《菱形的性质与判定》典型例题
例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE AB, AB a,求:
I# E 日
（1） ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积.
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，CE AB于E,CF AD于F.
求证：AE AF.
例3已知：如图，菱形ABCD中，E, F分别是BC, CD上的一点, EAF 60 , BAE 18 ,求CEF 的度数.
例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD DF .
求证：GH垂直平分CF.
如图，0IABCD中，AD 2AB , E、F在直线CD上，且
DE CD
求证: BE AF .
B
H
E D
如图，在RtzXABC中，ACB 90 , E为AB的中点，四边形BCDE 是平行四边形.
求证：AC与DE互相垂直平分
例1分析(1)由E为AB的中点，DE AB,可知DE是AB的垂直平分线，从而AD
DB ,且AD AB ,则ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以
求出.(2)而AC BD,AO OC,利用勾股定理可以求出 AC. (3)由菱形的对
角线互相垂直，可知S -AC BD.
2
解(1)连结BD, :四边形ABCD是菱形，「. AD AB.
E是AB 的中点，且DE AB,「. AD DB.
ABD是等边三角形，DBC也是等边三角形.
・•• ABC 60 2 120 .
(2) :四边形ABCD是菱形，「. AC与BD互相垂直平分，
_ 1 1 1
OB -BD - AB -a.
2 2 2
OA J AB2OB2j'a2 (la)2舟a, .. AC 2AO 73a.
, 2 2
厂
(3)菱形ABCD 的面积 S 1AC BD 1J3a a —a2. 2 2 2
说明：本题中的菱形有一个内角是60。的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.
例2 分析要证明AE AF ,可以先证明BE DF ,而根据菱形的有关性质不难证明BCE DCF ,从而可以证得本题的结论.
证明 :四边形ABCD是菱形，「. BC CD, B D ,且
BEC DFC 90 ,「. BCE DCF ,「. BE DF , AB AD , 「•AB BE AD DF ,
•. AE AF.
例3解答：连结AC.
二.四边形ABCD为菱形，
「• B D 60 , AB BC CD AD .
・•・ ABC与CDA为等边三角形.
• .AB AC, B ACD BAC 60
v EAF 60 ,
「•BAE CAF
「•ABE ACF
・•. AE AF
V EAF 60 , EAF为等边三角形.
「•AEF 60
v AEC B BAE AEF CEF ,
• .60 18 60 CEF
「•CEF 18
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC,证
ABE ACF
例4 分析由已知条件可证明四边形BGDH是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH垂直平分CF .
证明：:四边形ABCD、BEDF都是长方形
DE//BF , AB//CD , DFH BCD 90 , AD BC
•♦・四边形BGDH是平行四边形
v AD DF ,DF BC
在△ DFH和^ BCH中
DFH BCH
DHF BHC DF BC
•.△DFH BCH .. DH BH , HF HC
.•・四边形BGDH是平行四边形
••・四边形BGDH是菱形
•・GH 平分BHD 「.GH 平分FHC v HF HC
「•GH垂直平分FC .
例5 分析要证BE AF ,关键是要证明四边形ABHG是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.
证明二.四边形ABCD是平行四边形
AB//CD , AB CD, AG//BH ,「• 1 E
v CD ED ,「. AB ED
1 E
在z\ABG 和AEDG 中 2 3
AB ED
ABG^A DEG 「AG GD
V AD 2AB AG AB
同理：AB BH 「. AG BH
v AG//BH
••・四边形ABHG是平行四边形
v AB BH 「.四边形ABHG是菱形
AF BE .
例6分析要证明AC与DE互相垂直平分，只要证明四边形ADCE是菱形.所以要连结AD
证明二.在Rt^ABC中，E为AB的中点
「•AE CE BE
.•・四边形BCDE是平行四边形
• .CD〃AB, CD BE
CD//AE ,
•♦・四边形ABCE是平行四边形
v AE EC 「•口ADCE是菱形「•AC与DE互相垂直平分.
北师大版数学九年级上册第一章第一节菱形的性质与判定 课时练习 一、单选题（共15题） 1.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（） A．43B．33C．23D．3 答案：B 解析：解答：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°， ∴AE=AF， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°， ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF，∠AEF=60°，∵AB=4， ∴AE=23 ∴EF=AE=23 过A作AM⊥EF， ∴AM=AE?sin60°=3， ∴△AEF的面积是：1 2 EF?AM= 1 2 ×23×3=33 故选：B． 分析: 首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积 2. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 答案：C 解析：解答: ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD， ∵EG∥AD，FH∥AB， ∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
1.1菱形的性质和判定 【菱形的性质】 1．菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 符号语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形 . 温馨提示： ①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等； ②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形； ③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。 2.菱 形的性质 （1）菱形具有平行四边形的所有性质. （2）菱形的四条边都相等. （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. （4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心. 菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD． 菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB ∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8． 菱形中的全等三角形： 全等的等腰三角形有：， 全等的直角三角形有： 点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想). 温馨提示： ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等； ③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。
1、下列四边形中不一定为菱形的是（） A. 对角线相等的平行四边形 B. 对角线平分一组对角的平行四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2.如图, 3.菱形ABCD A. 28、48 B.20、24 C.28、24 D.20、48 4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( ) A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 第2题第3题第4题第5题 6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF． 7.如图，已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长． 8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F． （1）求证：AE=CF； （2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．
北师大版九年级上册数学菱形的性质与判定练习题（附答案） 一、单选题 1.下列命题中正确的是（） A. 平分弦的直径垂直于弦 B. 与直径垂直的直线是圆的切线 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 联结等腰梯形四边中点的四边形是菱形 2.菱形的周长为，高为，则该菱形两邻角度数比为（） A. 5:1 B. 4:1 C. 3:1 D. 2:1 3.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是边AB上的动点，过点P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，连接CP，CQ，则△CPQ面积的最大值是（） A. B. C. D. 4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，若平移点到点，使以点为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( ) A. 向左平移（）个单位，再向上平移1个单位 B. 向左平移个单位，再向下平移1个单位 C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位 D. 向右平移2个单位，再向上平移1个单位 5.下列说法中，错误的是( ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 二、填空题 6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B，菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上，其对角线BD的长为________.
7.如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，请再添加一个条件：________，使四边形ABCD成为菱形（不再标注其它字母）。 8.菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使得CE=BC，点F在DE上，DF=6，AG平分∠BAF，与线段BC 相交于点G，若CG=2，则线段AB的长度为________． 9.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，BF=6，则四边形ABEF 的面积为________ 。 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为________． 三、解答题 11.求证：顺次连接一个等腰梯形的各边中点，所得到的四边形是菱形． 12.如图（1），在∆ABC中，AB=BC=5，AC=6，∆ABC沿BC方向平移得到△ECD，连接AE、AC和BE相交于点O。 （1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由； （2）如图（2）,P是线段BC上一动点，（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积. 13.如图1，已知，四根长度相等的木棒，，，，首尾相接组成四边形，点是的中点，连接，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，若，求证：四边形是正方形；
1.1 菱形的性质与判定专题训练 一．选择题（共10小题） 1．下面性质中，菱形不一定具备的是 A．四条边都相等B．每一条对角线平分一组对角 C．邻角互补D．对角线相等 2．下列条件中，能判断四边形是菱形的是 A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形 3．在菱形中，，，则此菱形的面积是 A．48B．96C．60D．120 4．已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的周长是 A．13B．52C．120D．240 5．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为 A．B．C．D． 6．四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为
A．B．C．4D．8 7．如图，四边形的两条对角线，交于点，，．添加下列条件，仍不能判定四边形为菱形的是 A．B．C．D． 8．如图，菱形对角线，，则菱形高长为 A．B．C．D． 9．如图，在菱形中，于点，点恰好为的中点，则菱形的较大内角度数为 A．B．C．D． 10．如图，在菱形中，，点、分别为、上的动点，，点从点向点运动的过程中，的长度 A．逐渐增加B．逐渐减小 C．保持不变且与的长度相等D．保持不变且与的长度相等 二．填空题（共8小题） 11．若菱形的周长为20，且较长的对角线的长为8，则较短的对角线的长为
12．如图，已知菱形的边长为2，，则对角线的长为． 13．如图，的对角线、相交于点，则添加一个适当的条件：可使其成为菱形（只填一个即可）． 14．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小为． 15．在菱形中，对角线、交于点，点为中点，过点作于点交于点，连接，若，则． 16．如图，菱形中，点为对角线的三等分点且，连接，，，已知，那么菱形的边长为． 17．如图，菱形的对角线相交于点，过点作交的延长线于点，连接．若菱形的面积等于12，对角线，则的长为．
《菱形的性质与判定》典型例题 例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE AB, AB a,求: I# E 日 （1） ABC的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积. 例2 已知：如图，在菱形ABCD中，CE AB于E,CF AD于F. 求证：AE AF. 例3已知：如图，菱形ABCD中，E, F分别是BC, CD上的一点, EAF 60 , BAE 18 ,求CEF 的度数. 例4 如图，已知四边形ABCD和四边形BEDF都是长方形，且AD DF . 求证：GH垂直平分CF.
如图，0IABCD中，AD 2AB , E、F在直线CD上，且 DE CD 求证: BE AF . B H E D 如图，在RtzXABC中，ACB 90 , E为AB的中点，四边形BCDE 是平行四边形. 求证：AC与DE互相垂直平分
例1分析(1)由E为AB的中点，DE AB,可知DE是AB的垂直平分线，从而AD DB ,且AD AB ,则ABD是等边三角形，从而菱形中各角都可以 求出.(2)而AC BD,AO OC,利用勾股定理可以求出 AC. (3)由菱形的对 角线互相垂直，可知S -AC BD. 2 解(1)连结BD, :四边形ABCD是菱形，「. AD AB. E是AB 的中点，且DE AB,「. AD DB. ABD是等边三角形，DBC也是等边三角形. ・•• ABC 60 2 120 . (2) :四边形ABCD是菱形，「. AC与BD互相垂直平分， _ 1 1 1 OB -BD - AB -a. 2 2 2 OA J AB2OB2j'a2 (la)2舟a, .. AC 2AO 73a. , 2 2 厂 (3)菱形ABCD 的面积 S 1AC BD 1J3a a —a2. 2 2 2 说明：本题中的菱形有一个内角是60。的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点. 例2 分析要证明AE AF ,可以先证明BE DF ,而根据菱形的有关性质不难证明BCE DCF ,从而可以证得本题的结论. 证明 :四边形ABCD是菱形，「. BC CD, B D ,且 BEC DFC 90 ,「. BCE DCF ,「. BE DF , AB AD , 「•AB BE AD DF , •. AE AF. 例3解答：连结AC. 二.四边形ABCD为菱形， 「• B D 60 , AB BC CD AD . ・•・ ABC与CDA为等边三角形.
《1.1 菱形的性质与判定》练习题 一．选择题 1．菱形具有而一般平行四边形所没有的性质是（） A．两组对边分别相等B．两条对角线相等 C．四个内角都是直角D．对角线平分对角 2．已知菱形的边长与一条对角线的长相等，则菱形的最大的内角是（）A．90°B．120°C．135°D．150° 3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD 上一动点，则EP+FP的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABD＝30°，则菱形ABCD的面积是（） A．18 B．18C．36 D．36 5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点
H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（） A．4 B．8 C．D．6 6．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，O是对角线BD的中点，过点O作OE⊥CD于点E，连结OA．则四边形AOED的周长为（） A．9+2B．9+C．7+2D．8 7. 如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长是( ) A．24 B．16 C．413 D．2 3 8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(1，1)．若平移点A 到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是( )
A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位 B．向左平移(22－1)个单位，再向上平移1个单位 C．向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移1个单位 9. 如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，且AE＝AB，则∠C的度数为( ) A．100°B．105°C．110°D．120° 10．如图6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角(∠O)为60°，边长为1，A，B都在格点上，则AB的长为( ) A． 5 B．3 2C．7 D． 5 2
菱形的性质与判定 一．填空题（共10小题） 1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于． 2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=． 3．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF、DE交于点G，BF、CE交于点H．当▱ABCD满足，四边形EHFG是菱形． 4．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件：，使得四边形BCDE成为菱形． 5．如图，A、B两点的坐标分别为（5，0）、（1，3），点C是平面直角坐标系内一点．若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为． 6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）． 7．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）8．已知四边形ABCD中，对角线相互平分，再加一个条件使这个四边形为菱形，那么这个条件是． 9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使四边形ABCD为菱形，还应添加条件． 10．平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，添加一个条件，使ABCD为菱形，你添加的条件可以是．二．选择题（共10小题） 11．如图所示，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（） A．1 B．C．D． 12．如图，四边形ABCD是菱形，A（2，0），B（0，2），则点C的坐标为（） A．（﹣4，2）B．（﹣2，2）C．（4，2）D．（﹣2，4） 13．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、BC边的中点，EP⊥CD于点P，∠BAD=110°，则∠FPC的度数是（） A．35°B．45°C．50°D．55° 14．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB=2，
北师大九年级上《1.1菱形的性质和判定》课时练习含答案解 析 北师大版数学九年级上册第一章第一节菱形的性质与判定课时练习 一、单选题（共15题） 1.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则的△AEF的面积是（） A．43B．33C．23D．3 答案：B 解析：解答：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60°， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°， ∴AE=AF， ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120°， ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4， ∴AE=23 ∴EF=AE=23 过A作AM⊥EF， ∴AM=AE?sin60°=3， ∴△AEF的面积是：1 2 EF?AM= 1 2 ×23×3=33 故选：B． 分析: 首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF 是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积 2. 如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG ∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC 于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF 与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（） A．6.5 B．6 C．5.5 D．5 答案：C 解析：解答: ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=BC=AB=CD，AD∥BC，AB∥CD， ∵EG∥AD，FH∥AB，
1.1菱形的性质与判定练习 一、选择题 1、如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，添加下列一个条件，能使平行四边形ABCD 成为菱形的是（ ） A ．AO ＝BO B ．A C ＝A D C ．AB ＝BC D ．OD ＝AC 题1图 题2图 题6图 2、如图，要想证明平行四边形ABCD 是菱形，下列条件中不能添加的是（ ） A ．∠ABD ＝∠AD B B ．A C ⊥B D C ．AB ＝BC D ．AC ＝BD 3、平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A （﹣3，0），B （0，2），C （3，0），D （0，﹣2），则四边形ABCD 是（ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形 4、下列不能判定一个四边形是菱形的是（ ） A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C.四条边都相等的四边形是菱形 D.对角线相等的平行四边形是菱形 5、下列条件：①四边相等的四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形； ③一组邻边相等的四边形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形。其中能判断四边形是菱形的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为E ，若∠ADC=130°，则∠AOE 的大小为（ ） A.75° B.65° C.55° D.50° 7、若菱形ABCD 的周长为16，∠A:∠B=1:2，则菱形的面积为（ ） A.32 B.33 C.34 D.38 题7图 题8图 题9图 8、如图，已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ） A.△ABD 与△ABC 的周长相等 B.△ABD 与△ABC 的面积相等 C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 9、如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC=120°，则AC 的长为（ ） A.34 B.4 C.32 D.2 二、填空题 1、一个菱形的边长为5，一条对角线长为6，则这个菱形另一条对角线长为________。 2、菱形的两条对角线长分别为4cm 和6cm ，它的面积是________cm 2。 3、如右图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OA=OC,OB=OD ，添加一个条件使四边形ABCD 是菱形，那么所添加的条件可以是________（写出一个即可）。 4、如图，已知菱形ABCD 的一个内角∠BAD=80°，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在CD 上，且DE=DO ，
菱形的性质和判定的应用 一．填空题（共8小题，3*8=24） 1. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于____. 2. 如图所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝DE，则∠EBF等于____. 3．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是km. 4. 在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰△BDE，则∠EBC的度数为_______________． 5．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴的正半轴上，∠AOC ＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为______________________ 6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为. 7. 如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为 .
8. 菱形ABCD 中，∠A ＝60°，其周长为24 cm ，则菱形的面积为________ cm 2. 二、选择题（共10小题，3*10=30） 9．如图，菱形ABCD 的周长是20，对角线AC ，BD 相交于点O ，若BD ＝6，则菱形ABCD 的面积是( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 10．如图，已知某广场菱形花坛的边长是6 m ，∠BAD ＝60°，则花坛的面积为( ) A ．18 m 2 B.18 3 m 2 C ．36 m 2 D ．36 3 m 2 11．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC ∶BD ＝3∶4，AE ⊥CD 于点E ，则AE 的长是( ) A ．4 B.245 C ．5 D.125 12．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD 成为菱形的是( ) A ．A B ＝B C B ．AC ⊥BD C ．∠ABC ＝90° D ．∠1＝∠2 13. 剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是( ) A ．∠ABC ＝∠ADC ，∠BAD ＝∠BCD
菱形 【学习目标】 1. 理解菱形的概念. 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称 中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）. 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘 积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题. 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边相等的四边形是菱形. 要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等. 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数． 【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AE F为等边三角形，从而∠AEF ＝60°．
北师版九年级上册第一章1.1菱形的性质与判定（有答案） 一．选择题（共8小题） 1．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 2．如图，菱形ABCD 的一边中点M 到对角线交点O 的距离为5cm ，则菱形ABCD 的周长为（ ） A ．40cm B ．30cm C ．20cm D ．10cm 2题图 5题图 6题图 3．菱形的两条对角线长分别为6，8，则它的周长是（ ） A ．5 B ．10 C ．20 D ．24 4．已知在四边形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，AO CO =，如果添加下列一个条件后，就能判定这个四边形是菱形的是（ ） A ．BO DO = B ．AB B C = C ．AB C D = D ．//AB CD 5．如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点，下列条件中，不能判断四边形BEDF 是菱形的是（ ） A ．AC BD ⊥ B ．2A C B D = C ．AC 平分BAD ∠ D ．AB BC = 6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，3AO =，60ABC ∠=︒，则菱形ABCD 的面积是（ ）
A ．18 B ．183 C ．36 D ．363 7．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，若50FPC ∠=︒，则(A ∠= A ） A ．100︒ B ．105︒ C ．110︒ D ．120︒ 7题图 8题图 9题图 8．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，5AD =，DH AB ⊥于点H ，则DH 的长为（ C ） A ．24 B ．10 C ．4.8 D ．6 二．填空题（共5小题） 9．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是(0,0)，(2,0)，60α∠=︒，则顶点C 的坐标是 (3,3) ． 10．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，若1AF =，则菱形ABCD 的面积等于 332 ．
菱形的性质与判定 知识点1 菱形的定义和性质 定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形． 性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角． 例1.如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（） A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 例2.如图，已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、D 重合）分别向直线AB、AD作垂线，垂足分别为E、F． （1）BD的长是______ （选做）（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是______． （答案图）
例3.在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，对角线AC=6，则菱形的周长是（） A．43 B ．24 C．83 D．243 例4.如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E,F分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最小值为___________. （答案图） 知识点2 菱形的判定 菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形. 菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 例1.如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD，若从三个条件： ①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱 形的是_________（填序号）． A E D B C 例2.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是（） A、AB=BC B、AC=BC C、∠B=60° D、∠ACB=60° ．
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.1菱形的性质与判定》同步练习题（附答案）一．选择题 1．已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比是3：4，那么两对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B．3cm，4cm C．12cm，16cm D．24cm，32cm 2．如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝65°，则∠DAC为（） A．65°B．30°C．25°D．20° 3．如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC的边OB在x轴上，顶点A的坐标是，则顶点C的坐标是（） A．B．C．D．（6，4） 4．如图，菱形ABCD的边长是5，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成六部分，若菱形其中一条对角线的长为4，则阴影部分的面积为（） A．2B．4C．12D．24 二．填空题（共14小题） 5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝8，OH＝6，则菱形ABCD的面积为．
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，AO＝3，原点O是AD的中点，则点C的坐标是． 8．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P 不与写B、C重合．过P作PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，连接EF，则EF的最小值等于． 9．如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝． 10．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F．则OE+OF＝． 11．如图，在菱形ABCD中，AC＝6，AB＝5，点E是直线AB、CD之间任意一点，连接
1.1菱形的性质与判定 分层训练提分要义 【基础题】 1．下列说法中，错误的是（） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形 2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 3.下列命题中，正确的是( ) A.两邻边相等的四边形是菱形 B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形 D.对角线垂直的四边形是菱形 4. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（） A.30°和150° B.45°和135° C.60°和120° D.80°和100° 5．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B. 3cm，4cm C. 12cm，16cm D. 24cm，32cm 6. 如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（） A.108° B.72° C.90° D.100° 7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD中点，连接OE，则下列结论中不一定正确的是（）
A．AB＝AD B．OE 1 2 AB C．∠DOE＝∠DEO D．∠EOD＝∠EDO 8．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 8．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm．9.已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（） A．2B．2C．4D．2 10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝． 【中档题】 11.如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则S四边形EHFG÷S菱形ABCD的值为（）
九年级上册（北师大版）数学课时练习：菱形的性质与判定（有答案）
菱形的性质与判定 一．填空题（共10小题） 1．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA=6，PB=8，PC=10，则菱形ABCD的面积等于． 2．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则= ． 3．如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF、DE 交于点G，BF、CE交于点H．当▱ABCD满足，四边形EHFG是菱形． 4．已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC∥AB，且DC=AB，请对△ABC添加一个条件：，使得四边形BCDE成为菱形． 5．如图，A、B两点的坐标分别为（5，0）、（1，3），点C 是平面直角坐标系内一点．若以O、A、B、C四点为顶点的四边形是菱形，则点C的坐标为． 6．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC； ②AB=AC；③BF∥EC；从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）． 7．如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形
OE的长为（） A．6 B．5 C．2 D．4 15．如图，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F分别是边AB 和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（） A．35° B．45° C．50°D．55° 16．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，NM=AN，ME⊥AD，NF⊥AB；若NF=2，则ME=（） A．2 B．3 C．4 D．5 17．如图，在菱形ABCD中，点E，点F为对角线BD的三等分点，过点E，点F与BD垂直的直线分别交AB，BC，AD，DC 于点M，N，P，Q，MF与PE交于点R，NF与EQ交于点S，已知四边形RESF的面积为5cm2，则菱形ABCD的面积是（）A．35cm2 B．40cm2 C．45cm2 D．50cm2 18．如图，已知E是菱形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80°，那么∠CDE的度数为（） A．20° B．25° C．30° D．35° 19．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA=，则下列结论中正确的个数为（）
2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章菱形的性质与判定》同步练习题附含答案 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 一、单选题 1．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是（） A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形 2．如图，菱形ABCD的周长为8，∠ABC=120°，则AC的长为（） A．2 √3B．2 C．√3D．1 3．如图，在菱形ABOC中，对角线OA在y轴的正半轴上，且OA=4，直线y=2 3x+4 3 过点C，则菱形ABOC 的面积是 ( ） A．4 B．32 3C．8 D．16 3 4．如图，两条宽度都为3cm的纸条，交叉重叠放在一起，它们的交角α为60°，则它们重叠部分（阴影部分）的面积为（） A．2√3cm2 B．3√3cm2 C．4√3cm2 D．6√3cm2 5．如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为√3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）
A．1：2 B．1：3 C．1：√2D．1：√3 6．如图有一张长为12，宽为8的长方形（矩形）纸片，先将其上下对折，再左右对折，最后沿着虚线剪下一个直角三角形①，若该直角三角形①的直角边长为整数，将①展开可得一个四边形，则下列哪个选项不能作为该四边形的面积（） A．18 B．24 C．28 D．30 7．如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A．78°B．75°C．60°D．45° 8．如图，在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC的长是.
1.1菱形的性质与判定-重难点题型 【题型1 菱形的性质（求角度）】 【例1】如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（） A．20°B．25°C．30°D．35° 【变式1-1】如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD 沿DE折叠，点C落在AB边的垂直平分线上的点C′处，则∠DEC的大小为（） A．30°B．45°C．60°D．75° 【变式1-2】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BO．若∠OBC＝62°，则∠DAC为°． 【变式1-3】如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝110°，AB的垂直平分线交AC于点N，点
M 为垂足，连接DN ，则∠CDN 的大小是 ． 【题型2 菱形的性质（求长度）】 【例2】如图，在菱形ABCD 中，BC ＝10，点E 在BD 上，F 为AD 的中点，FE ⊥BD ，垂足为E ，EF ＝4，则BD 长为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 【变式2-1】如图四边形ABCD 为菱形，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若∠DAB ＝60°，∠DF A ＝2∠EAB ，AD ＝4，则CF 的长为（ ） A ．45 B ．45√3 C ．65 D ．85 【变式2-2】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13cm ，AC ＝24cm ， E ， F 分别是CD 和BC 的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点 G ，则EG 的长度为 cm ． 【变式2-3】如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且CE ＝DF ，BF 与DE 交于点G ，若BG ＝3，DG ＝5，则CD ＝ ．
九年级数学上册第一章特殊的平行四边形 1.1 菱形的性质与判定同步练习题 一、选择题 1．下列条件中，能判断四边形是菱形的是(D) A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相垂直且平分的四边形 2．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3，4)，点B的坐标是(3，－4)，要使四边形AOBC是菱形，则满足条件的点C的坐标是(C) A．(－3，0) B．(3，0) C．(6，0) D．(5，0) 3．如图，在菱形ABCD中，∠A＝130°，连接BD，则∠DBC＝(A) A．25°B．35°C．50°D．65° 4．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且AE＝CF，连接EF交BD于点O，连接AO.若∠DBC＝25°，则∠OAD的度数为(C) A．50°B．55°C．65°D．75° 5.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为8和6，则这个菱形的周长是(A) A．20 B．24 C．40 D．48 6．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD，BD，则下列结论：①AD ＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形；④∠ACD＝∠DCE，其中正确的个数是(D)
A．1 B．2 C．3 D．4 7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C 的方向平移，得到△A′B′O′.当点A′与点C重合时，点A与点B′之间的距离为(C) A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 8.如图，菱形ABCD的周长是12，∠ABC＝120°，那么这个菱形的对角线BD的长是3． 9.如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8.P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为4． 10.如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的坐标为(3，5)，则点C的坐标为(3，－5)． 11．如图，菱形ABCD的周长为16，∠C＝120°，E，F分别为AB，AD的中点，则EF的长为23．