重庆育才中学2023届高一(上)半期考试数学试题+解析

重庆高2027届高一上期月考数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤ B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥ B.2a > C.6a > D.6a ≥5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}m m -<<∣B.{3m m <-∣或1}m >C.{13}m m -<<∣D.{1mm <-∣或3}m >6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,17.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.的B.34aa b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为168.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a >，则有*12,2n a a a n n n+++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z xx y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.重庆高2027届高一上期月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号码填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}432A B x x =≤=，，则A B = （）A.2163xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B.{}316x x ≤< C.223xx ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D.{}02x x ≤≤【答案】A 【解析】【分析】根据集合的交集运算法则运算即可.【详解】因为{}{}4016A x x =≤=≤≤，{}2323B x x x x ⎧⎫==>⎨⎩⎭，所以A B = 2163x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.故选：A .2.命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是（）A.230,1x x x ∀≥+≤B.230,1x x x ∀<+≤ C.230,1x x x ∃<+≤ D.230,1x x x ∃≥+≤【答案】B 【解析】【分析】利用特称命题的否定形式回答即可.【详解】根据特称命题的否定形式可知命题.“230,1x x x ∃<+>”的否定是“230,1x x x ∀<+≤”.故选：B3.已知函数()2f x +的定义域为()3,4-，则函数()1g x +=的定义域为（）A.()4,3- B.()2,5- C.1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,53⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数()2f x +的定义域为()3,4-，所以函数()f x 的定义域为()1,6-，则对于函数()1g x +=，需满足116310x x -<+<⎧⎨->⎩，解得153x <<，即函数()1g x +=的定义域为1,53⎛⎫⎪⎝⎭.故选：D.4.使得“[]21,2,0x x x a ∀∈+-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.2a ≥B.2a >C.6a > D.6a ≥【答案】C 【解析】【分析】对于全称量词命题2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤，我们需要先求出使得该命题为真时a 的取值范围，然后再根据充分不必要条件的定义来判断选项.【详解】令2()f x x x =+，[1,2]x ∈.对于二次函数2y ax bx c =++，其对称轴为122b x a =-=-.因为10a =>，所以函数()f x 在[1,2]上单调递增.那么()f x 在[1,2]上的最大值为2max ()(2)226f x f ==+=.因为2[1,2],0x x x a ∀∈+-≤为真命题，即2a x x ≥+在[1,2]上恒成立，所以max ()6a f x ≥=.A 是B 的充分而不必要条件，即值A B ⇒，B A ¿.当6a >时，一定满足6a ≥，所以6a >是6a ≥的充分不必要条件.而2a >时，不能保证一定满足6a ≥，2a ≥时，也不能保证一定满足6a ≥.故选：C.5.若正实数,x y 满足3x y +=，且不等式22823m m x y+>-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.{31}mm -<<∣ B.{3m m <-∣或1}m > C.{13}m m -<<∣ D.{1mm <-∣或3}m >【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式和常值代换法求得28x y+的最小值，依题得到不等式2236m m -+<，解之即得.【详解】因3x y +=，由28128()()3x y x y x y+=++1281(10)(10633y x x y =++≥+=，当且仅当28y x x y =时取等号，即当1,2x y ==时，28x y+取得最小值6.因不等式22823m m x y+>-+恒成立，故2236m m -+<，即2230m m --<，解得13m -<<.故选：C.6.函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则实数a 的取值范围是（）A.30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.()0,1 D.[]0,1【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到()f x 在定义域R 上为单调递减函数，结合分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数()()()245,2231,2x a x x f x a x x ⎧-++<⎪=⎨-+≥⎪⎩因为函数()y f x =任意12,R x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 在定义域R 上为单调递减函数，则满足()()242223024252321a a a a +⎧≥⎪⎪-<⎨⎪-+⨯+≥-⨯+⎪⎩，即0321a a a ≥⎧⎪⎪<⎨⎪≤⎪⎩，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是[]0,1.故选：D.7.已知,a b 均为正实数，且1a b +=，则下列选项错误的是（）A.B.34a a b++的最小值为7+C.()()11a b ++的最大值为94D.2232a b a b +++的最小值为16【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可判断AC 的正误，利用“1”的代换可判断B 的正误，利用换元法结合常数代换可判断D 的正误.【详解】选项A：2112,1a b a b +=+≤++===时取等，+A 对；选项B：3433443577a a b a b a b aa b a b a b+++++=+=++≥+，当且仅当35,22a b -==时取等，故34a a b ++的最小值为7+，故B 错选项C ：()()2119111,242a b a b a b +++⎛⎫++≤=== ⎪⎝⎭时取等，故()()11a b ++的最大值为94，故C 对；选项D ：换元，令3,2x a y b =+=+，则6x y +=，故()()222232941032x y a b x y a b x y x y--+=+=+-++++94194251413446666x y y x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=++-≥-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1812,55x y ==取等号，故2232a b a b +++的最小值为16，故D 正确；故选：B.8.含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如{}4,6,9的“交替和”是9647-+=；而{}5的交替和是5，则集合{}Z 54M x x =∈-≤≤∣的所有非空子集的“交替和”的总和为（）A.2048B.2024C.1024D.512【答案】A 【解析】【分析】将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，从而有集合A 与集合B 的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有92个，即可求解.【详解】由题知{}5,4,3,2,1,0,1,2,3,4M =-----，将集合M 的子集两两配对(),A B ：使4,4A B ∈∉且{}4B A ⋃=，则符合条件的集合对有92个，又由题设定义有集合A 与集合B 的交替和之和为4，所以交替和的总和为9114222048⨯==.故选：A.二､多项选择题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,,a b c ∈R ；则下列不等式一定成立的有（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b >B.若0a b >>，则20242024b b a a +<+C.若,a b c d >>，则ac bd >D.()221222a b a b ++≥--【答案】BD 【解析】【分析】利用特殊值验证AC 是错误的，利用作差法判断B 的真假，利用配方法证明D 是正确的.【详解】对A ：令1a =-，1b =，则0ab ≠且a b <，但11a b>不成立，故A 错误；对B ：当0a b >>时，()()()20242024202420242024b a a b b b a a a a +-++-=++()()202402024b a a a -=<+，所以20242024b b a a +<+成立，故B 正确；对C ：令3a =-，4b =-，0c =，1d =-，则,a b c d >>，但ac bd >不成立，故C 错误；对D ：因为()()()222212222144a b a b a b a b ++----++++=()()22120a b =-++≥，所以()221222a b a b ++≥--成立，故D 正确.故选：BD10.下列说法正确的是（）A.若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q 是r 的充分不必要条件B.若关于x 的不等式2430kx kx k -++≥的解集为R ，则实数k 的取值范围是01k <≤C.若不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，则不等式2320ax ax b --≥的解集为[]1,4-D.“[]()21,3,2130a ax a x a ∃∈---+-<”为假命题的充要条件为[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断A ，分类讨论求出k 的范围判断B ，根据数轴穿根法及不等式的解集求出ba及0a <解不等式判断C ，由命题的否定转化为不等式恒成立，看作关于a 的不等式恒成立即可判断D.【详解】对A ，若p 是q 的必要不充分条件，p 是r 的充要条件，则q p r ⇒⇔，但是p 不能推出q ，所以q r ⇒，但是r 不能推出q ，所以q 是r 的充分不必要条件，故A 正确；对B ，当0k =时，原不等式为03≥，恒成立满足题意，当0k ≠时，由题意需满足()2Δ16430k k k k >⎧⎨=-⋅+≤⎩，解得01k <≤，综上，实数k 的取值范围是01k ≤≤，故B 错误；对C ，由不等式()()30x ax b x c-+≤-的解集为[)[)2,13,∞-⋃+，结合数轴穿根法知，1,2bc a==，且0a <，所以不等式2320ax ax b --≥可化为2340x x --≤，解得14x -≤≤，故C 正确；对D ，由题意知[]()21,3,2130a ax a x a ∀∈---+-≥为真命题，则()22130a x x x --++≥在[]1,3a ∈-时恒成立，令()2()213g a a x x x =--++，只需()()2213403350g x x g x x ⎧-=-++≥⎪⎨=-≥⎪⎩，则14503x x x -≤≤⎧⎪⎨≥≤⎪⎩或，解得[]51,0,43x ⎡⎤∈-⋃⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD11.已知函数()f x 的定义域为[)0,+∞，且满足当[)0,2x ∈时，()22f x x x =-+，当2x ≥时，恒有()()2f x f x λ=-，且λ为非零常数，则下列说法正确的有（）A.()()101320272024f f λ+=B.当12λ=时，反比例函数()1g x x =与()f x 在()0,2024x ∈上的图象有且仅有6个交点C.当0λ<时，()f x 在区间[]2024,2025上单调递减D.当1λ<-时，()f x 在[]()*0,4n n ∈N 上的值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据所给函数解析式直接求解判断A ，根据()f x 的性质及(),()g x f x 图象判断B ，归纳出()f x 在[]2024,2025上的解析式判断C ，根据规律，归纳值域特点判断D.【详解】选项A ：()()()()()210121013101320272025202331f f f f f λλλλλ====== ，()()()()()210111012202420222020200f f f f f λλλλ====== ，则()()101320272024f f λ+=，所以选项A 正确；选项B ：由()()122f x f x =-知，()0,2024x ∈时，()()()()()[)()()[)()()[)210112,0,2124,2,42146,4,62120222024,2022,20242x x x x x x f x x x x x x x ⎧-∈⎪⎪--∈⎪⎪⎪=--∈⎨⎪⎪⎪⎪--∈⎪⎩ ，由于()()()()()()1111111,33,553254g f g f g f ===<==<=，但()()()()31011111177,202320237220232g f g f =>==>= ，作,的图象，如图，结合图象可知()0,6x ∈上有2226++=个交点，在[)6,2024x ∈上无交点，故选项B 正确；选项C ：[]2024,2025x ∈时，()()()1012120242026f x x x λ=--，故()f x 在[]2024,2025上单增，故C 错误；选项D ：因为1λ<-，所以当[]0,4x ∈时，值域为[],1λ；当[]0,8x ∈时，值域为32,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,12x ∈时，值域为54,λλ⎡⎤⎣⎦；当[]0,16x ∈时，值域为76,λλ⎡⎤⎣⎦；L 当[]0,4x n ∈时，值域为2122,n n λλ--⎡⎤⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：根据所给函数解析式，可知函数类似周期特点，图象形状类似，振幅有规律变化，据此可归纳函数的性质是解题的关键所在.三､填空题.本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合{}210A xx =-=∣，则集合A 有__________个子集.【答案】4【解析】【分析】求出集合A ，列举出集合A 的子集即可.【详解】因2{10}{1,1}A x x =-==-∣，故集合A 的子集有,{1},{1},{1,1}∅--共4个.故答案为：4.13.已知集合[]()(){}1,4,10A B x x a ax ==+-≤∣，若A B B = 且0a ≥，则实数a 的取值范围是__________.【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据集合的包含关系，讨论0a =和0a >两种情况，求集合B ，再比较端点值，即可求解.【详解】因为A B B = ，所以A B ⊆，因为()(){}10B x x a ax =+-≤∣，且0a ≥：1 当0a =时，[)0,B ∞=+，符合题意；2当0a >时，1,B a a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，则11404a a ≥⇒<≤，综上，10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：10,4⎡⎤⎢⎣⎦14.若正实数x ，y 满足()()332331423x y x y -+-=--，则2346y x x x y++的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的单调性可知243x y =-，代入可得234386y x y xx x y x y++=+，根据基本不等式可得最值.【详解】由题可知()()()()3323231313x x y y -+-=-+-，因为3,y t y t ==在R 上单调递增，所以()3g t t t =+在R 上单增，所以上式可表示为()()2313g x g y -=-，则2313x y -=-，即243x y =-，因此()22433433866x y y x y y x x x x y x y x y -++=++=+≥=当且仅当38243y x x y x y⎧=⎪⎨⎪=-⎩即25x -=，2415y -=时等号成立，故答案为：.四､解答题､本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知函数()21,122,1x x f x x x ⎧->-⎪=⎨⎪--≤-⎩.（1）若()01f x =，求0x 的值；（2）若()3f a a <+，求实数a 的取值范围.【答案】（1）02x =或3-（2）5,42⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据分段函数定义分类列方程求解；（2）根据分段函数定义分类列不等式求解．【小问1详解】由()01f x =可得：1∘>−1−1=1⇒0=20=−2舍去）0000123,,23;21x x x x ≤-⎧⇒=-=-⎨--=⎩ 综上或【小问2详解】由()3f a a <+可得：1∘>−11<+3⇒>−12−2−8<0⇒>−1−2<<4⇒∈−1,4；2∘≤−1−−2<+3⇒≤−1>−52⇒∈−52,−1综上可得5,42a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭.16.已知函数()f x =A ，集合{}321B xx =->∣.（1）求A B ；（2）集合{}321M xa x a =-≤≤-∣，若M ()RA ð，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3{|4A B x x =≤ 或1}x >（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）根据条件，先求出集合,A B ，再利用集合的运算，即可求解；（2）由（1）可得R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，再根据条件，分M =∅和M 蛊两种情况讨论，即可求解.【小问1详解】由5402x +≥-,即4302x x -≥-，得到2x >或34x ≤，所以3{|4A x x =≤或2}x >，又由321x ->，得到321x -<-或321x ->，即13x <或1x >，所以1{3B x =<或1}x >，所以3{|4A B x x =≤ 或1}x >.【小问2详解】因为3{|4A x x =≤或2}x >，所以R 3,24A ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð，①当321a a ->-，即43a <时，此时M =∅()RA ð，所以43a <满足题意，②当43a ≥，即M 蛊时，由题有212334a a -≤⎧⎪⎨->⎪⎩，解得4332a ≤≤，综上，实数a 的取值范围是3,2a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.17.已知二次函数()f x 的图象过原点()0,0，且对任意x ∈R ，恒有()26231x f x x --≤≤+.（1）求()1f -的值；（2）求函数()f x 的解析式；（3）记函数()g x m x =-，若对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，求实数m 的取值范围.【答案】（1）4（2）()222f x x x=-（3）(],10-∞【解析】【分析】（1）令1x =-即可求出()1f -.（2）根据条件，先设出二次函数的解析式，再根据()26231x f x x --≤≤+恒成立，可求待定系数.（3）问题转化成()f x 在区间(]1,6的最小值不小于()g x 在[]6,10上的最小值求参数的取值范围.【小问1详解】在不等式()26231x f x x --≤≤+，令()()141414x f f =-⇒≤-≤⇒-=.【小问2详解】因为()f x 为二次函数且图象过原点()0,0，所以可设()()2,0f x ax bx a =+≠，由()1444f a b b a -=⇒-=⇒=-，于是()()24f x ax a x =+-，由题：()()262220,f x x ax a x x ≥--⇔+++≥∈R 恒成立⇔>0Δ≤0⇔>0+22−8=−22≤0⇒=2,=−2⇒=22−2，检验知此时满足()()223110,f x x x x ≤+⇔+≥∈R ，故()222f x x x =-.【小问3详解】函数()222f x x x =-，开口向上，对称轴12x =，所以()222f x x x =-在区间(]1,6上单调递增，因此，(]11,6x ∈时，()()()(11,6f x f f ⎤∈⎦，即()(]10,60f x ∈，而()g x m x =-在[]6,10上单调递减，所以[]26,10x ∈时，()[]210,6g x m m ∈--因为对任意(]11,6x ∈，均存在[]26,10x ∈，使得()()12f x g x >，等价于()()(]110010,10f g m m ∞≥⇒≥-⇒∈-18.教材中的基本不等式可以推广到n 阶：n 个正数的算数平均数不小于它们的几何平均数.也即：若12,,,0n a a a > ，则有*12,2n a a a n n n +++≥∈≥N ，当且仅当12n a a a === 时取等.利用此结论解决下列问题：（1）若,,0x y z >，求24y z x x y z++的最小值；（2）若10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求()312x x -的最大值，并求取得最大值时的x 的值；（3）对任意*k ∈N ，判断11kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭与1111k k +⎛⎫+ ⎪+⎝⎭的大小关系并加以严格证明.【答案】（1）6（2）最大值为272048，38x =（3）1*1111,1kk k k k +⎛⎫⎛⎫+<+∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭N ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据三阶基本不等式的内容直接可得解；（2）由()()32722212128333x x xx x x -=⋅⋅⋅⋅-，结合四阶基本不等式可得最值；（3）猜测111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N 成立，验证1k =不等式成立；结合推广公式证明2k ≥结论成立.【小问1详解】因为,,0x y z >，所以由三阶基本不等式可得：246y z x x y z ++≥，当且仅当24y z xx y z==即2y z x ==时取等号，因此24y z x x y z++的最小值为6；【小问2详解】当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由四阶基本不等式可得：()()()432221227222272733312128333842048x x x x x x x x x x ⎛⎫+++- ⎪-=⋅⋅⋅⋅-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2123xx =-即310,82x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取等号，因此()312x x -的最大值为272048；【小问3详解】大小关系为111111kk k k +⎛⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，*k ∈N ，证明如下：由条件可知：12,,,0n a a a > 时，*1212,,2nn n a a a a a a n n n +++⎛⎫⋅≤∈≥ ⎪⎝⎭N ，当1k =时，左边11121⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，右边219124⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，左边<右边，不等式成立；当2k ≥，*k ∈N 时，由1k +阶基本不等式，可知：不等式左边111111111kk k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()(1)1111111111(11)11()111k k k k k k k k k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎛⎫++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪≤== ⎪+++ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭个个1111k k +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭而111k ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，因此上式的不等号取不到等号，于是1111111111kk k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，原不等式得证.19.已知定义在11,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上的函数()f x 同时满足下列四个条件：①512f ⎛⎫=-⎪⎝⎭；②对任意12x >，恒有()()0f x f x -+=；③对任意32x >，恒有()0f x <；④对任意,0a b >，恒有111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（1）求32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并用定义法证明；（3）若对任意[]1,1t ∈-，恒有()()21232f t k t k -+-+≤，求实数k 的取值范围.【答案】（1）0（2）()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，证明见解析（3）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）令1a b ==可得302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再由()()0f x f x -+=，即可得出答案；（2）由单调性的定义证明即可；（3）由单调性和奇偶性列出不等式，再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中令333120222a b ff f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（或令53532,102222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭).而()()333000222f x f x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=⇒-+=⇒-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减.下证明：由④知：对任意,0a b >，恒有111222f ab f b f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证一：任取2112x x >>，于是()()22211111111111122112222222x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅-+--+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭因为2112x x >>，所以2111022x x ->->221111132********x x x x --⇒>⇒+>--，而对任意32x >时恒有()0f x <，故211120122x f x ⎛⎫- ⎪+<⎪ ⎪-⎝⎭，即()()210f x f x -<，所以()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，证毕；证二：任取2112x x >>，设2111,,1,022x mn x n m n =+=+>>()()21111222f x f x f mn f n f m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为131.22m m >+>，所以102f m ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即()()21f x f x <，也即()f x 在1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭单调递减,证毕；【小问3详解】在111222f a f b f ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中：令5599222222a b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+=⇒=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而()()0f x f x -+=，于是922f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令139339,402442242a b f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒+==⇒=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由（2）知()f x 在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，又()()0f x f x -+=，可得()f x 在1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上也单调递减，如图，可知不等式()()21232f t k t k -+-+≤等价于：对任意[]11t ,∈-，不等式()231234t k t k -+-+≥……①或者()29112322t k t k -≤-+-+<-恒成立，……②法一：令()()[]2123,1,1g t t k t k t =-+-+∈-立，因为()g t 开口向下，由()g t 图像可知：不等式①()()11313204;334144k g k g k ⎧⎧≥-≥⎪⎪⎪⎪⇔⇒⇒≥⎨⎨⎪⎪≥≥⎪⎪⎩⎩对于②，当1t =±时，由()()1391121022919112222k g k g k ∅⎧⎧-≤<-≤-<-⎪⎪⎪⎪⇒⇒∈⎨⎨⎪⎪-≤<--≤<-⎪⎪⎩⎩，即一定不存在k 满足②.综上取并，得3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭法二：令()()[]()2123,1,1,g t t k t k t g t =-+-+∈-开口向下，对称轴为12t k =-，且()()211152,1,224g k g k g k k k ⎛⎫-=-=-=++ ⎪⎝⎭，1 当112k -<-即32k >时，问题等价于>321≥34或>32−1<−121≥−92,解得32k >；2 当1102k -≤-≤即1322k ≤≤时，等价于()1322314k g ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或()13221133,;2242912k g k k g ⎧≤≤⎪⎪⎪⎛⎫⎡⎤-<-⇒∈⎨ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎪≥-⎪⎩3 当1012k <-≤即1122k -≤<时，问题等价于()1122314k g ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()11221122912k g k g ⎧-≤<⎪⎪⎪⎛⎫-<-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；4 当112k ->即12k <-时，问题等价于()12314k g ⎧<-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或()()12112912k g g ⎧<-⎪⎪⎪<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得k ∈∅；综上，3,4k ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭.。

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（下）3月月考数学试题本试卷为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量()()()1,0,1,,2,1a b k c ==-=，若()2a b c+ ∥，则k =（）A.1B.1- C.14-D.14【答案】C 【解析】【分析】求出2a b + 的坐标，根据()2a b c + ∥，列出方程，计算可得.【详解】因为()()1,0,1,a b k ==-，所以()()()1,021,12,2a k k b =+-=-+，因为()2//a b c +，()2,1c = ，所以()11220k -⨯-⨯=，解得14k =-故选：C.2.已知α是第二象限角，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】已知α是第二象限角，求2α和2α终边所在位置，判断tan 2α和sin 2α的符号，确定点tan,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭所在象限.【详解】α是第二象限角，则()π2ππ2πZ 2k k k α+<<+∈，()ππππZ 422k k k α+<<+∈，2α的终边在一三象限，tan 02α>，()π4π22π4πZ k k k α+<<+∈，2α的终边在三四象限和y 轴非负半轴，sin 20α<，则点tan ,sin22P αα⎛⎫⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D3.如图，60C 是一种碳原子簇，它是由60个碳原子构成的，其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体，这60个C 原子在空间进行排列时，形成一个化学键最稳定的空间排列位置，恰好与足球表面格的排列一致，因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件，两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角()0180θθ<≤满足：233153cos cos cos cos 02222αβθγθδθθ⎛⎫⎛⎫++-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，式中,,,αβγδ分别为杂化轨道中,,,s p d f 轨道所占的百分数.60C 中的杂化轨道为等性杂化轨道，且无,d f 轨道参与杂化，碳原子杂化轨道理论计算值为 2.28sp ，它表示参与杂化的,s p 轨道数之比为1:2.28，由此可计算得一个60C 中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为（）A.2520,57-B.2520,57C.2512,57-D.2512,57【答案】C 【解析】【分析】设60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，列方程即可求解,x y ，再根据所给公式求出cos θ.【详解】设一个60C 中的凸32面体结构中共有x 个五边形，y 个六边形，因为每个顶点都是三个面的公共顶点，所以56603x y+=，又因为32x y +=，解得12,20x y ==，所以共有12个正五边形；又因为1 2.28,,03.28 3.28αβγδ====，所以1 2.28cos 03.28 3.28θ+=，解得25cos 57θ=-，故选：C.4.已知175sin cos ,π,π134ααα⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则sin cos αα-=（）A.213 B.213-C.713D.713-【答案】C 【解析】【分析】根据5π,π4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin cos αα＞，运用同角关系计算.【详解】()2222222171717sin cos ,sin ,sin cos 2sin cos 131313αααααααα+=-∴+=++=，21202sin cos 13αα=，()222224949sin cos 2sin cos ,sin cos 1313αααααα+-=-=，5π7π,,sin cos ,sin cos 0,sin cos 413ααααααα⎛⎫∈--= ⎪⎝⎭＞＞；故选：C.5.已知非零向量,a b满足()()()()7,2211a b a b a b a b -⊥-+⊥- ，则sin ,a b =（）A.35B.45C.513D.1213【答案】A 【解析】【分析】由已知向量的垂直，根据数量积为0，列方程组求解.【详解】()()7a b a b -⊥- ，则()()227870a b a b a a b b -⋅-=-⋅+=，①()()2211a b a b +⊥- ，则有()()22221127220a b a b aa b b +⋅-=-⋅-=，②78⨯⨯①-②，得2292250a b -= ，则有5a b = ，代入①式，2222540cos ,70b b a b b -+=，解得4cos ,5a b = ，由[],0,π∈ a b ，得3sin ,5a b =.故选：A6.已知 1.5241,log 3,sin 12a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.b c a <<C.c a b <<D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】通过和中间数13,24比大小即可.【详解】 1.51212a ⎛⎫⎪⎝<=⎭；443log 3log 4b =>=；2221ππ3=sin sin 1sin 2434c <=<=；所以a c b <<故选：D7.如图，在梯形ABCD 中，112AD DC AB ===且,AB AD P ⊥为以A 为圆心AD 为半径的14圆弧上的一动点，则()PD PB PC ⋅+ 的最小值为（）A.3-B.3-C.3-D.3-【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及三角函数的性质求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则有()0,0A ，()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，设()πcos ,sin 02P ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭ααα，得()cos ,1sin PD =-- αα，()2cos ,sin PB =-- αα，()1cos ,1sin PC =--αα，则()()()cos ,1sin 32cos ,12sin PD PB PC ⋅+=--⋅--αααα222cos 3cos 2sin 3sin 1=-+-+ααααπ34⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭α由π02α≤≤，当π4α=时，()PD PB PC ⋅+ 有最小值3-.故选：B8.设函数()()2sin 1(0)f x x ωϕω=+->，若对任意实数(),f x ϕ在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（）A.810,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.10,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.144,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1416,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】由题可转化为研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π的区间上的零点问题，求出函数2sin 1y x ω=-在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点，得到相邻四个零点之间的最大距离，相邻五个零点之间的距离，结合条件列式即得.【详解】因为ϕ为任意实数，故函数()f x 的图象可以任意平移，从而研究函数()f x 在区间[]0,π上的零点问题，即研究函数2sin 1y x ω=-在任意一个长度为π0π-=的区间上的零点问题，令2sin 1y x ω=-0=，得1sin 2x ω=，则它在y 轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为π6ω，5π6ω，13π6ω，17π6ω，25π6ω，L ，则它们相邻两个零点之间的距离分别为2π3ω，4π3ω，2π3ω，4π3ω，L，故相邻四个零点之间的最大距离为10π3ω，相邻五个零点之间的距离为4πω，所以要使函数()f x 在区间[]0,π上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于π，相邻五个零点之间的距离大于π，即10ππ34ππωω⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，解得1043ω≤<.故选：B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知在同一平面内的向量,,a b均为非零向量，则下列说法中正确的有（）A.若,a b b c∥∥，则a c∥B.若a c a b ⋅=⋅ ，则b c= C.()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D .若a b 且a c ⊥，则()c a b ⋅+= 【答案】AD 【解析】【分析】平面向量共线的传递性判断A ，由向量数量积的定义可判断B ，根据数量积及共线向量的概念可判断C ，根据向量垂直及向量数量积的概念可判断D.【详解】对A ，在同一平面内的向量,,a b c 均为非零向量，若//a b 且//b c ，则//a c ，即A 正确；对B ，若a c a b ⋅=⋅ ，则cos ,cos ,a c a c a b a b ⋅=⋅ ，又0a ≠ ，所以cos ,cos ,b a b c c =，因为,b c 与a 的夹角不一定相等，所以b c =不一定成立，即B 错误；对C ，因为()a b c ⋅⋅ 与c 共线，()a b c ⋅⋅与a 共线，所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，即C 错误；对D ，若//a b 且a c ⊥ ，则c b ⊥ ，()0c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅= ，即D 正确.故选：AD ．10.函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有（）A.2ω=B.7π,012⎛⎫-⎪⎝⎭为函数()f x 的一个对称中心点C.117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦为函数()f x 的一个递增区间D.可将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()f x 【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数图像可求出A 、ω、ϕ的值，可得()f x 的解析式，利用三角函数的性质对各选项进行判断可得答案.【详解】由题可得得，1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则2π2πω==，故A 正确；又π16f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以ππ22π(Z)62k k ϕ⨯+=+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当7π12=-x 时，7π7ππsin 2012126f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数图象关于点7π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B 正确；对于C ，由πππ2π22π,Z 262k x k k -+≤+≤+∈，可得ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，令2k =，可得5π13π36x ≤≤，所以117π,π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦不是函数()f x 一个递增区间，故C 错误；对于D ，将函数cos2x 向右平移1π6个单位得到()πππππcos2cos 2sin 2sin 263326y x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.11.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x f x g x +=，则下列说法中正确的有（）A.()01g = B.22()()1f xg x -=C.()()()22f x f x g x =⋅ D.若()()20f m f m ++>，则1m >-【答案】ACD 【解析】【分析】()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，由()()e x f x g x +=可得()()e xf xg x --+=，可解出e e ()2x x g x -+=，e e ()2x xf x --=，再逐个验证选项即可.【详解】函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且满足()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，即()()e x f x g x --+=，与()()e x f x g x +=联立，可得e e ()2x xg x -+=，e e ()2x x f x --=，()00e e 20122g +===，A 选项正确；2222e e e e 22()()1224x x x xf xg x --⎛⎫⎛⎫-+---=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；()22e e 22x xf x --=，()()22e e e e e e 22222x x x x x xf xg x ----+-⋅=⨯⋅=，()()()22f x f x g x =⋅，C 选项正确；函数e e ()2x xf x --=是定义在R 上的奇函数，且在R 上单调递增，若()()20f m f m ++>，则()()()2f m f m f m +>-=-，有2m m +>-，所以1m >-，D 选项正确.故选∶ACD ．12.已知两个不相等的非零向量,a b，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由3个a和2个b 排列而成，记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题正确的是（）A.S 有3个不同的值B.22min 22S a a b b=+⋅+ C.若//a b ，则min S 与b 无关D.若2min ||2||,4||a b S b == ，则a b⊥ 【答案】AD 【解析】【分析】求出S 的三种结果，得出min S ，对选项进行分析得出答案.【详解】2(,134.5i i x y i =，，，）均由3个a和2个b排列而成，所以1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 可能情况有三种︰22132S a b =+ ；2222S a a b b =+⋅+ ；234S a b a =⋅+ ，故A 选项正确；()222221223220S S S S a b a b a b a b a b-=-=+-⋅≥+-=-≥.则S 中最小为234S a b a =⋅+ ，即2min 4S a b a =⋅+ ，B 选项错误；若//a b 则2min 4S a b a =⋅+ 与b 有关，故C 选项错误；若2a b = ，222min 4444S a b a a b b b =⋅+=⋅+= ，有0a b ⋅= ，则a b ⊥ ，D 选项正确.故选：AD ．第II 卷三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知点(1,2)A ，点(4,5)B ，若2AP PB =，则点P 的坐标是________．【答案】P （3,4）【解析】【详解】试题分析：设(),P x y ，代入2AP PB= 得()()1,224,53,3x y x y x y --=--∴==()3,3P ∴考点：向量的坐标运算14.已知()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，则2sin2cos αα+=__________.【答案】35-##-0.6【解析】【分析】利用诱导公式化简可得tan 2α=，然后根据二倍角公式及同角关系式转化为齐次式即得.【详解】由()2023πsin 2023π2sin 2αα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，得sin 2cos αα=-，则cos 0α≠，所以tan 2α=-，所以22222cos 2sin cos 12tan 143sin2cos sin cos tan 1415ααααααααα++-+====-+++.故答案为：35-.15.写出一个同时满足下列三个条件的函数()f x =__________.①()f x 不是常数函数②()1f x +为奇函数③()()22f x f x +=-【答案】cos 2x π（答案不唯一）．【解析】【分析】写出符合要求的三角函数即可【详解】分析函数的性质，可考虑三角函数，函数的对称轴为2x =，对称中心()1,0，周期可以为4，()10f =，函数解析式可以为()πcos2f x x =（答案不唯一）．故答案为：πcos2x （答案不唯一）．16.已知函数()11ππcos2cos ,,2222f x x x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦（1）()f x 的值域为__________.（2）设()()3sin 4cos g x a x x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦②.15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】利用倍角公式化简函数解析式，由定义域求函数值域；由题意，()g x 的值域包含()f x 的值域，分类讨论解不等式即可.【详解】()221115cos2cos cos cos 1cos 2224f x x x x x x ⎛⎫=--=--=-- ⎪⎝⎭，由,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，有[]cos 0,1x ∈，则当1cos 2x =时，()f x 有最小值54-，当cos 0x =或cos 1x =时，()f x 有最大值1-，所以()f x 的值域为5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.()15,14f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，()()()3sin 4cos 5sin g x a x x a x ϕ=+=+，其中3cos 5ϕ=，4sin 5ϕ=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，[]20,πx ∈，[]2,π+x ϕϕϕ+∈，因为对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，总存在[]20,πx ∈，使得()()12f x g x =，所以()1f x 的值域是()2g x 的值域的子集，0a =时()0g x =不合题意，0a >时，当π+x ϕϕ+=，()g x 有最小值，则有()455sin 545+4πa a a ϕ⎛⎫=⨯-=-≤- ⎪⎝⎭，解得516a ≥，此时π2x ϕ+=时，()g x 有最大值50a >，0a <时，当π2x ϕ+=，()g x 有最小值，则有π55sin 524a a =≤-，解得14a -≤，此时π+x ϕϕ+=时，()g x 有最大值40a ->，则实数a 的取值范围为15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.故答案为：5,14⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；15,,416∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.四､解答题：本大题6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明､演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上.17.已知平面向量,,a b c满足()()π2,0,1,,R ,,3a b c a tb t a b ===-∈= .（1）求b 在a上的投影向量的坐标；（2）当c最小时，求b 与c 的夹角.【答案】（1）1,02⎛⎫⎪⎝⎭（2）π2【解析】【分析】（1）利用投影向量的公式计算即可；（2）c a tb =- ，两边同时平方，c 最小时，求得1t =，b与c的夹角即b 与a b -的夹角，利用向量数量积计算即可.【小问1详解】由题意，||2,||1a b == ，设a e a =，b 在a 上的投影向量为11cos ,122b e a b e e ⋅⋅=⨯= ，所以b 在a 上的投影向量的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭.【小问2详解】c ====≥（1t =时等号成立），则c 最小时，c a b =- ，所以()22cos ,cos ,0b a b b a b b a a b b b c b a b b a b b a b⋅-⋅-⋅-====⋅-⋅-⋅-，因为0,π,b c ≤≤ 所以当c 最小时，b 与c 的夹角的大小为π2.法二：()ππ13332,0,cos ,sin ,,,332222a b c a b ⎛⎫⎛⎛⎫==±=±=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13332222cos ,0b c b c b c⎛⎛⨯+±⨯ ⋅==⋅ ，得所求夹角为π2.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点为()11,A x y ，角π6α+终边与单位圆的交点为()22,B x y .（1）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求12x y +的取值范围；（2）若点B 的坐标为1,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，求点A 的坐标.【答案】（1）32⎛⎝（2）1,66A ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）由三角函数定义求点,A B 的坐标，根据三角恒等变换用α表示12x y +，结合正弦函数性质求其取值范围；（2）由三角函数定义可得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据两角差正弦和余弦公式求cos ,sin αα可得点A 的坐标.【小问1详解】由题意()ππcos ,sin ,cos ,sin 66A B αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以12π1cos sin cos 622x y ααααα⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭1213πsin cos 223x y ααα⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，由π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ5336π,α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin ,132α⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以12x y +的取值范围是2⎛ ⎝.【小问2详解】由1,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得π1π22cos ,sin 6363αα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππcos cos cos cos sin sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11cos 32α⎛⎫=-=⎪⎝⎭ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11sin 332α⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭所以点A 的坐标为1,66⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.已知平面向量,OM ON 不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量OP，都存在唯一的有序实数对(),x y ，使得OP xOM yON =+.（1）证明：,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；（2）如图，ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，证明：重心为中线的三等分点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据共线向量基本定理结合充要条件的概念即得；（2）根据向量共线定理及推论可得()1AG y AB y AE =-+ ，AG AD λ=，进而23AG AD =，即证；或利用平面几何知识即得.【小问1详解】证明：必要性，,,P M N 三点共线，不妨设MP yMN =，可得()OP OM y ON OM -=- ，()1OP y OM yON =-+，又OP xOM yON =+ ，所以1x y =-，得1x y +=，得证；充分性：,1OP xOM yON x y =++=，()1OP y OM yON ∴=-+，即()OP OM y ON OM -=- ，MP yMN ∴= ，又MP 与MN有公共点M ，所以,,P M N 三点共线；所以,,P M N 三点共线的充要条件是1x y +=；【小问2详解】法一（向量法）ABC 的重心G 是三条中线,,AD BE CF 的交点，可设()1AG y AB y AE =-+ ，111222AD AB AC AB AE =+=+，因为,,A G D 三点共线，可设AG AD λ=，则()1y AB y AE -+ 2AB AE λλ=+，所以12y y λλ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得23y λ==，所以23AG AD =，G ∴为AD 的三等分点，同理可证G 为,BE CF 的三等分点，∴重心为中线的三等分点.法二（几何法）：连接EF ，,E F 为,AC AB的中点，1//,2EF BC EF BC ∴=，12EF FG EG BC GC GB ∴===，所以13FG EG FC EB ==，同理可得13EG DG EB DA ==，所以重心为中线的三等分点.20.已知向量cos ,sin ,cos ,sin 22222x x x x x a b ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，函数()f x a b =⋅ .（1）求函数()f x 的单调增区间和对称轴；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，记为,αβ.①求实数m 的取值范围；②证明：()2cos 12m αβ-=-.【答案】（1）ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为3ππ，Zx k k =+∈（2）①)2；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据向量点乘和三角函数恒等变换公式化简()f x ，利用整体代入法计算出单调增区间和对称轴；（2）根据()f x 范围求实数m 的取值范围；根据,αβ是()0f x m -=两个不同解可知()()f f αβ=，根据图象可得2π23αβα-=-，利用倍角公式计算即可.【小问1详解】()πcos cos sin sin cos 2sin222226x x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2ππ2π2π,,2π2π,Z 26233k x k k Z k x k k -≤+≤+∈-≤≤+∈此时函数()f x 单调递增，∴函数()f x 单调递增区间为ππ22,2,Z 33ππk k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.令πππ62x k +=+得()ππ,Z 3x k k =+∈，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 3x k k =+∈；【小问2详解】①π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，ππ2π,663x ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，由图象分析得()f x m =，有两个不同的解，则3ππsin 1,2sin 2266x x ⎛⎫⎛⎫≤+<≤+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)2m ∴∈.②因为,αβ是方程π2sin 6x m ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根，所以ππ2sin ,2sin 66m m αβ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由图象分析得，2π2π2π,,2333αββααβα+==--=-，()2222πππcos cos 2cos 22sin 121133622m m αβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.21.已知R a ∈，函数()()22log 3f x x x a =-+.（1）若函数()f x 的图象经过点()3,1，求不等式()1f x <的解集；（2）设2a >，若对任意[]3,4t ∈，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）{01xx <<∣或23}x <<；（2）[)4,+∞.【解析】【分析】（1）将点()3,1代入()()22log 3f x x x a =-+可求出a ，然后根据函数的单调性即得；（2）由复合函数的单调性知()()22log 3f x x x a =-+在区间[],1t t +上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由题可得252a t t ≥-+-对任意[]3,4t ∈恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.【小问1详解】由题可得()()223log 3331f a =-⨯+=，解得2a =，即()()22log 32f x x x =-+由()()222log 321log 2f x x x =-+<=，可得22320322x x x x ⎧-+>⎨-+<⎩，解得01x <<或23x <<，所以不等式()1f x <的解集为{01x x <<∣或23}x <<；【小问2详解】因为()()22log 3f x x x a =-+是复合函数，设()23p x x x a =-+，()2log ()f x p x =，因为[]3,4t ∈，()23p x x x a =-+在区间[],1t t +单调递增，()2log ()f x p x =单调递增，故函数()f x 在区间[],1t t +上单调递增，又2a >，所以()223390p x x x a a a =-+>-+=>，所以()()max min ()1,()f x f t f x f t =+=，由题意，()()11f t f t +-≤，即()()2222log (1)31log 23t t a t t a ⎡⎤+-++≤-+⎣⎦，对任意[]3,4t ∈恒成立，故()()22(1)3123t t a t t a +-++≤-+，对任意[]3,4t ∈恒成立，整理得：252a t t ≥-+-，令()252g t t t =-+-，[]3,4t ∈，只需max ()g t a ≤即可，因为()252g t t t =-+-的对称轴为52t =，图象是开口向下的抛物线，故()252g t t t =-+-在[]3,4t ∈上单调递减，故()max ()34g t g ==，所以4a ≥，即a 的取值范围是[)4,+∞.22.设n 次多项式()()1211210,0nn n n n n T x a x a xa x a x a a --=+++++≠ ，若其满足()cos cos n T n θθ=，则称这些多项式()n T x 为切比雪夫多项式.例如：由2cos22cos 1θθ=-可得切比雪夫多项式()2221T x x =-.（1）求切比雪夫多项式()3T x ；（2）求sin18 的值；（3）已知方程38610x x --=在()1,1-上有三个不同的根，记为123,,x x x ，求证：1230x x x ++=.【答案】（1）()3343T x x x=-（2）51sin184-=（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两角和余弦公式和二倍角余弦公式利用cos θ表示cos3θ，由此可得()3T x ；（2）由诱导公式可得cos54sin36= ，根据（1）和二倍角正弦公式和平方关系可求sin18 ；（3）方法一：由已知314302x x --=，设cos x θ=，由（1）可求θ，再根据两角和差余弦公式证明1230x x x ++=；方法二：由已知()()()3123143402x x x x x x x x --=---=，根据整式性质可得1230x x x ++=.【小问1详解】因为()cos3cos 2cos2cos sin2sin θθθθθθθ=+=-所以()()2232cos32cos 1cos 2sin cos 2cos cos 21cos cos θθθθθθθθθ=--=---所以3cos34cos 3cos θθθ=-，所以()3343T x x x =-；【小问2详解】因为cos54sin36= ，所以34cos 183cos182sin18cos18-= ，又cos180> ，所以24cos 1832sin18-= ，所以()241sin 1832sin18--=即24sin 182sin1810+-= ，因为sin180> ，解得1sin18,4-=（14-舍去）；【小问3详解】由题意，314302x x --=，法一：设cos x θ=，代入方程得到3114cos 3cos 0cos322θθθ--=⇒=，解三角方程得ππ32π,32π,Z 33k k k θθ=+=-+∈，不妨取123π5π7π,,999θθθ===，123π5π7ππ4π2πcoscos cos cos cos cos 999999x x x ⎛⎫++=++=-+ ⎪⎝⎭，而4π2π3ππ3πππcoscos cos cos cos 9999999⎛⎫⎛⎫+=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上1230x x x ++=.法二：令()()()3123143402x x x x x x x x --=---=即()()323123122313123144302x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-+++++-=--=⎣⎦依据多项式系数对应相等得到1230x x x ++=.综上1230x x x ++=.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.第21页/共21页。

注意事项：1．答题前、考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上．2、答选择题时、必须使用2B 铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整．3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是重庆市2024-2025学年高三上学期11月月考数学阶段性检测试题符合题目要求的．1. 已知集合{}2128,5016x A x B x x x ⎧⎫=<<=+>⎨⎬⎩⎭则A B = （ ）A. ()4,3-B. ()0,3C. ()3,0-D. ()4,0-【答案】B 【解析】【分析】先分别求出集合A B ，，再进行集合的交集运算【详解】由12816x <<解得43x -<<，∴{}43A x x =-<<，由250x x +>解得0x >或5x <-，所以{0B x =>或5}x <-，所以A B = (0,3)故选：B.2. 已知点()()()1,2,1,4,,1A B C x -，若A ，B ，C 三点共线，则x 的值是（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】利用向量共线的坐标表示即可得解.【详解】因为()()()1,2,1,4,,1A B C x -，所以()()2,2,1,1AB AC x =-=--，因为A ，B ，C 三点共线，则,AB AC共线，则()212(1)x -⨯-=⨯-，解得2x =.故选：B.3. “1x >”是“11x-<”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】将11x -<化简，再根据充分必要条件关系判断.【详解】()1110101x x x x x x+-<⇔>⇔+>⇔<-或0x >，由1x >成立可以推出1x <-或0x >，但1x <-或0x >成立不能推出1x >，所以1x >是11x-<的充分不必要条件.故选：A.4. 若0.10.13125,,log 352a b c --⎫⎫⎛⎛=== ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b << B. c a b<< C. b c a<< D. c b a<<【答案】D 【解析】【分析】首先化解,a b ，再根据中间值1，以及幂函数的单调性比较大小，即可判断.【详解】00.1.11331a -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝，01.10.51225b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭，()35log 0,12c =∈，0.1y x =在()0,∞+上单调递增，532>，所以a b >，所以a b c >>.故选：D5. 设m ，n 是不同的直线，,αβ为不同的平面，下列命题正确的是（ ）A. 若,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，则m α⊥．B. 若,//,//n m n m αβα= ，则//m β．C. 若,,//,//m n m n ααββÌÌ，则//αβ．D. 若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ．【答案】D 【解析】【分析】根据空间直线、平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，直线m 与平面α可能平行、相交或直线m 在平面α内，故错误；对于B ，//m β或m β⊂，故错误；对于C ，平面α与平面β平行或相交，故错误；对于D ，//,,m n m α⊥则n α⊥，又n β⊥，所以//αβ，D 正确；故选：D ．6. 若曲线1()ln f x x x=+在2x =处的切线的倾斜角为α，则()sin cos cos 1sin2αααα-=-（ ）A. 1712-B. 56-C. 175-D. 【答案】A 【解析】【分析】根据导数的几何意义先求出函数()f x 在2x =处的导数值，即可得到在2x =处切线的斜率，进而得到倾斜角α的正切值，再根据tan α求出题中式子的值.【详解】由题意得，211()f x x x'=-，所以411(2)241f '=-=，于是()f x 在2x =处切线的斜率为14，即1tan 4α=.又()22sin cos sin cos cos 1sin2cos (sin 2sin cos cos )ααααααααααα--=--+2sin cos 1cos (sin cos )cos (sin cos )αααααααα-==--222sin cos sin cos cos ααααα+=-，将原式分子分母同时除以2cos α得，2222sin cos tan 1sin cos cos tan 1ααααααα++=--，代入1tan 4α=可得最终答案为1712-.故选：A.7. 已知数列{}n a 的首项12025a =，前n 项和n S ，满足2n n S n a =，则2024a =（ ）A.12025B.12024C.11012D.11013【答案】C 【解析】【分析】根据2n n S n a =得到211(1)n n S n a --=-，两式相减得到221(1)n n n a n a n a -=--，求出n a 即可求解.【详解】因为2n n S n a =，所以211(1)(2)n n S n a n --=-≥，两式相减得221(1)n n n a n a n a -=--，所以11(2)1n n a n n a n --=≥+，所以1321221123121213121(1)n n n n a a a n n a a a n a n a n n -------⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=++++L L ，所以12(2)(1)n a n a n n =≥+，所以4050(2)(1)n a n n n =≥+，所以202411012a =.故选：C.8. 已知1x 是函数()()2ln 1f x x x =---的零点，2x 是函数()2266g x x ax a =+--的零点，且满足1234x x -<，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,-+∞B. 253,8⎫-⎪⎭C. 7125,,568⎫⎫⎛⎛-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭ D. 7125,568⎫⎛-⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性可证明函数()f x 存在唯一零点，即12x =，可得()g x 在511,44⎛⎫ ⎪⎝⎭有零点，利用参变分离可求解.【详解】由()()2ln 1f x x x =---，1x >，可得()12111x x f x x --=-'-=，当12x <<时，()0f x '<，此时()f x 在()1,2单调递减；当2x >时，()0f x '>，此时()f x 在()2,+∞单调递增；又因为()20f =，所以函数()f x 存在唯一的零点，即12x =.因为122324x x x -=-<，解得2511,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.即()2266g x x ax a =+--在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，故方程2623x a x -=-在511,44⎛⎫⎪⎝⎭上有解，而263336(3)333x x x x x x -⎡⎤=---=-+-+⎢⎥---⎣⎦，因为511,44x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故713,44x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故349(3)34x x ≤-+<-，所以25624a ≤<2538a -≤<故选：B.【点睛】方法点睛：对于一元二次方程根与系数的关系的题型常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接运用判别式解答（本题属于这种类型）；二是未知量在区间(),m n 上的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、()(),f m f n 的符号）的方法解答.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 在下列函数中，最小正周期为π且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭为减函数的是（ ）A. ()cos f x x= B. ()1πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. ()22cos sin f x x x=- D. ()πtan 4f x x ⎫⎛=-⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】根据三角函数图象与性质，以及复合函数的单调性判断方法逐项判断即可.【详解】对于A ，()cos f x x =的最小正周期为π，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()cos cos f x x x ==，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故A 正确；对于B ，()1πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期2πT=4π12=，故B 不正确；对于C ，()22cos sin f x x x =-cos 2x =，所以最小正周期2πT=π2=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,πx ∈，根据余弦函数的单调性可知，此时函数单调递减，故C 正确；对于D ，最小正周期πT=π1=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ,444x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，由复合函数单调性判断方法可知，此时()πtan 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递减，故D 正确.故选：ACD.10. ABC V中，BC =BC 边上的中线2AD =，则下列说法正确的有（ ）A. 4AB AC +=B. AB AC ⋅为定值C. 2220AC AB +=D.BAD ∠的最大值为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】由中线的性质结合向量的线性运算判断A 选项；由中线的性质和向量数量积的运算有22AB AC AD DB ⋅=- ，求值判断B 选项；C 选项，由πADB ADC ∠+∠=，结合余弦定理求22AC AB +的值；D 选项，ABD △中，余弦定理得22cos 4AB BAD AB+∠= ，结合均值不等式求解.【详解】A ．24AB AC AD +==，故A 正确；的B ．22()()()()422AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-= ，故B 正确；C ．πADB ADC ∠+∠= ，cos cos 0ADB ADC ∴∠+∠=，由余弦定理知，222222022AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-+=⋅⋅0=，化简得2212AC AB +=，故C 错误；D ．22cos 4AB BAD AB +∠==≥=AB =时等号成立，由于090BAD <∠< ，所以BAD ∠的最大值为45 ，故D 正确；故选：ABD ．11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，M 为线段1B C 上一动点，N 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）A. 直线1BD ⊥平面11AC DB. 异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 过点,,B P Q的截面周长为+D. 当AN BN ⊥时，三棱锥A NBC -体积最大时其外接球的体积为【答案】ACD 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质可判断A 正确；由11A D B C 转化异面直线所成的角，在等边1AB C △中分析可知选项B 错误；找出截面图形，利用几何特征计算周长可得选项C 正确；确定三棱锥体积最大时点N 的位置，利用公式可求外接球的半径和体积，得到选项D 正确.【详解】A.∵11111111111,,AC B D AC B B B D B B B ⊥⊥= ，11B D ⊂平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，∴11A C ⊥平面11BDD B ，∵1BD ⊂平面11BDD B ，∴111A C BD ⊥，同理可证，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，11AC ⊂平面11AC D ，1DC ⊂平面11AC D ，∴直线1BD ⊥平面11AC D ，选项A 正确.B. 如图，连接1,AB AC ，由题意得，11A D B C ，11AB AC B C ===直线AM 与1A D 所成的角等于直线AM 与1B C 所成的角，在等边1AB C △中，当点M 与1,B C 两点重合时，直线AM 与1B C 所成的角为3π，当点M 与1B C 中点重合时，1AM BC ⊥，此时直线AM 与1B C 所成的角为2π，故直线AM 与1A D 所成角的取值范围是[,]32ππ，选项B 错误.C. 如图，作直线PQ 分别与直线1,CC CD 交于点,S T ，连接BS 与11B C 交于点E ，连接BT 与AD 交于点F ，则五边形BEPQF 即是截面.由题意得，1SPC △为等腰直角三角形，113PC SC ==，由1BB CS ∥得，1112BB B EC S CE==，∴114,2B E C E ==，∴BE =PE =，同理可得，BF QF ==，∵,P Q 分别为11C D 和1DD 的中点，∴PQ =，∴截面周长为+C 正确.D.当AN BN ⊥时，点N 的轨迹为以AB 为直径的球，球心为AB 中点，半径为3，三棱锥A NBC -的体积即为三棱锥N ABC -的体积，点N 到平面ABC 距离的最大值为球的半径，此时点N 在正方形11ABB A 的中心处，三棱锥A NBC -体积有最大值.由题意得，平面NAB ^平面ABC ，NAB △，ABC V 均为等腰直角三角形，NAB △的外接圆半径为132AB r ==，ABC V 的外接圆半径为22ACr ==，∴三棱锥A NBC -的外接球半径R ==，∴外接球体积为3344ππ33R =´=，选项D 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：本题为立体几何综合问题，求三棱锥外接球半径方法为：（1）在三棱锥A BCD -中若有AB ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2224h R r =+，其中r为底面BCD △的外接圆半径，h 为三棱锥的高即AB 的长.（2）在三棱锥A BCD -中若有平面ABC ⊥平面BCD ，设三棱锥外接球半径为R ，则2222124l R r r =+-，其中12,r r 分别为,ABC BCD 的外接圆半径，l 为,ABC BCD 公共边BC 的长.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 复数221iz =--（i 是虚数单位），则复数z 的模为________．【解析】【分析】利用复数除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】()()()()21i 22221i 1i 1i 1i 1i z +=-=-=-+=---+，z ∴==.13. 在数列{a n }中，111,34n n a a a +==+，若对于任意的()*,235n n k a n ∈+≥-N 恒成立，则实数k 的最小值为______.【答案】427【解析】【分析】利用构造法分析得数列{}2n a +是等比数列，进而求得2n a +，从而将问题转化为353nn k -≥恒成立，令()()*253nn f n n -=∈N ，分析数列(){}f n 的最值，从而得解.【详解】由134n n a a +=+，得()1232n n a a ++=+，又12123a +=+=，故数列{}2n a +为首项为3，公比为3的等比数列，所以12333n n n a -+=⨯=，则不等式()235n k a n +≥-可化为353nn k -≥，令()()*353n n f n n -=∈N ，当1n =时，()0f n <；当2n ≥时，()0f n >；又()()1132351361333n n n n n nf n f n ++---+-=-=，则当2n =时，()()32f f >，当3n ≥时，()()1f n f n +<，所以()()333543327f n f ⨯-≤==，则427k ≥，即实数k的最小值为427.故答案为：427.14. 若定义在()0,+∞的函数()f x 满足()()()6f x y f x f y xy +=++，且有()3f n n ≥对n *∈N 恒成立，则81()i f i =∑的最小值为________．【答案】612【解析】【分析】由条件等式变形为()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，再构造函数()()23g x f x x =-，得到()()()g x y g x g y +=+，并迭代得到()()13g n n f =-⎡⎤⎣⎦，由此得到()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，，并求和，利用放缩法，即可求解最小值.【详解】因为()()()6f x y f x f y xy +=++，所以()()()()222333f x y x y f x x f y y +-+=-+-，设()()23g x f x x =-，则()()()g x y g x g y +=+，因此()()()()()()()()11211221g n g n g g n g g g n g =-+=-++=-+()()()()()211321g n g ng n f ==+-==-⎡⎤⎣⎦ ，所以()()23133f n n f n n =+-≥⎡⎤⎣⎦，取1n =，得()13f ≥，所以()8111188822()3133612i i i i f i ii i f =====+-≥=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑，所以81()i f i =∑的最小值为612.故答案：612.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 平面四边形ABCD中，已知4,120,AB BC ABC AC =∠=︒=（1）求ABC V 的面积；（2）若150,BCD AD ∠=︒=ADC ∠的大小．【答案】（1（2）60︒【解析】【分析】（1）由已知，设BC x =，则4AB x =，由余弦定理，可得1x =，利用三角形的面积公式即可求得ABC V 的面积；（2）在ABC V中，由正弦定理，可求得sin ACB ∠=，进而求得cos ACB ∠=，进而求得sin ACD ∠=ACD中，由正弦定理，求得sin ADC ∠=ADC ∠的大小．【小问1详解】由已知，设BC x =，则4AB x =，在ABC V 中，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，为因为120,ABC AC ∠=︒=，所以22222116421x x x x =++=，解得1x =，所以1BC =，4AB =，所以11sin 4122ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯= .【小问2详解】在ABC V 中，由正弦定理，sin sin ACB ABCAB AC ∠∠=，因为120,ABC AC ∠=︒=，4AB =，所以sin sin 4ABC ACB AB AC ∠∠=⋅==，又在ABC V 中，120ABC ∠=︒，则060ACB ︒<∠<︒，所以cos ACB ∠==，因为150BCD ∠=︒，所以()sin sin 150ACD ACB ∠=︒-∠sin150cos cos150sin ACB ACB=︒∠-︒∠12⎛== ⎝，在ACD 中，由正弦定理，sin sin ADC ACDAC AD∠∠=，又AD ==解得sin ADC ∠=>，所以60ACD ∠>︒，因为0180ADC ︒<∠<︒，则60ADC ∠=︒.16. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,3,4,,,AB AC AC AB AA M N P ⊥===分别为11,,AB BC A B 的中点．（1）求证：//BP 平面1C MN ；（2）求二面角1P MC N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）先证明1,,,M N C A 四点共面，再证明1MA BP ，由线面平行的判定定理可证；（2）以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角公式，带入求解即可.【小问1详解】证明：连接1A M ，因为,M N 分别为,AB BC 的中点，则MN AC ∥，在三棱柱111ABC A B C -中，11ACA C ，则11MN A C ∥，则11,,,M N A C 四点共面，11AB A B = ，且11AB AB ∥，,M P 分别为11,AB A B 的中点，则1BM PA 且1BM PA =，则四边形1BMA P 为平行四边形，则1MA BP ，BP ⊄ 平面1C MN ，1MA ⊂平面1C MN ，则//BP 平面1C MN .【小问2详解】在直棱柱111ABC A B C -中，11,,AA AB AA AC AB AC ⊥⊥⊥，则以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则有13(0,0,0),(4,0,0),(0,3,0),(2,0,0),(2,,0),(2,0,4),(0,3,4)2A B C M N P C ，13(2,3,4),(0,,0),(0,0,4)2MC MN MP =-== ，设平面1MPC 的一个法向量为(,,)m x y z = ，平面1MNC 的一个法向量为(,,)n a b c =，则1234040m MC x y z m MP z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩及12340302n MC a b c n MN b ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅==⎪⎩，令3,1x c ==，则有(3,2,0),(2,0,1)m n ==，则cos ,m n m n m n ⋅===，因为二面角1P MC N --为钝角，则所求二面角的余弦值为.17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，点()4,3P 在双曲线C 上．（1）求双曲线C 的方程.（2）设过点()10-,的直线l 与双曲线C 交于M ，N 两点，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出Q 点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）22143x y -=； （2）存在，29(,0)8Q -，58564.【解析】【分析】（1）根据题意由双曲线的渐近线方程得到ba的值，再根据(4,3)P 在双曲线上，将坐标代入双曲线方程即可解得,a b 的值.（2）设出直线l 方程与M ，N 点坐标1122(,),(,)x y x y ，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可表示出12x x +、21x x 、12y y +、12y y ，再设出Q 坐标(,0)t ，则可以表示出,QM QN 坐标，即可用坐标表示出QM QN⋅的值，再结合具体代数式分析当QM QN ⋅为常数时t 的值.【小问1详解】由题意得，因为双曲线渐近线方程为y x =，所以b b a =⇒=，又点(4,3)P 在双曲线上，所以将坐标代入双曲线标准方程得：221691a b-=，联立两式解得21612a a -=⇒=，b =，所以双曲线的标准方程为：22143x y -=.【小问2详解】如图所示，点(1,0)E -,直线l 与双曲线交于,M N 两点，由题意得，设直线l 的方程为1x my =-，Q 点坐标为(,0)t ，联立221431x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得，22(34)690m y my ---=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122634m y y m +=-，122934y y m -=-，21212122268(1)(1)()223434m x x my my m y y m m +=-+-=+-=-=--，22121212122124(1)(1)()134m x x my my m y y m y y m --=--=-++=-，11)(,t y QM x =- ，22,)(Q x t y N =-，所以21212121212()()()Q t x t y y x x t x x t y M N y Q x +⋅--=-++=+2222212489343434m t t m m m ---=-⋅++---222222121384(34)8293434m t m t t tm m -------=+=+--22829434t t m +=--+-，所以若要使得上式为常数，则8290t +=，即298t =-，此时58564QM QN ⋅= ，所以存在定点29(,0)8Q -，使得QM QN ⋅ 为常数58564.【点睛】关键点点睛：本题（2）问解题关键首先在用适当的形式设出直线l 的方程，当已知直线过x 轴上的定点(,0)n 时，可设直线方程为x my n =+，这样可简化运算，其次在于化简QM QN ⋅时计算要仔细，最后判断何时为常数时要抓住“消掉m ”这个关键，即最后的代数式中没有我们设出的m.18. 已知函数()2sin cos f x x x x x =--.（1）求()f x 在πx =处的切线方程；（2）证明：()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；（3）若()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，求a 的取值范围.【答案】（1）220x y π+-= （2）证明见解析 （3）1πa <-【解析】分析】（1）根据解析式求出切点，再根据导函数求出斜率，点斜式可得到切线方程；（2）先分析函数的单调性，需要二次求导，再结合函数值的情况进行判断；（3）对于函数图象的位置关系问题，可先特值探路求出参数的取值范围，再证明在该条件不等式恒成立即可.【小问1详解】()2sin cos f x x x x x =--，当πx =时，()π2sin ππcos ππ0f =--=，所以切点为()π,0，因为()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x =-+-=+-'，【所以斜线方程的斜率()πcos ππsin π12k f ==+-=-'，根据点斜式可得()02πy x -=--可得220x y π+-=，所以()f x 在πx =处的切线方程为220x y π+-=；【小问2详解】由（1）可得()cos sin 1f x x x x =+-'，令()()cos sin 1g x f x x x x ==+-'，所以()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和3π,2π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，()0g x '>，()g x 单调递增；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos 0x <，()0g x '<，()g x 单调递减；()πππππ0cos00sin010,cos sin 11022222g g ⎛⎫=+⨯-==+⨯-=-> ⎪⎝⎭，()πcos ππsin π1=2<0g =+--，3π3π3π3π3πcos cos 11022222g ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()2πcos 2π2πsin 2π10g =+-=，存在0π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭使得g (x 0)=0，所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,2πx 单调递减，又()()02sin 00cos 00,π2sin ππcos ππ0f f =-⨯==-⨯-=，()2π2sin 2π2πcos 2π2π=4πf =---，所以()f x 在()0,2π上有且仅有一个零点；【小问3详解】因为()0,x ∞∈+时，()sin g x x =的图象恒在()2h x ax x =+的图象上方，即2sin x ax x >+恒成立，等价于2sin x xa x -<恒成立，当πx =时，有2sin 1ππa ππ-<=-，下证：2sin 1πx x x -≥-即证21sin πx x x -≥-，()0,x ∞∈+恒成立，令()21sin πs x x x x =-+，当2πx ≥时，2sin 2π4π>01sin πx x x x --++>，当()0,2πx ∈时，()2cos 1πs x x x -+'=，设()2cos 1πt x x x =-+，则()2sin πt x x -'=+，此时()0t x '=在()0,2π有两个不同解1212π,,0π2x x x x <<<<，且当10x x <<或22πx x <<时，()0t x '>，当12x x x <<时，()0t x '<，故()t x 在()12,x x 上为减函数，在()10,x ，()2,2πx 上为增函数，而()()()π0π0,2π402t t t t ⎛⎫====> ⎪⎝⎭，故当π02x <<时，()0t x >，当ππ2x <<时，()0t x <，当π2πx <<时，()0t x >，故()s x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭为减函数，在()π,2π为增函数，而()()0π0s s ==，故()0,2πx ∈时，()0s x ≥恒成立，综上1πa <-.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数y =g (x )的图象的交点问题.19. 数列{}n b 满足32121222n n b b b b n -++++= ，{}n b 前n 项和为n T ，等差数列{}n a 满足的的1143,a b a T ==，等差数列前n 项和为n S ．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（2）设数列{}n a 中的项落在区间()21,1m m T T ++中的项数为()m c m N*∈，求数列{}mc 的前n 和n H；（3）是否存在正整数m ，使得3m m m mS T S T +++是{}n a 或{}n b 中的项．若有，请求出全部的m 并说明理由；若没有，请给出证明．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=（2）2121233m m m H +=-+（3）1m =，2m =或5m =【解析】【分析】（1）先利用数列通项与前n 项和的关系求出12n n b -=，然后得到12n n b -=为等差数列，求得n T ，再求得14,a a ，计算数列{a n }的通项公式即可；（2）先求出区间()21,1m m T T ++的端点值，然后明确{a n }的项为奇数，得到()21,1m m T T ++中奇数的个数，得到()m c m N*∈通项公式，然后求和即可；（3）先假设存在，由（1）求得2n S n =，21nn T =-，令3m m m mS T L S T ++=+，然后判断L 的取值，最后验证，不同取值时，m 的值即可.【小问1详解】由题可知，当1n =时，11b =；当2n ≥时，得3121221222n n b b b b n --++++=- 因为32121222n n b b b b n -++++= 两式相减得11122n n n n bb --=⇒=经检验，当*N n ∈时，12n n b -=显然，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以122112nn n T -==--所以1143,17a b a T ====等差数列{a n }的公差71241d -==-所以21n a n =-【小问2详解】由（1）可知，2212,12m m m m T T +=+=因为21n a n =-，所以21n a n =-为奇数；故()m c m N *∈为区间()21,1m m TT ++的奇数个数显然2212,12m m m m T T +=+=为偶数所以21224222m m mm m c --==-所以()2121444412222m mm m m H ---++++=-++++ ()214141122122141233m mm m +--=⨯-=-+--【小问3详解】由（1）可知2n S n =，21nn T =-所以23322121m m m m m m S T m S T m ++++-=++-若3m m m mS T S T +++是{a n }或{b n }中的项不妨令3m m m mS T L S T ++=+，则L *∈N 则有()()()232221118221m m m m L L m L m ++-=⇒--=-+-因为210,20m m -≥>所以18L ≤≤因为L 为数列{a n }或{b n }中的项所以L 的所有可能取值为1,2,3,4,5,7,8当1L =时，得20m =无解，所以不存在；当18L <≤时得28112m L m L --=-令()2*1,2m m g m m -=∈N 得()22ln 2ln 22mm m g m +='-令()22ln 2ln 2h m m m =-+显然()22ln 2ln 2h m m m =-+为二次函数，开口向下，对称轴为()11,2ln 2m =∈()()()120,368ln 20,4815ln 20h h h =>=->=-<所以当3m ≤时，()0g m '>，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递增；当3m ≥时，()0g m '<，()2*1,2m m g m m N -=∈单调递减得()()1531,416g g ==因为28112m L m L --=-所以89112L L L -≤⇒≥-所以L 的可能取值有5,7,8我们来验证，当5L =时，得21324m m -=，可得存在正整数解2m =或5m =，故5L =满足；当7L =时，得21126m m -=，当m 为整数时，212m m -分子为整数，分母不能被3整除；所以21126m m -=无正整数解，故7L =不满足；当8L =时，得2102m m -=，得存在正整数解1m =，故8L =满足；综上所诉，1m =，2m =或5m =.【点睛】关键点点睛：（1）需要构造数列，然后合理利用数列通项与前n 项和的关系求解即可；（2）需要明确两个数之间奇数的个数即可；（3）先假设存在，然后确定数列{a n }或{b n }中的项是哪些，最后再反过来求m 的值即可.。

高2025届2023-2024学年(上)三校联考模拟考化学试题本试卷为第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共100分，考试时间75分钟。

注意事项：1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

可能用到的相对原子质量：N-14 Zn-65 O-16 Na-23 一、单选题1. 下列文物修复与保护，主要运用“金属电化学腐蚀与金属保护”原理的是A. AB. BC. CD. D【答案】B 【解析】【详解】“瓶”主要成分是硅酸盐；“剑”主要成分是合金；“简”主要成分是纤维素；“玉”主要成分是硅酸盐等，剑的修复和保护要运用金属电化学腐蚀知识和金属保护知识； 答案选B 。

2. 锑(Sb)与N 、P 同主族。

下列有关Sb 说法中错误的是 A. 基态Sb 原子的价层电子轨道表示式为B. 常见的Sb 的氧化物有23Sb O 、25Sb OC. Sb 的最高正化合价为+5价的D. 锑的单质有黑锑和黄锑，黑锑和黄锑都属于锑的同素异形体 【答案】A 【解析】【详解】A ．基态Sb 原子的价层电子排布式为5s 25p 3，轨道表示式应标上能层能级，5p 能级的轨道均填充电子，且电子自旋状态相同，故A 错误；B ．Sb 元素位于第V A 族，常见正化合价为+3和+5价，则常见的氧化物有23Sb O 、25Sb O ，故B 正确；C ．Sb 与N 、P 同主族，位于第V A 族，最高正化合价为+5价，故C 正确，D ．同种元素形成的结构不同的单质属于同素异形体，故黑锑和黄锑都属于锑的同素异形体，故D 正确； 故答案为A 。

3. 设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A. 标准状况下，11.2L 2Cl 溶于水，溶液中Cl −、ClO −和HClO 的微粒数之和为A NB. 0.1mol/L 3CH COONa 溶液中，含3CH COO −的数目小于0.1A NC. 0.1mol 氯气分别与足量铁和铜完全反应时转移的电子数均为0.2A ND. 常温下，1L pH=11的()2Ba OH 溶液中含OH −的数目为0.002A N 【答案】C 【解析】【详解】A ．氯气和水是可逆反应，标况下11.2L 2Cl 的物质的量为0.5mol ，含氯原子数为N A ，11.2L 2Cl 溶于水，一部分氯气未反应，所以依据氯原子守恒，溶液中Cl −、ClO −和HClO 的微粒数之和小于A N ，A 错误；B ．无体积无法计算，B 错误；C ．氯气分别与足量铁和铜反应均变成-1价，故0.1mol 氯气分别与足量铁和铜完全反应时转移的电子数均为0.2A N ，C 正确；D ．常温下，pH=11的()2Ba OH 中c(OH -)=10-11mol/L ，1L pH=11的()2Ba OH 溶液中含OH −的数目为0.001A N ，D 错误； 故选C 。

重庆市2024~2025学年高一上学期第一次月考数学试题（命题人：）（答案在最后）考试说明：1.考试时间120分钟2.试题总分150分3.试卷页数2页一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集U =R ，3{|ln}3x M x y x -==+，}2{|2,1xx y y N =≤≤=，如图阴影部分所表示的集合为（）A.{}23x x ≤< B.{}34x x <≤C.{|2x x ≤或3}x > D.{}33x x -≤≤【答案】B 【解析】【分析】由题意知，阴影部分表示的为M N ⋂，算出集合,M N 表示的范围，根据集合的交集的运算，即可得到本题答案.【详解】全集U =R ，集合M 中函数满足303x x ->+，解得3x <-或3x >，M ={|3x x <-或3}x >，集合N 中指数函数2x y =在上单调递增，则24222=x ≤≤，}|24{y N y =≤≤，由图可得阴影部分所表示的集合为{|34}M N x x ⋂=<≤，故选：B.2.若函数()y f x =的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：(1)2f =-，(1.25)0.984f =-，(1.375)0.260f =-，(1.40625)0.054f =-，(1.4375)0.162f =，(1.6)0.625f =，那么方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）为（）A.1.2 B.1.3C.1.4D.1.5【答案】C【解析】【分析】由参考数据可得(1.4375)(1.375)0f f <，区间(1.375,1.4375)满足题干要求精确到0.1，结合选项可得答案.【详解】因为1.6 1.43750.16250.1-=>，所以不必考虑端点1.6；因为1.40625 1.250.156250.1-=>，所以不必考虑端点1.25和1；因为(1.4375)0f >，(1.375)0f <，所以(1.4375)(1.375)0f f <，所以函数()f x 在(1.375,1.4375)内有零点，因为1.4375 1.3750.06250.1-=<，所以满足精确度0.1；所以方程()0f x =的一个近似根（精确度0.1）是区间(1.375,1.4375)内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：1.4[1.375,1.4375]∈.故选：C.3.“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先根据1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，再判断即可得到答案.【详解】由1sin 2x =可得：2()6x k k Z ππ=+∈或52()6x k k Z ππ=+∈，即2()6x k k Z ππ=+∈能推出1sin 2x =，但1sin 2x =推不出2()6x k k Z ππ=+∈“1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查根据三角函数值求角，属于简单题.4.函数21π()sin 212x xf x x -⎛⎫=⋅+ ⎪+⎝⎭在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先得到函数的奇偶性，再计算出当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，判断出答案.【详解】化简函数()f x 解析式可得21()cos 21x x f x x -=⋅+，定义域为R ，112121212()()cos cos()cos cos 121212112xxxx x x x x f x f x x x x x------+-=⋅+-=⋅+⋅++++ 01212cos 11cos 22x x x x x x -=⋅+⋅+=+-，()f x ∴为奇函数，AC 错误；又因为当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，21()cos 021x x f x x -=⋅>+，B 错误，D 正确.故选：D.5.已知π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.9 B.69-C.9D.9【答案】A 【解析】【分析】先根据已知条件及同角三角函数基本关系求出π1cos 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3cos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭；再利用已知角π4α+和π42β-来配凑2βα+；最后利用两角差的正弦公式即可求解.【详解】π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，π,02β⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，πππ,442α⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πππ,4242β⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 43α⎛⎫+=⎪⎝⎭，πsin 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1cos 43α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，πcos 423β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.ππsin sin 2442ββαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin 442442ββαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13333=⨯-⨯9=.故选：A.6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时25%的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A.3hB.4hC.5hD.7h【答案】C 【解析】【分析】先根据题意表示出经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量；再列出不等式求解即可.【详解】经过t 小时后，该驾驶员体内的酒精含量为：30.8mg /ml 4t⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.只需30.80.24t⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭，即3144t⎛⎫< ⎪⎝⎭，341log 43344t ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为函数34x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以341lg 42lg 20.602log 4.8164lg 4lg 32lg 2lg 30.6020.477t >==≈=---，故他至少要经过5个小时后才能驾车.故选：C.7.定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为A.9B.8C.7D.6【答案】B 【解析】【分析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x =的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.【详解】当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos(sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，()()12002f f ∴==，()()14202f f ==，若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-，即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=，由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=，作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图：由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =，故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个，故选：B.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用.判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b < ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意120x x <<，均有()()2112120x f x x f x x x ->-且(3)3f =，则不等式()0f x x ->的解集为（）A.(3,0)(3,)-⋃+∞B.()3,3-C.(,3)(3,)-∞-⋃+∞D.(3,0)(0,3)-⋃【答案】A 【解析】【分析】先变形得到()()1212f x f x x x <，令()()f x g x x =，得到()()f x g x x=在(0,)+∞上单调递增，结合(3)(3)13f g ==，得到3x >，再结合函数的奇偶性和单调性得到30x -<<，从而求出答案.【详解】因为120x x <<，所以()()21120x f x x f x -<，所以()()1212f x f x x x <.设函数()()f x g x x =，则函数()()f x g x x =在(0,)+∞上单调递增，且(3)(3)13f g ==.当0x >时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x>，即()(3)g x g >，解得3x >，又因为()f x 是定义在上的奇函数，所以(0)0f =，所以，当0x =时，不等式()0f x x ->无解.因为()f x 是定义在上的奇函数，所以−=−，()()f x g x x=的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--，故()()f x g x x=为偶函数，且在(,0)-∞单调递减，当0x <时，不等式()0f x x ->等价于()f x x >，即()1f x x<，因为(3)(3)13f g --==-，故()(3)g x g <-，解得30x -<<，综上，不等式()0f x x ->的解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对于实数a ，b ，c ，下列说法正确的是（）A.若1a b <<，则11b a< B.若22ac bc >，则a b>C.若0a b >>，0c >，则b b c a a c+<+ D.若c a b >>，a b c a c b<--【答案】ABC 【解析】【分析】AB 选项，可利用不等式性质进行判断；CD 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，若1a b <<，则0ab >，不等式两边同除以ab 得11b a<，A 正确；B 选项，若22ac bc >，则0c ≠，故20c >，不等式两边同除以2c 得a b >，B 正确；C 选项，()()()b a cb bc ab bc ab ac a a c a a c a a c -++---==+++，因为0a b >>，0c >，所以0,0b a a c -<+>，故()()0b a c b b c a a c a a c -+-=<++，所以b b ca a c+<+，C 正确；D 选项，()()()a b c a b c a c b c a c b --=----，因为c a b >>，所以0c a ->，0c b ->，0a b ->，但c 的正负不确定，故无法判断()()()c a b c a c b ---的正负，从而无法判断a c a -与bc b-的大小关系，D 错误.故选：ABC.10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到的图象对应的函数为偶函数，则下列说法正确的是（）A.函数()y f x =的图象关于直线π6x =对称B.函数()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.1(0)2f =-D.函数()y f x =的图象关于点π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由三角函数的周期性与奇偶性，结合三角函数图象平移法则求得,ωϕ，再利用代入检验法与整体代入法逐一分析各选项即可得解.【详解】因为函数()sin()f x x ωϕ=+的最小正周期为2ππω=，则2ω=，故()sin(2)f x x ϕ=+，将该函数的图象向左平移π3个单位后，得到2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，因为得到的图象对应的函数2πsin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，所以2πππ(Z)32k k ϕ+=+∈，即ππ(Z)6k k ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对于A ，当π6x =时，则πππ1sin 6362f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，令πππ2π22π262k x k -+<-<+，Z k ∈，得ππππ(Z)63k x k k -+<<+∈，当1k =时，()y f x =在区间5π4π,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，π1(0)sin 62f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，πππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BCD.11.设函数()()12,1log 1,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()()()1234f x f x f x f x ===，且1234x x x x <<<，则()1243412x x x x ++++的值可以是（）A.4B.5C.163D.6【答案】AB 【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，结合交点关系得到()12344444222111x x x x x x +++=++++-，构造函数42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，根据函数单调性得到取值范围，求出答案.【详解】函数()f x的图象如图所示，设()()()()1234f x f x f x f x t ====，由图可知，当01t <≤时，直线y t =与函数()f x 的图象有四个交点，交点的横坐标分别为1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，1x >时，令12()log (1)1f x x =-=，解得32x =或3x =.由图可知，120x x +=，3322x ≤<，423x <≤，由()()34f x f x =，可得34111x x -=-，则有34111x x =+-，所以()1233444444422221111x x x x x x x x +++=+=+++++-.令42()2(23)11g x x x x =++<≤+-，易知()g x 在(2,3]上为减函数，且16(2)3g =，(3)4g =，故()12344164213x x x x ≤+++<+，且1644,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，1654,3⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，AB 正确；又1616164,,64,333⎡⎫⎡⎫∉∉⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，CD 错误.故选：AB.【点睛】将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数为1()f x -，且11()()4f a f b --+=-，则11a b +的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】先利用指、对数式的互化得到函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的反函数，再利用对数的运算性质化简11()()4f a f b --+=-，最后由基本不等式求得最值即可．【详解】因为x y a =和log a y x =（0a >，1a ≠）互为反函数，若1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则112()log f x x -=，又因为11()()4f a f b --+=-，所以111222log log log ()4a b ab +==-，所以16ab =，且0a >，0b >，又11116162a b a b a b ab +++==≥=，当且仅当4a b ==时等号成立，所以11a b +的最小值为12.故答案为：12.13.如果函数()f x 的图象可以通过()g x 的图象平移得到，则称函数()f x 为函数()g x 的“同形函数”，下面几对函数是“同形函数”的是__________.（填上正确选项的序号即可）①()sin f x x =，()cos g x x =；②()2sin cos f x x x =，()cos 2g x x =；③44()sin cos f x x x =-，()cos 2g x x =；④()sin 2tan f x x x =⋅，()cos 2g x x =.【答案】①②③【解析】【分析】①②③，结合三角恒等变换及平移变换法则求出答案；④由两函数定义域不同，故④错误.【详解】①()cos g x x =的图象向右平移π2个单位得到()sin f x x =的图象，①正确；②π()2sin cos sin 2cos 22f x x x x x ⎛⎫===-⎪⎝⎭，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向右平移π4个单位得到，故②正确；③()()44222222()sin cos sin cos sincos sin cos f x x x x xx x x x =-=-+=-cos 2cos(2π)x x =-=+，故()f x 的图象可由()cos 2g x x =的图象向左平移π2个单位得到，故③正确；④2sin ()sin 2tan 2sin cos 2sin 1cos 2cos(2)1co πs xf x x x x x x x x x=⋅=⋅==-=++，因为()sin 2tan f x x x =⋅的定义域不是，而()cos 2g x x =的定义域是，所以不可能由()cos 2g x x =的图象平移得到()sin 2tan 2f x x x =⋅的图象，故④错误.故答案为：①②③14.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[0,1]x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R ，有(2)()f x f x +=-，2024(),0()log (),0f x xg x x x ≥⎧=⎨--<⎩，则方程()()0g x g x --=实数根的个数为__________.【答案】2027【解析】【分析】由于题意可得函数()f x 以4为周期，分0x >，0x <，0x =三种情况讨论，把问题转化函数图象交点个数问题，作出函数图象，结合函数的周期性即可得解．【详解】对任意∈有(2)()f x f x +=-，得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 以4为周期，由于函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则()(2)f x f x =-，又(2)()f x f x +=-，所以(2)(2)0f x f x ++-=，则函数()f x 的图象关于(2,0)对称.当0x >时，0x -<，由()()0g x g x --=得()()g x g x =-，则2024()log f x x =-，作出()y f x =与2024log y x =-的大致图象如图，令2024log 1x -=-，则2024x =，而20244506=⨯，由图可知，在第一个周期内有三个交点，后面每个周期内有两个交点，所以()y f x =与2024log y x =-的图象在(0,)+∞上有350521013+⨯=个交点；当0x <时，0x ->，由()()g x g x =-得：2024log ()()x f x --=-，令x t -=，0t >，得2024()log f t t =-，由上述可知，()y f t =与2024log y t =-的图象在(0,)+∞上有1013个交点，故()y f x =-与2024log ()y x =--的图象在(,0)-∞上有1013个交点，又0x =时，()()0g x g x --=成立，所以方程()()0g x g x --=实数根的个数为2101312027⨯+=.故答案为：2027.【点睛】思路点睛：由题分析可得函数()f x 以4为周期，图象关于(2,0)中心对称，把问题转化函数图象交点个数问题，数形结合可得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设集合{}11ee x A x -=≤≤，若关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A .（1）求函数()2f x x mx n =++的解析式；（2）求关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+的解集，其中λ∈R .【答案】（1）详见解析；（2）{|x x λ<-或}3x λ>-.【解析】【分析】（1）先化简集合A ，再根据关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，利用根与系数的关系求解；（2）由（1）化简不等式为()()30x x λλ++->求解.【小问1详解】解：集合{}11ee x A x -=≤≤{}|12x x =≤≤，因为关于x 的不等式20x mx n ++≤的解集为A ，所以3,2m n =-=，则()232f x x x =-+；【小问2详解】由（1）知：关于x 的不等式()()2322f x x λλ+>-+即为：()2232322x x x λλ-++>-+，即为()222330x x λλλ+-+->，即为()()30x x λλ++->，解得：3x λ>-或x λ<-，所以不等式的解集为：{|x x λ<-或}3x λ>-.16.若函数()y f x =对任意实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =，则称其为“保积函数”.现有一“保积函数”()f x 满足(1)1f -=-，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈.（1）判断“保积函数”()f x 的奇偶性；（2）若“保积函数”()f x 在区间(0,)+∞上总有()0f x >成立，试证明()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；（3）在（2）成立的条件下，若(2)2f =，求()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集.【答案】（1）()f x 为奇函数（2）证明见解析（3）π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】【分析】（1）赋值，结合(1)1f -=-，进而得到()f x 为奇函数；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，利用定义法得到函数的单调性；（3）赋值法得到1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，结合函数单调性得到211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，数形结合，结合定义域，得到不等式，求出解集.【小问1详解】()f x 为奇函数，理由如下：根据题意，令1y =-，得()()(1)f x f x f -=-，因为(1)1f -=-，所以()()f x f x -=-，故结合定义域可知，()f x 为奇函数.【小问2详解】证明：任取1x ∀，2(0,)x ∈+∞，且12x x >，则2101x x <<，因此()()()()()2212111111x x f x f x f x f x f x f x f x x ⎛⎫⎛⎫-=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2111x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为2101x x <<，且当01x <<时，()(0,1)f x ∈，所以2110x f x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，因为(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，所以()10f x >，所以()()()2121110x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()()12f x f x >，又因为120x x >>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；【小问3详解】(1)1f -=-Q ，又()f x 为奇函数，(1)(1)1f f ∴=--=，()()()f xy f x f y = ，112(2)22f f f⎛⎫⎛⎫∴⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)2f = ，1122f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故原不等式等价于()211log sin 2f x f ⎛⎫+≤⎪⎝⎭，[0,2π]x ∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增且(0,)∀∈+∞x ，()0f x >恒成立，又()f x 为奇函数，()f x ∴在上单调递增，故211log sin 2x +≤，[0,2π]x ∈，则221log sin log 22x ≤-=，[0,2π]x ∈，∴sin 0sin 2x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，解得π04x <≤或3ππ4x ≤<，综上，()211log sin 2f x +≤，[0,2π]x ∈的解集为π3π0,,π44⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.17.已知函数())f x x =ω+ϕ（0ω>，ππ22ϕ-≤≤）的图象关于直线π3x =对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.（1）求ω和ϕ的值；（2）当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，求函数()y f x =的最大值和最小值；（3）设()()(0)g x f cx c =>，若()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标不属于区间(π,2π)，求c 的取值范围.【答案】（1）2ω=，π6ϕ=-（22-（3）1150,,6312⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据最小正周期求出ω，再根据对称轴求出ϕ；（2）由（1）可得()f x 解析式，再由x 的取值范围求出π26x -的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；（3）首先得到()g x 的解析式，由12ππ22c⨯≥求出c 的大致范围，再求出()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)时c 的取值范围，即可得解.【小问1详解】因为()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期πT =，所以2π2Tω==，又因为()f x 的图象关于直线π3x =对称，所以232ππkπϕ⨯+=+，k ∈Z ，所以ππ6k ϕ=-，k ∈Z ，又ππ22ϕ-≤≤，所以π6ϕ=-，综上可得2ω=，π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知π()26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，ππ5π2666x -≤-≤，所以当ππ262x -=（即π3x =）时，max ()f x =当ππ266x -=-（即0x =）时，min 3()2f x =-，所以函数()y f x =在π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x 2-.【小问3详解】由题意π()()26g x f cx cx ⎛⎫==- ⎪⎝⎭()0c >，()g x 图象的任意一条对称轴与x 轴的交点的横坐标都不属于区间(π,2π)，12ππ22c ∴⨯≥且0c >，解得102c <≤，令ππ2π62cx k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x c c=+，k ∈Z ，若()g x 图象的某一条对称轴与x 轴的交点的横坐标属于区间(π,2π)，则πππ2π23k c c <+<，解得114623k k c +<<+，当1k =-时，112c -<且16c <-（矛盾），故解集为空集；当0k =时，1163c <<；当1k =时，55126c <<，故c 的取值范围为1150,,6312⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.18.已知函数2()43f x x x =-+，()(4)3g x a x =+-，a ∈R .（1）若[1,0]x ∃∈-，使得方程()20m f x -=有解，求实数m 的取值范围；（2）若对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，求实数a 的取值范围；（3）设()()()h x f x g x =+，记()M a 为函数()h x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值.【答案】（1）[]2log 3,3（2）{15a a ≤-或9}5a ≥-（3）3-【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性，结合存在性的定义、对数的单调性进行求解即可；（2）根据存在性和任意性的定义，结合函数的对称性分类讨论进行求解即可；（3）根据函数的对称性、单调性分类讨论进行求解即可.【小问1详解】[1,0]x ∃∈-，2()20243m m f x x x -=⇔=-+，因为函数2()43f x x x =-+的图象的对称轴是直线2x =，所以()y f x =在[1,0]-上为减函数，max ()(1)8f x f =-=，min ()(0)3f x f ==，故2[3,8]m ∈，所以m 的取值范围为[]2log 3,3.【小问2详解】对任意的1[1,5]x ∈-，总存在2[1,5]x ∈-，使得()()12f x g x ≤，∴即在区间[1,5]-上，()()12max max f x g x ≤，函数2()43f x x x =-+图象的对称轴是直线2x =，又[1,5]x ∈-，∴当5x =时，函数()f x 有最大值为2(5)54538f =-⨯+=，①当4a =-时，()3g x =-，不符合题意，舍去；②当4a >-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[7,517]a a --+，5178a ∴+≥，得95a ≥-；③当4a <-时，()g x 在[1,5]-上的值域为[517,7]a a +--，78a ∴--≥，得15a ≤-，综上，a 的取值范围为{15a a ≤-或9}5a ≥-；【小问3详解】函数2()h x x ax =+图象的对称轴为2a x =-，①当2a ≤-或0a ≥时，()h x 在[0,1]上单调递增，则()(1)|1|M a f a ==+；②当20a -<<时，2()max ,(1)max ,124a a M a ff a ⎧⎫⎧⎫⎛⎫=-=+⎨⎬⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭⎩⎭，解不等式组22014a a a -<<⎧⎪⎨>+⎪⎩，得(221a -<<-，故当20a -<<，()((2,22141,210a a M a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+-≤<⎩，综上，()((2,22141,221a a M a a a a ⎧-<<-⎪=⎨⎪+≤-≥-⎩或，()M a ∴在((),21∞--上单调递减，在()21,∞⎡+⎣上单调递增，(21a ∴=-时，()M a取最小值为(2113+=-.【点睛】关键点睛：本题的关键是根据函数的对称轴与所给区间的相位位置进行分类讨论.19.已知()()()sin22sin cos 8f m θθθθ=---+．（1）当1m =时，求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若()fθ的最小值为7-，求实数m 的值；（3）对任意的π,π4θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，不等式()816sin cos m f θθθ->-恒成立．求m 的取值范围．【答案】（1）172+（2）5m =或1m =-（3）722,6⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用辅助角公式，化简函数，再代入求π12f ⎛⎫⎪⎝⎭；（2）首先设sin cos t θθ=-，利用三角恒等变换，将函数表示成关于t 的二次函数，讨论对称轴，结合定义域求函数的最小值，列式求解m ；（3）根据（2）的结果，不等式参变分离为128m t t t->+-，在(t ∈恒成立，转化为判断函数的单调性，求函数的最值，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】()()())πsin22sin cos 8sin22sin 84f m m θθθθθθ⎛⎫=---+=--+ ⎪⎝⎭，当1m =时，ππππ1ππsin 881261242124f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1178262π+=+=；【小问2详解】设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则t ⎡∈⎣，22sin cos 1=-+t θθ，()()()229,f Q t t m t t θ⎡==---+∈⎣，其对称轴为12m t =-+，当102m-+≥，即2m ≥时，()f θ的最小值为(77Q =+=-，则5m =；当102m-+<，即2m <时，()f θ的最小值为77Q =-=-1m =-；综上，5m =或1m =-；【小问3详解】由()816sin cos m f θθθ->-，对所有π,π4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立．设πsin cos 4t θθθ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，则(t ∈，()281629m t m t t-∴>---+，(t ∈恒成立，280t -> ，128m t t t∴-+->，在(t ∈恒成立，当(t ∈时，8t t -递减，则18t t t+-在(递增，t ∴=时18t t t +-取得最大值726得2m ->2∴>m 所以存在符合条件的实数m ，且m的取值范围为2,6∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题的关键利用公式()22sin cos 1sin cos θθθθ=--，从而利用换元法转化为关于t 的函数问题.。

重庆市2024—2025学年第一学月考试高一（上）数学试题卷（答案在最后）考试说明：1．考试时间120分钟2．试题总分150分3．试卷页数2页一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.命题“2210x x ∀>->，”的否定为（）A.2210x x ∀>-≤，B.2210x x ∀≤-≤，C.2210x x ∃>-≤，D.2210x x ∃≤-≤，【答案】C 【解析】【分析】直接由全称命题的否定即可得出答案.【详解】 命题“2210x x ∀>->，”，由全称命题的否定可知，命题“2210x x ∀>->，”的否定为：2210x x ∃>-≤，，故选：C.2.下列表示正确的个数是（）（1）0∉∅；（2）{}1,2∅⊆；（3）{}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭；（4）若A B ⊆，则A B A = A.3 B.2C.1D.0【答案】A 【解析】【分析】由元素与集合的关系可判断（1）；由集合与集合的包含关系可判断（2）；由描述法可判断（3）；由集合的包含关系与交集的定义可判断（4）．【详解】因为空集没有任何元素，故0∉∅，故（1）正确；因为空集是任何集合的子集，故{}1,2∅⊆，故（2）正确；解方程组21035x y x y +=⎧⎨-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，则(){}210(,)3,435x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬-=⎩⎪⎪⎩⎭，故（3）错误；若A B ⊆，则A B A = ，故（4）正确.所以正确的个数是3．故选：A ．3.估计(的值应在（）A.9和10之间B.8和9之间C.7和8之间D.6和7之间【答案】C 【解析】【分析】先根据二次根式的运算法则进行计算，在对根式进行估算即可.【详解】(4=+因为91016<<，所以34<<，所以748<+<，故选：C.4.已知二次函数()2321y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（）A .4k < B.4k ≤ C.4k <且3k ≠ D.4k ≤且3k ≠【答案】D 【解析】【分析】由条件可得二次方程()23210k x x -++=有解，列不等式求k 的范围即可.【详解】由已知二次方程()23210k x x -++=有解，所以30k -≠，且()4430k --≥，所以4k ≤且3k ≠.故选：D.5.比较（0a >，0b >）的大小（）A.> B.+<C.+≥ D.≤【答案】C【解析】【分析】利用作差化简比较大小即可.【详解】因为0a >，0b >，20>>≥，+====2=≥，+≥，故选：C 6.已知102x <<，则1812x x+-的最小值为（）A.16 B.18C.8D.20【答案】B 【解析】【分析】将1812x x+-转化为28212x x +-，发现所求式子两个分母和为定值1，即()2121x x +-=，所以运用“1”的灵活代换及均值不等式即可求解.【详解】解：因为102x <<，所以0121x <-<，又因为()2121x x +-=，所以()1828281221212212211216102x x x x x x x x x x x x -++=+-+-⎛⎫⎡⎤=⨯=+ ⎪⎣⎦-⎝⎭--1018≥+（当且仅当162121x x x x -=-即16x =时等号成立），故选：B.7.已知命题:0p x ∀>，4x a x+≥，命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围是（）.A.24a ≤≤B.22a -≤≤C.2a ≤-或24a ≤≤D.2a ≤-【答案】C 【解析】【分析】若命题p 为真命题，利用基本不等式求出4x x+的最小值即可得到a 的取值范围，若命题q 为真命题，则由0∆≥即可求出a 的取值范围，再取两者的交集即可.【详解】∵命题p ：40,x x a x∀>+≥为真命题，∴min4a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，又∵0x >，∴44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立，∴4a ≤，∵命题:q x ∃∈R ，210x ax ++=，为真命题，∴240a ∆=-≥，∴2a ≤-或2a ≥，∵命题p ，q 都是真命题，∴2a ≤-或24a ≤≤.故选：C8.已知集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<，定义集合{},,,,=1,2,3,4i j i j B x x x x x x A i j ==-∈，若B A =，给出下列说法：①1423x x x x +<+；②2132x x x =<；③3242x x x =+；正确的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】由集合的新定义结合B A =，可得324321x x x x x x -=-=-,由此即可求解.【详解】因为集合{}1234,,,A x x x x =且1234x x x x <<<,若B A =，则B 中也包含四个元素,即{}2131410,,,,B x x x x x x =---剩下的324321x x x x x x -=-=-，4231x x x x -=-，对于①:由4321x x x x -=-得4123x x x x +=+,故①正确;对于②：由3221x x x x -=-得2132x x x =+,故②正确;对于③：由3243x x x x -=-得3242x x x =+,故③正确;故选:D二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对6分，部分选对部分分）9.下列说法不正确的是（）A.“11a b>”是“a b >”的充分不必要条件B.“A =∅”是“A B =∅ ”的充分不必要条件C.若R a b c ∈,,，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.若,R a b ∈，则“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件【答案】AC 【解析】【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解.【详解】对于A 选项，当2,3a b ==时，11;23a b ><当1,2a b =-=-时，11212->-->-，，所以两者既不充分也不必要，故A 错误;对于B 选项，当A B =∅ 时，可取}{}{1,2A B ==，但A ≠∅，当A =∅时，A B =∅ ，故B 正确;对于C 选项，当22ab cb >时，20b >，从而a c >，反之，a c >时，若0b =，则22ab cb =，所以两者不是充要条件，故C 错误；对于D 选项，220,0a b a +≠≠且00b a b ≠⇔+≠，故D 正确，故选:AC10.设正实数m ，n 满足2m n +=，则（）A.12m n+的最小值为3 B.+的最大值为2C.的最大值为1 D.22m n +的最小值为32【答案】BC 【解析】【分析】由基本不等式逐项求解判断即可.【详解】因为正实数m ，n 满足2m n +=，所以()1211212131232222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当2n mm n=，即2m ==，4n =-，等号成立，故A 错误；2224m n m n =++=+++=，当且仅当1m n ==时，等号成立，所以2≤，故B 正确；m n +≥12m n+≤=，当且仅当1m n ==时，等号成立，故C 正确；()22222424222m n m n m n mn mn +⎛⎫+=+-=-≥-= ⎪⎝⎭，当且仅当1m n ==时，等号成立，故D 错误；故选：BC11.已知二次函数2y ax bx c =++（0,,,a a b c ≠为常数）的对称轴为1x =，其图像如图所示，则下列选项正确的有（）A.0abc abc +=B.当1a x a ≤≤-时，函数的最大值为2c a -C.关于x的不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-的解为x >或x <D.若关于x 的函数21t x bx =++与关于t 的函数21y t bt =++有相同的最小值，则1b -≥【答案】ACD【分析】A 选项，由开口方向，与y 轴交点，及对称轴，求出,,a b c 的正负，得到A 正确；B 选项，当1a x a ≤≤-时，数形结合得到函数随着x 的增大而减小，从而求出最大值；C 选项，结合2b a =-，化简不等式，求出解集；D 选项，配方得到两函数的最小值，从而得到2124b b -≥-，求出1b -≥【详解】A 选项，二次函数图象开口向上，故0a >，对称轴为12bx a=-=，故20b a =-<，图象与y 轴交点在y 轴正半轴，故0c >，所以0abc <，故0abc abc abc abc +=-+=，A 正确；B 选项，因为2b a =-，故22y ax ax c =-+，因为0a >，所以11a -<，当11a x a ≤≤-<时，22y ax ax c =-+随着x 的增大而减小，所以x a =时，y 取得最大值，最大值为322y a c a -=+，B 错误；C 选项，因为2b a =-，所以42422ax bx ax ax +=-，()()()2224224222442268a x b x ax ax a a x ax ax a -+-=-+--=-+，故不等式()()2422222ax bx a x b x +>-+-变形为2048ax a >-，因为0a >，22x >，解得：x >或x <，故C 正确；D 选项，2224121b t x bx x b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b x =-时，t 取得最小值，最小值为214b -，2224121b y t bt t b ⎛⎫=++=+ +-⎪⎝⎭，当2b t =-时，y 取得最小值，最小值为214b -，所以2124b b -≥-，即2240b b --≥，所以()215b -≥，即1b -≥D 正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知集合{}{}2,,1a a a =，则a =___________．【解析】【分析】根据集合相等的定义求解即可．【详解】由题意得，21a =，解得1a =-或1a =，当1a =时，集合为{}1,1，不满足集合中元素的互异性，舍去，当1a =-时，集合为{}1,1-，满足题意，故答案为：1-．13.已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】【分析】利用待定系数法设23()()a b a b a b λμ+=++-，得到方程组，解出,λμ，再根据不等式基本性质即可得到答案.【详解】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.14.已知正实数,x y 满足224924x xy y -+=-，且24yx y <<，则3x y +的最小值为__________．【答案】4【解析】【分析】将224924x xy y -+=-，变形为()()424x y y x --=，再由()()342x y x y y x +=-+-，利用基本不等式求解.【详解】解：因为()()22492424x xy y x y x y -+=--=-，所以()()424x y y x --=，所以()()3424x y x y y x +=-+-≥=，（当且仅当42x y y x -=-时，联立224924x xy y -+=-，解得610,77x y ==），所以3x y +的最小值为4，故答案为：4四、解答题（本愿共5小题，共77分）15.已知{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >．（1）若A B =∅ ，求a 的取值范围；（2）若A B =R ，求a 的取值范围．【答案】（1）[)1,-+∞（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）分A =∅和A ≠∅两种情况讨论求解即可；（2）由题意得351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，从而可求出a 的取值范围．【小问1详解】①当A =∅时，A B =∅ ，∴3a a >-+，∴32a >．②当A ≠∅时，要使A B =∅ ，必须满足32351a a a ⎧≤⎪⎪-+≤⎨⎪≥-⎪⎩，解得312a -≤≤．综上所述，a 的取值范围是[)1,-+∞．【小问2详解】∵A B =R ，{}3A xa x a =≤≤-+∣，{1B x x =<-∣或5}x >，∴351a a -+≥⎧⎨≤-⎩，解得2a ≤-，故所求a 的取值范围为(],2-∞-．16.已知集合{}{}222|560,|2(1)30A x x x B x x m x m =+-==+++-=（1）若0,m =写出A B 的所有子集（2）若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------（2）}{|2m m ≤-【解析】【分析】（1）先利用一元二次方程化简集合A ，B ，再利用集合的并集运算求解，进而得到子集；（2）由题意得到B A ⊆，分B 中没有元素即B =∅，B 中只有一个元素和B 中有两个元素求解.【小问1详解】{}{}25606,1A x x x =+-==-，若0m =，则{}{}22303,1B x x x =+-==-，此时{}6,1,3A B =-- ，所以A B 子集为{}{}{}{}{}{}{},6,1,3,6,1,6,3,1,3,6,1,3∅--------.【小问2详解】若“”x A ∈是“”x B ∈的必要条件，只需B A ⊆.①若B 中没有元素即B =∅，则()()2241438160m m m ∆=+--=+<，此时2m <-，满足B A ⊆；②若B 中只有一个元素，则0∆=，此时2m =-．则{}}{2|2101B x x x =-+==，此时满足B A ⊆；③若B 中有两个元素，则0∆>，此时2m >-．因为A 中也有两个元素，且B A ⊆，则必有{}6,1B A ==-，由韦达定理得2613m -⨯=-，则23m =-，矛盾，故舍去．综上所述，当2m ≤-时，B A ⊆．所以实数m 的取值范围：}{|2m m ≤-．17.对于二次函数2(0)y mx nx t m =++≠，若存在0R x ∈，使得2000mx nx t x ++=成立，则称0x 为二次函数2(0)y mx nx t m =++≠的不动点．（1）求二次函数23y x x =--的不动点；（2）若二次函数()2221y x a x a =-++-有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1x 、20x >，求1221x x x x +的最小值．【答案】（1）不动点为1-和3（2）6【解析】【分析】（1）根据不动点的定义，解方程23x x x --=，可得答案；（2）根据题意，即为方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，解得a 的范围，再由韦达定理结合基本不等式可求得1221x x x x +的最小值.【小问1详解】由题意知：23x x x --=，2230x x ∴--=，(3)(1)0x x ∴-+=，解得11x =-，23x =，所以二次函数23y x x =--的不动点为1-和3．【小问2详解】依题意，()2221x a x a x -++-=有两个不相等的正实数根，即方程()22103x x a a +-+=-有两个不相等的正实数根，所以()()21212Δ3810302102a a a x x a x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1a >，所以1232x x a ++=，1212a x x -=，所以()222121212122112122x x x x x x x x x x x x x x +-++==()223121321212a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭==--()()214(1)1621a a a -+-+=-1822621a a -=++≥=-当且仅当1821a a -=-，即5a =时等号成立，所以1221x x x x +的最小值为6．18.某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量x 吨与年促销费用t 万元之间满足函数关系式22k x t =-+（k 为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.（1）求k 值；（2）将下一年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数；（3）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用）【答案】（1）=2k （2）()321670222y t t t =--+≥+（3）该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.【解析】【分析】（1）依题意当=0t 时，=1x 代入计算可得；（2）依题意求出当年生产x 吨时，求出年生产成本和为年销售收入，从而可表示出食品的利润；（3）由（2）可得32269222t y t +⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式计算可得.【小问1详解】由题意可知，当=0t 时，=1x ，所以122k =-，解得=2k ；【小问2详解】由于=2k ，故222x t =-+，由题意知，当年生产x 吨时，年生产成本为：232332232x t ⎛⎫+=-+ ⎪+⎝⎭，当销售x 吨时，年销售收入为：3213223222t t ⎡⎤⎛⎫-++ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，由题意，3212322332232222y t t t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()321670222y t t t =--+≥+.【小问3详解】由（2）知：()321670222y t t t =--+≥+，即3226932269222222t t y t t ++⎛⎫=--+=-++ ⎪++⎝⎭6926.52≤-=，当且仅当32222t t +=+，又22t +≥，即6t =时，等号成立.此时，max 26.5y =.该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为26.5万元.19.问题：正数a ，b 满足1a b +=，求12a b+的最小值．其中一种解法是：12122()123b a a ba b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭2b a a b=，且1a b +=时，即1a =-且2b =（1）若正实数x ，y 满足3xy x y =+，求x y +的最小值；（2）若正实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，且a b >，试比较22a b -和2()x y -的大小，并说明理由；（3）利用（2）的结论，求代数式M =M 取得最小值时m 的值．【答案】（1）4+（2）()222a b x y -≤-，理由见解析.（3）136【解析】【分析】（1）把3xy x y =+转化为131x y+=，利用题设给出的方法求和的最小值.（2）借助“1”的代换，利用22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，再利用不等式可判断22a b -和2()x y -的大小.（3）取x =y =2231x y -=，利用（2）的结论，可求M 的最小值，再分析“=”成立的条件，可得m 的值.【小问1详解】由3xy x y =+（0x >，0y >）可得：131x y+=（0x >，0y >），所以()13x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭34y x x y =++4≥+4=+（当且仅当3131y x x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即13x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩=”）.所以x y +的最小值为：4+.【小问2详解】因为22221x y a b-=，所以22a b -()222222x y a b a b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，因为2222222b x a y xy a b +≥（当且仅当222222b x a y a b =时取“=”）.所以22222222222b x a y x y x y xy a b ⎛⎫+-+≤+- ⎪⎝⎭222x y xy ≤+-()2x y =-（当0xy >时取“=”）所以：()222a b x y -≤-（当且仅当2222220b x a y a b xy ⎧=⎪⎨⎪>⎩即22b x a y =时取“=”）.【小问3详解】取x =y =，由35020m m -≥⎧⎨-≥⎩⇒2m ≥，此时()()352230m m m ---=->，所以0x y ->.同时：2231x y -=⇒22113y x -=，取21a =，213b =.由（2）可知：()22212133x y a b -≥-=-=，所以3x y -≥，当且仅当22331x y x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，结合00x y >⎧⎨>⎩，得26x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即136m =时取“=”.【点睛】方法点睛：本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用22a b -()()222222221x y a b a b a b ⎛⎫=-⨯=-- ⎪⎝⎭22222222b x a y x y a b ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用.。

一、选择题（每小题4分，共20分）1.已知集合A={x，x<3},B={y，y>2},则A∩B等于（）A.{x，2<x<3}B.{x，x<2}C.{y，2<y<3}D.{y，y>3}2.下列各组函数中，在定义域上存在极值点的是（）A. y=x2B. y=，x，C. y=sin xD. y=1/x3.半径为2的圆的面积为（）A.4πB.8πC.4D.84. 已知直线l1:ax+by+c=0,l2:bx-ay+d=0，若l1⊥l2,则（）A. ad＝bcB. ad＝-bcC. a＝bD. a＝-b5.设i为虚数单位，则i的复数形式是（）A.iB.-iC.0D.1二、填空题（每小题4分，共20分）6. 如果α 为角的终边，那么sinα = _______.7.若集合A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B=________.8.三角形的面积S=__________.9.不等式x2-5x+6<0的解集为__________.10.两个正数的和大于等于它们乘积的平方根的条件是它们之积大于等于_________.三、解答题（每小题6分，共30分）11.已知函数f（x）=2x2-5x+3，求f（x）的极值及极值所对应的x 值。

解：f（x）的极值为f（x）的最大值或最小值，即f（x）的极值为f（x）的零点根据求极值的知识可知：∵f'（x）=4x-5=0则极值所对应的x值为：x=5/4所以f（x）的极值为f（5/4）＝2×52－5×5+3＝-4/4＝-1。

西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高2024届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2i i 0z z -⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.1i5- C.25 D.2i 52.设集合{}1,0,1A =-，{}12,xB y y x A ==-∈，则A B ⋂中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.43.已知π2αβ+=，则2214sin sin αβ+的最小值为（）A .6B.8C.9D.104.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AA a =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点，那么当底面ABC 水平放置时，水面高为（）A.4a B.2a C.34a D.a5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90B.125C.180D.2436.[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.32=，[]1.92-=-，已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2023S =（）A.20232022⨯ B.20232024⨯ C.20232026⨯ D.20232028⨯7.过双曲线22221x y a b-=上任一点()00,P x y 作两渐近线的平行线PE ，PF 且与两渐近线交于E ，F 两点，且1EF OP k k =，则双曲线的离心率为（）A.3B.3C.2D.28.已知1tan 0.01sin 0.01a =+，100b =，1051232c ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.a b c>> B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，现将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是2πB.()f x 的图象关于直线π8x =对称C.()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C =.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A C P A C ==.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C = B.()0.005P AC <C.()0.05P A C = D.()0.1P C A =11.统计学中的标准分z 是以平均分X 为参照点，以标准差x σ为单位，表示一个数据x 在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是i i xx Xz σ-=（1,2,,i n =⋅⋅⋅）.若一组原始数据如下：序号()i 12345对应值()i x 105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X = B.3x 对应的标准分30.1z >C.该组原始数据的标准分z 的方差为1D.存在i j ≠，使得i j x x >，i j z z <同时成立12.定义域为R 的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且()()f x g x '=，()()0f x g x ''+=，则下列说法错误的为（）A.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极大值点B.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极小值点C.()f x ，()g x 可能有相同的零点D.()f x ，()g x 可能有相同的极值点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,3,4m a a n a a =-+-=-+，若()//m n m + ，则实数a ＝___.14.已知π,02α⎛⎤∈-⎥⎝⎦，sin tan 2cos ααα=，则tan α=______.15.过直线2y =上任意一点P 作圆O ：221x y +=的两条切线，则切点分别是,A B ，则OAB 面积的最大值为______.16.已知四面体ABCD满足BC CD BD ===，它的体积为，其外接球球O 的表面积为100π，则点A 在球O 表面的轨迹长度为__________；线段AB 长度的最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前10项和10S .18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos 2c a A B b A =-（A B ≤）.（1）求A ；（2）若AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，求ABC 周长的最小值.19.已知三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，BA AC ⊥，π3PAC PAB ∠==∠，4PA =.（1）求点P 到平面ABC 的距离；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的正弦值.20.在直角坐标系xOy 中，动点P 到y 轴的距离比点P 到点()1,0F 的距离少1.（1）求动点P 的轨迹方程W ；（2）当0x ≥时，过点()4,0M 的直线与W 交于,A B 两点，连接AF ，BF 延长与W 分别交于C 、D 两点，求FCD 与FAB 面积之和FCD FAB S S +△△的最小值.21.“大地”渔业公司从A 、B 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B 处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.005x α2.7063.8416.6357.87922.设函数()sin cos f x x x x =-，()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）①当[]0,πx ∈时，证明：()0f x ≥；②当[]π,πx ∈-时，求()g x 的值域；（2）若数列{}n a 满足11a =，1cos n n n a a a +=，0n a >，证明：()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.西南大学附属中学重庆育才中学万州高级中学高2024届拔尖强基联盟高三上十二月联合考试数学试题（满分：150分：考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足2i i 0z z -⋅+=，则复数z 的虚部为（）A.15-B.1i5- C.25 D.2i 5【答案】A 【解析】【分析】设复数z 的代数形式，代入运算，由复数相等的条件求解方程组即可.【详解】设i(,)z a b a b =+∈R ，代入2i i 0z z -⋅+=得，i 2(i)i i 2(21)i 0a b a b a b b a +-++=++-+=，则有20210a b b a +=⎧⎨-+=⎩，解得2515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即复数z 的虚部为15-.故选：A.2.设集合{}1,0,1A =-，{}12,xB y y x A ==-∈，则A B ⋂中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】由定义域为A ，先求函数12x y =-值域B 即可，再由交集运算可得.【详解】设函数()12x f x =-，则1(1),(0)0,(1)12f f f -===-，所以集合11,0,2B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，由集合{}1,0,1A =-，则{}1,0A B ⋂=-，A B ⋂中元素的个数为2，故选：B.3.已知π2αβ+=，则2214sin sin αβ+的最小值为（）A.6B.8C.9D.10【答案】C 【解析】【分析】由于π2αβ+=，得出2sin α和2sin β的对应关系，再设定2sin α和2sin β为,x y ，得到基本不等式形式：“1x y +=和14x y+模型”，求解即可.【详解】由于π2αβ+=，得πsin sin()cos 2βαα=-=，所以设2sin ,(0,1)x x α=∈，2sin ,(0,1)y y β=∈，且1x y +=，则221414144()()5sin sin y xx y x y x y x yαβ+=+=++=++，其中4559y x x y ++≥+=（等号成立时4y x x y =，即12,33x y ==时成立）.故选：C.4.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱1AA a =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11A C ，11B C 的中点，那么当底面ABC 水平放置时，水面高为（）A.4a B.2a C.34a D.a【答案】C 【解析】【分析】利用水的体积不变，转化求解即可.【详解】如图，设11B C ，11A C ，11A B 的中点分别为E ，F ，G ，则111112EF A G GB A B ===，111114C EF A B C S S = ，所以水部分四棱柱与原三棱柱的底面面积之比为3:4，由于两种状态下水的体积相等，所以当底面ABC 水平放置时，水面高为侧棱长的34，即34a .故选：C5.加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，W 区心理协会派遣具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则不同的安排方法共有（）种A.90B.125C.180D.243【答案】A 【解析】【分析】根据已知对五位同学分3组，然后全排列即可求解.【详解】根据题意，具有社会心理工作资格的3位专家去定点帮助5名心理特异学生，要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两名学生，则把五位同学分3组，且三组人数为2、2、1，然后分配给3位专家，所以不同的安排方法共有2213531322C 0C C A A ⋅=种.故选：A ．6.[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]2.32=，[]1.92-=-，已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2145n n n a a a +++=，若[]21log n n b a +=，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则2023S =（）A.20232022⨯B.20232024⨯ C.20232026⨯ D.20232028⨯【答案】B 【解析】【分析】先根据递推公式变形并构造数列得出1n a +，再适当放缩得出n b ，再结合等差数列的求和公式计算即可.【详解】由2145n n n a a a +++=可知21144n n n n a a a a +++-=-，所以数列{}14n n a a +-是常数列，又11a =，25a =，所以2141a a -=，则数列{}14n n a a +-各项均为1，即111141433n n n n a a a a ++⎛⎫-=⇒+=+ ⎪⎝⎭，11433a +=，则数列13⎧⎫+⎨⎩⎭n a 是以43为首项，4为公比的等比数列，即()()112211411441213333n n n n n a a -++++=⨯⇒=-=-，由()22222214232212123n n nn n +⨯-⨯=>⇒->，()222121222122162422132212213n n n n n n n +++++⨯-⨯=>-⇒⨯>-⇒>-，故()22112122log 2,21nn n n a a n n +++<<⇒∈+，根据题意可知：[]21log 2n n b a n +==，所以()()120232023202322202320232024202322b b S ++⨯⨯===⨯.故选：B7.过双曲线22221x y a b-=上任一点()00,P x y 作两渐近线的平行线PE ，PF 且与两渐近线交于E ，F 两点，且1EF OP k k =，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】求出,E F 的坐标，然后利用斜率之积建立方程，利用离心率公式求解离心率即可.【详解】过点P 与双曲线渐近线b y x a =平行的直线PE 为00()by y x x a-=-，于是有：()00b y x a b y y x x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得000022bx ay x bbx ay y a -⎧=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，即0000,22bx ay bx ay E b a --⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点P 与双曲线渐近线b y x a =-平行的直线PF 为00()by y x x a-=--，于是有：()00b y x a b y y x x a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩，解得000022bx ay x bbx ay y a +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即0000,22bx ay bx ay F b a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以000020200002222EFbx ay bx ay b x a a k bx ay bx ay a y b b+-⎛⎫-- ⎪⎝⎭==+--，因为1EF OP k k =，所以220022001b x y b a y x a ⨯==，所以双曲线的离心率为c e a ===故选：D8.已知1tan 0.01sin 0.01a =+，100b =，1051232c ⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则（）A.a b c >>B.a c b>> C.c b a>> D.c a b>>【答案】A 【解析】【分析】由常用不等式与作差法比较大小,【详解】设()sin f x x x =-，π02x <<，则()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故()(0)f x f >，即sin 0x x ->，则sin 0x x >>，且tan 0x >.11sin x x>，且tan 0x >所以11100,tan 0.010sin 0.010.01>=>，则1tan 0.01100sin 0.01a b =+>=；因为22515353357,2222⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则10822225151513575112223525225⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪+== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则123555775552322c ++=-=，所以7755512355510022b c +--=-=，由(2212315129,515125==，则123555>b c >.所以a b c >>.故选：A二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，现将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，且最大值为2，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期是2πB.()f x 的图象关于直线π8x =对称C.()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.()f x 在3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】CD 【解析】【分析】根据对称性求得周期判断A ，整体代换法求解对称轴、对称中心判断BC ，代入正弦函数单调减区间求解判断D.【详解】因为函数()()sin f x x k ωϕ=++ππ0,22ωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图象中相邻两条对称轴的距离是π2，所以函数()f x 的最小正周期为π2π2π2T ω=⨯==，所以2ω=，故A 错误；()()sin 2f x x k ϕ=++，将()f x 的图象向右平移个π8单位长度，得到函数()g x 的图象，则()πsin 24g x x k ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，又()g x 是偶函数，且最大值为2，所以πππ,Z 4212k k k ϕ⎧-=+∈⎪⎨⎪+=⎩，即3ππ,Z 41k k k ϕ⎧=+∈⎪⎨⎪=⎩，又ππ22ϕ-<<，所以π41k ϕ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以()πsin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由ππ2π+,42x k k -=∈Z ，得3ππ,82k x k =+∈Z ，即()f x 图象的对称轴方程为3ππ,82k x k =+∈Z ，当π8x =时，12k =-∉Z ，故B 错误；由π2π,4x k k -=∈Z ，得ππ,82k x k =+∈Z ，即()f x 图象的对称点为ππ,182k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，当1k =时，()f x 的图象关于点5π,18⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；当ππ3π2π22π,242k x k k +≤-≤+∈Z ，解得：3π7πππ,88k x k k +≤≤+∈Z ，所以当0k =时，()f x 在区间3π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：CD10.对自然人群进行普查，发现患某病的概率()0.005P C =.为简化确诊手段，研究人员设计了一个简化方案，并进行了初步试验研究，该试验具有以下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C 表示事件“被确诊为患病”，则有()()0.95P A C P A C ==.根据以上信息，下列判断正确的是（）A.()0.95P C = B.()0.005P AC <C.()0.05P A C = D.()0.1P C A =【答案】BC 【解析】【分析】根据对立事件概率公式判断AC ，根据条件概率和全概率公式判断BD.【详解】因为(|)0.95P A C =，所以(|)1(|)0.05P A C P A C =-=，因为()0.005P C =，所以()0.995P C =，故选项A 错误，C 正确；因为()()()()()0.950.0050.004750.005P AC P C A P A P A C P C ===⨯=<，故选项B 正确；由全概率公式可得()()()()(P A P A C P C P A C P C =⋅+⋅，则由条件概率公式知()()()()(|)()()()P AC P AC P C A P A P A C P C P A C P C ==+0.950.005190.950.0050.050.995218⨯==⨯+⨯，故选项D 错误.故选：BC11.统计学中的标准分z 是以平均分X 为参照点，以标准差x σ为单位，表示一个数据x 在整组数据中相对位置的数值，其计算公式是i i xx Xz σ-=（1,2,,i n =⋅⋅⋅）.若一组原始数据如下：序号12345()i 对应值()i x 105668则下列说法正确的是（）A.该数组的平均值7X = B.3x 对应的标准分30.1z >C.该组原始数据的标准分z 的方差为1 D.存在i j ≠，使得i j x x >，i j z z <同时成立【答案】AC 【解析】【分析】根据平均数计算公式判断A ，先求标准差x σ，然后利用标准分计算3z 判断B ，计算12345,,,,z z z z z ，代入方差计算公式求解判断C ，利用i z 与i x 关系判断D.【详解】该数组的平均值10566875X ++++==，故选项A 正确；因为标准差5xσ==，所以3354Xx Xzσ-===-，故选项B 错误；114455Xx Xz σ-===，222455X x X z σ-===-，434455z z ===-，5554455Xx Xz σ-===，所以标准分z 的平均值为3555554244405z ---+==，所以该组原始数据的标准分z 的方差为22222355555000004244415⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--+--+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=，故选项C 正确；由题意()574i i z x ==-，若i jx x >，且i j ≠，则i j z z >，故选项D 错误.故选：AC12.定义域为R 的函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且()()f x g x '=，()()0f x g x ''+=，则下列说法错误的为（）A.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极大值点B.当0x 是()f x 的零点时，0x 是()g x 的极小值点C.()f x ，()g x 可能有相同的零点D.()f x ，()g x 可能有相同的极值点【答案】ABD 【解析】【分析】结合导数，根据零点和极值点定义逐个判断抽象函数满足的条件即可.【详解】()()g x f x '=，设()()h x f x ='，则()()g x h x =，则()()g x h x '='，所以()()f x h x ''=-，AB 选项,若()0f x =,则0x 不是()g x 的极大值点,也不是极小值点，故AB 错误；C 选项,考虑32(),()3f x x f x x '==，则2()()3g x f x x '==，显然两者有共同零点0，故C 正确；D 选项,若()()g x f x '=在0x 处取得极值,①若1x 处取得极大值,()10f x '>,则在1x 左右两侧无限小的区间内()0f x >,即()11,,0x x x δδδ∈-+→时,必有()0f x '>,所以()f x 在()11,x x δδ-+上单增,不符合题意,同理()10f x '≤,有()11,0x x x δδδ∈-+→时,必有()0f x '≤,所以不符合题意.②若1x 处取得极小值,同理可得也不符合题意,所以D 选项错误.故选：ABD .【点睛】方法点睛：利用导数判断抽象函数零点和极值点的问题，属于中档题.常用方法有：（1）结合导数得出原函数表达式；（2）假设成立，判断命题真假；（3）转化思想应用.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,3,4m a a n a a =-+-=-+，若()//m n m + ，则实数a ＝___.【答案】54【解析】【详解】(2,6)m n +=，由()//m n m +，得()()61220a a -+--=，解得54a =.14.已知π,02α⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，sin tan 2cos ααα=，则tan α=______.【答案】0【解析】【分析】利用同角三角函数的商数关系及正切的二倍角公式计算即可.【详解】易知2sin 2tan tan 2tan cos 1tan αααααα===-，因为π,02α⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，若0α=，显然tan 0α=，上式恒成立，若π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan 0α<，所以2222tan 2tan 1tan 11tan 1tan ααααα=⇒=⇒=---，无解，综上可知tan 0α=.故答案为：015.过直线2y =上任意一点P 作圆O ：221x y +=的两条切线，则切点分别是,A B ，则OAB 面积的最大值为______.【答案】34【解析】【分析】由,OA PA OB PB ⊥⊥得出点,A B 在以OP 为直径的圆C 上是关键，通过两圆方程相减得到直线AB 的方程，从而求出OAB 面积的表达式，运用函数思想求解即得.【详解】如图，设点,2P t （），因,OA PA OB PB ⊥⊥,故点,A B 在以OP 为直径的圆C 上，因圆心(,1)2t C，半径为2，故圆C 的方程为：2224:()(1)24t t C x y +-+-=，又圆O ：221x y +=，将两式左右分别相减，整理得直线AB 的方程为：:210AB l tx y +-=，于是，点(0,0)O 到直线:210AB l tx y +-=的距离为：d =，||AB ==，故OAB的面积为：2113=||224AOB S AB d t ⋅=⨯+ ，不妨设m =则m ≥，且223t m =-，故2111AOB m S m m m==++△，因1y m m =+在)+∞上单调递增，故433y ≥，此时34AOB S ≤△，即0=t 时，点(0,2)P 时，OAB面积的最大值为4.故答案为：4.16.已知四面体ABCD满足BC CD BD ===，它的体积为，其外接球球O 的表面积为100π，则点A 在球O 表面的轨迹长度为__________；线段AB 长度的最小值为______.【答案】①.9π②.【解析】【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径R ，再根据勾股定理求出球心O 到平面BCD 的距离，再由锥体体积求出点A 到平面BCD 的距离h ，直观想象可得点A 在球O 表面的轨迹，计算可得轨迹长度；由点A 在圆上运动，到定点B 的距离最值转化为圆台母线最短求解即可.【详解】设外接球半径为R ，因为外接球的表面积为100π，则24π100πR =，解得5R =，设BCD △的中心为1O ，则12423BO ==，如图过点B 作球的轴截面，则13OO ==，设点A 到平面BCD 的距离为h ，(2134A BCDV h -==⨯⨯，解得7h =.则由题意知，点A 在以5为半径的球面上，且距离平面BCD 为7的平面内，则点A 在球O 表面的轨迹为圆，设圆心为2O ，且234OO h =-=则2222222549AO OA OO =-=-=，即圆2O 的半径为3，所以点A 在球O 表面的轨迹长度为9π；由题意可看作点A 在圆台12O O 底面圆周2O 上运动，则当AB 为圆台母线时，AB 最小，即当12,,,A B O O 四点共面时，AB 取最小值，如图，min AB ==故答案为：9π；【点睛】方法点睛：对于立体几何空间轨迹的问题，研究的主要还是解析几何中的几种曲线：直线、圆、椭圆、双曲线与抛物线.常规解决方法有以下几种：1.几何法：根据对动点运动过程中点、线、面性质或位置关系的分析，进行判定；2.定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线定义判定，或用代数法进行计算；3.交轨法：根据研究动点满足的不同条件分别确定动点所在空间几何体（线、面），再由公共（相交）部分确定轨迹；4.基底（建系）法：通过选择基底（或建系）将几何问题数量化，得到动点满足的方程（组），进而分析方程表示的轨迹；5.特殊值法：特别地，对于轨迹问题的选择题，根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，2122a a ==，且22,4,n n na n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n a 的前10项和10S .【答案】（1）1,2,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数；（2）707【解析】【分析】（1）分奇偶项讨论结合等差数列、等比数列的通项公式计算即可；（2）直接利用等差数列和等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】由题意可知当()21Nn k k *=-∈时，有221212n n k k a a a a ++--=-=，此时数列{}n a 的奇数项成等差数列，由题意可知11a =，公差为2，则()2112121k a k k -=+-=-，所以n a n =，（n 为奇数），当()2Nn k k *=∈时，有22224n n k k aa a a ++÷=÷=，即此时数列{}n a 的偶数项成等比数列，由题意可知22a =，公比为4，则1212242k k k a --=⨯=，所以12n n a -=，（n 为偶数），综上1,2,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数.【小问2详解】由上可知()()1012101392410S a a a a a a a a a =+++=+++++++()()()()539214195139222707214-+⨯=+++++++=+=- 18.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos cos cos 2c a A B b A =-（A B ≤）.（1）求A ；（2）若AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，求ABC 周长的最小值.【答案】（1）π3；（2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理以及三角恒等变换公式即可求解;（2）由AD 是角A 的内角平分线，可得到ABC ABD ACD S S S =+ ，化简得到32bc b c =+，表示出周长，利用基本不等式计算即可.【小问1详解】因为2cos cos cos 2c a A B b A =-，由正弦定理可得：()2sin 22sin cos cos 2sin cos 2R C R A A B R B A =-,所以sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A=-因为在ABC 内，有πA B C ++=,所以()sin sin C A B =+，所以()()sin sin 2cos sin cos 2sin 2A B A B B A A B +=-=-,所以2A B A B +=-,或2πA B A B ++-=，即2A B =，或π3A =，由A B ≤，故π3A =.【小问2详解】因为AD 是角A 的内角平分线，且2AD =，所以ABC ABD ACD S S S =+ ,即1π1π1πsin 2sin 2sin 232626bc c b =⨯+⨯，整理得：2bc b c =+，所以()33bc b c =+≥⨯163bc ≥，当且仅当433b c ==时，上式取到最小值，在ABC 中由余弦定理可得：22222π2cos 3a b c bc b c bc =+-=+-，所以ABC 周长：22ABC C a b c bc bc =++=³³，当且仅当433b c ==时，等号成立，所以ABC 周长的最小值为19.已知三棱锥-P ABC 中，2AB AC ==，BA AC ⊥，π3PAC PAB ∠==∠，4PA =.（1）求点P 到平面ABC 的距离；（2）求平面PAB 与平面PBC 夹角的正弦值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理证得PE ⊥平面ABC ，再利用勾股定理求得PE ，从而得解；（2）结合（1）中结论建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】取BC 中点D ，连接AD ，PD ，在ACP △和ABP 中，AB AC =，AP AP =，PAC PAB ∠=∠，可得ACP ABP ≌△△，则CP BP =，所以PD BC ⊥，因为AD BC ⊥，且AD PD D =I ，,AD PD ⊂平面ADP ，所以BC ⊥平面ADP ，在平面PAD 中，过P 点作PE AD ⊥，交AD 延长线于点E ，连接CE ，BE ，PE ，因为BC ⊥平面PAD ，且PE ⊂平面PAD ，所以BC PE ⊥，又AD BC D = ，,AD BC ⊂平面ABC ，所以PE ⊥平面ABC ，即PE 为点P 到平面ABC 的距离，在PCA V 中，π3PAC ∠=，4,2PA AC ==，由余弦定理可得2222212cos 42242122PC PA AC PA AC PAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，则PC =，在Rt ABC △中，12AD CD BC ===，在Rt PCD中，PD ===在Rt PAE △中，22222PE PA AE PD DE =-=-，则)221610DEDE -+=-，解得DE =，则2221028PE PD DE =--==，即PE =，所以点P 到平面ABC的距离为.【小问2详解】由（1）知,CD BD AD DE ==，所以四边形ABEC 是平行四边形，又,AB AC AB AC ⊥=，所以四边形ABEC 是正方形，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C，(2,2,P ，可得(2,0,0)AB =，(2,2,AP = ，(2,2,0)CB =-，(0,2,BP =，设平面PAB 的法向量为(,,)m a b c =，则20220m AB a m AP a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令b =，则0a =，1c =-，即1)m =-，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则22020n CB x y n BP y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1z =-，则x =，y =，即)1n =-，设平面PAB 与平面PBC 的夹角θ，则π02θ<<，可得15cos cos ,5m n m n m n θ⋅====⋅，10sin 5θ===，所以平面PAB 与平面PBC 的夹角的正弦值105.20.在直角坐标系xOy 中，动点P 到y 轴的距离比点P 到点()1,0F 的距离少1.（1）求动点P 的轨迹方程W ；（2）当0x ≥时，过点()4,0M 的直线与W 交于,A B 两点，连接AF ，BF 延长与W 分别交于C 、D 两点，求FCD 与FAB 面积之和FCD FAB S S +△△的最小值.【答案】（1）20,04,0x y x x <⎧=⎨≥⎩；（2）514.【解析】【分析】（1）由点到直线及点的距离公式结合抛物线的定义计算即可；（2）设直线AB 和,A B 坐标，利用直线过定点及焦点弦性质先得出,C D 坐标，从而判定CD 过定点，通过消元转化及基本不等式求面积最值即可.【小问1详解】设点(),P x y ，则由题意可知：1x +=，化简得222x y x =-，若200x y <⇒=，即0,0x y <=，若204x y x ≥⇒=，综上可知动点P 的轨迹方程W 为：20,04,0x y x x <⎧=⎨≥⎩；【小问2详解】根据（1）知0x ≥时，2:4W y x =，由题意可设221212:4,,,,44AB y y l x ky A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22,,,44C D C D y y C y D y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不妨令A 在第一象限，则,B C 在第四象限，D 在第一象限，如图所示，联立抛物线方程22441604y xy ky x ky ⎧=⇒--=⎨=+⎩，显然12124,16y y k y y +==-，同理可设过F 点的直线为1x my =+，与抛物线联立有2440y my --=，则124,4C D y y y y =-=-，所以2211224444,,,C D y y y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若0k =时，易得124y y =-=，则11,1,,144C D ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1:4CD l x =，若0k ≠，则CD 斜率存在，则2212211214444:44CD y y l x y y y y y -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭-，化简得()121214164444k y y x y y y x ky x y =-+-⇒-=--⇒=+，综上可知直线CD 横过定点1,04G ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()121122FCD FAB D C S S GF y y MF y y +=⨯⨯-+⨯⨯-1211213115116512324y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=-+-=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14y =时取得最小值514.21.“大地”渔业公司从A 、B 两不同设备生产厂商处共购买了80台同类型的设备.（1）若这80台设备的购买渠道和一段时间后故障的记录如下表：从A 处购买（台）从B 处购买（台）运行良好（台）4614出现故障（台）146试根据小概率值0.05α=的独立性检验，分析设备故障情况是否与购买渠道有关；（2）若每台设备发生故障的概率都是0.01，且发生故障时由一个人独立完成维修.现有两种配备维修工人的方案，甲方案是由4个人维修，每个人各自独立负责20台；乙方案是由3个人共同维护这80台.请判断在这两种方案下设备发生故障时不能及时维修的概率的大小关系？并从公司经营者的角度给出方案选择的建议.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.005x α2.7063.8416.6357.879【答案】（1）否（2）甲方案下设备发生故障时不能及时维修的概率大，选择乙方案【解析】【分析】（1）根据2χ计算公式运算，对比临界值即可求解；（2）根据题意，分别求得甲方案和乙方案，结合对立事件和独立重复试验的概率计算公式，分别求得设备发生故障时不能及时维修的概率，根据大小关系，即可得到结论.【小问1详解】假设设备故障情况与购买渠道无关联，由题意，2280(4661414)0.356 3.84160206020χ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，可推断假设成立，即认为设备故障情况与购买渠道无关联.【小问2详解】对于甲方案：以X 记“第1人维护的20台设备中同一时刻发生故障的台数”，以()1,2,3,4i A i =表示事件“第i 人维护的20台设备发生故障时不能及时维修”，则知80台设备发生故障时不能及时维修的概率为：()()()123412P A A A A P A P X ⋃⋃⋃≥=≥，而()~20,0.01X B ，故有()()()20191202110.01C 10.010.010.0169P X ≥=---⋅-⋅≈，所以()12340.0169P A A A A ⋃⋃⋃≥；对于乙方案：以Y 记“80台设备中同一时刻发生故障的台数”，此时()~80,0.01Y B ，则80台设备发生故障时不能及时维修的概率为()()()()()80797821280804110.01C 10.010.01C 10.010.01P X ≥=---⋅-⋅-⋅-⋅()()773380C 10.010.010.0087-⋅-⋅≈，可得0.00870.0169<，故选择乙方案能让故障设备更大概率得到及时维修，使得公司的生产效率更高.22.设函数()sin cos f x x x x =-，()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）①当[]0,πx ∈时，证明：()0f x ≥；②当[]π,πx ∈-时，求()g x 的值域；（2）若数列{}n a 满足11a =，1cos n n n a a a +=，0n a >，证明：()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.【答案】（1）①证明过程见解析，②2π1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）①求导，得到函数单调性，求出()()00f x f ≥=；②先得到()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，考虑[]0,πx ∈时，求导，结合①可知，()g x 在[]0,πx ∈上单调递减，从而求出函数最值，求出值域；（2）先得到1123cos cos cos cos n n a a a a a +⋅⋅⋅=，故只需证明123123,N n n a a a a n a *++++⋅⋅⋅+<∈，由（1）可知122n n na a a +<-，从而裂项相消法求和得到证明.【小问1详解】①()cos cos sin sin 0f x x x x x x x '=-+=≥在[]0,πx ∈恒成立，故()sin cos f x x x x =-在[]0,πx ∈上单调递增，故()()00f x f ≥=，证毕；②[]π,πx ∀∈-，恒有()()()()221cos 1cos 22x x g x x x g x ⎡⎤-⎛⎫-=+-=+=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()21cos 2x g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，当[]0,πx ∈时，()()22cos 1sin cos sin sin 22x x g x x x x x x x x ⎛⎫'=-+=-- ⎪⎝⎭，由①可知，cos sin 0x x x -≤在[]0,πx ∈上恒成立，又2sin 02x x -≤，故()0g x '≤在[]0,πx ∈上恒成立，故()g x 在[]0,πx ∈上单调递减，故()()22minππππc22g x g ⎛⎫==+=-- ⎪⎝⎭，()()max 01g x g ==，结合函数在[]π,πx ∈-上为偶函数可得，函数值域为2π1,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】因为11a =，1cos n n n a a a +=，所以33124112312cos cos cos cos n n nn a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=，其中0n a >，故只需证明123123,N n n a a a a n a *++++⋅⋅⋅+<∈，因为11a =，1cos n n n a a a +=，所以10cos 1n n n n a a a a +<=≤≤，由（1）可知12221cos 212n n n n n n na a a a a a a +=<⋅=++，上式两边取倒数得2121122n n n n n a aa a a ++>=+，故122n n n a a a +<-，于是12312132122222232n n n a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112222n n a a a a ++=-+=，N n *∈，所以()1231233cos cos cos cos 2n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+<（*N n ∈）.【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。

重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周考数学测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量(2,1),(1,),==-⊥a b x a b , 则x 的值为 A.12-B. -1C. 2D. -2 2．已知函数e ,0,()1,0⎧≤=⎨->⎩x x f x x x ,则f (f (1))=A.0B. 1C. eD. 1- e3．已知集合 {|||}==A x x x ,集合2{|430}=++>B x x x , 命题p : x ∈A , 命题 q : x ∈B , 则p 是q 的 A.充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4．复数 z 满足| z -1|=1,则| z | 的最大值为 A.1B. 2C. 3D. 25．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛．现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上， 每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有( )种． A. 12B. 14C. 16D. 186．如图1,在四棱锥 P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形. PA ⊥底面ABCD , PA =AB =2, AD =4. E 为P C 的中点，则异 面直线 P D 与 BE 所成角的余弦值为 A.35 B.3010 C.1010 D.310107．科克曲线 ( Koch curve) (如图 2) 是一种典型的分形曲线．它是科克(Koch ，H. von)于1904年构造出来的．其形成如下：把一个边长为1的等边三角形，取每边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似的但边长为其三分之一的三角形，结果是一个六角形. 取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，以此重复，直至无穷．外界的边比原来越细微曲折，形状接近理想化的雪花．它是一个无限构造的有限表达，每次变化面积都会增加，但总面积不会超过起初三角形的外接圆．按照上面的变化规则，第四个图形的面积与第三个图形的面积之差为A.23243 B. 43243 C. 163243 D.398．已知函数221()cos ,()2=--=-f x x x g x x k , 若f (x )与g (x )的图象有且只有一个公共点，则k 的值为A. -1B. 0.C. 1D . 2二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．函数g (x ) = ln(2x +1) -ln( 2x -l ) , 关于 g ( x ) 下列说法正确的是 A ．定义域为( 0 ,+∞) B ．值域为(0, +∞) C ．g (x )为减函数 D ．g (x )为奇函数10．已知函数f ( x ) = 2(| sin x | +sin x )• cos x , 关于f ( x )下列说法正确的是A ．f (x )为奇函数B ．2π为f (x )的周期C ．f ( x )的值域为[ -2,2]D ． f (x )的单调增区间为[2k π, 2k π+π4](k ∈Z )11．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为线段B 1D 1上一动点（包括端点），则以下结论正确的有A. 三棱锥P –A 1BD 的体积为定值13B. 过点P 平行于平面A 1BD 的平面被正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1截得的多边形的面积为32C. 直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正弦值的范围为36[,]D. 当点P 与B 1重合时，三棱锥P - A 1BD 的外接球的体积为32π 12．设a >0, b >0, a +b = 1, 则A ．a 2 +b 2的最小值为12B ．4a +1b的范围为[ 9 , +∞)C ．ab的最小值为2 2 D ．若c > l , 则2311(2)1+-⋅+-a c ab c 的最小值为8三、填空题（本大题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置上） 13．二项式5()+x x x展开式中的常数项为＿＿＿＿．14．某产品的广告投入x (万元)与销售额y (万元)具有较强的线性相关性,该产品的广告投入x (万元)与相应的销售额 y (万元)的几组对应数据如下表所示:x 1 2 3 4 y3 5 6 a的值为 .c15．已知双曲线()222:10y C x b b-=>左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M ，N 两点.若点M 是线段2F N 的中点，且12NF NF ⊥，则b =16．在在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , ∠B = 60° ,且b 2s in A c os C +bc sin B cos A =4s in B ,则b = , a +2c 的最大值为 ．（第一空2分，第二空3分 ）四、 解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．( 本小题满分10分）2020年10月，第27届全国中学生物理学奥林匹克竞赛，在重庆育才中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间 ，将数据按照[ 50, 60) , [ 60,70) , [ 70,80) , [ 80 ,90) , [ 90,100 ]的分组作出频率分布直方图如图 4 所示. （1）求频率分布直方图中 a 的值，并估计这 50 名学生成绩的中位数 ；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[ 80, 90) , (90, 100] 的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[ 90 , 100] 的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．( 本小题 满分 12 分） 在①sin sin sin +=--A b cB C b a ,②3sin =c a A,③23=⋅S CA CB 这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , S 为△ABC 的面积，若 . （1）求角C 的大小 ；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点,线段BD 的长度为2 , 求△ABC 的面积S 的最大值.（注： 如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）19．( 本小题满分12 分）已知数列{a n }满足a 2 =2, a 5 =5,且122,2,2++n n n a a a 构成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）S n 为数列{2}n a 的前n 项和，记12++=⋅n n n n S b S S , 求证：b 1+b 2+…＋b n <12 .的20．( 本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x ) = ax 2-2ln x .（1）当 a = 1时，求 y =f ( x )在点(1, f (l))处的切线方程； （2）若对∀x ∈[l, 3], 都有f (x )≤14恒成立，求a 的取值范围.21．( 本小题满分 12 分）如图 5, 四边形ABCD 是一个边长为2的菱形，且∠B =π3 ，现沿着AC 将△ABC 折到△EAC 的位置，使得平面 EAC ⊥平面ACD , M , N 是线段 EC , ED 上的两个动点（不含端点），且=EM ENEC ED,平面AMN 与平面ACD 相交于l . （1）求证：l //MN ;（2）P 为l 上的一个动点，求平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角的最小值．22． ( 本小题满分 12 分）已知椭圆22221(0)：+=>>x y C a b a b的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作斜率为33的直线与C 相交于A ,B ,且AB ⊥OB ，O 坐标原点． （1）求椭圆的离心率e ;（2）若b =l ，过点F 作与直线AB 平行的直线l ， l 与椭圆C 相交于P , Q 两点，( i ) 求k OP •k OQ 的值；( ii) 点M 满足2=OM OP ，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，求NMNQ的值．重庆市育才中学2021届高三上期（11.29）周末考试测试题答案一、选择题CBAD BBBC二、多选题ABC BC BCD ABD三、填空题37．由观察可知：第一个图形有3条边，第二个图形有12条边（不算里面绿色的这条边，每一条边变为4条边），第三个图形有48条边，第四个图形有192条边，后一个图形与前一个图形相比，每一条边会增加一个边长为前面边长的13的小三角形，故第二个图形比第一个图形多3个小三角形（第一个图形3条边），第三个图形比第二个图形多12个小三角形，第4个图形比第三个图形多48个小三角形，故面积之差为214827⎛⎫=⎪⎝⎭，故选B．8．即f（x）＝g（x）有唯一解，即23cos2k x x=+有唯一解，令()23cos2h x x x=+，h′（x）＝3x-sinx，h″（x）＝3-cosx＞0，所以h′（x）在R上单调递增．又h′（0）＝0，当x∈（-∞，0）时，h′（x）＜0，当x∈（0，＋∞）时，h′（x）＞0，故h（x）在（-∞，0）上减，在（0，＋∞）上单增，h（x）min＝h（0）＝1．当x→-∞时，h（x）→＋∞，当x→＋∞时，h（x）→＋∞，故k＝h（x）有唯一解，k＝1，故选C．11．A选项111111326P A BD A PBDV V--===，A不正确；B选项此平面为平面B1D1C，故三角形B1D1C2=B选项正确；由等体积法知：点P到平面A1BD，当点P在线段B1D1上运动时，|PA1|max＝1（P为端点时），1min||2PA=，设直线PA1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ∈⎣⎦，C正确；∠B1BD＝∠B1A1D＝90°，所以三棱锥P-A1BD的外接球的球心为B1D的中点，P-A1BD，D正确，故选BCD．12．A选项：由()222122a ba b++=≥，当且仅当12a b==时取等，知A正确；B选项：()41414559b aa ba b a b a b⎛⎫+=++=+++⎪⎝⎭≥，当且仅当223a b==，13b=时取得最小值9，B选项正确；C11a b++=12，所以1219412222+=+=，C选项不正确；D选项：()2223314224a a ba a bab ab b a+++-=-=+≥．当且仅当b ＝2a ，13a =，23b =时取等，()231112414811a c c ab c c ⎛⎫+-⋅+-++⎪--⎝⎭≥≥，当且仅当32c =时取等，选项D 正确，故选ABD ．17．解：（1）（0.012＋0.024＋0.04＋a ＋0.008）×10＝1，∴a ＝0.016， ∵[50，60），[60，70）的概率之和为（0.012＋0.024）×10＝0.36．∴中位数为0.14701073.50.4+⨯=（分）．（2）[80，90）共0.016×10×50＝8（人），[90，100]共0.008×10×50＝4（人）． ∴[80，90）抽取了4人，[90，100]抽取了2人． ξ的取值为0，1，2．()3436C 10C 5P ξ===，()214236C C 31C 5P ξ===，()124236C C 12C 5P ξ===，∴()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．18．解：（1）选①：sin sin sin A b c B C b a +=--，∵由正弦定理得a bcb c b a+=--， ∴a （b-a ）＝（b ＋c ）（b-c ），即a 2＋b 2-c 2＝ab ，∴1cos 2C =，∵C ∈（0，π），∴π3C =．选②：由正弦定理得sin sin C A =cos 1C C =+， π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵C ∈（0，π），∴ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴ππ66C -=，∴π3C =．选③：2S CB =⋅，sin cos ab C C =， ∴tan C =C ∈（0，π），∴π3C =． （2）在△BCD 中，由余弦定理知a 2＋（2b ）2-2×a×2b×cos60°＝22，∴a 2＋4b 2-2ab ＝4≥2·a·2b -2ab ＝2ab ，∴ab≤2，当且仅当a ＝2b ， 即a ＝2，b ＝1时取等号，此时ab 的最大值为2，面积1sin 2S ab C ==． 19．（1）解：2n a ，12n a +，22n a +构成等比数列，∴()122222n n n a a a ++=⋅，∴2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是一个等差数列，由a 2＝2，a 5＝5，3d ＝a 5-a 2，∴d ＝1，a 1＝1，a n ＝a 1＋（n-1）d ＝n ．（2）证明：22n a n =，∴{}2n a 是一个以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴()12122212n n n S +-==--，∴()()1121221122222222n n n n n n b +++++==----⋅-， ∴1223341221111111112222222222222222n n n n b b b ++++++=-+-++-=-<-------． 20．解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝x 2-2lnx ，f （1）＝1，()2'2f x x x=-，k ＝f′（1）＝0，∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝1．（2）法一：由题意()max 14f x ≤，()()2212'2ax f x ax x x-=-=．①当a≤0时，f′（x ）＜0，f （x ）在[1，3]上单调递减，∴()()max 114f x f a ==≤恒成立，∴a≤0；②当a ＞0时，f′（x ）＞0，x >，∴f （x ）在⎛ ⎝上单减，在⎫+∞⎪⎭上单增，1，a≥1时，f （x ）在[1，3]上单增，()()max134f x f =≤，12ln 349a +≤，舍去；3，109a <≤时，f （x ）在[1，3]上单减，()()max 114f x f =≤，14a ≤，∴109a <≤；（ⅲ）当13<<，119a <<时，f （x ）在⎡⎢⎣上单减，⎤⎥⎦上单增， ()()11,413,4f f ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤14a ≤，∴1194a <≤， 综上，14a ≤．法二：()212ln 4f x ax x =-≤恒成立，212ln 4xa x +≤，令()212ln 4x g x x +=，()334ln 2'x g x x -=，g′（x ）＞0，381e x <<，∴g （x ）在[1，38e ]上单增，[38e ，3]上单减，()114g =，()12ln 314394g +=>，∴()min 14a g x =≤． 21．（1）证明：∵EM ENEC ED=，∴MN ∥CD ， ∵MN ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ，∵平面AMN 与平面ACD 相交于l ，MN ⊂平面AMN ，∴l ∥MN ．（2）解：AB ∥CD ，由（1）可得MN ∥CD ，∴AB ∥CD ，∴A ，B ，M ，N 四点共面， 平面AMN∩平面ACD ＝AB ＝l ，∴P 在AB 上，如图，取AC 的中点为O ，π3B ∠=，则BO ⊥AC ，EO ⊥AC ，平面EMC ⊥平面ACD ， 平面EAC∩平面ACD ＝AC ， ∴EO ⊥平面ACD ．法一：以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，-1，0），B0，0），C （0，1，0），D（0，0），E （0，0设AP AB λ=，),1,0Pλ-，则(0,1,EC =，()3,2,0CP λλ=-，平面EPD 的法向量(),,n ab c =，则()0,320,EC n b CP n a b λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令c ＝λ，则a ＝2-λ，b =，()2,n λλ=-，平面ACD 的法向量为()0,0,1m =，∴cos ,n m<=，∵平面PEC 与平面ACD 所成角为锐二面角，令λ＞0， ∴1cos ,2n m <>==，当且仅当λ＝2时取等，此时平面PEC 与平面ACD 所成锐二面角有最小值π3． 法二：EO ⊥平面ACD，且EO =O 作OF ⊥PC 于F ，连接EF ， 则EF ⊥PC ，∴∠EFO 为所求锐二面角的平面角，记为θ，∴tan EO OF θ=OF 最大时，θ最小， ∵OF ⊥FC ，∴F 在以OC 为直径的圆上，当F 与C 重合时，|OF|max ＝1，∴tan OE OF θ=∴θ的最小值为π3．22．解：（1）已知|OA|＝a ，||2a OB =，π6BAF ∠=，则4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆C 的方程：2222311616a a a b +=，∴225a b=，a =，∴2c b =，∴c e a =． （2）（i ）由（1）可得b ＝1，a ，∴C ：2215x y +=，设直线l：2x =+，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 3，y 3）． ∵2OM OP =，∴11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立直线l 与椭圆C的方程：222,55,x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩2810y +-=，Δ＞0恒成立，12y y +=，1218y y =-，∴))12121212522348x x y y y y =++=+++=， ∴121215OP OQ y y k k x x ⋅==-． （ⅱ）设NM NQ λ=，()01NM NQ λλ=<<，1133,22x y NM x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2323,NQ x x y y =--，()()13231323,2,2x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩∴()()123123221,221,x x x y y y λλλλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩()()()()31231212,2112,21x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩∵P ，Q ，N 在椭圆上，∴221155x y +=，222255x y +=，223355x y +=，11 ()()()()2212122222554141x x y y λλλλ--+=--，∴()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ+++-+=-，由（ⅰ）可知x 1x 2＋5y 1y 2＝0，∴1＋4λ2＝4（1-λ）2，∴38λ=， ∴38NM NQ =．。

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（上）期中考试化学试题第Ⅰ卷一．选择题（本题共14小题，每小题3分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1．成语是中华民族灿烂文化中的瑰宝，下列成语中没有涉及氧化还原反应的是（ ） A ．抱薪求火B ．水滴石穿C ．蜡炬成灰D ．百炼成钢2．当光束通过下列分散系时，产生明显的丁达尔效应的是（ ） A ．泥浆B ．稀盐酸C ．酒精溶液D ．()3Fe OH 胶体3．下列说法正确的是（ ） A ．化合价降低的反应是氧化反应 B ．氧化还原反应一定有氧元素参加C ．氧化反应与还原反应同时发生D ．反应物要么发生氧化反应，要么发生还原反应4．焰色试验过程中铂丝的清洗和灼烧与钾焰色反应的观察两项操作如图所示，下列叙述中错误的是（ ）A ．每次实验中都要先将铂丝灼烧至与原来火焰颜色相同为止，再蘸取被检验的物质B ．钾的焰色试验要透过蓝色钴玻璃观察C ．焰色试验为化学变化D ．没有铂丝可用光洁无锈铁丝代替5．能正确表示下列反应的离子方程式是（ ） A ．2Cl 通入NaOH 溶液：22Cl OH Cl ClO H O ---+++B ．3NaHCO 溶液中加入稀HCl ：2322CO 2H CO H O -++↑+C ．在4NaHSO 溶液中滴入NaOH 溶液至溶液呈中性：2H OH H O +-+D ．醋酸溶解鸡蛋壳：23222H CaCO Ca CO H O ++++↑+6．下列各组中的离子，能在无色透明的溶液中大量共存的是（ ） A ．2Mg+、3HCO -、Cl -、OH -B ．Na +、2Ba+、23CO -、3NO -C ．Na +、H +、2Cu +、24SO -D ．K +、2Ba +、3NO -、OH -7．关于物质分类正确的组成是（ ）8．下列关于金属钠的叙述错误的是（ ） A ．金属钠可以保存在煤油中B ．实验时用剩的钠块应该放回原试剂瓶C ．钠与氯化铜的水溶液反应可制取Cu 单质D ．金属钠着火时，应该用干燥的沙土灭火9．下列鉴别碳酸钠和碳酸氢钠的方法中，错误的是（ ） A ．分别向等量的白色固体样品中滴入几滴水，触摸试管看温度变化 B ．分别在等浓度溶液中滴加澄清石灰水观察是否有沉淀产生C ．分别向等浓度溶液中滴加等体积、等浓度的稀盐酸，比较生成气体的快慢D ．分别取少量的固体试样加热后称量质量变化10．为了使宇航员在飞船中得到一个稳定的、良好的生存环境，一般在飞船内安装盛有22Na O 的装置，下列关于22Na O 的叙述错误的是（ ） A ．22Na O 可作供氧剂B ．22Na O 中阴、阳离子的个数比是1：1C ．22Na O 投入到紫色石蕊试液中，溶液先变蓝，后褪色D ．22Na O 与水反应，22Na O 既是氧化剂，又是还原剂11．某溶液含有①3NO -、②3HCO -、③23SO -、④23CO -、⑤24SO -等五种阴离子向其中加入少量的22Na O 固体后，溶液中的离子浓度基本保持不变的是（忽略溶液体积变化）（ ） A ．①B ．①⑤C ．①④⑤D ．①③④⑤12．下列氯化物中，既能由金属和氯气直接化合制得，又能由金属和盐酸反应制得的是（ ） A ．2CuClB ．2FeClC ．NaClD ．3FeCl13．用如下装置探究氯气的性质，图中三支试管口均放置浸有NaOH 溶液的棉花。

重庆市高2026届高一上期期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上.3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}0,2,4,6,8,10,1,0,1,2,3A B ==-，则A B = （）A.{}4,8 B.{}0,2,6 C.{}0,2 D.{}2,4,6【答案】C 【解析】【分析】根据交集概念进行求解.【详解】{}{}{}0,2,4,6,8,101,0,1,2,30,2A B =-= .故选：C2.全称量词命题“2,54x x x ∀∈+≠R ”的否定是（）A.2,54x x x ∃∈+=RB.2,54x x x ∀∈+=RC.2,54x x x ∃∈+≠RD.2,54x x x ∀∈+≠R 【答案】A 【解析】【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“2,54x x x ∀∈+≠R ”否定是“2,54x x x ∃∈+=R ”.故选：A3.函数()3f x x =-的定义域为（）A.()1,-+∞ B.[)1,-+∞ C.[)1,3- D.[)()1,33,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】根据解析式的特征，直接列式即可得解.【详解】因为()3f x x =-，所以1030x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得1x ≥-且3x ≠.所以函数的定义域是[)()1,33,-⋃+∞.故选：D.4.若函数)1fx =，则()f x 的解析式为（）A.()()20f x x x x =+≥ B.()()21f x x x x =+≥C.()()20f x x x x =-≥ D.()()21f x x x x =-≥【答案】D 【解析】【分析】直接利用换元法可得答案，解题过程一定要注意函数的定义域.【详解】令1t =+，则()21x t =-，1t ≥，因为)1fx +=+，所以()()()()22111f t t t t t t =--+=≥-，则()()21f x x x x =-≥，故选：D.5.设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，当[]0,5x ∈时，函数()y f x =的图象如图所示，则使()0f x <的x 的取值集合为（）A.()3,5 B.()()5,30,3-- C.()5,3-- D.()()3,00,3- 【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的图象特征补全()f x 的图象，从而结合图象即可得解.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以()y f x =在[]5,5-上的图象关于坐标原点对称，由()y f x =在[]0,5x ∈上的图象，知它在[]5,0-上的图象，如图所示，所以使()0f x <的x 的取值集合为()()5,30,3-- .故选：B.6.若0,0a b >>，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（）A.112ab > B.111a b+≤ C.2≥ D.4194a b +≥【答案】D 【解析】【分析】根据特殊值以及基本不等式求得正确答案.【详解】当1,3a b ==时，3ab =，113ab =，1114133a b +=+=，所以112ab <，111a b+>2<，ABC 选项错误.()4114114544b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19544⎛≥+= ⎝，当且仅当2484,,,433a b b a a b a b a b =⎧===⎨+=⎩时等号成立，D 选项正确.故选：D7.设m 为给定的一个实常数，命题[]2:0,3,40p x x x m ∀∈-+≥，则“6m >”是“命题p 为真命题”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出命题p 为真命题时4m ≥，进而判断出答案.【详解】由题意得24m x x ≥-+对[]0,3x ∀∈恒成立，其中()22424y x x x =-+=--+，故24y x x =-+在2x =处取得最大值，最大值为4，故4m ≥，即命题p 为真命题时4m ≥，由于64m m >⇒≥，但4m ≥⇒6m >，故则“6m >”是“命题p 为真命题”的充分不必要条件.故选：A8.已知函数()f x 满足条件：()()()()()11,,2f f x y f x f y f x =+=⋅在R 上是减函数，若[]1,4x ∃∈，使()()216f x f mx ≤成立，则实数m 的取值范围是（）A.(),5-∞ B.(],5-∞ C.(),4-∞ D.(],4∞-【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为24mx x ≤+能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.【详解】因为()()()()11,2f f x y f x f y =+=⋅，所以()()()12114f f f =⋅=，()()()141622f f f =⋅=，所以()()216f x f mx ≤，可化为()()()()()22214164f mx f x f f x f x ≥==+⋅，因为()f x 在R 上是减函数，所以24mx x ≤+，所以问题转化为[]1,4x ∃∈，使24mx x ≤+成立，即4m x x ≤+，则max 4m x x ⎛⎫+ ⎪⎝≤⎭，因为对勾函数4y x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，所以当1x =或4x =时，4y x x=+取得最大值5，所以5m ≤，即(],5m ∈-∞.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列各项中，()f x 与()g x 表示的函数相等的是（）A.()(),f x x g x ==B.()()f x g x ==C.()()32,x f x x g x x== D.()()1,11,1,1x x f x x g x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩【答案】BD 【解析】【分析】根据函数的定义，一一判断各选项函数的定义域和对应法则是否相同，即可得到答案.【详解】对于A ，()f x x =，定义域为R ，()||g x x ==，定义域为R ，但对应法则与前者不同，故两函数不相等，故A 错误；对于B ，由210x -≥得11x -≤≤，故()f x =[]1,1-，由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩得11x -≤≤，故()g x =的定义域为[]1,1-，又两者对应法则相同，故两函数相等，故B 正确；对于C,()f x x =定义域为R ，3()x g x x =定义域为{|0}x x ≠，故两函数不相等，故C 错误；对于D ，1,1()11,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩，()1,11,1x x g x x x -≥⎧=⎨-<⎩，两函数相等，故D 正确.故选：BD.10.若集合()20,,5x A x B a x ∞⎧⎫-=<=+⎨⎬-⎩⎭，若A B ⊆，则实数a 可能是（）A.3- B.1C.2D.5【答案】ABC 【解析】【分析】解不等式求得集合A ，根据A B ⊆求得a 的取值范围，进而求得正确答案.【详解】由205x x -<-解得25x <<，所以()2,5A =，由于A B ⊆，所以2a ≤，所以ABC 选项正确，D 选项错误.故选：ABC11.下列说法正确的是（）A.函数4(0)y x xx=+<的最大值是4- B.函数2y =的最小值是2C.函数16(2)2y x x x =+>-+的最小值是6 D.若4x y +=，则22x y +的最小值是8【答案】ACD 【解析】【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，对于函数4(0)y x x x=+<，()444x x x x ⎡⎤+=--+≤--⎢-⎣⎦，当且仅当4,2x x x -==--时等号成立，所以A 选项正确.B 选项，22y ==≥=，=B 选项错误.C 选项，对于函数16(2)2y x x x =+>-+，20x +>，1616222622x x x x +=++-≥-=++，当且仅当162,22x x x +==+时等号成立，所以C 选项正确.D 选项，由基本不等式得22222x y x y ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以222222282x y x y +⎛⎫≥⨯=⨯= ⎪⎝⎭+，当且仅当2x y ==时等号成立，所以D 选项正确.故选：ACD12.德国数学家狄里克雷（Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805～1859）在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（）A.()00D = B.()D x 的值域为{}0,1C.()D x 图象关于直线1x =对称 D.()D x图象关于点12⎫⎪⎭对称【答案】BC 【解析】【分析】AB 选项可根据题意直接得到，C 可分x 为有理数和无理数两种情况推导；D 选项，可举出反例.【详解】A 选项，因为0为有理数，故()01D =，A 错误；B 选项，由题意得()D x 的值域为{}0,1，B 正确；C 选项，当x 为有理数时，()1D x =，此时()D x 图象关于直线1x =对称，当x 为无理数时，()0D x =，此时()D x 图象关于直线1x =对称，综上，()D x 图象关于直线1x =对称，C 正确.D 选项，由于()()01,21D D ==，且()()0,1,2,1不关于12⎫⎪⎭对称，D 错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设函数3,0()6,0x x f x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则((3))f f -=__________．【答案】6【解析】【分析】代入分段函数解析式求解即可.【详解】由题意，()()()63263f f f f ⎛⎫-=-== ⎪-⎝⎭.故答案为：614.重庆市第十一中学校每学年分上期、下期分别举行“大阅读”与“科技嘉年华”两项大型活动，深受学生们的喜爱.某社团经问卷调查了解到如下数据：96%的学生喜欢这两项活动中的至少一项，78%的学生喜欢“大阅读”活动，87%的学生喜欢“科技嘉年华”活动，则我校既喜欢“大阅读”又喜欢“科技嘉年华”活动的学生数占我校学生总数的比例是_________．【答案】69%【解析】【分析】根据集合的知识求得正确答案.【详解】设只喜欢“大阅读”的有x 人，两者都喜欢的有y 人，只喜欢“科技嘉年华”的有z 人，则0.960.780.87x y z x y y z ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得0.69y =.故答案为：69%15.已知实数()111,3,,84a b ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，则a bb +的取值范围是_________．【答案】()5,25【解析】【分析】利用不等式的基本性质即可得解.【详解】因为11,84b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以148b <<，又(1,3)a ∈，所以424a b <<，故5125ab<+<所以1a b ab b+=+的取值范围为()5,25.故答案为：()5,25.16.已知函数()220x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，，若关于x 的方程()()0f f x =有8个不同的实根，则a 的取值范围__________.【答案】()8,+∞【解析】【分析】先讨论0a ≤，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论0a >，画出()f x 的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.【详解】若0a ≤，当0x <时，()20f x x a =+<恒成立；当0x ≥时，由()()20f x x ax x x a =-=-=得0x =；即()0f x =仅有0x =一个根；所以由()()0ff x =可得()0f x =，则0x =；即方程()()0f f x =仅有一个实根；故不满足()()0ff x =有8个不同的实根；若0a >时,画出()2200x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，，的大致图象如下，由()()0f f x =可得()12f x a =-，()20fx =，()3f x a =，又()()0ff x =有8个不同的实根，由图象可得，()20f x =显然有三个根，()3f x a =显然有两个根，所以()12f x a =-必有三个根，而20a -<，2222244a a a y x ax x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，为使()12f x a =-有三个根，只需224a a ->-，解得8a >；综上可知，8a >.故答案为：()8,+∞.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．17.设m ∈R ，集合{}2280A x x x =--≤，{}2B x m x m =≤≤+．（1）若3m =，求()R A B ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{}23x x -≤<（2）()(),44,∞∞--⋃+【解析】【分析】（1）解不等式得到{}24A x x =-≤≤和R B =ð{3x x <或}5x >，利用交集概念求出答案；（2）根据交集为空集得到不等式，求出实数m 的取值范围.【小问1详解】{}{}228024A x x x x x =--≤=-≤≤，3m =时，{}35B x x =≤≤，故R B =ð{3x x <或}5x >，故(){}R 24A B x x ⋂=-≤≤ð{3x x ⋂<或}5x >{}23x x =-≤<；【小问2详解】显然B ≠∅，因为A B ⋂=∅，所以22m +<-或4m >，解得4m <-或4m >，故实数m 的取值范围为()(),44,∞∞--⋃+.18.已知函数()21f x ax bx =++（,a b 为实数），()10f -=，且_________．请在下列三个条件中任选一个，补充在题中的横线上，并解答.①()()31f f -=；②()f x 的值域为[)0,∞+；③()0f x <的解集为∅；（1）求()f x 的解析式；（2）当[]2,2x ∈-时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围；注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②③，答案均为()221f x x x =++（2）(][),26,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）选①，得到方程组求出1a =，2b =，求出解析式；选②，根据函数值域及()10f -=得到方程组，求出解析式；选③，由二次函数图象分析得到20Δ40a b a >⎧⎨=-≤⎩，结合()10f -=得到1a =，2b =，求出答案；（2）转化为()()221g x x k x =+-+在[]2,2x ∈-上单调，结合函数对称轴得到不等式，求出答案.【小问1详解】选①，()()31f f -=，因为()10f -=，所以109311a b a b a b -+=⎧⎨-+=++⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，故()221f x x x =++；选②，()f x 的值域为[)0,∞+，即2404a b a-=由于()10f -=，所以10a b -+=，解得12a b =⎧⎨=⎩，故()221f x x x =++；选③，()0f x <的解集为∅，故20Δ40a b a >⎧⎨=-≤⎩，由于()10f -=，所以10a b -+=，即1b a =+，故()()221410a a a +-=-≤，解得1a =，故2b =，解析式()221f x x x =++.【小问2详解】()()221g x x k x =+-+在[]2,2x ∈-上单调，其中()()221g x x k x =+-+的对称轴为22k x -=，故需满足222k -≥或222k -≤-，解得6k ≥或2k ≤-，故实数k 的取值范围是(][),26,-∞-+∞ .19.已知函数()()()221,12ax b x f x g x f x x x ++==⋅++．若()f x 为R 上的奇函数且()112f =.（1）求,a b ；（2）判断()g x 在(),2-∞-上的单调性，并用单调性的定义证明.【答案】（1）1a =，0b =；（2）单调递增，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定的函数式，利用奇函数的定义求出b ，由()112f =求出a 即得.（2）由（1）求出()g x 并判断单调性，再利用定义证明即得.【小问1详解】由()f x 为R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，即22()011a xb ax b x x -+++=++，则2201b x =+，解得0b =，又()112f =，则21(1)112a f ==+，解得1a =，所以1a =，0b =.【小问2详解】由（1）知2()1x f x x =+，则212()()1222x x g x f x x x x +=⋅==-+++，函数()g x 在(),2-∞-上的单调递增，()12,,2x x ∞∀∈--，121221122()22()()22(2)(2)x x g x g x x x x x --=-=++++，因为122x x <<-，则1220,20x x +<+<，120x x -<，有12122()0(2)(2)x x x x -<++，即12()()<g x g x ，所以函数()g x 在(),2-∞-上的单调递增.20.我校在一个月内分批购入每张价值为200元的书桌共360张，若每批都购入x 台（x 是正整数），且每批均需付运费400元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比.若每批购入40张书桌，则该月需用的运费和保管费共5200元．（1）求该月购入书桌时需用的运费和保管费的总费用()f x ；（2）为使得该月购入书桌所需的运费和保管费最少，应如何安排每批进货的数量？【答案】（1）()36040040f x x x=⨯+，*Z x ∈（2）每批进货的数量为60【解析】【分析】（1）假设题中比例为k ，由题意列出()f x 关于k 的表达式，再代入已知条件求得k ，从而得解.（2）结合（1）中解析，利用基本不等式即可得解.【小问1详解】设题中的比例系数设为k ，每批购入x 台，则共需分360x 批，每批书桌价值200x 元，则()360400200f x k x x =⨯+⨯，*Z x ∈，因为当40x =时，5200y =，所以36040020040520040k ⨯+⨯⨯=，解得15k =，所以()36040040f x x x =⨯+，*Z x ∈.【小问2详解】由（1）可得：()036040040480f x x x =≥=⨯+（元）当且仅当36040040x x⨯=，即60x =时，等号成立，所以每批进货的数量为60.21.已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．（1）若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值；（2）若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．【答案】（1）a ＝﹣1，b ＝2（2）见解析【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.【小问1详解】由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩，解得a ＝﹣1，b ＝2；【小问2详解】当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，当21a a-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.22.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则称区间[],a b 为函数()f x 的“最美区间”.（1）求函数()2f x x =的“最美区间”；（2）若()f x k =存在最美区间[],a b 函数，求实数k 的取值范围．【答案】（1）[]0,1（2）9,4a ⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）推导出0a ≥，0b >，结合()f x 在[],a b 上单调递增，得到()f b b =，()f a a =，求出0a =，1b =，得到答案；（2）根据()f x k =+在[)2,-+∞上单调递增，得到()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，转化为,a bk x =在[)2,-+∞上两个不等的实根，且k a b ≤<，平方后，数形结合得到不等式，求出实数k 的取值范围.【小问1详解】因为()20f x x =≥，()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，故0a ≥，因为a b <，所以0b >，故()f x 在[],a b 上单调递增，所以()f b b =，即2b b =，解得1b =或0（舍去），所以1a <，同理()f a a =，解得0a =或1（舍去），综上，()2f x x =的“最美区间”是[]0,1；【小问2详解】令20x +≥，解得2x ≥-，故()f x k =的定义域为[)2,-+∞，且()f x k =在[)2,-+∞上单调递增，故()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，k a k b==，即,a b为方程k x =在[)2,-+∞上两个不等的实根，且k a b ≤<，x k =-，两边平方得()222120x k x k -++-=，令()()22212g x x k x k =-++-，需满足()()()222122Δ2142020k x k k g k a +⎧=>-⎪⎪⎪=+-->⎨⎪-≥⎪⎪≤⎩，解得94k a -<≤，故实数k 的取值范围是9,4a ⎛⎤- ⎥⎝⎦．。

重庆市育才中学校高2025届2022-2023学年（上）期中考试数学试题本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分+附加题10分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3．考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一．单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合U={}3,2,0,2,3--，{}=3,2A -，{}0,2,3B =，则()U A B =（ ） A ．∅ B ．{}2 C ．{}0,3 D ．{}2,0-2. 已知命题p :5x ∃>，2210x x -+>，则p ⌝为（ ）．A ．5x ∀≤，2210x x -+≤B ．5x ∀>，2210x x -+≤C ．5x ∃>，2210x x -+≤D ．5x ∃≤，2210x x -+≤3. 设a R ∈，则“2a <”是“6a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4. 已知22332,4,5a b c ===，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c a b <<D ．c b a << 5. 已知函数()y f x =的定义域为[]1,3-，则函数(21)()1f x g x x -=-的定义域是（ ） A ．[)(]1,11,3- B ．[)(]3,11,5- C ．[]0,2 D ．[)(]0,112，6. 若3a >-，则26133a a a +++的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．67.定义集合{},A B x x a A b B ==∈∈，若{},1A n =-，}B =，且集合A B 有3个元素，则由实数n 所有取值组成的集合的非空真子集的个数为（ ）A ．2B ．6C ．14D ．158. 已知函数3(29,3(,1)3)x a ax x f x x -⎧-≤=⎨>-⎩，且对于1212,x x R x x ∀∈≠，，都满足1212()()0f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．413⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）9. 下列命题为真命题的是（ ）A ．若0b a <<，则22b a >B ．若0,0a b c d >>>>，则ac bd >C ．若ac bc >，则11a b <D ．若110,0c a b <<<，则c c a b> 10. 下列选项中正确的是（ ）A ．0∈∅B ．{}∅⊆∅C ．{}2|10x R x x ∅=∈-+= D ．{0}∅= 11. 下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．()244f x x x =++和()()22gm m =+B ．()f x=()g x =C ．()f x =()g x = D ．421()1x f x x -=+和()21g x x =- 12. 已知函数()2,011,0ax x x f x x x⎧≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪⎩，且(1)1f =，则下列说法正确的是（ ） A ．函数)(x f 的单增区间是(]1,∞-B ．函数)(x f 在定义域上有最小值为0，无最大值C ．若方程0)(=-t x f 有三个不等实根，则实数t 的取值范围是()1,0D. 设函数2()23g x x mx =++，若方程[]()1g f x =有四个不等实根，则实数m 的取值范围是3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13. 幂函数27()m m f x x -=在()0,+∞上单调递减，则实数m 的取值范围为 .14. 已知关于x 的不等式230ax x b -+>的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则不等式270bx x a ++>的解集为 . 15. 已知函数325()21x f x t x =++的最大值为M ，最小值为N ，且12M N +=，则实数t 的值为 .16. 已知,,a b c 是正实数，且b c +2241ac a bc a +++最小值为 .四、解答题（本题共 7 小题，共 70+10分．17题10分，18题—22题12分，附加题10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 设U R =，{}24120A x x x =--≤，{}28x B x =>． （1）求A B ；（2）求()U A B .18. 已知命题“x R ∀∈，都有不等式220x ax a -+>恒成立”是真命题.（1）求由实数a 的所有取值组成的集合A ；（2）设{}2,B x R x b b R =∈<<∈，若AB B =，求实数b 的取值范围．19. 为了加强“疫情防控”，并能更高效地处理校园内的疫情突发情况，重庆市育才中学校决定在学校门口右侧 搭建一间高为3米，底面面积为20平方米的长方体形状的临时隔离室，设临时隔离室的左右两侧的地面长度均为x 米（15x ≤≤）．现就该项目对外进行公开招标，其中甲公司给出的报价细目为：临时隔离室的左右两侧墙面报价为每平方米200元，前后两侧墙面报价为每平方米250元，屋顶总报价为3400元；而乙公司则直接给出了工程的整体报价t 关于x 的函数关系为23024014900t x x =-++．（1）设公司甲整体报价为y 元，试求y 关于x 的函数解析式；（2）若采用最低价中标规则，哪家公司能竞标成功？请说明理由．20. 已知函数1()()2ax a f x a R x -+=∈+ （1）当1a =时，求关于x 的不等式()1f x >的解集；（2）当1a ≠时，求关于x 的不等式()1f x >的解集.21. 已知11)11(2-=+x x f （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若)(x g 是定义在R 上的奇函数，且0≤x 时，x x x x f x g 2)()(23+--=，求函数)(x g 的解析式； （3）求关于x 的不等式)(81)21(2x g x x g -≤-.22. 已知()f x 定义域为R ，对任意,x y R ∈都有()()()2f x y f x f y +=+-．当0x <时，()2f x >，且()23f -=．（1）求)2(f 的值；（2）判断函数()f x 单调性，并证明；（3）若[]1,1t ∃∈-，[]1,1x ∀∈-都有2-22()222(22)1t t t t f x f m -⎡⎤-+--<⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.附加题（选做）：已知,,x y z 是正实数，证明：111233(1)(21)(31)12x y z x y z -<++++++命题人: 黄斌、胡莎 审题人: 曾浩。

高一上学期半期考试数学试题一、选择题1、已知集合{}3,4A =，则A 的子集个数为（ ）。

A 、16B 、15C 、 4D 、32、已知函数230()40x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((1))f f =（ ）A 、4B 、5C 、28D 、193、已知(3)33f x x =+，则()f x =（ ）A 、3x +B 、2x +C 、 33x +D 、1x +4、下列函数中，在区间),0(+∞上是增函数的是（ ）A 、 12+-=x yB 、22-=x yC 、 x y 1=D 、 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 5、函数31()log (2)f x x =-的定义域是（ ） A 、(),2-∞ B 、()2,+∞ C 、()()2,33,⋃+∞ D 、()()2,55,⋃+∞,6、函数2()log ()f x x a =+的图象过一、二、三象限，则a 的取值范围是：（ ）A 、1a >B 、1a ≥C 、1a <-D 、1a ≤-7、函数31()31x x f x -=+的值域是：（ ） A 、(1,1)- B 、[]1,1- C 、(]1,1- D 、[)1,1-8、已知函数()f x 对任意的12,(1,0)x x ∈-都有1212()()0f x f x x x -<-，且函数(1)y f x =-是偶函数。

则下列结论正确的是：（ ）A 、14(1)()()23f f f -<-<-B 、41()(1)()32f f f -<-<- C 、41()()(1)32f f f -<-<- D 、14()()(1)23f f f -<-<- 9、已知函数3()1(a,b )f x ax bx R =++∈，3(lg(log e))2f =，则(lg(ln 3))f =（ ）10、已知函数()f x =的最大值为M ,最小值为N ，则M N =（ ）A B C D二、填空题 11、不等式12x -≤的解集为： . （结果用集合或区间表示）12、函数1()2(01)x f x a a a +=+>≠且的图象恒过定点 .13、函数23()log (23)f x x x =+-的单调递增区间为： .14、若关于x 的方程212x x a +--=没有实数解，则实数a 的取值范围是 .15、已知2()f x ax =-在[)0,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是： .三、解答题16、已知集合{}2340A x x x =+-<，集合204x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭。

重庆高2026届高一数学第二次诊断试题（答案在最后）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,1,2M =-，{}2N x x x=∈=R ，则M N ⋃=（）A.{}1B.{}1,0-C.{}1,0,1,2- D.{}1,0,2-【答案】C 【解析】【分析】解方程求得集合N ，由并集定义可得结果.【详解】{}{}20,1N x x x =∈==R ，{}1,0,1,2M N ∴=- .故选：C.2.已知函数21,2()(3),2x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩，则(1)f =（）A .2B.12C.7D.17【答案】D 【解析】【分析】利用解析式直接求解即可.【详解】21,2()(3),2x x f x f x x ⎧+≥=⎨+<⎩ ，()2(1)44117f f ∴==+=.故选：D.3.设x ∈R ，则“3x ≤”是“111x -≤-≤”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由包含关系判断即可.【详解】不等式：3x ≤，所对集合为(],3A ∞=-，不等式111x -≤-≤化为：02x ≤≤，于是得“111x -≤-≤”所对集合为[0,2]B =，显然B 是A 的真子集，所以“3x ≤”是“111x -≤-≤”的必要不充分条件.故选：B4.若非零实数a ，b 满足a b >，则下列不等式中一定成立的是（）A.0a b ->B.220a b ->C.330a b -> D.11a b<【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案.【详解】解：因为a b >，所以22a b >，即22a b >，所以220a b ->，故B 正确；当2,1a b =-=-时，10a b -=-<，故A 错误；3370a b -=-<，故C 错误；11112a b=->-=，故D 错误.故选：B.5.下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数的是（）A.()1f x x =-，()211x g x x -=+ B.()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩C.()1f x =，()()01g x x =+ D.()f x =，()2g x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义：判断定义域是否相同，定义域相同时，对应法则是否相同，由此可得结论．【详解】四个选项中函数()f x 的定义域都是实数集R ，AC 选项中函数()g x 的定义域是{|1}x x ≠-，D 选项迥函数()g x 定义域是{|0}x x ≥，定义域不相同，不是同一函数，B 选项()g x 定义域是R ，根据绝对值的定义知对应法则也相同，是同一函数．故选：B ．6.已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为()A.3[,1]2-B.3[,1)(1,1]2--⋃- C.[3,7]- D.[3,1)(1,7]--⋃-【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的定义域求出21x +的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．7.()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()1926f x x a x=+-+，若()2f x a ≥-对一切0x ≥成立，则实数a 的取值范围是（）A.2,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.[]22-,C.[)2,-+∞ D.(],2∞-【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x =时，(0)0f =，此时02a ≥-，解得2a ≤，当0x >时，()11()[9()26]926()f x f x x a x a x x=--=--+-+=+--，1926262x a a a x ++-≥-=（当且仅当19x x =时取等号，即13x =时取等号），即当0x >时，()2f x a ≥，要想若()2f x a ≥-对一切0x >成立，只需222a a a ≥-⇒≥-，综上所述：22a -≤≤，故选：B8.设定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，且()f x 在(),0-¥为增函数.若对于120x x <<，且120x x +>，则有（）A.()()12fx f x < B.()()21f x f x ->-C.()()12<-f x f x D.()()12f x f x ->【答案】D 【解析】【分析】函数是偶函数，且在(),0-¥为增函数，可以得到函数在()0,+¥为减函数，根据单调性以及12,x x的大小关系，分别判断各选项中函数的大小即可【详解】因为函数是偶函数，且在(),0-¥为增函数，所以函数在()0,+¥为减函数A 选项中，因为120x x <<，且120x x +>，则120x x <<，因为函数在()0,+¥减函数，所以()()12f x f x >选项A 错误B 选项中，因为函数为偶函数，所以()()21f x f x ->-等价于()()21f x f x ->，因为120x x +>，所以210x x -<<，()f x 在(),0-¥为增函数，所以()()21f x f x -<，即()()21f x f x -<-，所以B 选项错误同理，C 选项错误D 选项中，()()12f x f x ->等价于()()12f x f x >-，所以D 选项正确故选：D二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知正数x ，y 满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的值可能是（）A.1-B.1C.32D.2【答案】BC 【解析】【分析】将问题转化为求解11x y+的最小值，利用基本不等式求解最值，然后再利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】已知正数x ，y 满足2x y +=，则()1111111=222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++≥⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当=y x x y ，即1x y ==时取等号，所以min112x y ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因为211m m x y +>-恒成立，则2min112m m x y ⎛⎫+=>- ⎪⎝⎭，解得：12m -<<.所以实数m 的取值范围为：()12-，.故选：BC.10.下列说法正确．．的是（）A.若幂函数()y f x =过点14⎫⎪⎭，则()4f x x -=B.函数122y x =表示幂函数C.若()222my m m x =--表示递增的幂函数，则3m =D.幂函数的图像都过点()0,0，()1,1【答案】AC 【解析】【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A ，设()f x x α=，则14α=，即12222α-=，解得4α=-，4()f x x -=，A 正确；对于B ，函数122y x =不是幂函数，B 错误；对于C ，()222my m m x =--是幂函数，则2221m m --=，解得1m =-或3m =，当1m =-时，1y x -=在(0,)+∞上单调递减，不符合题意，当3m =时，3y x =是R 上的增函数，符合题意，因此3m =，C 正确；对于D ，幂函数1y x -=不过点(0,0)，D 错误.故选：AC11.下列说法正确的有（）A.“0x ∃∈R ，0202xx >”的否定是“x ∀∈R ，22x x ≤”B.若命题“x ∃∈R ，240x x m ++=”为假命题，则实数m 的取值范围是()4,+∞C.若a ，b ，c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.“1a >”是“11a<”的充分不必要条件【答案】ABD 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A ；由命题为假命题可得方程240x x m ++=无解，则Δ0<，即可判断B ；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.【详解】解：对于A ，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以“0x ∃∈R ，0202xx >”的否定是“x ∀∈R ，22x x ≤”，故A 正确；对于B ，若命题“x ∃∈R ，240x x m ++=”为假命题，则方程240x x m ++=无解，所以1640m ∆=-<，解得4m >，所以实数m 的取值范围是()4,+∞，故B 正确；对于C ，当0b =时，22ab cb =，则由a c >不能推出22ab cb >，所以“22ab cb >”的充要条件不是“a c >”，故C 错误；对于D ，若1a >，则101a<<，故由1a >可以推出11a<，若当1a =-时，11a <，则由11a<不可以推出1a >，所以“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故D 正确.故选：ABD .12.定义域和值域均为[],a a -（常数0a >）的函数()y f x =和()y g x =图象如图所示．给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（）A.方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B.方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C.方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解D.方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解【答案】A 【解析】【分析】求得方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦解的个数判断选项A ；求得方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦解的个数判断选项B ；求得方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦解的个数判断选项C ；求得方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦解的个数判断选项D.【详解】选项A ：函数()y f x =与x 轴有3个交点，则由()0f g x =⎡⎤⎣⎦，可得()g x 有3个可能的取值，又()y g x =为单调递减函数，则方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解.则选项A 判断正确；选项B ：由函数()y g x =为[],a a -上单调递减函数，则由方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦，可得()f x 有1个可能的取值，且()0f x a <<，则方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有2个解.则选项B 判断错误；选项C ：选项C ：函数()y f x =与x 轴有3个交点，则方程()0f t =有3个可能的取值123,,t t t ，1230a t t t a -<<<<=，三个方程12(),(),()f x t f x t f x a ===分别有3，3，1个根，则方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有7个解.则选项C 判断错误；选项D ：函数()y g x =为[],a a -上单调递减函数，则由方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦，可得()g x 有且仅有1个取值，则方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有1个解.则选项D 判断错误.故选：A三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合{}21,2,2A m m m =++，若3A ∈，则实数m 的值为______．【答案】32-## 1.5-【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，即可求得结果.【详解】当23m +=，即1m =时，集合223m m +=，不满足互异性，故舍去；当223m m +=，即1m =（舍）或32m =-，此时122m +=，集合11,,32A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭满足题意.综上所述，实数m 的值为32-.故答案为：32-.14.已知22f x x =-，则函数()f x 的解析式为____．【答案】42()2(0)f x x x x =-≥【解析】【分析】利用配凑法求函数解析式.【详解】解：因为220)f x x =-=-≥所以42()2(0)f x x x x =-≥.故答案为：42()2(0)f x x x x =-≥15.若关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则k 的取值范围是______.【答案】(]3,0-【解析】【分析】分为0k =和0k ≠考虑，当0k ≠时，根据题意列出不等式组，求出k 的取值范围.【详解】当0k =得：308-<，满足题意；当0k ≠时，要想保证关于x 的不等式23208kx kx +-<的解集为R ，则要满足：2Δ30k k k <⎧⎨=+<⎩，解得：30k -<<，综上：k 的取值范围为(]3,0-故答案为：(]3,0-16.已知函数1()2mx f x x +=-，对任意()1212,(2,)x x x x ∈+∞≠，有()()12120f x f x x x ->-，则实数m 的取值范围是___________.【答案】1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【分析】由题意可得函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，化简函数为21()2m f x m x +=+-，利用反比例函数的单调性，即得解【详解】由题意，对任意()1212,(2,)x x x x ∈+∞≠，有()()1212f x f x x x ->-故函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，又1(2)2121()222mx m x m m f x m x x x +-+++===+---，由反比例函数的单调性，可得只需210m +<即12m <-.故答案为：1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算化简：（1）()1123232770.02721259-⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2312a ---⎛⎫÷.【答案】（1）0.09（2）1566a b-【解析】【分析】利用分数指数幂的运算法则进行计算即可得解.【小问1详解】1111322332233327725(0.027)2(0.33)125959--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11222550.30.090.09335533-⎡⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎦⎝⎭⎝⎭⎤⎢⎥⎢⎥⎣.【小问2详解】22222111133133332221111121123233322a b a b a b a ba a ba b a b a b---------⎛⎫⎛⎫ ⎪÷=⨯⨯⎪=⎪⎝⎭11562121112323362333a ba b+--==⋅－.18.已知{}260A x x x=+-≤，{}35B x m x m=-≤≤+．（1）若A B A=，求m的取值范围；（2）若A B A⋃=，求m的取值范围．【答案】（1）[)6,+∞（2）(),1-∞-．【解析】【分析】（1）先解出集合A，由A B A=，得到A B⊆，列不等式，即可求出m的取值范围；（2）由A B A⋃=，得到B A⊆，分B=∅、B≠∅，列不等式，即可求出m的取值范围．【小问1详解】{}{}26032A x x x x x=+-≤=-≤≤，{}35B x m x m=-≤≤+，因为A B A=，则A B⊆，所以3352mm-≤-⎧⎨+≥⎩，解得6m≥，则m的取值范围为[)6,+∞．【小问2详解】,A B A B A⋃=⊆∴，当B=∅时，则35m m->+，解得1m<-；当B≠∅时，13352mmm≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，此时无解，综上，实数m的取值范围是(),1-∞-．19.已知函数()()223f x x ax a=-+∈R．（1）若函数()f x在(],2-∞上是减函数，求a的取值范围；（2）当[]1,1x∈-时，设函数()f x的最小值为()g a，求函数()g a的表达式．【答案】（1）2a≥（2）()242,13,1142,1a a g a a a a a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩【解析】【分析】（1）根据单调区间与对称轴的关系求解；（2）分对称轴与区间的关系求函数最小值.【小问1详解】函数()()223f x x ax a =-+∈R 对称轴为x a =，开口向上，又函数()f x 在(],2-∞上是减函数，所以2a ≥.【小问2详解】函数()()223f x x ax a =-+∈R 对称轴为x a =，开口向上，①当1a <-时，函数在[]1,1-上单调递增，所以()()()min 142g a f x f a ==-=+；②当11a -≤≤时，函数在[]1,1-上先单调递减后单调递增，所以()()()2min 3g a f x f a a ===-；③当1a >时，函数在[]1,1-上单调递减，所以()()()min 142g a f x f a ===-．故()242,13,1142,1a a g a a a a a +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩；20.已知函数()21y x a x a =-++（1）求关于x 的不等式0y <的解集；（2）若20y x +≥在区间()1,+∞上恒成立，求实数a 的范围.【答案】（1）答案见解析（2）(,3-∞+【解析】【分析】（1）因式分解，再讨论二次方程两根的大小关系求解即可；（2）参变分离可得()11x x a x +≤-在区间()1,+∞上恒成立，再换元令1t x =-，根据基本不等式求解最值即可.【小问1详解】()210x a x a -++<即()()10x x a --<，故：当1a >时，解集为()1,a ；当1a =时，解集为∅；当1a <时，解集为(),1a .【小问2详解】20y x +≥在区间()1,+∞上恒成立，即()2120x a x a x -+++≥，即()11x x a x +≤-在区间()1,+∞上恒成立.令1t x =-，则()()1223t t a t t t++≤=++在区间()0,∞+上恒成立.又2333t t ++≥+=+2t t =，即t =，1x =+时取等号.故3a ≤+a 的范围是(,3-∞+21.已知函数2()1ax b f x x+=+是定义在[1,1]-上的奇函数，且6(2)5f =.（1）求()f x 的解析式；（2）先判断函数()f x 在[1,1]-上的单调性，并证明；（3）求使()2(21)10f m f m -+-<成立的实数m 的取值范围.【答案】（1）23()1x f x x =+；（2）()f x 在[]1,1-上为增函数，证明见详解；（3）)1⎡⎣.【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得22()1()1a x b ax b x x -++=-+-+，解可得b 的值，又由6(2)5f =可得a 的值，将a 、b 的值代入函数的解析式即可得答案；（2）设1211x x -£<£，用作差法分析可得12()()f x f x <，由函数单调性的定义即可得证明；（3）由奇函数的性质可以将()2(21)10f m f m -+-<变形为()()2211f m f m -<--，结合函数的定义域与单调性可得m 的取值范围．【详解】（1）根据题意，2()1ax b f x x +=+是奇函数，则有()()f x f x -=-，则有22()1()1a x b ax b x x -++=-+-+，解可得0b =；2()1ax f x x ∴=+．()625f = ，2261455a a ∴==+，解可得3a =.23()1x f x x ∴=+；（2）()f x 在[]1,1-上为增函数；证明如下：设1211x x -£<£，则1212121222221212333()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，1211x x -≤<≤ ，则有21(1)0x +>，22(1)0x +>，12(1)0x x ->，120x x -<，则有12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <．()f x ∴在[]1,1-上为增函数；（3）()2(21)10f m f m -+-< ，()()2211f m f m -<--∴，又()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，2(21)(1)f m f m ∴-<-，则有221211111211m m m m -≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解可得：01m ≤<；故不等式()()10f m f m -+<的解集为)1⎡-⎣．【点睛】关键点睛：利用函数单调性定义证明时，需要严格按照步骤格式，注意取值的任意性，作差后注意变形，变形的目的利用条件及不等式性质判断差的正负.22.某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前()*n n ∈N 年的支出成本为()2105n n -万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元．（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．【答案】（1）()()()1019f n n n =---，该设备从第2年开始实现总盈利；（2）方案二更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，直接求得()f n ，令()0f n >，结合n 的取值范围，即可求得结果；（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.【小问1详解】由题意可得()()()()22951059010100901019n n n f n n n n n +-=--=--=---，由()0f n >得19n <<，又*n ∈N ，所以该设备从第2年开始实现总盈利．【小问2详解】方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额()()221009010516010f n n n n +-=--+=-，当5n =时，()f n 取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为16020180+=万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额为()20101090f n n n nn --=+91010010040n n ⎛⎫=-++≤- ⎪⎝⎭，当且仅当9n n=，即3n =时等号成立；即3n =时，平均盈利额最大，此时()120f n =，此时处理掉设备，总利润为12060180+=万元．综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．。

重庆2023—2024年度（上）期中考试高一年级数学试题（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.若()(){}1,2,1,3P =，则集合P 中元素的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据集合和元素的概念进行求解.【详解】集合P 中元素为()1,2，()1,3，共2个．故选：B2.命题“x ∀∈R ，2212x x -+≤0”的否定为（）A.x R ∀∉，20212x x -+≤ B.x ∀∈R ，20212x x -+>C.0x ∃∈R ，2002120x x -+> D.0x R ∃∉，2002120x x -+>【答案】C 【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为命题“x ∀∈R ，2212x x -+≤0”是全称量词命题，所以其否定为0x ∃∈R ，2002120x x -+>，故选：C3.已知集合πZ ,π|3A k k αα⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，2ππ|,Z 33k B k ββ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则x A ∈是x B ∈的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【答案】A 【解析】【分析】根据集合之间的包含关系判断即可.【详解】()31ππ|πZ =33,,|Z k A k k k αααα⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，()2π2ππ|,Z =|Z 333k k B k k ββββ⎧⎫+⎧⎫==+∈=∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，31k + 表示3的整数倍加1，2k +表示全体整数，所以x A ∈可以推出x B ∈，x B ∈不可以推出x A ∈，所以x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.故选：A4.若3x >，则26113x x x -+-的最小值为（）A.2B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由基本不等式求最小值．【详解】3x >，则30x ->，22611(3)22(3)333x x x x x x x -+-+==-+≥=---，当且仅当233x x -=-，即3x =+故选：D ．5.已知2:80p m m -<，q ：关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式得到:08p m <<，由不等式解集为R ，利用根的判别式得到210m -<<，结合两集合的包含关系，得到p 是q 的充分不必要条件．【详解】2:8008p m m m -<⇒<<，由关于x 的不等式()2+490x m x -+>的解集为R ，可得()24490m ∆=--⨯<，解之得210m -<<，则由{}08m m <<是{}210m m -<<的真子集，可得p 是q 的充分不必要条件．故选：A6.数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords ，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，则该图形可以完成的无字证明为（）A.)0,02a ba b +≥>> B.)0,02a b a b +≤>>C.)20,0aba b a b≤>>+ D.)220,0a b a b +≥>>【答案】B 【解析】【分析】通过图形，并因为AD a =，BD b =，所以2a bOC +=，2a b OD -=，从而可以通过勾股定理求得CD ，又因为CD OC ≥，从而可以得到答案.【详解】 ABC 等腰直角三角形，O 为斜边AB 的中点，AD a =，BD b=∴2a bOC +=，2a b OD -= OC AB⊥∴2222222222a b a b a b CD OC OD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴CD =而CD OC ≥2a b +≥()0,0a b >>，故选项B 正确.故选：B7.已知00a b >>，且1ab ＝，不等式11422ma b a b++≥+恒成立，则正实数m 的取值范围是（）A.m ≥2B.m ≥4C.m ≥6D.m ≥8【答案】D 【解析】【分析】由条件结合基本不等式可求a b +的范围，化简不等式可得()()242a b m a b +≥+-，利用二次函数性质求()()242a b a b ++-的最大值，由此可求m 的取值范围.【详解】不等式11422m a b a b++≥+可化为42a b mab a b ++≥+，又00a b >>，，1ab ＝，所以()()242a b m a b +≥+-，令a b t +=，则242t m t ≥-，因为00a b >>，，1ab ＝，所以2t a b =+≥=，当且仅当1a b ==时等号成立，又已知242t m t ≥-在[)2,+∞上恒成立，所以2max 42t m t ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭因为()()2221148488222t t t t t -=-=--+≤，当且仅当4t =时等号成立，所以m ≥8，当且仅当2a =-2b =+或2a =，2b =时等号成立，所以m 的取值范围是[)8,+∞，故选：D .8.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()0xf x <的解集为（）A.()(),44,∞∞--⋃+B.()()4,04,-+∞ C.()()4,00,4- D.()4,4-【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合奇函数的性质分析()f x 的符号，进而解不等式()0xf x <.【详解】当0x >时，令()()244f x x x x x =-=-，可知：当04x <<时，()0f x <；当4x >时，()0f x >；又因为()f x 是奇函数，可知：当40x -<<时，()0f x >；当<4x -时，()0f x <；对于不等式()0xf x <，则()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，可得40x -<<或04x <<，所以不等式()0xf x <的解集为()()4,00,4- .故选：C.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）A.2R,10x x x ∀∈-+≥B.Z,Z,243x y x y ∃∈∈+=C.菱形的对角线互相垂直D.任意四边形均有外接圆【答案】AC 【解析】【分析】根据全称量词的定义，逐项判断命题真假即可.【详解】对于A ，“∀”是全称量词，且由于140∆=-<，故对2R,10x x x ∀∈-+≥，为真命题，故A 正确；对于B ，“∃”是存在量词，故B 错误；对于C ，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C 正确，对于D ，任意四边形不一定有外接圆，对角和为180 的四边形，有外接圆；对角和不是180 的四边形，没有外接圆，故D 错误.故选：AC.10.下列幂函数中满足条件121212()()((0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数是（）A.()f x x =B.2()f x x =C.()f x =D.1()f x x=【答案】BD 【解析】【分析】先明确题目中条件对应函数的性质，再根据性质进行判断选择.【详解】由题意可知，当0x >时，满足条件121212()()()(0)22x x f x f x f x x ++<<<的函数()f x 的图象是凹形曲线.对于A ，函数()f x x =的图象是一条直线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++=；对于B ，函数2()f x x =的图象是凹形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++<；对于C ，函数()f x =的图象是凸形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++>；对于D ，在第一象限，函数1()f x x=的图象是一条凹形曲线，故当210x x >>时，1212()()(22x x f x f x f ++<，故选：BD.【点睛】本题考查函数图象与性质，考查综合分析判断能力，属中档题.11.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，且满足()21f =，则下列说法正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()21f -=-C.不等式()()232f x f x -->-的解集为()5,-+∞D.()()()()()202320220202220232023f f f f f -+-++++=L L 【答案】AB 【解析】【分析】根据奇函数的定义，并结合条件，即可判断A ；根据奇函数的性质求()2f -的值，即可判断B ；根据单调性的定义，判断函数的单调性，再求解不等式，判断C ；根据奇函数的性质求和，判断D.【详解】对于A 中，令0x y ==，可得()()()()00020f f f f =+=，所以()00f =，令y x =-，得到()()()00f x f x f -+==，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数，故A 正确；对于B 中，因为()f x 为奇函数，所以()()2=21f f --=-，故B 正确；对于C 中，设1212,,x x x x y x >==，可得()()()1212f x x f x f x -=+-，所以()()()()()121212f x f x f x f x f x x -=+-=-，又因为12x x >，所以120x x ->，所以()120f x x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递增，因为()21f -=-，所以()()()422222f f f -=--=-=-，由()()232f x f x -->-，可得()()()234f x f x f >-+-，所以()()()2347f x f x f x >--=-，所以27x x >-，得到7x >-，所以()()232f x f x -->-的解集为()7,-+∞，所以C 错误；对于D 中，因为()f x 为奇函数，所以()()0f x f x -+=，所以()()()()()()2023202320222022110f f f f f f -+=-+==-+=L ，又()00f =，故()()()()()202320220202220230f f f f f -+-++++=L L ，所以D 错误.故选：AB12.已知0b >,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式32330ax x abx b +--≤恒成立.则（）A.a<0B.23a b =C.24a b +的最小值为12D.23a ab a b +++的最小值为6-【答案】ACD 【解析】【分析】先对2333ax x abx b +--进行因式分解,分情况讨论小于等于零的情况,可得30+=,即20,9a a b <=,可得选项A,B 正误;将24a b +中的2a 用9b 代替,再用基本不等式即可得出正误;先将29b a=代入23a ab a b +++中,再进行换元,求出新元的范围,根据二次函数的单调性即可求出最值,判断D 的正误.【详解】因为()()()()223233333ax b ax ax x abx b xx b ax +-++=--=+-,32330ax x abx b +--≤恒成立,即()()230b ax x -+≤恒成立,因为0b >,所以当(x ∈时,20x b -<,则需30ax +≥,当)x ∈+∞时,20x b ->,则需30ax +≤,故当x =时,30ax +=,即30=,所以0a <且239a b =-⇒=,故选项A 正确,选项B 错误;所以294412a b b b +=+≥=,当且仅当94b b =时,即32b =时取等,故选项C 正确;因为222229993333a ab a b a a a a a a a a ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭,令33t a a a a ⎛⎫=+=---≤-=- ⎪⎝⎭当且仅当3a a-=-，即a =t ≤-所以22296t a a =++,故22229333333624a a t t t a a ⎛⎫⎛⎫+++=+-=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以在(,t ∈-∞-上,233324y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭单调递减,即min 1266y =--=-所以236a ab a b +++≥-，故选项D 正确.故选:ACD【点睛】思路点睛:该题考查基本不等式的应用,属于难题,关于不等式有:2112a b a b+≥≥≥+,,0a b >;(2)柯西不等式:()()()22222a bcd ac bd ++≥+;(3)变换后再用基本不等式:()222222112,2a b a b ab a a a a ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应位置上．）13.已知12102α-=，131032β=，则314210βα+=______（填数值）【答案】2【解析】【分析】利用指数幂的运算法则计算出结果.【详解】()()31131113113142513422342242101010=322222βαβα⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⨯+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：214.若函数()()224,134,1x ax a x f x a x a x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是___________.【答案】41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】先判断出函数为减函数，再根据分段函数的单调性来列出不等关系，求出结果【详解】因为()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上是减函数，当1x <时，()224f x x ax a =-+，对称轴为x a =，分段函数要满足在R 上单调递减，需要满足1303421a a a a a ≥⎧⎪-<⎨⎪-+≤+⎩，解得：413a ≤≤.故答案为：41,3⎡⎤⎢⎣⎦15.若幂函数()f x 过点()4,2-，则满足不等式()()221f a f a ->-的实数a 的取值范围是______．【答案】()1,1-【解析】【分析】根据幂函数所过点得到()f x 为偶函数，在第一象限过()4,2，从而求出解析式，根据幂函数单调性得到不等式，求出实数a 的取值范围.【详解】幂函数()f x 的图象过点()4,2-，∴()f x 为偶函数，在第一象限过()4,2；当0x ≥，设()f x x α=，则42α=，解得12α=；∴幂函数()()24R f x xx =∈，由于204>，故()()24R f x x x =∈在[)0+x ∈∞，上单调递增，不等式()()()()221221221f a f a fa f a a a ->-⇔->-⇔->-，平方得2244441a a a a -+>-+，解得11a -<<；所以实数a 的取值范围是()1,1-．故答案为：()1,1-16.设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______．【答案】72-【解析】【分析】根据函数的奇偶性，先求得,a b ，然后求得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】因为()1f x +是偶函数，所以()()+11f x f x -=+①，因为()2f x +是奇函数，所以()()+22f x f x -=-+②，令1x =，由①得：()()024f f a b ==+，由②得：()()()3=1f f a b -=-+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a +-+=⇒=，令0x =，由②得：()()()22208f f f b =-⇒=⇒=-，所以当[]1,2x ∈时，()2=28f x x -，11137=1122222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：72-四、解答题（本大题共6小题，共70分．请将正确答案做在答题卷相应位置，要有必要的推理或证明过程．）17.已知集合{34}A xx =-<<∣，集合{133}B x m x m =-<<+∣.（1）当2m =时，求()R ,A B A B ð；（2）若A B ⋂=∅，求m 的取值范围.【答案】（1）{39}A B xx ⋃=-<<∣，(){31}A B x x ⋂=-<≤R ∣ð（2）{5mm ≥∣或2}m ≤-【解析】【分析】（1）根据集合的交并补运算即可求解，（2）分类讨论即可求解.【小问1详解】当2m =时，{19}B xx =<<∣，{39}A B x x ⋃=-<<∣.因为{1B x x =≤R ∣ð或9}x ≥，所以(){31}A B x x ⋂=-<≤R∣ð.【小问2详解】当B =∅时，133m m -≥+，解得2m ≤-.当B ≠∅时，133,333m m m -<+⎧⎨+≤-⎩或133,14,m m m -<+⎧⎨-≥⎩解得5m ≥，即m 的取值范围是{5mm ≥∣或2}m ≤-.18.已知抛物线()235y mx m x n =+--经过点()0,15-.（1）若关于x 的不等式()2350mx m x n +--<的解集为33m n x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,m n 的值；（2）若0m <，求关于x 的不等式()2350mx m x n +-->的解集.【答案】（1）3,15m n ==（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据不等式的解集结合韦达定理计算求值即可;（2）分35m <-,35m =-,305m -<<三种情况讨论一元二次不等式的解集.【小问1详解】由抛物线()235y mx m x n =+--经过点()0,15-得15n =，因为不等式()2350mx m x n +--<的解集为33m n x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，所以0m >，易得关于x 的一元二次方程()2350mx m x n +--=的两个根分别为,33m n -.由根与系数的关系可得53,33,33m n m m m n n m -⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩解得3m =或-3（舍去），即3,15m n ==.【小问2详解】不等式()235150mx m x +-->可化为()()350mx x +->.令35m -=，得35m =-.当35m =-时，不等式为2(5)0x -<，无解；当35m <-时，35m -<，解不等式()()350mx x +->得35x m -<<；当305m -<<时，35m ->，解不等式()()350mx x +->得35x m <<-.综上，当35m <-时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣；当35m =-时，原不等式的解集为∅；当305m -<<时，原不等式的解集为35x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭∣.19.已知ABC 的三边长为,,a b c ，其中2a =.求证：ABC 为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．【答案】证明见解析【解析】【分析】根据题意，结合充分性和必要性的证明方法，结合多项式的化简、运算，即可求解.【详解】证明：充分性：当2a =时，多项式()2224b c b c bc +-+=-可化为()222b c a b c bc a +-+=-，即222a b c ab ac bc ++=++，所以222222222a b c ab ac bc ++=++，则()()()2220a b b c a c -+-+-=，所以0a b b c a c -=-=-=，即a b c ==，ABC 为等边三角形，即充分性成立；必要性：由ABC 为等边三角形，且2a =，所以2a b c ===，则()2220b c b c +-+=，40bc -=，所以()2224b c b c bc +-+=-，即必要性成立．故ABC 为等边三角形的充要条件是()2224b c b c bc +-+=-．20.如图，现将正方形区域ABCD 规划为居民休闲广场，八边形HGTQPMKL 位于正方形ABCD 的正中心，计划将正方形WUZV 设计为湖景，造价为每平方米20百元；在四个相同的矩形EFUW ，,,IJVW VZON UZRS 上修鹅卵石小道，造价为每平方米2百元；在四个相同的五边形,,,AEHLI DFGTS PQRCO BNMKJ 上种植草坪，造价为每平方米2百元；在四个相同的三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 上种植花卉，造价为每平方米5百元.已知阴影部分面积之和为8000平方米，其中,,,,GH TQ MP KL LH GT PQ KM GH PM TQ KL EF =======∥∥的长度最多能达到40米.（1）设总造价为S （单位：百元），HG 长为2x （单位：米），试用x 表示S ；（2）试问该居民休闲广场的最低造价为多少百元？6.6=，结果保留整数）【答案】（1）2280000008616000(020)S x x x =++<≤（2）68800百元【解析】【分析】（1）将各部分分别求造价再求和即可；（2）根据基本不等式求解即可.【小问1详解】方法一：因为2HG x =米，所以HL =米，得HW LW x ==米.根据题意可得四个三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 的面积之和为22x 平方米，正方形WUZV 的面积为24x 平方米，四个五边形的面积之和为22228000400000042242x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭平方米，则休闲广场的总造价22224000000204280002252S x x x x ⎛⎫=⨯+⨯+-+⨯ ⎪⎝⎭2280000008616000(020)x x x =++<≤.方法二：设HE y =米，因为2HG x =米，所以HL =米，得HW LW x ==米，根据题意可得阴影部分面积为()2424288x y x x xy x ⋅⋅+⋅⋅=+平方米，则22800081000888000,8x xy x y x x x -+===-，四个三角形,,,HLW GTU PQZ KMV 的面积之和为22x 平方米，正方形WUZV 的面积为24x 平方米，因为正方形ABCD 的面积为()222(42)16164x y x xy y +=++平方米，所以四个五边形的面积之和为222216164800024x xy y x x ++---()22101648000x xy y =++-平方米，所以休闲广场的总造价()222220428000210164800052S x x xy y x =⨯+⨯+⨯++-+⨯22110328x xy y =++2280000008616000(020)x x x =++<≤.【小问2详解】因为228000000861600016000S x x =++≥+1600068800=+=，当且仅当22800000086xx =，即2220x ==<时，等号成立，所以该居民休闲广场的总造价最低为68800百元.21.已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()2a f x x x =-+-.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2,0,()0,0,2,0.a x x x f x x a x x x ⎧-+-<⎪⎪==⎨⎪⎪-++>⎩（2）4a ≥-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质计算可得；（2）设12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <则12())0(f x f x ->，即可得到1210a x x +>⋅恒成立，参变分离得到12a x x >-⋅，即可得解.【小问1详解】当0x =时，由函数()f x 为R 上的奇函数得(0)0f =；当0x >时，0x -<，则()2a f x x x-=--，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()2()a f x x f x x -=--=-，所以()2a f x x x =-++，故2,0,()0,0,2,0.a x x x f x x a x x x ⎧-+-<⎪⎪==⎨⎪⎪-++>⎩【小问2详解】由函数()f x 在[2,)+∞上单调递减，设12,[2,)x x ∀∈+∞，且12x x <，都有12()()f x f x <，即12())0(f x f x ->，即121212()()2(2)a a f x f x x x x x -=-+---+-2112()()a a x x x x =-+-2112()(10a x x x x =-⋅+>⋅.则12,[2,)x x ∀∈+∞，因为12x x <，所以210x x ->，所以1210a x x +>⋅，则12a x x >-⋅，又124x x -⋅<-，所以4a ≥-.22.若在函数()f x 的定义域内存在区间[],a b ，使得()f x 在[],a b 上单调，且函数值的取值范围是[],ma mb （m 是常数），则称函数()f x 具有性质M ．（1）当12m =时，函数()f x =M ?若具有，求出a ，b ；若不具有，说明理由；（2）若定义在()0,2上的函数()45f x x x =+-具有性质M ，求m 的取值范围．【答案】（1）函数()f x =M ，0,4.a b =⎧⎨=⎩（2）19,216⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得1212a b ==，解得即可；（2）首先将()f x 写出分段函数，再分[](),0,1a b ⊆和[][),1,2a b ⊆两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当[][),1,2a b ⊆时，得到()2451f x m x x x ==-+-在[)1,2上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为()f x =[)0,∞+上单调递增，所以()f x =[],a b上的函数值的取值范围是，即1212a b ==，显然0a b ≤<，所以04a b =⎧⎨=⎩，故函数()f x =M ．【小问2详解】解：()45,014545,12x x x f x x x x x x ⎧+-<<⎪⎪=+-=⎨⎛⎫⎪-+≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，因为4y x x=+在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，当[](),0,1a b ⊆时，()f x 单调递减，∴()()f a mb f b ma ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得4545a b a a b b +-=+-，整理得()()50a b a b -+-=，∵5a b +=与[](),0,1a b ⊆矛盾，∴当[](),0,1a b ⊆时，不合题意．当[][),1,2a b ⊆时，()f x 在[)1,2单调递增，∴()()f a ma f b mb ⎧=⎪⎨=⎪⎩，知()f x mx =在[)1,2上有两个不等实根，即()2451f x m x x x==-+-在[)1,2上有两个不等实根，令11,12t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()2451h t t t =-+-，由1122h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，59816h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10h =，知19216m <<，。

⎭重庆育才中学2023 届高一（上）半期考试数学参考答案一、选择题：本题共12 个小题，每小题5 分，共60 分。

1．D 2．C 3．B 4．B 5．A6．B 7．A 8．D 9．BD 10．AD11．ABD 12．BC二、填空题：本题共4 个小题，每小题5 分，共20 分。

13．8 14．[3, +∞)15．⎡3 ,1⎫16．(-∞, -1)3 ⎢⎣4⎪2三、解答题：共80 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （10 分）解析：集合A ={x| x >-2}, B ={x| x ≤m, m ∈R}，（1）若A ⋃B =R ，则m ≥-2 ，故 A ⋃B =R 的一个充要条件是m ≥-2 .（2）由(1)知A ⋃B =R 的充要条件是m ≥-2 ，所以 A ⋃B =R 的一个必要不充分条件可以是m ≥-3 .18. （12 分）解析：（1）因为x>0,y>0,所以2=x+2y≥x =1, y =1时取等号），所以xy的最大值为1；⇒2xy≤1⇒xy≤1，（当且仅当22 2（2）因为 x > 0, y > 0, 所以1⋅ 2 ⋅ (2+1) =1(x + 2 y)(2+1) =1(4 +x+4 y)2 x y 2 x y 2 y x≥1(4 += 4 （当且仅当x =1, y =1时取等号），所以2+1的最小值为4 .2 2 x y19．（12 分）解析：（1）由题意可知x=b,2是方程x2-ax+2=0的两个根⎧2 +b =a由韦达定理可得⇒⎧a = 3经检验符合题意.⎨2b = 2⎨=1⎩⎩b⎪⎨⎨3（2）由（1）可知3x -1≤ 1x - 2⇔ (2x +1)(x - 2) ≤ 0且x ≠ 2∴原不等式的解集为[-1, 2)220．（12 分）解析：（1）由题意可知, 当0 ≤x ≤ 30 时v(x)=60,当x=210时,v(x) = 0 ,又当30 ≤x ≤ 210 时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设v(x) =ax +b ,所以⎧0 = 210a +b⎧a =-11⎨60 = 30a +b,解得⎨3 ,故当30 ≤x ≤ 210 时,v(x) =-x + 70 .3⎩⎪⎩b = 70⎧60 0 ≤x ≤ 30故v(x) =⎪-1⎪ 3⎩⎪0x + 70 30 ≤x ≤ 210 .x > 210⎧60x0 ≤x ≤ 30（2）由题,f (x) =x ⋅v(x) =⎪-1⎪ 3⎪⎩0x2 + 70x 30 ≤x ≤ 210 ,故x > 210当0 ≤x ≤ 30 时, f (x) 最大值为 f (30) = 1800 .1x =-70= 105当30 ≤x ≤ 210 时, f (x) =-x2 + 70x 开口向下且对称轴为⎛ 1 ⎫,故此3时 f (x) 最大值为 f (105) =-1⨯1052 + 70 ⨯105 = 3675 .3综上,当车流密度为 105 辆/小时车流量达到最大值 367521. （12 分）2 ⨯ -⎪⎝⎭解析: （1）任取 x1 , x2 ∈R, 且x1 <x2 ，则 x2 -x1 > 0,∴f (x2 -x1 )> 1,f (x2 )= f (x1 )+f (x2 -x1 )-1,∴f (x2 )> f (x1 ). 故函数f (x)在R 上单调递增.（2）f (3)= f (1)+f (2)-1 = f (1)-1+f (1)+f (1)-1 = 3 f (1)- 2 ,∴f (1)= 2,原不等式等价于 f+t)+f -1 =f ++t )>2 = f (1)，+t >1有解，令y =x∈[-2, 2]),⎣ ⎦ min min ⎣ ⎦y 2 = 4 + 2 ∈[4,8], ∴ y ∈ ⎡2, 2 2 ⎤ , ∴t ∈(1- 2 2, +∞).22. （10 分）⎧x 2 - 3x , x ≥ 0解析: （1）因为m = 0 ，所以 f ( x ) = x 2 - 3 x = ⎨ ，⎩x 2+ 3x , x < 0因为函数 f ( x ) = x 2- 3x 的对称轴为 x = 3 ，开口向上；所以当0 ≤ x < 3时，2 2函数 f ( x ) = x 2 - 3x 单调递减；当 x ≥ 3 时，函数 f ( x ) = x 2- 3x 单调递增；2又函数 f ( x ) = x 2+ 3x 的对称轴为 x = - 3 ，开口向上；所以当- 3 ≤ x < 0 时，函数 2 2f ( x ) = x 2 + 3x 单调递增；当 x <- 3时，函数 f ( x ) = x 2 + 3x 单调递减；因此，函数2y = f ( x ) 的单调递减区间为： ⎛-∞, - 3 ⎫ 和⎛ 0, 3 ⎫；2 ⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（2）由题意，不等式 f ( x - m -1) ≤ 2 f ( x - m ) 可化为(x -1)2 - 3 x -1- m ≤ 2x 2 - 6 x - m ，即 x 2- 4x + 6m -1+ 3 x - (1+ m ) ≥ 0 在 x ∈[m, +∞) 上恒成立，令g (x ) = x 2 - 4x + 6m -1+ 3 x - (1+ m ) ，则只需 g (x ) ≥ 0 即可；因为0 < m ≤ 1 ，所以1 < m +1 ≤2 ，因此⎧x 2- 7x + 9m + 2, m ≤ x ≤ m +1 g (x ) = x 2- 4x + 6m -1+ 3 x - (1+ m ) = ⎨ ，⎩x 2- x + 3m - 4, x > m +1当 m ≤ x ≤ m +1 时，函数 g (x ) = x 2 - 7x + 9m + 2 开口向上，对称轴为： x = 7> m +1，2所以函数 g (x ) 在[m, m +1]上单调递减；当 x > m +1时，函数 g (x ) = x 2- x + 3m - 4 开口向上，对称轴为 x = 1< m +1 ；2所以函数 g (x ) 在[m +1, +∞) 上单调递增；因此 g (x ) = g (m +1) = m 2+ 4m - 4，由 g (x )min ≥ 0 得m 2 + 4m - 4 ≥ 0 ，解得m ≥ -2 + 2 或 m ≤ -2 - 2 ，因为0 < m ≤ 1 ，所以-2 + 2 ≤ m ≤ 1.即实数m 的取值范围为⎡-2 + 2 2,1⎤ . 4 - x 2 2 2 223. （10 分）解析: 当 x =y =z 时，不等式变形为6x4 ≥k ⋅ 9x4 ， x ∈R ,即k ≤2 . 3下面证明：k 的最大值为2 .3对于 x, y, z ∈R, 有 x4 +y4 +z4 +xyz(x +y +z) ≥2(xy +yz +zx)23即证： 3(x4 +y4 +z4 ) + 3xyz(x +y +z) ≥ 2(xy +yz +zx)2 .由不等式a2 +b2 +c2 ≥ab +ac +bc 知x4 +y4 +z4 ≥x2 y2 +y2 z2 +z2 x2所以，只需证明3(x2 y2 +y2 z2 +z2 x2 ) + 3xyz(x +y +z) ≥ 2(xy +yz +zx)2即证x2 y2 +y2 z2 +z2 x2 ≥xyz(x +y +z) ，此即不等式a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca综上，k 的最大值为2 .3。