ≠，由①112n n b b -=得1(21)n n n a B b ==-，11(22)n n A b n +=--， 所以111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---， ……………………12分假设存在两个整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列， 即11,,212121s ts t---成等差数列， 即121212121s t s t=+--- 即212121s t s t =+--，因为1121t t+>-，所以2121s s >-，即221ss <+ 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，……………………14分 代入121212121s t s t =+---得2310tt --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求；当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求. 所以，不存在正整数,s t ，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列. ……………………16分。

2017-2018学年第一学期第二阶段考试卷高一数学一、选择题（本大题共12小题每小题3分，共36分）1.下面四组函数中，()f x 与()g x 表示同一个函数的是（ ） A. (),f x x =()2g x =B. ()2,f x x =()22x g x x= C. (),f x x =()g x =D. (),f x x =()g x =2.下列函数是偶函数的是 ( ) A. []2,0,1y x x =∈ B. 12y x-= C. 223y x =- D. y x =3.设{}21,P y y x x R ==-+∈,{}21xP x =>则（ ） A. P Q ⊆ B. R C P Q ⊆C. Q P ⊆D. R Q C P ⊆4.函数()()1lg 1f x x =+ ）A.()](1,00,2-B. [)](2,00,2-C. []2,2-D. ](1,2-5.设()338xf x x =+-，用二分法求方程3380x x +-=在()1,2x ∈-内的近似解的过程中()()()10, 1.50, 1.250f f f <><，则方程的根落在区间 ( )A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2）D.不能确定6.定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{}{}1,2,0,2A B ==,则A B *的所有元素之和为 ( )A.0B. 6C.3D. 2 7.若11021511,,log 10,25a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则,,a b c 大小关系为（ ）A.a b c >>B. a c b >>C. c b a >>D. b a c >> 8.函数()()()log 2341a f x x a o a =-->≠且的图象恒过定点（ ） A.()1,0 B. ()1,4- C. ()2,0 D. ()2,4-9.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间)4,+∞⎡⎣为增函数，则a 的取值范围（ ）A.](,3-∞- B.(),3-∞- C.()3,-+∞ D.[)3,-+∞ 10.已知函数()f x 与()g x 分别由表给出：若()()2g f x =时，则x =（ ） A. 4B. 3C. 2D. 111.若()f x 为偶函数，当0x >时，()2f x x x =+，则0x <时()f x 的解析式为（ ） A.()2f x x x =-- B.()2f x x x =-+ C.()2f x x x =- D.()2f x x x =+12.若实数,,a b c 满足12b a <<<，108c <<，关于x 的方程20ax bx c ++=（ ） A. 在区间（-1，0）内没有实数根B. 在区间（-1，0）内有两个不相等的实数根C. 在区间（-1，0）内有两个相等的实数根D. 在区间（-1，0）内有一个实数根，在（-1，0）外有一个实数根二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.若幂函数(),y f x =的图象经过点()2,8, 则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是_________. 14. 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为 .15.若函数()()()()22,1,112,1x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，则若函数()()h x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围是 .16.若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是 .三．解答题（本大题共6小题，前5题每题8分，最后一题12分，共52分）17.设全集U R =，1,112xA y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，(){}2log 1B x y x ==-（1）求A B （2）求()U C A B18.化简求值：（1）013134210.064160.258-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭（2）3log 22311lg 25lg 2log 9log 223⎛⎫++-⨯ ⎪⎝⎭19.已知()()()()log 1log 10,1a a f x x x a a =+-->≠且． （1）判断函数()f x 的奇偶性，并予以证明； （2）当1a >时求使()0f x >的x 的取值范围．20.已知函数()()02mf x m x =<-,讨论此函数在定义域上的单调性， 并用定义证明在(),2-∞的单调性。