专题定积分与微积分基本定理知识点

考点13定积分与微积分基本定理

一、定积分 1．曲边梯形的面积

（1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形

称为曲边梯形(如图①)．

（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：

①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；

②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念

（1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

1

1

()()n

n

i i i i b a

f x f n

ξξ==-∆=∑

∑

；当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ,b ]上的定积分，记作

()d b

a

f x x ⎰

，即

()d b

a

f x x ⎰

=1

lim ()n

i n i b a

f n

ξ→∞

=-∑

. （2）在()d b

a

f x x ⎰中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ,b ]叫做

积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． 4．定积分的性质

（1）()()d d b

b

a a kf x x k f x x =⎰⎰(k 为常数)； （2）[()()]d ()d ()d b

b

b

a a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰； （3）()d =()d +()d b

c

b

a a c f x x f x x f x x ⎰⎰⎰(其中a

b )．

【注】定积分的性质（3）称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD 的面积等于曲边梯形AEFD 与曲边梯形EBCF 的面积的和．

5．定积分的几何意义

（1）当函数f (x )在区间[a ,b ]上恒为正时，定积分b

a ⎰f (x )d x 的几何意义是由

直线x =a ，x =b (a ≠b )，y =0和曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．

（2）一般情况下，定积分b

a ⎰f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线f (x )以及

直线x =a ，x =b 之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)

定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定： 设阴影部分面积为S ,则

（1）()d b

a S f x x =⎰；（2）()d b

a S f x x =-⎰；

（3）()()d d c b a c S f x x f x x =-⎰⎰；（4）()()()()d d []d b b b

a a a S f x x g x x f x g x x =-=-⎰⎰⎰. 二、微积分基本定理

一般地，如果f (x )是区间[a ,b ]上的连续函数，且F ′(x )=f (x )，那么

()d b

a

f x x ⎰

=F (b )?F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布

尼茨公式，其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，我们常把F (b )?F (a )

记作()|b a F x ，即()d b

a

f x x ⎰=()|b a F x =F (b )?F (a )．学.科*网 【注】常见的原函数与被积函数的关系

（1）d |(b

b a a C x Cx C =⎰

为常数)；

（2）11d |(1)1

b

n n b

a a

x x x n n +=

≠-+⎰

； （3）sin d cos |b

b a a x x x =-⎰

； （4）cos d sin |b

b a a x x x =⎰；

（5）1

d ln |(0)b

b a a

x x b a x

=>>⎰

； （6）

e d e |b

x x b a a x =⎰

；

（7）d |(0,1)ln x b

x

b

a a a a x a a a

=

>≠⎰；

（8）

3

22|(0)3

b a a

x x b a =>≥⎰

.

1．

π

cos d x x =⎰

A ．1

B ．2-

C ．0

D ．π

2．若

()π40

sin cos d 2

x a x x -=-

⎰，则实数a 等于

A ．1 B

C ．1-

D ．