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中考考试二次函数专题复习

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标准实用 文案大全 中考二次函数专题复习 知识点归纳： 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，

叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2yaxbxc的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2yax的性质：

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2yaxc的性质：

上加下减。

3. 2yaxh的性质：

左加右减。

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值

0．

0a 向下 00， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值

0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c， y轴 0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值

c．

0a 向下 0c， y轴 0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值

c．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上

0h，

X=h

xh时，y随x的增大而增大；xh时，

y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0． 标准实用 文案大全 4. 2yaxhk的性质：

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；

⑵ 保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：

向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】

平移|k|个单位

向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位

向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位

y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2

2. 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成 mcbxaxy2（或mcbxaxy2）

⑵cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）

四、二次函数2yaxhk与2yaxbxc的比较

从解析式上看，2yaxhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配

方可以得到前者，即22424bacbyaxaa，其中2424bacbhkaa

，．

五、二次函数2yaxbxc图象的画法

五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取

0a 向下

0h，

X=h

xh时，y随x的增大而减小；xh时，

y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．

a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk， X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值

k．

0a 向下 hk， X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值

k． 标准实用

文案大全 的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数2yaxbxc的性质

1. 当0a时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．

当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa

时，y有最小值244acba． 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，．当

2bxa时，y随x的增大而增大；当2bxa时，y随x的增大而减小；当2bxa时，y

有最大值244acba． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；

2. 顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；

3. 两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点

式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．

⑴ 当0a时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当0a时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a的前提下，

当0b时，0

2ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

当0b时，0

2ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

当0b时，0

2ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 标准实用 文案大全 ⑵ 在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b时，0

2ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

当0b时，0

2ba，即抛物线的对称轴就是y轴；

当0b时，0

2ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． ab的符号的判定：对称轴abx2在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，

概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c ⑴ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置． 总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

2. 关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；

3. 关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；

2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；

4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；

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中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元？⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得：x=40,60 - 40 = 20 元,答：这一星期中每件童装降价20元：〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,备用图问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上？【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n；〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ；〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n；〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3；・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标；〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞？【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：x (1, 1)、(-1、-1)：②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1)；k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1｛- 或｛-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当｛X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解；练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点：反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式：〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5：〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解；〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得：.=2故抛物线的表达式为：y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为：y = /oc-5,将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,故直线A8的表达式为：y = 2x-5：( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；"?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得：m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得：〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1)；故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高？最大高度是多少？⑵假设足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m： (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标：假设不存在,请说明理由.试题分析：(1)由题意得：函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5；1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得：_ 251612・•・抛物线的解析式为：y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC 的解析式为丫=3x+3； (2)点M 的 坐标为(0, 3)：7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式：再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式：〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标：〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解：〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3： 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3；〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕；〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- ：x- 1点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题：会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕：2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C ：),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式；⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标： ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标：假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 ：〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论％取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标：17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为：y=*2+2x+3：〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式：〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕：〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证：四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析：〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析：⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5：〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,％2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点：二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证："恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人；〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？假设存在,求出抛物线解析式：假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析：〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析：〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ：存在两种情况：①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可：②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合：证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析：〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得：b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔；必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕：〔2〕存在：理由如下：：“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得：x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况：①如图1所示：作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得：aS% .•.抛物线的解析式为：丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示：顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得：a=-W, .•.抛物线的解析式为：?=一臼2 + 口；综上所述：存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为：«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点：1.二次函数综合题：2.压轴题：3.新定义：4.存在型：5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标：假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ；[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为：y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为：x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。

中考数学专题复习二次函数综合(三)

中考数学专题复习二次函数综合(三)

中考数学专题复习二次函数综合（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A(﹣1，0)．（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）（2）已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．2．已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1，0)，点B(x2，0)，(点A在点B 的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．(1)若点A的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y ＝ax 与抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W ．（1）求抛物线顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当a ＝12时，写出区域W 内的所有整点坐标；（3）若区域W 内有3个整点，求a 的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数3y ax =-+的图象与y 轴交于点A ，与抛物线()2230y ax ax a a =--≠的对称轴交于点B ，将点A 向右平移5个单位得到点C ，连接AB ，AC 得到的折线段记为图形G ．（1）求出抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）∠当1a =-时，直接写出抛物线223y ax ax a =--与图形G 的公共点个数．∠如果抛物线223y ax ax a =--与图形G 有且只有一个公共点，求出a 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线241(0)y ax ax a =-+>．（1）抛物线的对称轴为_______；（2）若当15x ≤≤时，y 的最小值是1-，求当15x ≤≤时，y 的最大值；（3）已知直线3y x =-+与抛物线241(0)y ax ax a =-+>存在两个交点，设左侧的交点为点()11,P x y ，当121x -≤<-时，求a 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线2y x 2x m 1=+++以及两点()()A m m 1B m m 3++，和，．(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m 的代数式表示)(2)若该抛物线经过点()A m m 1+，，求此抛物线的表达式；(3)若该抛物线与线段AB 有公共点，结合图象，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y 轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．单位，当平移后的直线与图象9．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （0，﹣4）和B （﹣2，2）．（1）求c 的值，并用含a 的式子表示b ；（2）当﹣2＜x ＜0时，若二次函数满足y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围； （3）直线AB 上有一点C （m ，5），将点C 向右平移4个单位长度，得到点D ，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，求a 的取值范围． 10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-+-+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且2OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m --，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围11．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2﹣2mx +1图象与y 轴的交点为A ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ．（1）直接写出点A 与点B 的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）若函数y ＝x 2﹣2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交y 轴于点P ．（1）过点P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点Q ，PQ ＝4，求b a的值； （2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x 轴所围成的封闭区域（不含边界）为W ．若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．13．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点(2,2),(0,)M a N a ---．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．参考答案：1．（1）(1,4)a -；（2）43a <-或1a =-． 【解析】【分析】（1）根据抛物线23(0)y ax bx a a =+-≠经过点(1,0)A -可得a 和b 的关系，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；（2）先根据点坐标平移的变化规律可得点C 的坐标，画出当0a >和0a <时抛物线的图象，然后结合图象即可得到a 的取值范围．【详解】（1）∠点(1,0)A -在抛物线23(0)y ax bx a a =+-≠上∠30a b a --=，解得2b a =-∠2223(1)4y ax ax a a x a =--=--∠抛物线的顶点坐标为(1,4)a -；（2）∠223(3)(1)(32)2y ax x a a x x x a a x --=-=-=+-∠抛物线与x 轴的另一个交点坐标为点(3,0)，与y 轴交于点(0,3)a -∠将点(3,4)B 向左平移3个单位长度∴点C 的坐标为(33,4)C -，即(0,4)C由题意，分以下两种情况：∠如图，当0a >时由抛物线与x 、y 轴的交点可知，抛物线与线段BC 无公共点∠当0a <时若抛物线的顶点在线段BC 上，则顶点坐标为(1,4)∠44a -=解得1a =-若抛物线的顶点不在线段BC 上，要使抛物线与线段BC 恰有一个公共点，则抛物线与y 轴的交点位于点C 的上方即34a ->解得43a <-综上，a的取值范围是4 3a<-或1a=-．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况，并学会利用函数图象是解题关键．2．（1）21322y x x=--+，（1，0）；（2）-1＜x2＜0；（3）a＜-2．【解析】【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为12bxa=-=-，求出b=2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）根据题意可得点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2＜x1＜-1，继而进行分析即可求解；（3）根据题意可得满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为12bxa=-=-，解得：b=2a，故y=ax2+bx+a+2=a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：12a=-，故抛物线的表达式为：2221)2113(22y x x x=-++=--+；令y=0，即21322x x--+=，解得：x=-3或1，故点B的坐标为：（1，0）.（2）由（1）知：2(1)2y a x=++，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2＜x1＜-1，而121(1)2x x+=-，即x2=-2-x1，故-1＜x2＜0.（3）∠抛物线的顶点为（-1，2），∠点D（-1，0），∠∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∠抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∠满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x=0时，2220y ax bx a a=+++=+＜，解得：a＜-2，故a的取值范围为：a＜-2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而分析求解即可．3．（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝13或﹣32≤a＜﹣1【解析】【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线y＝12x和抛物线y＝12x2﹣x﹣1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a＞0、a＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；（2）a＝12时，概略画出直线y＝12x和抛物线y＝12x2﹣x﹣1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）∠当a＞0时，由（2）知，当a＝12时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a＞12时，区域W内的所有整点数多于3个；当13<a12<时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a＝13时，区域W内的所有整点数有3个；当0＜a＜13时，区域W内的所有整点数多于3个；∠当a＜0时，当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；当a＜﹣32时，区域W内的所有整点数多于3个；∠区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣32≤a＜﹣1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝13或﹣32≤a＜﹣1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．4．（1）对称轴1x =，C （5，3）；（2）∠3个；∠1a <-或14a ≥或34a =- 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝2b a-求解即可解决问题，再利用平移的性质求出点C 的坐标即可．（2）∠画出图形即可解决问题．∠分两种情形：a ＜0或a ＞0分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∠抛物线()2230y ax ax a a =--≠， ∠对称轴212a x a-=-=． ∠直线3y ax =-+与y 轴交于点A ， ∠ A （0，3）．∠将点A 向右平移5个单位得到点C ，∠ C （5，3）．（2）∠如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G 的交点有3个．∠由（1）得，抛物线的顶点为()14a -，． 当0a <时，由∠得，1a =-时，抛物线过点A ，B ，∠ 当1a <-时，抛物线与图形G 有且只有一个公共点．当抛物线顶点在AC 上时， 如图，也满足条件，∠43a -=，34a =-． 当0a >时，如图，抛物线经过点C 时，满足条件，∠251033a a a --=，14a =． 综上所述，当13144a a a <-=-或≥或时，抛物线与图形G 有且只有一个公共点． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（1）2x =；（2）当5x =时，72y =，即y 的最大值是72；（3）1335a ≤< 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；（2）根据抛物线的对称轴为x=2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y 的最小值是-1，得顶点坐标为（2，-1），把顶点（2，-1）代入y=ax 2-4ax+1，可得a 的值，进而可得y 的最大值； （3）当x=-2时，P （-2，5），把P （-2，5）代入y=ax 2-4ax+1，当x 1=-1时，P （-1，4），把P （-1，4）代入y=ax 2-4ax+1，分别求出a 的值，再根据函数的性质即可得a 的取值范围．【详解】（1）抛物线的对称轴为：4222b a x a a-=-=-=， 故答案为：x=2； （2）解：∠抛物线的对称轴为x=2，∠顶点在1≤x≤5范围内，∠y 的最小值是-1，∠顶点坐标为（2，-1）．∠a ＞0，开口向上，∠当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，即x=5时，y 有最大值，∠把顶点（2，-1）代入y=ax 2-4ax+1，∠4a-8a+1=-1，解得12a =∠21212y x x =-+ ∠当x=5时，72y = 即y 的最大值是72； （3）当x=-2时，P （-2，5），把P （-2，5）代入y=ax 2-4ax+1，∠4a+8a+1=5，解得a=13， 当x 1=-1时，P （-1，4），把P （-1，4）代入y=ax 2-4ax+1，∠a+4a+1=4，解得a=35， ∠13≤a ＜35． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．6．（1）(1,)m -；（2）：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-；（3）013m ≤≤-+或132m --≤≤-.【解析】【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据题意将()A m m 1+，代入求出m 的值即可求得该抛物线的表达式；（3）根据题意分m≥0，m ＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【详解】解：（1）∠抛物线解析式为：22y x 2x m 1(1)x m =+++=++，∠顶点坐标为：(1,)m -.（2）∠抛物线经过点()A m m 1+，，∠21(1)m m m +=++，解得0,2m =-，所以该抛物线的表达式为：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-.（3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∠220m m +≥且2220m m +-≤，解得013m ≤≤-+．当m ＜0时，如图2中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∠m 2+2m≥0且m 2+2m-2≤0，解得132m --≤≤-，综上所述，满足条件的m 的值为：013m ≤≤-+或132m --≤≤-．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答．7．（1）b ＝4a ；（2）12a =；（3）102a <或a ＝1． 【解析】【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线y ＝ax 2+4ax +b （a ＞0）的顶点A 在x 轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a 和b 的关系；（2）根据抛物线解析式，可以得到点B 的坐标为（0，4a ），然后∠BAO ＝45°，可知4a ＝2，从而可以求得a 的值；（3）根据函数图象，可以写出a 的取值范围．【详解】解：（1）∠y ＝ax 2+4ax +b ＝a （x +2）2+（b ﹣4a ），∠该抛物线顶点A 的坐标为（﹣2，b ﹣4a ），∠顶点A 在x 轴上，∠b ﹣4a ＝0，即b ＝4a ；（2）∠b ＝4a ，∠抛物线为y ＝ax 2+4ax +4a （a ＞0），∠抛物线顶点为A （﹣2，0），与y 轴的交点B （0，4a ）在y 轴的正半轴，∠BAO ＝45°， ∠OB ＝OA ＝2，∠4a ＝2，∠12a =； （3）102a <或a ＝1． 理由：∠点A （﹣2，0），点B （0，4a ），设直线AB 的函数解析式为y ＝mx +n ，204m n n a -+=⎧⎨=⎩，得24m a n a =⎧⎨=⎩， 即直线AB 的解析式为y ＝2ax +4a ，∠抛物线解析式为y ＝ax 2+4ax +4a （a ＞0），抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，∠441242a a a a a -+≥⎧⎨-+⎩或241440a a a a a -+⎧⎨-+>⎩， 解得，a ＝1或0＜a ≤12，即a 的取值范围是0＜a ≤12或a ＝1．【点睛】二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．8．（1）m＝1；（2）k＝5；（3）2≤n≤5．【解析】【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线的解析式即可求出m；（2）求出点A的坐标，利用待定系数法解决问题即可；（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），求出点C或B直线y＝5x+5+n上时n的值，即可解决问题．【详解】（1）∠抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∠m﹣4＝﹣3，∠m＝1．（2）∠抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∠抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∠A（﹣1，0），B（3，0），∠一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∠﹣k+5＝0，∠k＝5．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图像可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移等知识，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．9．（1）b＝2a﹣3；（2）32-≤a＜0或0＜a≤32；（3）0＜a＜4或3332=--a．【解析】【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≥0，即可求解；（3）∠当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；∠当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【详解】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．∠b＝2a﹣3；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≤﹣2，解得32-≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≥0，解得0＜a≤32．∠a的取值范围是32-≤a＜0或0＜a≤32；（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则422nm n=-⎧⎨=-+⎩，解得：34mn=-⎧⎨=-⎩，故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．∠C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．∠当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，∠a+2a﹣3﹣4＜5．解得a＜4．∠0＜a＜4；∠当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∠2454ac b a-=． 即24(4)(23)54a a a⨯---=． 解得3332a =-+（舍去）或3332=--a ． 综上，a 的取值范围是0＜a ＜4或3332=--a ． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解． 10．（1）(,)m m ；（2）22y x x =-+或写为：2(1)1y x =--+；（3）2m ≤，或3m ≥.【解析】【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∠2222()y x mx m m x m m =-+-+=--+，∠抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∠2OA m =，∠2OA =∠1m =抛物线的表达式为22y x x=-+，或写为：2(1)1y x=--+（3）把22C（，）代入222y x mx m m=-+-+，得22224m m m=-+-+，解得2m=或3，结合图象可得：当2m≤时，抛物线与线段BC有公共点，当23m＜＜时，抛物线与线段BC无公共点，当3m≥时，抛物线与线段BC有公共点；综上，当2m≤或3m≥时，抛物线与线段BC有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．11．（1）A（0，1），B（4，1）；（2）x＝m；（3）m≤0或m＞2．【解析】【分析】（1）计算自变量为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；（2）利用抛物线的对称轴方程求解；（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m＝0；当m＜0时满足条件；若m＞0时，利用当x＝4，y＜1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围．【详解】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2mx+1＝1，则A点坐标为（0，1），把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），（2）抛物线的对称轴为直线x＝-22m-＝m；（3）当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m ＜0时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点；当m ＞0时，当x＝4，y ＜1，即16﹣8m +1＜1，解得m ＞2，所以m 的范围为m ≤0或m ＞2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是结合图像求解.12．（1）-4或4；（2）14＜a≤13或﹣1≤a ＜﹣34． 【解析】【分析】 （1）根据题意先求出点Q 坐标，代入解析式进行计算即可求解；（2）根据题意分两种情况讨论，利用特殊点进行分析计算即可求解．【详解】解：（1）∠抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交y 轴于点P ，∠点P （0，﹣1），∠PQ ＝4，PQ∠x 轴，∠点Q （4，﹣1），（﹣4，﹣1）当点Q 为（4，﹣1），∠﹣1＝16a+4b ﹣1，∠4=-b a， 当点Q （﹣4，﹣1）∠﹣1＝16a ﹣4b ﹣1，∠ba＝4；（2）当a＞0时，当抛物线过点（2，﹣2）时，a＝14，当抛物线过点（1，﹣2）时，a＝13，∠14＜a≤13；当a＜0时，当抛物线过点（2，2）时，a＝﹣34，当抛物线过点（2，3）时，a＝﹣1，∠﹣1≤a＜﹣34，综上所述：14＜a≤13或﹣1≤a＜﹣34．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解整点定义，并熟练掌握与运用是解答本题的关键．13．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【解析】【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a-，可求解； （2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1， 故答案为：1；（2）当a ＞0时，∠对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，∠3a ﹣（﹣a ）＝4．∠a ＝1，∠二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，∠﹣a ﹣3a ＝4，∠a ＝﹣1，∠二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）∠a ＜0，对称轴为x ＝1，∠x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，∠t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，∠t ≥﹣1，t +1≤3，∠﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．14．（1）(01)A a +，；（2）32x =；（3）a 的取值范围是14a - 【解析】【分析】 （1）与y 轴的交点横坐标为0，然后计算0x =时的函数值即可求出坐标；（2）根据抛物线的对称轴为2b x a=-求解即可； （3）由N 点和A 点的坐标，可知点A 在点N 的上方，令抛物线上的点()2,c C y -，可得111c y a =+，分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∠抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ，令0x =，得1y a =+．(0,1)A a ∴+．（2）由抛物线231y ax ax a =-++可知3322a x a -=-=． ∠抛物线的对称轴为直线32x =． （3）对于任意的实数a ，都有1a a +>． 可知点A 总在点N 的上方．令抛物线上的点()2,c C y -．111c y a ∴=+．∠如图1，当0a >时， 2c y a >--．∠点C 在点M 的上方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 没有公共点．∠当0a <时（i）如图2，当抛物线经过点M时，2cy a=--．14a∴=-．结合函数图象，可知抛物线与线段MN恰有一个公共点M．（ii）当14a-<<时，可知抛物线与线段MN没有公共点．（∠）如图3，当14a<-，时，2cy a<--．∠点C在点M的下方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN恰有一个公共点．综上所述，a的取值范围是14a-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．。

中考复习二次函数复习课PPT课件

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两交点的距离ba 为｜x1
-x2
｜c ＝
a
b2 4ac
|a|
练习1、填表
抛物线
开口 对称轴
顶点坐标
y=a(x–h)2+k（a>0） 向上
x=h
（h，k)
y=ax2+bx+c（a<0） 向下
x=-
b 2a
(-
b 2a
, 4ac-b2 4a
)
练习（四） 填空
1、二次函数y=
1 2
x2+2x+1写成顶点式为：
例2、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、 负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交 于点C。若OA=4，OB=1，∠ACB=90°， 求抛物线解析式。
解： ∵点A在正半轴，点B在负半轴
OA=4，∴点A（4，0） y
OB=1， ∴点B（-1，0）
又 ∵ ∠ACB=90°
BO
Ax
∴OC2=OA·OB=4
即： y=-2x2+4x
练习1、已知抛物线y=ax2+bx-1的 对称轴是x=1 ，最高点在直线y=2x+4 上。 （1）求抛物线解析式.
（2）求抛物线与直线的交点坐标.
解：∵二次函数的对称轴是x=1
∴图象的顶点横坐标为1 又∵图象的最高点在直线y=2x+4上 ∴当x=1时，y=6 ∴顶点坐标为（ 1 ， 6）
根据题意得： 4=a+b+c -1=a-b+c -2=4a+2b+c
2、已知抛物线的顶点坐标(-2,3) ，设抛物 线解析式为_y_=_a_(x_+_2_)_2_+_3_(a_≠_0_)__, 若图象还过点 (1,4) ，可得__4_=_a_(_1_+_2_)2_+_3___.
初三中考复习时关于二次函数应用的专题复习30题

初三中考复习时关于二次函数应用的专题复习30题

初三中考复习时关于二次函数应用的专题复习30题 1、徒骇河大桥是我市第一座特大型桥梁，大桥桥体造型新颖，气势恢宏，两条拱肋如长虹卧波，极具时代气息极具时代气息((如图①)．大桥为中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB 是抛物线的一部分是抛物线的一部分((如图②)，跨径AB 为100m ，拱高OC 为25m ，抛物线顶点C 到桥面的距离为17m ．(1)请建立适当的坐标系，求该抛物线所对应的函数关系式；(2)七月份汛期来临，河水水位上涨，假设水位比AB 所在直线高出1.96m ，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？在不计桥面厚度的情况，一条高出水面4.6m 的游船是否能够顺利通过大桥？2、某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x 元，，商场一天可获利润y 元．元．①求出y 与x 之间的函数关系式;.②商场经营该商品，每件商品应降价多少元时，可获得最大利润,最大利润是多少?3通过画该函数图像的草图，观察其图像的变化趋势，结合题意写出当x 取何值时，商场获利润不少于2160元？元？ 3、某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中为常数）元）与进货量（吨）近似满足函数关系；乙种水果的销售利润（万元）与进货量（吨）近似满足函数关系（其中为常数），，且进货量为1吨时，销售利润为1.4万元；进货量为2吨时，销售利润为2.6万元．万元．（1）求（万元）与（吨）之间的函数关系式．（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和（万元）与（吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？多少？4、北方某水果商店从南方购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查这种水果在北方市场上的销售量（吨）与每吨的销售价（万元）之间的函数关系如下图所示：（1）求出销售量与每吨销售价之间的函数关系式；（2）如果销售利润为（万元），请写出与之间的函数关系式；（3）当每吨销售价为多少万元时，销售利润最大？最大利润是多少？5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．元的各种费用． 设每个房间每天的定价增加元．求：（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．（2分）分）（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．（3分）分）（3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（5分）分）6、某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表x(元)15 20 30 … y(件)25 20 10 …若日销售量y 是销售价x 的一次函数（1）求出日销售量y （件）与销售价x(元)的函数关系式；的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？7、右图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m ，拱桥的跨度为10m ，桥洞与水面的最大距离是5m ，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景的景 观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）（1）求抛物线的解析式.（2）求两盏景观灯之间的水平距离.8、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价（元）（元）与月份之间满足函数关系，去年的月销售量（万台）与月份之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份月份1月 5月 销售量销售量3.9万台万台4.3万台万台 （1）、求（万台）与月份之间成一次函数关系式（2）、该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？9、如图，一座抛物线型的拱桥，正常水位时桥下水面宽度AB 为29m ，拱顶离水面4m ，桥下水深2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于16m,求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行？10、日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；被国家农业部列为对虾养殖重点区域；被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．贝类产品西施舌是日照特产．贝类产品西施舌是日照特产．沿沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表： （单位：千元/吨）吨）品种品种先期投资先期投资 养殖期间投资养殖期间投资 产值产值 西施舌9 3 30 对虾对虾4 10 20.养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x 吨（1）求x 的取值范围；的取值范围；（2）设这两个品种产出后的总产值为y （千元），试写出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 等于多少时，y 有最大值？最大值是多少？11、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；，求抛物线的解析式；（2）求支柱的长度；）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．12、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，（这里的代销是指厂家先免费提供货源，（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，待货物售出后再进行结算，待货物售出后再进行结算，未售未售出的由厂家负责处理）。