几种特殊类型函数的不定积分

不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。

在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。

本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。

一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。

2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。

例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。

(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。

例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。

(c) 一般幂函数的不定积分对于一般的幂函数x^m来说，其中m不等于-1，不定积分为(x^(m+1))/(m+1)+C，其中C为常数。

例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。

3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。

例如，∫e^xdx=e^x+C。

(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。

例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。

4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。

例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。

5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。

例如，∫sinxdx=-cosx+C。

(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。

例如，∫cosxdx=sinx+C。

(c) tanx的不定积分为-ln|cosx|+C，其中C为常数。

例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。

常见的不定积分公式大全常见的不定积分公式大全涵盖了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数等多种类型，以下公式中的C代表积分常数。

幂函数类型∫xndx = x(n+1)/(n+1) + C，其中n ≠ -1∫1/xdx = ln|x| + C指数函数类型∫axdx = ax/lna + C，特别地，当a=e时，∫exdx = ex + C∫x*exdx = (x-1)ex + C对数函数类型∫lnxdx = xlnx - x + C三角函数类型∫sinxdx = -cosx + C∫cosxdx = sinx + C∫tanxdx = -ln|cosx| + C∫cotxdx = ln|sinx| + C∫sec^2xdx = tanx + C∫csc^2xdx = -cotx + C∫secxtanxdx = secx + C∫cscxcotxdx = -cscx + C∫sin^2xdx = (x - sinxcosx)/2 + C∫cos^2xdx = (x + sinxcosx)/2 + C反三角函数类型∫1/(1+x^2)dx = arctanx + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C∫arcsinxdx = xarcsinx + √(1-x^2) + C（注意：此公式可能与某些资料略有不同，但核心思想相同）∫arctanxdx = xarctanx - ln(1+x^2)/2 + C含有二次二项式的平方和差类型∫1/(a2+x2)dx = arctan(x/a)/a + C∫1/(x2-a2)dx = ln|(x-a)/(x+a)|/(2a) + C∫1/√(a2-x2)dx = arcsin(x/a) + C其他常见类型∫kdx = kx + C，其中k为常数∫xudx = x(u+1)/(u+1) + C，其中u为常数且u ≠ -1。

tann1 x n 1
In2
注:
或
目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求
解: 设 F(x) x 1 x 1 , x 1
1 x , x 1
则
1 2
x2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
ln
a
dx
1
ln
2 3
d
(
2 3
)
x
1 (32)2 x
arctan(
2 3
)x
C
ln 2 ln3
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d
[ ln(x
1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
d [ ln(x
(1 2x ) dx
例10. 求
dx
xx
x.
1 e2 e3 e6
x
解:
令 t e6 ,
则
x 6lnt ,
dx
6 t
dt
原式 6
(1
t3
d
t t
2
t)
t
6
dt (t 1)(t 2 1) t
dt

三角函数之不定积分当结合一些有用的三角恒等式代换时，可以求出更多含有三角函数型式的积分，下面是几种常见的积分类型：类型1. sinnxdx ⎰及cos n xdx⎰（1） n 为正奇数时：可利用双数变换，提出sinx 或cosx 后，再利用恒等式22sin =1-cos x x或者22cos =1-sin x x 。

（2） n 为正偶数：利用三角函数半角公式221-cos sin =2x x ；21+cos 2cos =2x x【例1】 求5sin xdx⎰解：原式=4sin sin x xdx⎰ =22(sin )sin x xdx⎰=22(1-cos )sin x xdx⎰=24(1-2cos +cos )sin x xdx⎰=24-(1-2cos +cos )(-sin )x xdx ⎰令=cos x μ,则=-sin d xdxμ故 原式=24-(1-2+)d μμμ⎰=3521--++35c μμμ=3521-cos +cos +cos +35x x x c【例2】 求4sin xdx⎰解：原式=22(sin )x dx⎰=221-cos ()2x dx⎰=11+cos 4(1-2cos 2+)42xx dx ⎰=1(3-4cos 2+cos 4)8x x dx⎰ =1sin 4(3-2sin 2+)+c84xx x类型2 sincos mn x xdx⎰（1） 若m 或n 为奇数：可利用双数变换，将几次方提出sinx 或cosx 后，再利用恒等式22sin =1-cos x x 或22cos =1-sin x x 。

（2） 若m 、n 皆为偶数：利用三角函数半角公式：221-cos sin =2x x ；21+cos 2cos =2x x【例3】 求3-4sin cos x xdx⎰解：原式=2-4sin cos sin x xdx⎰=2-4(1-cos )cos sin x xdx⎰ =2-4(1-cos )cos sin x xdx⎰=-4-2-(cos -cos )(-sin )x x xdx ⎰=-4-2-(-)d μμμ⎰=-3-11-+3c μμ=311sec -sec +3x x c【例4】 求24sin cos x xdx⎰解： 原式=21-cos 21-cos 2()22x x dx⎰=(1-cos2)(1+cos2)(1+cos2)8x x x dx⎰=21(1-cos 2)(1+cos2)d 8x x x⎰=21(sin 2)(1+cos2)d 8x x x⎰=2211(sin 2)d +(sin 2)(cos2)d 88x x x x x⎰⎰=3111sin 2(-sin4)++164163xx x c类型3 sin sin sin cos cos cos mx nxdx mx nxdx mx nxdx⎰⎰⎰、、利用积化和差公式：1sin sin =[cos(+)-cos(-)]2mx nx m n x m n x1sin cos =[sin (+)+sin (-)]2mx nx m n x m n x1c o sc o s =[c o s (+)+c o s (-)]2m x n x m n x m n x【例5】 求sin 2cos3x xdx ⎰解： 原式=1[sin 5+sin(-)]2x x dx ⎰=11-cos5-cos +102x x c类型4 tannxdx ⎰、cot n xdx⎰利用三角函数恒等式22tan =sec -1x x 、22cot =csc -1x x【例6】 求2tan xdx⎰解： 原式=2(sec -1)x dx⎰=tan -+x x c【例7】 求3tan xdx⎰解： 原式=2tan (sec -1)x x dx⎰=2(tan sec -tan )x x x dx⎰=2tan sec -tan x xdx xdx⎰⎰=-tan d xdxμμ⎰⎰=21+ln|cos |+c 2x μ =21tan +ln|cos |+c2x x类型5 tansec mnx xdx ⎰（n 为偶数或m 为奇数）（1） 当n 为偶数时，tan sec m nx xdx ⎰型可先分出22sec =tan +1x x ，及双数变换=t a n x μ，2=sec xdx μ再化简。