高中数学常用公式大全

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高中数学常用公式

第一部分集合

1.理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值还是因变量的取值还是曲线上的点…

2 .数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决

（3）集合12{,,,}naaa的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；

非空真子集有2n–2个.

4．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分函数与导数

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性；⑤换元法； ⑥利用均值不等式 2222babaab； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、

绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（xa、xsin、xcos等）；⑨平方法；⑩ 导数法

3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数)]([xgfy分解为基本函数：内函数)(xgu与外函数)(ufy

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:

⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．

⑵)(xf是奇函数)()(xfxf；)(xf是偶函数)()(xfxf.

⑶奇函数)(xf在0处有定义，则0)0(f

⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6．函数的单调性:

⑴单调性的定义：

①)(xf在区间M上是增函数,,21Mxx当21xx时有12()()fxfx；

②)(xf在区间M上是减函数,,21Mxx当21xx时有12()()fxfx；

⑵单调性的判定：①定义法：一般要将式子)()(21xfxf化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意x，若有)()(xfTxf （其中T为非零常数），则称函数)(xf为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：①2:sinTxy ；②2:cosTxy ；③Txy:tan；

④||2:)cos(),sin(TxAyxAy ；⑤||:tanTxy

(3)与周期有关的结论：

)()(axfaxf或)0)(()2(axfaxf )(xf的周期为a2

8．基本初等函数的图像与性质：

㈠.⑴指数函数：)1,0(aaayx；⑵对数函数:)1,0(logaaxya；

⑶幂函数：xy （)R ；⑷正弦函数:xysin；⑸余弦函数：xycos ；

（6）正切函数：xytan；⑺一元二次函数：02cbxax（a≠0）；⑻其它常用函数：

① 正比例函数：)0(kkxy；②反比例函数：)0(kxky；③函数)0(axaxy

㈡.⑴分数指数幂：mnmnaa；1mnmnaa（以上0,,amnN，且1n）.

⑵.①bNNaablog； ②NMMNaaalogloglog；

③NMNMaaalogloglog； ④loglogmnaanbbm.

⑶.对数的换底公式:logloglogmamNNa.对数恒等式:logaNaN.

9．二次函数：

⑴解析式：①一般式：cbxaxxf2)(；②顶点式：khxaxf2)()(，),(kh为顶点；

③零点式：))(()(21xxxxaxf （a≠0）.

⑵二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。

二次函数cbxaxy2的图象的对称轴方程是abx2，顶点坐标是abacab4422，。

10．函数图象： ⑴图象作法：①描点法（特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法

⑵图象变换：

① 平移变换：ⅰ))()(axfyxfy，)0(a———左“+”右“－”；

ⅱ))0(,)()(kkxfyxfy ———上“+”下“－”；

② 对称变换：ⅰ))(xfy)0,0()(xfy；ⅱ))(xfy0y)(xfy；

ⅲ) )(xfy0x)(xfy；

ⅳ))(xfyxy()xfy；

③ 翻折变换：

ⅰ)|)(|)(xfyxfy———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（)(xf在y左侧图象去掉）；

ⅱ)|)(|)(xfyxfy———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|)(xf|在x下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明：

(1)证明函数)(xfy图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数)(xfy与)(xgy图象的对称性，即证明)(xfy图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(xgy的图象上，反之亦然。

注*：①曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,

－y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,

x)=0

②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=2ba对称；

特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）y=f(x)图像关于直线x=a对称.

③()yfx的图象关于点(,)ab对称bxafxaf2.

特别地：()yfx的图象关于点(,0)a对称xafxaf.

④函数()yfxa与函数()yfax的图象关于直线xa对称; 函数)(xafy与函数()yfax的图象关于直线0x对称。

12．函数零点的求法：

⑴直接法（求0)(xf的根）；⑵图象法；⑶二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

13．导数：

⑴导数定义：f(x)在点x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000

⑵常见函数的导数公式: ①'C0；②1')(nnnxx；③xxcos)(sin'；④xxsin)(cos'；⑤aaaxxln)('；⑥xxee')(；⑦axxaln1)(log'；⑧xx1)(ln' 。

⑶导数的四则运算法则：;)(;)(;)(2vvuvuvuvuvuuvvuvu

（4）导数的应用：

①利用导数求切线：注意：ⅰ)所给点是切点吗ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线

②利用导数判断函数单调性：i）)(0)(xfxf是增函数；ii）)(0)(xfxf为减函数；iii）)(0)(xfxf为常数；

③利用导数求极值：ⅰ）求导数)(xf；ⅱ）求方程0)(xf的根；ⅲ）列表得极值。

④利用导数求最大值与最小值：ⅰ）求极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ）比较得最值。

第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形

1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180('1857

⑵弧长公式：Rl；扇形面积公式：22121RlRS。

2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P),(yx,设rOP||

则：,cos,sinrxryxytan

3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全s t c”）

4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”

5．⑴)sin(xAy 对称轴：令2xk，得;x 对称中心：))(0,(Zkk；

⑵)cos(xAy 对称轴：令kx，得kx；对称中心：))(0,2(Zkk；

⑶周期公式:①函数sin()yAx及cos()yAx的周期2T

(A、ω、为常数，

且A≠0).②函数xAytan的周期T (A、ω、为常数，且A≠0).

6．同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin;1cossin22

7．三角函数的单调区间及对称性：

⑴sinyx的单调递增区间为2,222kkkZ,单调递减区间为

32,222kkkZ，对称轴为()2xkkZ,对称中心为,0k()kZ.

⑵cosyx的单调递增区间为2,2kkkZ,单调递减区间为2,2kkkZ，

对称轴为()xkkZ,对称中心为,02k()kZ.

⑶tanyx的单调递增区间为,22kkkZ，对称中心为0,2kZk.

8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：

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高中数学常用公式及常用结论

1.包含关系

若集合A包含于集合B，则AB=B；若AB=B，则A为B的子集；若C为A和B的并集，则B包含于C；若A和B的交集为∅，则AB=∅；若AB=R，则A和B互为补集。

2.集合的子集

集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个。

3.充要条件

1）充分条件：若p→q，则p是q的充分条件。

2）必要条件：若q→p，则p是q的必要条件。

3）充要条件：若p→q，且q→p，则p是q的充要条件。

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

4.函数的单调性

1)设x1≠x2，且x1,x2∈[a,b]，则有：

f(x1)−f(x2)>0 ⇔ f(x)在[a,b]上是增函数；

f(x1)−f(x2)<0 ⇔ f(x)在[a,b]上是减函数。

2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f′(x)<0，则f(x)为减函数。

5.函数的性质

如果函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数f(x)+g(x)也是减函数；如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数y=f[g(x)]是增函数。

6.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。

7.函数的对称轴

对于函数y=f(x)(x∈R)，若f(x+a)=f(b−x)恒成立，则函数f(x)的对称轴是函数x=a+b/2；函数y=f(x+a)与y=f(b−x)的图象关于直线x=a+b/2对称。

8.几个函数方程的周期(约定a>0)

1）f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a；

2）f(x+a)=−f(x)，或f(x+a)=f(−x)（f(x)≠0），则f(x)的周期T=2a。

高中数学公式大全及经典例题

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

UxAxCA∈⇔∉

UxCAxA∈⇔∉

2.德摩根公式

.();()

UUUUUUCABCACBCABCACB==∩∪∪∩

3.包含关系

ABAABB=⇔=∩∪

UUABCBCA⇔⊆⇔⊆

UACB⇔=Φ∩

UCABR⇔=∪

4.容斥原理

()()cardABcardAcardBcardAB=+−∪∩

()()cardABCcardAcardBcardCcardAB=++−∪∪∩

.()()()()cardABcardBCcardCAcardABC−−−+∩∩∩∩∩

5．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1

12{,,,}

naaa⋯2n2n2n

个；非空的真子集有–2个.2n

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式;2

()(0)fxaxbxca=++≠

(2)顶点式;2

()()(0)fxaxhka=−+≠

(3)零点式.

12()()()(0)fxaxxxxa=−−≠

7.解连不等式常有以下转化形式()NfxM<<

()NfxM<<⇔[()][()]0fxMfxN−−<⇔|()|

22MNMN

fx+−

−<⇔()

()fxN

Mfx−

−.⇔11

()fxNMN>

−−

8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后0)(=xf),(

21kk0)()(

者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程有且只有一个实根在)0(02

≠=++acbxax

内,等价于,或且,或且),(

21kk0)()(

1=kf

2221

1kk

<−<0)(

2=kf

221

22k

abkk

<−<+

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数在闭区间上的最值只能在处及区)0()(2

≠++=acbxaxxf[]qp,

2−=

间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若，则[]

2∈−=

；{}

minmaxmax()(),()(),()

fxffxfpfq

a=−=，，.[]

2∉−={}

maxmax()(),()fxfpfq={}

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高中数学常用公式及结论

1.包含关系

XXX

2.集合{a1,a2.an}的子集个数共有 $2^n$ 个；真子集有

$2^{n-1}$ 个；非空子集有 $2^{n-1}$ 个；非空的真子集有

$2^{n-2}$ 个。

3.充要条件

1) 充分条件：若 $p\Rightarrow q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

2) 必要条件：若 $q\Rightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的必要条件。

3) 充要条件：若 $p\Rightarrow q$，且 $q\Rightarrow p$，则 $p$ 是 $q$ 的充要条件。

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然。

4.函数的单调性

1) 设 $x_1,x_2\in[a,b]$，且 $x_1\neq x_2$，则 $f(x_1)-f(x_2)>0\Leftrightarrow f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是增函数；$x_1-x_2>0,f(x_1)-f(x_2)<0\Leftrightarrow f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是减函数。

2) 设函数 $y=f(x)$ 在某个区间内可导，如果 $f'(x)>0$，则 $f(x)$ 为增函数；如果 $f'(x)<0$，则 $f(x)$ 为减函数。

5.如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是减函数，则在公共定义域内，和函数 $f(x)+g(x)$ 也是减函数；如果函数 $y=f(u)$ 和

$u=g(x)$ 在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数

$y=f[g(x)]$ 是增函数。

6.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 $y$ 轴对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 $y$ 轴对称，那么这个函数是偶函数。

7.对于函数 $y=f(x)(x\in R),f(x+a)=f(b-x)$ 恒成立，则函数

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1.元素与集合的关系

x A xCuA,xCuA xA.

2.德摩根公式

Cu(AI B) Cu AUCUB;CU(AU B) Cu AI Cu B .

3•集合｛a1,a2,L ,an｝的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个；非空

的真子集有2n - 2个.

4.二次函数的解析式的三种形式

(1) 一般式 f(x) ax bx c(a 0);

⑵ 顶点式 f (x) a(x h)2 k(a 0);

⑶ 零点式 f(x) a(x xj(x x2)(a 0).

6.闭区间上的二次函数的最值

7.真值表

p q 非p p或q p且q 5.方程f (x)

0在(k*)上有且只有一个实根,与f(k」f(k2) 0不等价，前者是后者的一个必

__ 2

要而不是充分条件.特别地，方程ax bx c 0(a 0)有且只有一个实根在(k1, k2)内,等价于

f(kQf(k2) 0,或 f(«) 0 且 k1 b

,或 f (k2) 0 且 b —— k2. 2a

二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间 p,q上的最值只能在x K

—处及区间的两端 2a

点处取得，具体如下：(可画图解决问题)

b x 2a (1) 当a>0时，若 p,q，则 f(x)min max max f(p), f(q)；

2a p,q ,f(X)max max f(p), f (q), f(x) min min f(p), f (q).

当a<0时，若 b x 2a p,q，则 f (x)min min f (p), f (q),若 x p,q ，则

f(x)max max f (p), f (q) ，f(x)min min f(p), f (q). X1 X2 真真假真真

真 :假假真假

假真真真假

假假真假假

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