2021新高考数学二轮总复习学案：5.3.1 空间中的平行、垂直与空间角含解析

专题13 空间中的平行与垂直【考向解读】1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.【命题热点突破一】 空间线面位置关系的判定(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1、如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .【答案】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11AC ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=I ，平面平面 所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=I F ，平面平面 所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.AC F ⊥平面【变式探究】(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交(2)平面α∥平面β的一个充分条件是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【答案】(1)D(2)D【变式探究】已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.A．0 B．1C．2 D．3【答案】C【命题热点突破二】空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2、如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；【解析】 (1)证明 因为四边形ABCD 是长方形， 所以BC ∥AD ，因为BC ⊄平面PDA ， AD ⊂平面PDA ， 所以BC ∥平面PDA .(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .【高考题型解读】1.,αβ 是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④2.如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】123.平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(A)32 (B )22 (C)33 (D)13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D I 平面ABCD ='m ，平面11CB D I 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E,连接CE ，则CE 为'm .连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n .连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n 所成角的正弦值为3，选A.4.在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【答案】B【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值32，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ． 5.已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】 D6.如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折成△A′CD，所成二面角A′－CD－B的平面角为α，则()A．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤α D．∠A′CB≥α【答案】 B【解析】极限思想：若α＝π，则∠A′CB＜π，排除D；若α＝0，如图，则∠A′DB，∠A′CB都可以大于0，排除A，C.故选B.7.如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．【答案】782020年高考数学（理）总复习：空间中的平行与垂直题型一空间位置关系的判断【题型要点】(1)解决空间线面位置关系的判断问题常有以下方法：①根据空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；②必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．(2)熟练掌握立体几何的三种语言——符号语言、文字语言以及图形语言的相互转换，是解决此类问题的关键．【例1】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()【解析】B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.【答案】 A【例2】．如图，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l, A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l, M，N分别是线段AB，CD 的中点．下列判断正确的是()A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行【解析】由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，则BD⊂β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故应排除答案A，C，D，故选B.【答案】 B题组训练一空间位置关系的判断1．设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α()A．有无数多个B．恰有4个C．只有1个D．不存在【解析】如图，由题知面P AD与面PBC相交，面P AB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.【答案】 A2．已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l其中正确的命题的个数是()A．4B．3C．2D．1【解析】对于①，由线面垂直的定义可知①正确；对于②，若l平行于α内的所有直线，根据平行公理可得：α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；对于④，若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则直线l与m无公共点，∴l与m平行或异面，故④错误；故选C.【答案】 C题型二平行与垂直的证明与体积【题型要点】(1)平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．(2)数学思想①本例在证明线线垂直、线面平行时，采用了转化与化归思想．②利用转化与化归思想还可以解决本专题中的线面其他位置关系．(3)求解多面体的体积问题，如最值问题、高的问题、点面距离的问题，一般利用公式法、等体积法、割补法、函数与方程的思想求解．【例2】如图，四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°.(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；(2)若△P AD 面积为27，求四棱锥P －ABCD 的体积．【解析】 (1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .(2)取AD 的中点M ，连结PM ，CM ，由AB ＝BC ＝12AD 及BC ∥AD ，∠ABC＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD ，因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x .取CD 的中点N ，连结PN ，则PN ⊥CD ，所以PN ＝142x 因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×142x ＝27，解得x ＝2(舍去)，x ＝2，于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝23，所以四棱锥P －ABCD 的体积V ＝13×2(2＋4)2×23＝4 3.题组训练二 平行与垂直的证明与体积如图，平面ABCD ⊥平面ADEF ，四边形ABCD 为菱形，四边形ADEF 为矩形， M ，N 分别是EF ，BC 的中点， AB ＝2AF , ∠CBA ＝60°.①求证： DM ⊥平面MNA ； ②若三棱锥A －DMN 的体积为33，求MN 的长． ①【证明】 连接AC ，在菱形ABCD 中， ∠CBA ＝60°，且AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，又∵N 为BC 的中点， ∴AN ⊥BC ，∵BC ∥AD ，∴AN ⊥AD ，又∵平面ABCD ⊥平面ADEF ，平面ABCD ∩平面ADEF ＝AD ，AN ⊂平面ABCD ，∴AN ⊥平面ADEF ，又DM ⊂面ADEF ，∴DM ⊥AN .∵在矩形ADEF 中， AD ＝2AF ，M 为EF 的中点，∴△AMF 为等腰直角三角形，∴∠AMF ＝45°，同理可证∠DME ＝45°，∴∠DMA ＝90°，∴DM ⊥AM ，又∵AM ∩AN ＝A ，且AM ，AN ⊂平面MNA ，∴DM ⊥平面MNA 。

第1讲 空间线面平行与垂直（1）考点1点线面位置关系的判定例1.(1)（多选）设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，以下命题正确的是（ ） A ．若//,//l m αα，则//l m B ．若//,//l m l α，则//m α C ．若,l m l α⊥⊥，则//m α D ．若,//l l m α⊥，则m α⊥ 【答案】D【解析】对于选项A ，若//,//l m αα，则l 与m 平行、相交或异面，故A 错误； 对于选项B ，若//,//l m l α，则//m α或m α⊆，故B 错误， 对于选项C ，若,l m l α⊥⊥，则//m α或m α⊆，故C 错误， 对于选项D ，若,//l l m α⊥，则m α⊥，故D 正确；故选：D【点睛】本题考查了空间点、线、面位置关系，对这种的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全移植到立体几何中．(2)（多选）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若，E 、F 分别是1AB 、1BC 的中点，则下列结论中成立的是（ ）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45︒ D ．//EF 平面1111D C B A【答案】ABD【解析】连接1A B 、11A C 、1A D ，则E 为1A B 的中点，对于选项A ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，111BB AC ∴⊥，E 、F 分别为1A B 、1BC 的中点，则11//EF A C ，1EF BB ∴⊥，故A 正确；对于选项B ，四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 又111AC BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，11A C ∴⊥平面11BDD B ， 11//EF AC ，EF ∴⊥平面11BDD B ，故B 正确；对于选项C ，易知11AC D 为等边三角形，则1160A C D ∠=，11//EF AC ，则EF 与1C D 所成的角为1160A C D ∠=，故C 错误；对于选项D ，11//EF AC ，EF ⊄平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D CB A ，//EF ∴平面1111DC B A ，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、线面平行以及异面直线所成角的判断． 【跟踪演练】1.(1)已知,αβ是两个平面，,m n 是两条直线．有下列命题：①如果//,m n n α⊂，那么//m α； ②如果//,,.m m n αβαβ⊂⋂=，那么//m n ； ③如果//,m αβα⊂，那么//m β； ④如果,,n m n αβαβ⊥⋂=⊥，那么m β⊥．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】①如果//,m n n α⊂，那么//m α或m α⊂，故①不正确；②如果//,,.m m n αβαβ⊂⋂=，那么//m n ，这就是线面平行推得线线平行的性质定理，故②正确；③如果//,m αβα⊂，那么//m β，这就是利用面面平行推线面平行的性质定理，故③正确； ④缺少m α⊂这个条件，故④不正确. 故答案为：②③(2)已知,m n 是平面α内的两条相交直线，且直线l n ⊥，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当l m ⊥时，因为,m n 是平面α内的两条相交直线，l n ⊥，根据线面垂直的判定定理，可得l α⊥；当l α⊥时，因为m α⊂，所以l m ⊥，综上，“l m ⊥”是“l α⊥”的充要条件.故选：A.考点2 运用相关定理解决平行、垂直的证明问题例2.(1)《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1AA 是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A ．8B ．16C ．24D ．28【答案】C【解析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为135，22.5HAG BAC ∠=∠=，45HAF BAD ∠=∠=，所以AB AF ⊥，AC AG ⊥，AD AH ⊥，因为1AA ⊥平面ABCDEFGH ，且1AA AB A =，则AF ⊥平面11AA B B ，因为AF //11A F //BE //11B E ，所以共有4个阳马；同理，AG ⊥平面11AAC C ，共4个；AH ⊥平面11AAD D ，共4个； AB ⊥平面11AA F F ，共4个；AC ⊥平面11AAG G ，共4个；AD ⊥平面11AA H H ，共4个；故有24个阳马．故选：C ．【点睛】本题考查了空间立体几何线线垂直、线面垂直判定定理，考查了空间想象能力． (2)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．（1）求证：PE BC ⊥；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PCD ． 【答案】证明见解析 【解析】（1）PA PD =，且E 为AD 的中点，PE AD ∴⊥，底面ABCD 为矩形，BC AD ∴∥，PE BC ∴⊥．（2） 底面ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥．又PA PD ⊥，PAB PD 平面⊥∴， ⊂PD 平面PAD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．（3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．，G 分别为PB 和PC 的中点，FG BC ∴∥，且12FG BC =，四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，ED BC ∴∥，12DE BC =，ED FG ∴∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形，EF GD ∴∥，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，EF ∴∥平面PCD ．【点睛】本题考查了空间立体几何线线垂直、线面垂直判定定理，面面垂直判定与性质定理，线面平行的判定定理，考查了空间想象能力． 【跟踪演练】2.(1)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点O 为对角线BD 的中点，点E ，F 分别为棱PC ，PD 的中点．已知PA ⊥AB ，PA ⊥AD.求证：(1) 直线PB ∥平面OEF ；(2) 平面OEF ⊥平面ABCD.【答案】证明见解析【解析】证明：(1) 在△PBD 中，O 为BD 的中点，F 为PD 的中点．所以OF ∥PB ， 因为PB ⊄平面OEF ，OF ⊂平面OEF ，所以直线PB ∥平面OEF(2)解法1 连结AC ，因为底面ABCD 为平行四边形，O 为BD 的中点，所以O 为AC 的中点．在△PAC 中，O 为AC 的中点，E 为PC 的中点，所以OE ∥PA ，因为PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，所以OE ⊥AB ，OE ⊥AD ， 又因为AB ∩AD ＝A ，AB ，AD 在平面ABCD 内，所以OE ⊥平面ABCD. 因为OE ⊂平面OEF ，所以平面OEF ⊥平面ABCD.(2)在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥；（2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 【答案】证明见解析【解析】（1）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，11AB A B ∥． 因为AB ⊄平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，所以AB ∥平面11A B C ．（2）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，四边形11ABB A 为平行四边形，又因为1AA AB =， 所以四边形11ABB A 为菱形，因此11AB A B ⊥．又因为111AB B C ⊥，11BC B C ∥，所以1AB BC ⊥．又因为1A B BC B =，1A B ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A BC ．因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以平面11ABB A ⊥平面1A BC ．考点3 图形翻折问题中所涉及的平行、垂直问题例3.(1)在等腰梯形ABCD 中，//,2,AB CD AB DC E =为AB 的中点，将ADE 与BEC △分别沿ED CE 、向上折起，使A B 、重合于点.P（1）在折后的三棱锥P DCE -中，证明:PE CD ⊥；（2）若60DEC ∠=，且折后的三棱锥P DCE -的表面积是3，求三棱锥P DCE -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）121222.34212D PEF V -=⨯⨯⨯=【解析】（1）折后的三棱锥P 一DCE 如图所示.取线段CD 的中点F ，连接,.PF EF 在PDC △中，,PD PC F =是CD 的中点，所以.PF CD ⊥ 在EDC △中，,ED EC F =是CD 的中点，所以.EF CD ⊥而EF PF F =，所以CD ⊥平面.PEF 而PE ⊂平面PEF ，所以PE CD ⊥.（2）当60DEC ∠=时，三棱锥P DCE -是正四面体，设其棱长为a .由2343a ⨯=解得1a =.则22Δ31312,122224PEF PF EF S ⎛⎫⎛⎫===⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故三棱锥P DCE -的体积为121222.32D PEF V -=⨯⨯⨯= (2)如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .（1）证明：BP ⊥平面DCP .（2）若2BC =，当三棱锥D BPC -的体积最大时，求E 到平面BDP 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形， 平面ABCD平面BPC BC =，所以DC ⊥平面BPC .因为BP ⊂平面BPC ，所以BP DC ⊥.因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥. 又DC PC C ⋂=，所以BP ⊥平面DCP .（2）当点P 位于BC 的中点时，BCP ∆的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大. 因为2BC =，所以1PE =，所以BEP ∆的面积为111122⨯⨯=， 所以三棱锥D BEP -的体积为1112323⨯⨯=. 因为BP ⊥平面DCP ，所以BP DP ⊥，22(22)(2)6DP =-=，BDP ∆的面积为12632=. 设E 到平面BDP 的距离为d ，由11333d =，得33d =，即E到平面BDP的距离为3 3.【点睛】本题考查了折叠问题,①解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口;②把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．【跟踪演练】3.(1)如图（1）所示，平面四边形ABCD由等边ACD△与直角ABC拼接而成，其中AB AC⊥，1tan2CBA∠=，E为线段AD的中点，ACD△的面积为3.现将ACD△沿AC进行翻折，使得平面DAB⊥平面DAC，得到的图形如图（2）所示.（1）求证：AB AD⊥；（2）求点D到平面BCE的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）∵DAC △为等边三角形，且E 为DA 的中点，∴CE DA ⊥. ∵平面DAB ⊥平面DAC ，平面DAB ⋂平面DAC DA =，CE ⊂面DAC ， ∴CE ⊥平面DAB ，∵AB 平面DAB ，∴ABCE .又AB AC ⊥，CEAC C =，AC ，CE ⊂平面DAC .∴AB ⊥平面DAC ，∵AD ⊂平面DAC ，∴AB AD ⊥； （2）∵等边ACD △2AC =2AC =， ∵AB AC ⊥，AB AD ⊥，ACAD A =，∴AB ⊥面ACD .∵AB AC ⊥，2AC =，1tan 2CBA ∠=，∴24AB AC ==. ∵DAC △是边长为2的等边三角形，且E 为DA 的中点， ∴CE DA ⊥，sin 60CE DC =︒= ∴DEC的面积11122DEC S DE CE =⋅=⨯=△. 由（1）知，CE ⊥平面DAB ，∴BE ⊂平面DAB ，∴CE BE ⊥， 由AB AD ⊥知，BE ==∴BEC △的面积为1122ECB S CE BE =⋅==△. 设点D 到平面BCE 的距离为h ， ∵B CDE D BEC V V --=，∴1133CDE ECB S AB S h ⋅=⋅△△，即11433h =，解得17h =，即点D 到平面BCE的距离为17. (2)在矩形ABCD 中，1,2AB BC ==，E 为AD 的中点，如图1，将ABE △沿BE 折起，使得点A 到达点P 的位置（如图2），且平面PBE ⊥平面BCDE（1）证明：PB ⊥平面PEC ；（2）若M 为PB 的中点，N 为PC 的中点，求三棱锥M CDN -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）11111222144432224DB PCD P BCD V V --===⨯⨯⨯⨯⨯=. 【解析】（1）证明：由题意，易得2,2BE CE BC ===，∴222BE CE BC +=即BE CE⊥，又∵平面PBE ⊥平面BCDE ，交线为BE ∴CE ⊥平面PBE ,∴CE PB ⊥ 又∵PB PE ⊥∴PB ⊥平面PEC （2）取BE 中点O ，连接PO ∵PB PE =∴PO BE ⊥，22PO =又∵平面PBE ⊥平面BCDE ，交线为BE ∴PO ⊥平面BCDE ∵M 为PB 的中点，N 为PC 的中点 ∴1111112221244432M CDN M PCD B PCD P BCD V V V V ----====⨯⨯⨯⨯=【仿真练习】一、单项选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知两条不同的直线l m ，和不重合的两个平面,αβ，且l β⊥，有下面四个命题：①若m β⊥，则//l m ；②若//αβ，则l a ⊥；③若αβ⊥，则//l α；④若l m ⊥，则//m β．其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①④【答案】A【解析】因为两条不同的直线l m ，和不重合的两个平面,αβ，且l β⊥，对于①，由,l m ββ⊥⊥，可得//l m ，故①正确；对于②，若,//l βαβ⊥，可得l α⊥，故②正确；对于③，若,l βαβ⊥⊥，则有可能l α⊂，故③错误；对于④，当,l l m β⊥⊥时，则有可能m β⊂，故④错误．综上，真命题的序号是①②．故选：A ．2.已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题不正确的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若,//m n αα⊥，则m n ⊥C ．若//,m αβα⊂，则//m βD ．//,//m n αβ，则m 与α所成的角和n 与β所成的角相等【答案】A【解析】选项A ：若,m n m α⊥⊥，则n ⊂α或//n α，又//n β，并不能得到αβ⊥这一结论，故选项A 错误；选项B ：若,//m n αα⊥，则由线面垂直的性质定理和线面平行的性质定理可得m n ⊥，故选项B 正确；选项C ：若//,m αβα⊂，则有面面平行的性质定理可知//m β，故选项C 正确；选项D ：若//,//m n αβ，则由线面角的定义和等角定理知，m 与α所成的角和n 与β所成的角相等，故选项D 正确.故选:A3.α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，则下列命题中正确的有（ ）个①若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ②若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥③若m α⊥，//m β，则αβ⊥④异面直线m ，n 满足：m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α，则//αβA ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】对于①，由面面平行的判断定理可知缺了,m n 相交的条件，故①错；对于②，由面面垂直的性质可知缺了m 垂直于两个平面的交线的条件，故②错； 对于③，过m 作一个平面γ，使得n γβ=，则//m n ，故n α⊥，而n β⊂，故αβ⊥，故③正确．对于④，过m 作一个平面η，使得l ηβ⋂=，则//m l ，因为直线m ，n 异面，故,l n 必相交，又m α⊂，l α⊄，故//l α，结合//n α可得//αβ，故④正确．故选:C ．4.下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中不成立的选项有（ ）A ．//AE CDB ．//CH BEC ．DG BH ⊥D ．BG DE ⊥【答案】A 【解析】由正方体的平面展开图还原正方体如图，由图形可知，AE CD ⊥，故A 错误；由//,HE H BC E BC =，四边形BCHE 为平行四边形，所以//CH BE ，故B 正确；因为,DG HC DG BC ⊥⊥,HC BC C =,所以DG ⊥平面BHC ,所以DG BH ⊥，故C 正确；因为//BG AH ，而DE AH ⊥,所以BG DE ⊥，故D 正确． 故选:A.5.在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=.以下能使11A C BC ⊥的是（ ）A ．AB AC =B ．1AA AC = C ．1BB AB =D ．1CC BC =【答案】B【解析】因为直三棱柱111ABC A B C -所以1AB A A ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以AB AC ⊥因为1A A AC A ⋂=，,1A A AC ⊂平面11A ACC ， 所以AB ⊥平面11A ACC ，所以1AB A C ⊥， 那么，要证11A C BC ⊥，故只需要证明1AC ⊥平面1ABC ，即证11A C AC ⊥，因为直三棱柱的侧面都是长方形，当增加条件1AA AC =时，则可以得到11AC A C ⊥，因为1AB A C ⊥，1ABAC A =，,1AB AC ⊂平面1ABC ， 所以1AC ⊥平面1ABC ， 所以11A C AC ⊥. 故选:B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．6.已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，那么下列判断正确的是（ ）A ．若a α⊥， a β⊥，则//αβB ．若αβ⊥，a α⊥，//a b ， b β⊄，则//b βC ．若//a b ，b α⊥，则a α⊥D ．若//a α，b α⊂，则//a b【答案】ABC【解析】A ．根据“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”，可知A 正确；B ．记l αβ=，因为αβ⊥且a α⊥，所以//a β且,a l 异面或a β⊂且,a l 相交， 又因为//a b ，且b β⊄，所以//b β，故B 正确；C ．根据“平行直线中若有一条直线垂直于某个平面，则另一条直线也垂直于该平面”，可知C 正确；D ．因为//a α，b α⊂，所以,a b 平行或异面，故D 错误，故选:ABC ．7.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE.若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中正确的是( )A ．|BM|是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A 1CD ．存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE【答案】ABD【解析】取CD 中点N ，连接MN ，BN ，则MN ∥DA 1，BN ∥DE ，所以平面MBN ∥平面A 1DE ，所以MB ∥平面A 1DE ，故D 正确；由∠A 1DE ＝∠MNB ，MN ＝12A 1D ＝定值，NB ＝DE ＝定值，由余弦定理可得MB 2＝MN 2＋NB 2－2MN ·NB ·cos ∠MNB ，所以MB 是定值，故A 正确．因为B 是定点，所以M 是在以B 为圆心，MB 为半径的球上，故B 正确，A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，可得C 不正确．因此，故选：ABD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共15分．8.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M 、N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则平面ADM 与平面11CDD C 的位置关系为_______________,直线BN 与平面ADM 的位置关系为_______【答案】垂直 不平行【解析】由题意AD ⊥平面11CDD C ，AD ⊂平面ADM ，故平面ADM ⊥平面11CDD C ，对//BN 平面11AA D D ，显然BN 与平面ADM 不平行，故答案为：垂直 不平行．9.设α，β是两个不同的平面，l 是直线且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的______.条件(参考选项：充分不必要，必要不充分，充分必要，既不充分也不必要).【答案】充分不必要【解析】面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 因为直线l α⊂且l β⊥所以由判断定理得αβ⊥.所以直线l α⊂，且l βαβ⊥⇒⊥若αβ⊥，直线l α⊂则直线l β⊥，或直线l β∥，或直线l 与平面β相交，或直线l 在平面β内.所以“l β⊥”是“αβ⊥”成立的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.10.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC ．其中正确的是___________【答案】①②③【解析】设等腰直角三角形△ABC 的腰为a ，则斜边2a ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，又平面ABD ⊥平面ACD ，平面ABD ∩平面ACD=AD ，BD ⊥AD ，BD ⊂平面ABD ，∴BD ⊥平面ADC ，又AC ⊂平面ADC ，∴BD ⊥AC ，故①正确；②由A 知，BD ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC ，∴BD ⊥CD ，又22AB AC a BD CD ====，，∴由勾股定理得：222BC a a ==，又AB=AC=a ，∴△ABC 是等边三角形，故②正确；③∵△ABC 是等边三角形，DA=DB=DC ，∴三棱锥D-ABC 是正三棱锥，故③正确．④∵△ADC 为等腰直角三角形，取斜边AC 的中点F ，则DF ⊥AC ，又△ABC 为等边三角形，连接BF ，则BF ⊥AC ，∴∠BFD 为平面ADC 与平面ABC 的二面角的平面角，由BD ⊥平面ADC 可知，∠BDF 为直角，∠BFD 不是直角，故平面ADC 与平面ABC 不垂直，故④错误； 故答案为：①②③．四、解答题：本题共4小题，共40分。