数学分析 第八章 几种特殊函数积分4

第八章不定积分一、不定积分概念与基本积分公式1.原函数与不定积分①定义1：设函数f 与F 在区间I 上都有定义，若F’(x)=f(x),x ∈I ，则称F 为f 在区间I 上的一个原函数。

②定理8.1：若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即F’(x)=f(x),x ∈I 。

·不连续的函数也可以有原函数③定理8.2：设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则(i)F+C 也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；(ii)f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数。

④定义2：函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分，记作∫f(x)dx 。

·[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；·d ∫f(x)dx=d[F(x)+C]；⑤不定积分的几何意义：积分曲线2.基本积分表①∫0dx=C ；②∫1dx=∫dx=x+C ；③)0,1(11>-≠++=⎰+x C x dx x αααα；④)0(||ln 1≠+=⎰x C x dx x ；⑤∫e x dx=e x +C ；⑥)0,1(ln >≠+=⎰a C aa dx a xx α；⑦)0(sin 1cos ≠+=⎰αC ax a axdx ；⑧)0(cos 1sin ≠+-=⎰αC ax a axdx ；⑨∫sec 2xdx=tanx+C ；⑩∫csc 2xd1=-cotx+C ；⑪∫secx ·tanxdx=secx+C ；⑫∫cscx ·cotxdx=-cscx+C ；⑬12arccos arcsin 1C x C x x dx+-=+=-⎰；⑭12cot arctan 1C x arc C x x dx +-=+=+⎰。

⑮定理8.3：若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，k 1，k 2为两个任意常数，则k 1f+k 2g 在I 上也存在原函数，且当k 1和k 2不同时为零时，有∫[k 1f(x)+k 2g(x)]dx=k 1∫f(x)dx +k 2∫g(x)dx二、换元积分法与分部积分法1.换元积分法①定理8.4（第一换元积分法/凑微分法）：设函数f(x)在区间I 上有定义，φ(t)在区间J 上可导，且φ(J)⊆I 。

第八章特征函数第一节特征函数一、复随机变量1、定义：设与均为上的一维随机变量,称为上的复随机变量.2、的数学期望: ,假如、均存在.3、相互独立：设()独立，称()独立.4、性质：(1),其中为复常数.证明：.(2).证明：.(3).,如此1 / 262 / 26||||)(,,Z E p iy x p iy xlk kl l k lk kl l k∑∑=+≤+=.(4)|||1|x e ix ≤-, R ∈∀x .证明：|||||1|0x dt e dt e e xitxitix=≤=-⎰⎰.(5)假如k k k iY X Z +=独立,如此.证明：仅证明独立,如此与独立, 从而与,与,与,与.(6)，必存在.证明：仅证连续型. 因,，故与存在,从而存在.二、特征函数 1、定义:设为上的一维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①.②假如为离散型,如此.3 / 26③假如为连续型,如此.2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续；证明：R ∈∀t ,R ∈∀h ,|])1[(||||)()(|)(itX ihX itX X h t i X X e e E Ee Ee t h t -=-=-++ψψ⎰⎰+∞∞-+∞∞--≤-=dx x edx x e e ihxitxihx)(|1|)()1(ϕϕ⎰∞∞-=dx x hx)(2sin2ϕ 其中：2sin222|1|222hx ie eeex h i x h i x h i ihx=-=--; 由于0>∀ε, 0>∃K ..t s ⎰>Kx dx x ||)(ϕε<, (因为1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ收敛)取0>=Kεδ , 当δ<||h 时,⎰⎰->+≤-+KKK x X X dx x hxdx x hx t h t )(2sin 2)(2sin 2|)()(|||ϕϕψψ⎰⎰⎰-->+<+≤KKKKKx dx x K h dx x hx dx x )(||22)(||2)(2||ϕεϕϕ4 / 26εϕεε4)(22≤++<⎰-KKdx x .(4),为常数；证明：.(5)设()独立, 如此.证明：仅证明时成立即可..(6),假如存在.证明：因.所以.三、常见分布的特征函数 1、离散型 (1)退化分布：. 证明：. (2)：,其中.证明：.(3):.证明：,服从参数为的(0-1)分布,且独立,,所以.(3):.证明：.2、连续型(1)：.特别：①：；②：.证明：(2):.(3):.证明：.5 / 266 / 26(4) ：.证明：222122221 221t t i it itz t t i edz eeσμσσσμπ--+∞-∞---==⎰.其中:.2222)(2σσσμσμσσμit it x x it x z +--⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 22222σμσμt it xit x -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 222221212t t i itx x z σμσμ+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- 下面计算 πσσ22222==⎰⎰-+∞-∞---it itz Lz dz edz e: ,.,,在上, ,π2022=+→+=⎰⎰⎰⎰+∞∞---dx ex l xxL xx.第二节唯一性定理一、逆转公式1、预备知识(1)设有函数，使得，，收敛,如此在上一致收敛. 于是有；又假如在上连续,如此. 华东师大《数学分析(下)》(2)狄里克莱积分: 华东师大《数学分析(下)》，.(3)设，,如此2、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,又是的连续点，如此7 / 26证明: 不妨设，且,令，因为.又收敛,如此又因为存在,故. 所以.二、唯一性定理1、唯一性定理: 的分布函数由其特征函数为唯一确定.证明:在的每一个连续点上，取也为的连续点,于是有.因由其上连续点唯一确定，故由唯一确定.8 / 269 / 262、设,且,如此⎰∞∞--='=dt t e x F x X itx X )(21)()(ψπϕ.证明: 因,故连续.,,有，又，且 ,于是⎰⎰∞∞--+∞∞-∆+--→∆=∆-=dt t e dt t x it e e X itxX x x it itx x )(21)(lim 21)(0ψπψπ.注意为解析函数,.三、分布函数的再生性 1、，独立,如此: .证明：因，. 由唯一性定理知, .2、，独立,如此:.证明：因，.由唯一性定理知, .3、,独立,如此: .证明：，,由唯一性定理知, .4、,独立,如此: . 证明：，,由唯一性定理知, .第三节维随机变量的特征函数一、特征函数1、定义:设为上的维随机变量,,规定,称为的特征函数.显然：①假如为离散型,如此.②假如为连续型,如此.10 / 2611 / 26注：∑==⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='nk k k n n X t X X X t t t X t 12121) ( 2、性质： (1)；证明：.(2)；证明：.(3)在上一致连续； 证明：,,.其中：2121|||)()(|||X X t t X t '∆'∆≤'∆, 注：∑=∆='∆nk kkXt X t 1,∑=∆∆=∆'∆nk kktt t t 1,∑=='nk k kX XX X 1此式利用了许瓦兹不等式:.因，由判别式可得.为方便起见,以下引入记号： ①，,.12 / 26②，,特别记:,.例：)4(}4,2{N I ⊂=,)1,0,1,0(1=I ,)0,1,0,0(11}3{3==.③,其中,.特别记,为单位矩阵.例：)4(}4,2{N I ⊂=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000000100000I E , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0000010000000000}3{3E E .④t E t I I =, 为t 的取有行的向量,I I I AE E A =, 为的取有行和列的矩阵,例：),,,(4321t t t t t =,)4(}4,2{N I ⊂=,13 / 26⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==43214242100000000010000000),0,,0(t t t t t t t t t I ,⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000010000100000000010000000000000000000444342413433323124232221141312114422a a a a a a a a a a a a a a a a a a A I ④,，但均为非负整数. (4),为常量,为常矩阵. 证明：.注：A B AB ''=')((5) 边缘分布：,,特别，证明：.其中：X t E X E t X E E t X E t E X t I I I I I I I I )()()('='='='='(6),假如存在,.说明：n kn kkkt t t t ∂∂∂=∂ 2121二、逆转公式14 / 261、逆转公式：设的分布函数为,特征函数为,在体面上概率为0,如此⎰∏∈=---=-n kk k k x nk k b it a it X n dt it e e t a F b F R 1)()2(1)()(ψπ.2、唯一性定理:的分布函数由其特征函数唯一确定.⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ.三、独立性 1、设()独立, 如此.证明：仅证明时成立即可..2、设为维随机变量，如此 ，独立⇔∏==nk k X X t t k1)()(ψψ.证明:“〞因为，独立，从而, 所以.“〞因为,所以⎰∏∈=---∞→-=n kk k k x nk k x it y it X n y dt it e e t x F R1)()2(1lim )(ψπ15 / 26⎰∏∈=---∞→-=n k kk k k x n k k X k x it y it ny dt t it e e R 1)()2(1limψπ ∏∏⎰==∈---∞→=-=nk k X nk t k k X k x it y it y x F dt t it e e k k k kk k k 11)()(21lim Rψπ.故，独立.第四节n 维正态分布矩阵回顾：(1) 正定,记为;非负定,记为.(2) ,. (3)所有主子式存在,,使得存在,,使得.(4) 所有主子式存在,使得. (5) . 这时即的主子式.(6),如此.(7) 对称合同于对角矩阵,即存在,,使得为对角矩阵.一、n 维正态分布 1、定义：设,,为阶正定矩阵，且,称服从维正态分布，记作.2、验算：验算确实是维随机变量的密度函数. (1)显然：,; (2)因，故存在,,使得，且.令,于是,这样,而，有,那么,从而.于是.3、特别,当时, .二、特征函数1、的特征函数：. 证明：，令,.由于,而,令，, 有,16 / 2617 / 26所以.2、I X 的特征函数：,因此也是正态分布),(~I I I C N X μ. 其中,，为二次型的矩阵,也是正定矩阵. 特别: ,.证明： .三、数字特征 1、设,如此μ=EX .证明：因，从而,,所以.2、设,如此. 因此有.预备工作： (1)设，为含自变量的可微函数,定义: .(2). 证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∑∑==)()(11n j jl kj nj jl kj B A t B A t t AB .(3)设，与无关,如此18 / 26,.下面证明.证明：因)()()(202l k l k t l k X X X E X X E i t t t -==∂∂∂=ψ, 又,而，,kl k l l k lk C C C t t Z -='-'-=∂∂∂111121212, l k Z kl Z k Z l l k X t t Z e t Z t Z e t Z e t t t t ∂∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂22)(ψ， 于是kl k l t l k X C i i t t t -=∂∂∂=))(()(02μμψ，从而 ,所以.四、独立性设,如此独立,,证明：“〞显然. “〞因,,)(exp()exp()(221121kk k nk k k X C t it Ct t t i t -='-'=∑=μμψ∏∏===-=nk k X n k kk kk k t C t it k 11221)()exp(ψμ. 所以独立.五、线性变换 1、,,,，如此.19 / 26证明：因})()( exp{21t A AC t A t i ''-'=μ,下面证明.因,，,故存在,,使得，且,于是.可见.2、,,服从一维正态分布.证明：“〞取,由1知.“〞①先证明， 当,,时., ,令，,,有,,,那么.故.20 / 26显然，可见, 有,又X X k k 1'=服从一维正态分布,有0),cov(>==k k k kk DX X X C ,可知, 所以. ②再证明一般地也有.由于为实对称矩阵,故存在,,使得为对角矩阵.令,由条件知,,,,也服从一维正态分布,而由知道,,,由①知,又,由1知.3、独立,),0(~E N X .证明:“〞因,那么,故独立,.“〞因,故,,服从一维正态分布.因此,又因独立,，所以.作业：1、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k =求)(t X ψ2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 与DX .21 / 263、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.4、itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.5、)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ.6、设 X 01 3 P2183 81 Y 0 1P 3132X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布.7、),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E .8、证明:假如)(t k ψ,.,,2,1n k =均为特征函数,如此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.作业：22 / 261、设nk X P X 1}{~==,.,,2,1n k =求)(t X ψ解: )1()1()(1)( 1111itt in it n k k it it n k ikt nk k itx itXX e n e e e n e e n p eEet k--=====∑∑∑=-==ψ )1(1 --=-ittin e n e .2、设X 服从几何分布,求)(t X ψ、EX 与DX . 解:(1) qe pqe pe qe pep qe Eet itit it k k it itk k ikt itXX -=-====-∞=-∞=-∑∑1)()(1111ψ. (2)由于kk k EX i X =)0()(ψ,而22)()()()(q e ipe i e q e p t it it itit X -=---='----ψ, 22)()()(2))(()(q e i e q e ipe q e i ipe t it it it it it it X ---⋅---=''------ψ32)(q e pe pqe it ti it ---=---. 于是p q p i i EX X 1)1()0(22=--='-=ψ. 又2321)1()0(pq q p pq EX X+=----=''-=ψ, 从而2222211)(pq p p q EX EX DX =-+=-=.3、设||21)(~x e x X -=ϕ, 求)(t X ψ.解: ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+===txdx x i txdx x dx x e Eet itxitXX sin )(cos )()()(ϕϕϕψ2020||111)cos sin (cos cos 21t t tx tx t e txdx e txdx e x xx +=+-===+∞-+∞-+∞∞--⎰⎰.23 / 264、itt X -=11)(ψ,求)(),(x x F ϕ.解: 由于1111)(-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=λψit it t X ,可见)1(~Exp X .所以⎩⎨⎧≤>=-.0 ,0,0 ,)(x x e x x X ϕ⎩⎨⎧≤>-=-.0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X另解:⎰⎰⎰∞∞--∞∞--∞∞--++=-==dt t e it dt it e dt t e x itxitx X itxX 21)1(21121)(21)(ππψπϕ ⎰⎰∞∞---∞∞--⎩⎨⎧≤>=+=+++= .0 ,0 ,0 ,121212122x x e iI I dt t te idt t e x itxitx ππ其中:⎪⎩⎪⎨⎧≤>=- .0 ,21 ,0 ,211x e x e I x x ⎪⎩⎪⎨⎧≤->=- .0 ,21,0 ,212x e x e iI x x于是⎩⎨⎧≤>-=- .0 ,0 ,0 ,1)(x x e x F x X5、)1,0(~N X ,32+=X Y ,求)(t Y ψ. 解: 由于2212221 )(t t t i X ee t --==σμψ,而)()(at e t X ibt b aX ψψ=+, 那么222212212323)2(3332)2()()(t t i t t i t t i X t i X Y e eee t e t t ---+=====ψψψ.可见3=EY ,422==DY ,由唯一性定理知:)4,3(~N Y .6、设 X 01 3 Y 0 124 / 26P21 83 81P 3132X 与Y 独立,求Y X Z +=的概率分布. 解: 310818321)(⋅⋅⋅++==it it it itXX e e e Eet ψ, 103231)(⋅⋅+==it it itYY e e Ee t ψ, 因 X 与Y 独立, 于是4321012124141241161)()()(⋅⋅⋅⋅⋅++++==it it it it it itX Y X Z e e e e e Ee t t t ψψψ， 所以,由唯一性定理知Z 01 234P61 2411 41 241 1217、),1,1,0,0(~ρN X ,求)(21X X E .解: 由于) exp()(21Ct t t i t X '-'=μψ,而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021μμμ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1122212121ρρσσρσσρσσC , ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='211221212111)(t t t t t t t t t t Ct t ρρρρ222121212221212t t t t t t t t t t ++=+++=ρρρ, 于是 u t t t t X e e Ct t t =='-=++-)2(2121222121)exp()(ρψ因,而uu X e t t t t e t t )(222)(21211ρρψ+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∂∂,25 / 26)()()(1221212t t e t t e t t t u u X ρρρψ+++-=∂∂∂,所以 ρψ=∂∂∂-==021221)()(t X t t t X X E .8、证明:假如)(t k ψ,.,,2,1n k =均为特征函数,如此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.证明: 设k X 的特征函数为)(t k ψ,.,,2,1n k =且独立,如此∑==n k k X X 1的特征函数为=∏=n k X t k 1)(ψ∏=nk k t 1)(ψ.因此∏=nk kt 1)(ψ也是特征函数.9、)21,1,1,0,0(~N X ,⎩⎨⎧--=++=11211211X X Y X X Y ,求),(21y y Y ϕ.解: 由于 b AX Y+=,因 })()( exp{)()()(21t A AC t A t i e t A e t t b t i X b t i b AX Y ''-'='==''+μψψψ, })()( exp{21t A AC t b A t i ''-+'=μ, 由唯一性定理知 ),(~A AC b A N Y '+μ.而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11ρρC ， 有 b b A =+μ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='ρρρρ2200221111111111A AC , 从而 1,121-==y y μμ,0,)1(2,)1(22121=-=+=y y y y ρρσρσ,于是 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+++---=ρρρπϕ1)1(1)1(412212221141),(y y ey y26 / 262)1(6)1(2221321+---=y y eπ.参考:,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-------=2222212121212)())((2)()1(21221121),(σμσσμμρσμρρσπσϕy y x x ey x .。