1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标．
2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?. （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，
若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值.
3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的
图15.1
C
D
O
B
A
x
y
对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为 （－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2
）试探究抛物线上是
第25题图
否存在点F，使FOE
?，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y ?≌FCE
轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，OPQ
?是等腰三角形．
5. 如图，抛物线y=ax2+bx﹣5（a≠0）经过点A（4，﹣5），与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，
抛物线的顶点为点D．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；
（3）如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．
6. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．CD垂直于y轴，交抛物线于
点D，DE垂直与x轴，垂足为E，l是抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移到其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移
到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分的图形的面积；（3）若Rt△AOC 沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分的图形面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．
7. 如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的
坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．
8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx经过两点A（﹣1，1），B（2，2）．过点B作BC∥x
轴，交抛物线于点C，交y轴于点D．（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；（2）若抛物线上
存在点M，使得△BCM的面积为，求出点M的坐标；（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标．
1.【解答】解：（1）∵直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，
∴A （0，﹣3），∵B （﹣4，﹣5）
，∴
，∴
，∴抛物线解析式为y=x 2+x ﹣3，
（2）存在，设P （m ，m 2+m ﹣3），（m ＜0），∴D （m ， m ﹣3），∴PD=|m 2+4m|∵PD ∥AO ， ∴当PD=OA=3，故存在以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形，∴|m 2+4m|=3， ①当m 2+4m=3时，∴m 1=﹣2
﹣
，m 2=﹣
2+
（舍），∴m 2+m ﹣3=﹣1
﹣
，∴P （﹣2
﹣，﹣1
﹣），
②当m 2+4m=﹣3时，∴m 1=﹣1，m 2=﹣3，Ⅰ、m 1=﹣1，∴m 2+m ﹣3=
﹣，∴P （﹣1
，﹣
），
Ⅱ、m 2=﹣3，∴m 2+m ﹣3=
﹣，∴P （﹣3
，﹣
），
∴点P 的坐标为（﹣2
﹣
，﹣1
﹣
），（﹣1
，﹣
），（﹣3
，﹣
）．
（3）如图，∵△PAM 为等腰直角三角形，∴∠BAP=45°， ∵直线AP 可以看做是直线AB 绕点A 逆时针旋转45°所得，
设直线AP 解析式为y=kx ﹣3，∵直线AB 解析式为y=x ﹣3，∴
k==3，
∴直线AP 解析式为y=3x ﹣3
，联立
，∴x 1=0（舍）x 2=﹣
当x=﹣时，y=
﹣， ∴P
（﹣，﹣
）．
2. 解析：（1）∵(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化得到如图4.1所示的BCD ?，
∴2,1,90BD OA CD OB BDC AOB ?
====∠=∠=.∴()1,1C .…………………
(1分)
设经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为2
y ax bx c =++，
则有0
12
a b c a b c c -+=??
++=??=?
，解得：31,,222a b c =-==.
∴抛物线解析式为231
222
y x x =-
++. （2）如图4.1所示，设直线PC 与AB 交于点E . ∵直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，
∴
13AE BE =或3AE
BE
=，过E 作EF OB ⊥于点F ，则EF ∥OA . ∴BEF ?∽BAO ?,∴EF BE BF AO BA BO ==.∴当13AE BE =时，3241
EF BF
==
， ∴33,24EF BF ==，∴13
(,)42
E -.
F E
P
图4.1
y
x
O C
D
B A
设直线PC 解析式为y mx n =+，则可求得其解析式为2755
y x =-+， ∴2312722255x x x -
++=-+，∴122,15x x =-=（舍去）， ∴1239
(,)525P -. 当3AE BE =时，同理可得2623(,)749
P -. （3）设ABO ?平移的距离为，111A B O ?与211B C D ?重叠部分的面积为S .
可由已知求出11A B 的解析式为22y x t =+-，11A B 与x 轴交点坐标为2
(
,0)2
t -. 12C B 的解析式为1122y x t =++，12C B 与y 轴交点坐标为1
(0,)2t +. ………(9分)
①如图4.2所示，当3
05
t <<时，111A B O ?与211B C D ?重叠部分为四边形.
设11A B 与x 轴交于点M ，12C B 与y 轴交于点N ，11A B 与12C B 交于点Q ，连结OQ .
由221122y x t y x t =+-???=++??，得433
53t x t y -?=???
?=??
，∴435(,)33t t Q -.……………(10分) ∴1251134()223223
QMO QNO t t t
S S S t ??--=+=??+?+?
2131124t t =-++. ∴S 的最大值为2552
.
②如图4.3所示，当
34
55
t ≤<时，111A B O ?与211B C D ?重叠部分为直角三角形. 设11A B 与x 轴交于点H ， 11A B 与11C D 交于点G .则(12,45)G t t --，
12451222t t
D H t --=
+-=
，145D G t =-. ∴21111451(45)(54)2224t S D H D G t t -==-=-.
∴当3455t ≤<时，S 的最大值为14.
综上所述，在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值为
25
52
. 3. （1）依题意，得1,20,3.
b
a a
b
c c ?-=-??++=??=?
?
解之，得1,2,3.a b c =-??=-??=?∴抛物线解析式为322
+--=x x y ．
∵对称轴为x ＝－1，且抛物线经过A （1，0），∴B （－3，0）． 把B （－3，0）、C （0，3）分别直线y ＝mx ＋n ，得
G
H A 1
O 1
B 2
图4.3
y
x
O C 1D 1B 1
Q N M
A 1
B 2
D 1
C 1
O x
y
图4.2
B 1
O 1
PC 2
＝(－1)2
＋(t －3)2
＝t 2
－6t ＋10.
①若B 为直角顶点，则BC 2
＋PB 2
＝PC 2
，即18＋4＋t 2
＝t 2
－6t ＋10. 解之,得t ＝－2. ②若C 为直角顶点，则BC 2
＋PC 2
＝PB 2
，即18＋t 2
－6t ＋10＝4＋t 2
．解之，得t ＝4． ③若P 为直角顶点，则PB 2
＋PC 2
＝BC 2
，即 4＋t 2
＋t 2
－6t ＋10＝18．解之，得t 1＝
2173+，t 2＝2
17
3-．
4. 解答：（1） 抛物线8y 2-+=bx ax 经过点A （－2，0），D （6，－8）， ???-=-+=--∴88636082a 4b a b 解得?????-==
3
21b a ∴抛物线的函数表达式为83212--=x x y
()2
2532183212
2-
-=--=
x x x y ，∴抛物线的对称轴为直线3=x ．又 抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（－2，0）．∴点B 的坐标为（8，0）设直线l 的函数表达式为kx y =． 点D （6，－8）在直线l 上，
∴6k =－8，解得34-=k ．∴直线l 的函数表达式为x y 3
4-= 点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．∴点E 的横
坐标为3，纵坐标为433
4-=?-，即点E 的坐标为（3，－4）
（2）抛物线上存在点F ，使FOE ?≌FCE ?．点F 的坐标为（4,173--）或（4,173-+）． （3）解法一：分两种情况：
①当OQ OP =时，OPQ ?是等腰三角形．
点E 的坐标为（3，－4），54322=+=∴OE ，过点E 作直线ME //PB ， 交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则
OQ
OE
OP OM =，5==∴OE OM ∴点M 的坐标为（0，－5）．
设直线ME 的表达式为51-=x k y ，∴4531-=-k ，解得311=
k ，∴ME 的函数表达式为53
1
-=x y ，令y =0，
得0531
=-x ，解得x =15，∴点H 的坐标为（15，0） 又 MH//PB ，∴OH OB OM OP =，即15
85=-m ，
∴38-=m ②当QP QO =时，OPQ ?是等腰三角形． 当x =0时，8832
12
-=--=
x x y ，∴点C 的坐标为（0，－8）
， ∴5)48(322=-+=CE ，∴OE=CE ，∴21∠=∠，又因为QP QO =，∴31∠=∠，
∴32∠=∠，∴CE//PB 设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为82-=x k y ，∴4832-=-k ，解得342=k ，
∴CE 的函数表达式为834-=x y ，令y =0，得083
4=-x ，∴6=x ，∴点N 的坐标为（6，0）
CN//PB ，∴
ON OB OC OP =，∴688=-m ，解得3
32-
=m 综上所述，当m 的值为38-或3
32-时，OPQ ?是等腰三角形．
解法二：当x =0时，8832
12
-=--=
x x y ，∴点C 的坐标为（0，－8）
，∴点E 的坐标为 （3，－4），54322=+=∴OE ，5)48(322=-+=CE ，∴OE=CE ，∴21∠=∠，设抛物线的对称轴交直线PB 于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况：
① 当QP QO =时，OPQ ?是等腰三角形．
∴31∠=∠，∴32∠=∠，∴CE //PB
又 HM //y 轴，∴四边形PMEC 是平行四边形，∴m CP EM --==8，
∴5384)8(4=-=--=--+=+=BH m m EM HE HM ， HM//y 轴，∴
BHM ?∽BOP ?，∴
BO BH OP HM = ∴3
32
8
5
4-
=∴=
---m m m ②当OQ OP =时，OPQ ?是等腰三角形． y EH // 轴，∴OPQ ?∽EMQ ?，∴
OP
EM
OQ EQ =，∴EM EQ = m m OP OE OQ OE EQ EM +=--=-=-==∴5)(5，)5(4m HM +-=∴， y EH // 轴，∴BHM ?∽BOP ?，∴
BO
BH
OP HM =
∴3
8
8
5
1-
=∴=---m m
m ∴当m 的值为38
-或3
32-时，OPQ ?是等腰三角形．
5. 解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx ﹣5与y 轴交于点C ，∴C （0，﹣5），∴OC=5． ∵OC=5OB ，∴OB=1，又点B 在x 轴的负半轴上，∴B （﹣1，0）． ∵抛物线经过点A （4，﹣5）和点B （﹣1，0），
∴
，解得
，∴这条抛物线的表达式为y=x 2﹣4x ﹣5．
（2）由y=x 2﹣4x ﹣5，得顶点D 的坐标为（2，﹣9）．连接AC ， ∵点A 的坐标是（4，﹣5），点C 的坐标是（0，﹣5），
又S △ABC =×4×5=10，S △ACD =×4×4=8， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18．
（3）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =×AB ×CH=10，AB=5，
∴CH=2
，
在RT △BCH 中，∠BHC=90°，BC=，BH=
=3
，
∴tan ∠CBH=
=．∵在RT △BOE 中，∠BOE=90°，tan ∠BEO=
，
∵∠BEO=∠ABC ，∴
，得EO=，∴点E 的坐标为（0，）．
6. 解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （9，0）和C （0，4）． ∴设抛物线的解析式为y=a （x+3）（x ﹣9），∵C （0，4）在抛物线上，∴4=﹣27a ，
∴a=﹣
，∴设抛物线的解析式为y=﹣
（x+3）（x ﹣9）=﹣
x 2+x+4，
∵CD 垂直于y 轴，C （0，4）∴﹣x 2+x+4=4，∴x=6，∵D （6，4），
（2）如图1，∵点F 是抛物线y=﹣x 2+x+4的顶点，
∴F （3，
），∴FH=，∵GH ∥A 1O 1，∴，
∴
，∴GH=1，
∵Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分是梯形A 1O 1HG ，
∴S 重叠部分=S △A1O1F ﹣S △FGH =A 1O 1×O 1F ﹣GH ×FH=×3×4﹣×1×=．
（3）①当0＜t ≤3时，如图2，∵C 2O 2∥DE ，∴，
∴
，∴O 2G=t ，∴S=S △OO2G =OO 2×O 2G=t ×t=t 2，
②当3＜t ≤6时，如图3，∵C 2H ∥OC ，∴，
∴
，∴C 2H=（6﹣t ），∴S=S 四边形A2O2HG =S △A2O2C2﹣S △C2GH
=OA ×OC ﹣C 2H ×（t ﹣3）=×3×4﹣×（6﹣t ）（t ﹣3）
=t 2﹣3t+12
∴当0＜t ≤3时，S=t 2，当3＜t ≤6时，S=t 2﹣3t+12．
7. 解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 的图象经过点A （﹣2，0），点B （4，0），点D （2，4）， ∴设抛物线解析式为y=a （x+2）（x ﹣4），∴﹣8a=4，∴a=﹣，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x ﹣4）=﹣x 2+x+4； （2）如图1，①点E 在直线CD 上方的抛物线上，记E ′， 连接CE ′，过E ′作E ′F ′⊥CD ，垂足为F ′，由（1）知，OC=4， ∵∠ACO=∠E ′CF ′，∴tan ∠ACO=tan ∠E ′CF ′，
∴
=，设线段E ′F ′=h ，则CF ′=2h ，∴点E ′（2h ，h+4）
∵点E ′在抛物线上，∴﹣（2h ）2+2h+4=h+4，
∴h=0（舍）h=∴E′（1，），
②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，同①的方法得，E（3，），点E的坐标为（1，），（3，）
（3）①CM为菱形的边，如图2，
在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，
交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，
∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，
∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，设点P′（m，﹣m2+m+4），
在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），
∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，∴m=﹣m2+2m，∴m=0（舍）或m=4﹣2，
菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．
②CM为菱形的对角线，如图3，
在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，
交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，
∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，
∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，
∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，
设点P（n，﹣n2+n+4），∴CQ=n，OQ=n+2，∴n+4=﹣n2+n+4，∴n=0（舍），
∴此种情况不存在．∴菱形的边长为4﹣4．
8. 解：（1）把A（﹣1，1），B（2，2）代入y=ax2+bx得：，解得，
故抛物线的函数表达式为y=x2﹣x，∵BC∥x轴，设C（x0，2）．∴x02﹣x0=2，解得：x0=﹣或x0=2，
∵x0＜0 ∴C（﹣，2）；
（2）设△BCM边BC上的高为h，∵BC=，∴S△BCM=h=，∴h=2，点M即为抛物线上到BC的距离为2的点，∴M的纵坐标为0或4，令y=x2﹣x=0，解得：x1=0，x2=，∴M1（0，0），M2（，0），令y=x2﹣x=4，
解得：x3=，x4=，∴M3（，0），M4（，4），
综上所述：M点的坐标为：（0，0），（，0），（，0），（，4）；
（3）∵A（﹣1，1），B（2，2），C（﹣，2），D（0，2），∴OB=2，OA=，OC=，
∴∠AOD=∠BOD=45°，tan∠COD=，①如图1，当△AOC∽△BON时，，∠AOC=∠BON，
∴ON=2OC=5，过N作NE⊥x轴于E，∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠BON=∠NOE，
在Rt△NOE中，tan∠NOE=tan∠COD=，∴OE=4，NE=3，∴N（4，3）同理可得N（3，4）；
②如图2，当△AOC∽△OBN时，，∠AOC=∠OBN，∴BN=2OC=5，
过B作BG⊥x轴于G，过N作x轴的平行线交BG的延长线于F，∴NF⊥BF，
∵∠COD=45°﹣∠AOC=45°﹣∠OBN=∠NBF，∴tan∠NBF=tan∠COD=，∴BF=4，NF=3，
∴N（﹣1，﹣2），同理N（﹣2，﹣1），
综上所述：使得△AOC与△OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标是（4，3），（3，4），（﹣1，﹣2），（﹣2，﹣1）．
1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 与直线y=x ﹣3交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，点B 坐标为（﹣4，﹣5），点P 为y 轴左侧的抛物线上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交AB 于点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）以O ，A ，P ，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P 运动到直线AB 下方某一处时，过点P 作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此时点P 的坐标． 2. 在直角坐标系xoy 中，(0,2)A 、(1,0)B -，将ABO ?经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的BCD ?.
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结AC ，点P 是位于线段BC 上方的抛物线上一动点，若直线PC 将ABC ?的面积分成1:3两部分，求此时点P 的坐标；（3）现将ABO ?、BCD ?分别向下、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中ABO ?与BCD ?重叠部分面积的最大值. 3. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为直线x ＝－1，且经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 图15.1 C D O B A x y
轴的另一个交点为B .⑴若直线y ＝mx ＋n 经过B ，C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴x ＝－1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求点M 的坐标；⑶设点P 为抛物线的对称轴x ＝－1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经 第25题图
1.如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x﹣3 交于 A、B 两点，其中点 A 在 y 轴上，点 B 坐标为（﹣4，﹣5），点 P 为 y 轴左侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PC⊥x 轴于点 C，交 AB 于点 D．（1）求抛物线的解析式；（2）以 O， A，P，D 为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点 P 运动到 直线 AB 下方某一处时，过点 P 作 PM⊥AB，垂足为 M，连接 PA 使△PAM 为等腰直角三角形，请直接写出此 时点 P 的坐标．
2. 在直角坐标系 xoy 中， A(0, 2) 、 B(1, 0) ，将 ABO 经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的 BCD . （1）求经过 A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）连结 AC ，点 P 是位于线段 BC 上方的抛物线上一动点，
若直线 PC 将 ABC 的面积分成1: 3 两部分，求此时点 P 的坐标；（3）现将 ABO 、BCD 分别向下、向左 以1: 2 的速度同时平移，求出在此运动过程中 ABO 与 BCD 重叠部分面积的最大值.
y A
C
BO D
x
图15.1
3. 如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1，且经过 A（1，0），C（0，3）两点，与 x 轴 的另一个交点为 B.⑴若直线 y＝mx＋n 经过 B，C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；⑵在抛物线的对称轴 x＝－1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求点 M 的坐标；⑶设点 P 为抛物线的
2017中考试题汇编--------二次函数(2017贵州铜仁)25．（14分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）分三种情况： ①当△P1MP2≌△CMB时，取对称点可得点P1，P2的坐标； ②当△BMC≌△P2P1M时，构建?P2MBC可得点P1，P2的坐标； ③△P1MP2≌△CBM，构建?MP1P2C，根据平移规律可得P1，P2的坐标；（3）如图3，先根据直径所对的圆周角是直角，以BC为直径画圆，与对称轴的交点即为点Q，这样的点Q有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明△BDQ1
∽△Q1EC，列比例式，可得点Q的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：， 解得：， ∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2﹣x﹣2； （2）如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称， ∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC， ∴△P1MP2≌△CMB， ∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣， 此时P1（﹣1，0）， ∵B（0，﹣2），对称轴：直线x=， ∴P2（1，﹣2）； 如图2，MP2∥BC，且MP2=BC， 此时，P1与C重合， ∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M， ∴△BMC≌△P2P1M， ∴P1（2，0）， 由点B向右平移个单位到M，可知：点C向右平移个单位到P2， 当x=时，y=（﹣）2﹣=， ∴P2（，）；
4的图象与x轴交于A,B两点与y轴交于点C , O C的半径为.5, P为O C上一动点. (1 )点B,C的坐标分别为B( _____________ )，C( __________ )； (2) 是否存在点P，使得PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请 说明理由； ⑶连接PB，若E为PB的中点，连接0E ,则0E的最大值= . \F7\\ J-------- 1 ------ V J5 1V J 了 7 2在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过点A (- 2, 0), B (2, 2),与y轴交于 点C. (1 )求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式; (2)若点D在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上，求△ ACD的周长的最小值; (3) 在抛物线y=ax2+bx+2的对称轴上是否存在点 ax2 bx c经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3)、 B( 1,0)、 1.如图，已知二次函数 巳使厶ACP是直角三角形？若存在直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由. 3如图1,抛物线y
D(2,3)，抛物线与x轴的另一交点为E.经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面
积相等的两部分，与抛物线交于另一点 P ?点P 为直线l 上方抛物线上一动点，设点 P 的横 坐标为t . （1） 求抛物线的解析式； （2） 当t 何值时， PFE 的面积最大？并求最大值的立方根； （3） 是否存在点P 使 PAE 为直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由? 4.（ 12分）如图1,点A 坐标为（2, 0）,以OA 为边在第一象限内作等边△ OAB 点C 为 x 轴上一动点，且在点 A 右侧，连接BC,以BC 为边在第一象限内作等边△ BCD 连接AD 交 (2) 是否存在点P,使得△ ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有符合 条件的点P 的坐标；若不存在， 说明理由； (3) 过动点P 作PE 垂直y 轴 于点E ,交直线AC 于点D,过 点D 作x 轴的垂线.垂足为F , 连接 EF ,当线段EF 的长度最 短时，求出点P 的坐标. 6如图，抛物线y=- 1 x 2+ 2 x+2与x 轴交于点A ,点B ,与y 轴交于点C ,点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点.设点P 的坐标为(m, 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物 线于点Q. (1) 求点A 点B,点C 的坐标； BC 于 E .
2017贵州中考题 二次函数 1、（2017六盘水）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则( ) A 、0,0b c >> B 、0,0b c >< C 、0,0b c << D 、0,0b c <> 2、（2017安顺）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，如图，给出下列四个结论：①240ac b -<；②320b c +<；③42a c b +<；④()()1m a m b b a m ++<≠-，其中结论正确的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、（2017黔东南）如图，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、（2017黔南）二次函数的图象如图所示，以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a +b ＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x ＜时，y 随x 的增大而减小；⑥a +b +c ＞0正确的有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 2y ax bx c =++1212
5、（2017贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下四个结论：①a＞0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④﹣＜0，正确的是（） A、①② B、②④ C、①③ D、③④ 6、（2017遵义）如图，抛物线2 =++经过点(1,0) y ax bx c -，对称轴l如图所示.则下列结论：①0 a b +<，其中所有正abc>；②0 +<；④0 a c a b c -+=；③20 确的结论是（） A、①③ B、②③ C、②④ D、②③④ 7、(2017安顺）如图，直线3 y x =-+与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过,B C 两点的抛物线2 =++与x轴的另一个交点为A，顶点为P. y x bx c 甲乙丙 （1）求抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以,, C P M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当03 ?的面积有最大值.(图乙、丙<<时，在抛物线上求一点E，使CBE x 供画图探究)
2017年中考数学复习 中考专题： 圆与函数综合题 1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式． 2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线233 y x bx c =-++过A 、B 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值． 3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16 ）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2）， (1)求a,b,c 的值； (2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；
（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。 4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且 经过点（b －2，2b 2－5b －1）. （1）求这条抛物线的解析式； （2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标； （3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标. 5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。 原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。 ⑴尝试探究：如图2，在⊙O 中，M N 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，点E 在MN 上，∠AEC =90°，AB =3，BD =8，BE ：DE =1:3，则CD = （试写出解答过程）。 ⑵类比延伸：利用图3，再探究，当A 、C 两点分别在直径MN 两侧，且AB ≠CD ，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°时，则线段AB 、CD 、BD 满足的数量关系为 。
2017二次函数中考试题分类汇编 一、选择题 1、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如下图1所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、如上图2是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A （－3，0），对称轴为 x ＝－1．给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④5a ＜b ．其中正确结论 是（ ）．（A ）②④ （B ）①④ （C ）②③ （D ）①③ 3、二次函数221y x x =-+与x 轴的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（ ） 5、已知二次函数 2y ax bx c = ++(a ≠0)的图象开口向上，并经过点 (-1，2)，(1 ，0) . 下列结论正确的是( ) A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大 B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小 C. 存在一个负数x 0，使得当x
6、已知二次函数y =x 2-x+a (a ＞0)，当自变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的是（ ）(A) m -1的函数值小于0 (B) m -1的函数值大于0 (C) m -1的函数值等于0 (D) m -1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题 1、二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象如下图1所示，且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |， Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 . 3、如下图2所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ． 4、已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如上图所示，则关于x 的一元二次方程 220x x m -++=的解为 ． 4、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如上图所示，则点()P a bc ，在第 象限． 三、解答题：1、知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。 （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。 2、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(1 4)A -，，且过点(30)B ，． （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标． 第4 题 （第3题）
2017中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ； （3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S △PAB ＝8 9 S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ． （1）求点B 的坐标； （2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． 图2
2.如图，抛物线y = ax 2 + bx + 4与x 轴的两个交点分别为A （－4，0）、B （2，0），与y 轴交于点 C ，顶点为 D ． E （1，2）为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于 F 、 G ． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D 的坐标； （2）在直线EF 上求一点H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K 在x 轴上方的抛物线上运动，当K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2 +bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． C E D G A x y O B F
2017中考试题汇编--------二次函数 (2017贵州铜仁)25．（14分）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B （0，﹣2），并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点（点M，B，C三点不在同一直线上）． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）在抛物线上找出两点P1，P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出点P1，P2的坐标； （3）在对称轴上是否存在点Q，使得∠BQC为直角，若存在，作出点Q（用尺规作图，保留作图痕迹），并求出点Q的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）分三种情况： ①当△P1MP2≌△CMB时，取对称点可得点P1，P2的坐标； ②当△BMC≌△P2P1M时，构建?P2MBC可得点P1，P2的坐标； ③△P1MP2≌△CBM，构建?MP1P2C，根据平移规律可得P1，P2的坐标； （3）如图3，先根据直径所对的圆周角是直角，以BC为直径画圆，与对称轴的交点即为点Q，这样的点Q有两个，作辅助线，构建相似三角形，证明△BDQ1∽△Q1EC，列比例式，可得点Q的坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（0，﹣2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：， 解得：，
∴抛物线所表示的二次函数的表达式为：y=x2﹣x﹣2； （2）如图1，P1与A重合，P2与B关于l对称， ∴MB=P2M，P1M=CM，P1P2=BC， ∴△P1MP2≌△CMB， ∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣， 此时P1（﹣1，0）， ∵B（0，﹣2），对称轴：直线x=， ∴P2（1，﹣2）； 如图2，MP2∥BC，且MP2=BC， 此时，P1与C重合， ∵MP2=BC，MC=MC，∠P2MC=∠BP1M， ∴△BMC≌△P2P1M， ∴P1（2，0）， 由点B向右平移个单位到M，可知：点C向右平移个单位到P2，当x=时，y=（﹣）2﹣=， ∴P2（，）； 如图3，构建?MP1P2C，可得△P1MP2≌△CBM，此时P2与B重合，由点C向左平移2个单位到B，可知：点M向左平移2个单位到P1，∴点P1的横坐标为﹣， 当x=﹣时，y=（﹣﹣）2﹣=4﹣=， ∴P1（﹣，），P2（0，﹣2）； （3）如图3，存在， 作法：以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2， 则∠BQ1C=∠BQ2C=90°；
2017年中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由． 考点：二次函数综合题． 专题：压轴题；数形结合． 分析： （1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标． 考点：二次函数综合题．. 专题：压轴题；转化思想． 分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．
二次函数与反比例函数 一、选择题 1．若函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是（） A．m＜﹣2 B．m＜0 C．m＞﹣2 D．m＞0 2．如图是反比例函数y=的图象，下列说法正确的是（） A．常数m＜﹣1 B．在每个象限内，y随x的增大而增大 C．若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k D．若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，y）也在图象上 3．如图，点P1、P2、P3分别是双曲线同一支图象上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，垂足分别是A1、A1、A3，得到的三个三角形△P1A1O、△P2A2O、△P3A3O．设它们的面积分别为S1、S2、S3，则它们的大小关系是（） A．S1＞S2＞S3B．S3＞S2＞S1C．S1=S2=S3 D．S2＞S3＞S1 4．当x＞0时，函数y=﹣的图象在（） A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限 5．如图，过点O作直线与双曲线y=（k≠0）交于A、B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴，y轴上分别取点E、F，使点A、E、F在同一条直线
上，且AE=AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1、S2的数量关系是（） A．S1=S2B．2S1=S2C．3S1=S2D．4S1=S2 6．如图，正比例函数y=x与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为（） A．1 B．2 C．D． 7．如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（） A．B．C．3 D．4 8．以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（）
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二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ， 那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 2017年中考备考专题复习：二次函数 一、单选题（共12题；共24分） 1、已知二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1,0），则它与x轴的另一个交点坐标是( ) A、（1，0） B、（－1，0） C、（2，0） D、（－2，0） 2、如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（） A、-1＜x＜5 B、x＞5 C、x＜-1且x＞5 D、x＜-1或x＞5 3、（2016?德州）下列函数中，满足y的值随x的值增大而增大的是（） A、y=﹣2x B、y=3x﹣1 C、y= D、y=x2 4、（2016?宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（） A、当a=1时，函数图象过点（﹣1，1） B、当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点 C、若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小 D、若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大 5、（2016?滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（） A、y=﹣（x﹣）2﹣ B、y=﹣（x+ ）2﹣ C、y=﹣（x﹣）2﹣ D、y=﹣（x+ ）2+ 6、（2016?黄石）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（） A、b≥ B、b≥1或b≤﹣1 C、b≥2 D、1≤b≤2 7、（2016?兰州）二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（） A、y=（x﹣1）2+2 B、y=（x﹣1）2+3 C、y=（x﹣2）2+2 D、y=（x﹣2）2+4 8、（2016?毕节市）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（） A 、 B 、 C 、 D 、 9、（2016?呼和浩特）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（） 1 / 13 1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点E是直角△ABC斜边AB上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E、F的坐标； （3）在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． 3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点． （1）求该二次函数的解析式； （2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标； （3）点P是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC、y轴于点E、F，若△PEB、△CEF的面积分别为S1、S2，求S1﹣S2的最大值． 4．如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A （4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x． 标准文档 实用文案2017中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B. （1）求抛物线和直线AB的解析式； （2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ； （3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝89S P点的坐标；若不存在，请说明理由. △CAB，若存在，求出 【变式练习】 1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB． （1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． （4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． A x y B O x C O y A B D 1 1 图2 标准文档 实用文案 2.如图，抛物线y = ax2 + bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E （1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长； （3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时， △EFK的面积最大？并求出最大面积． 3．如图，已知：直线3???xy交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、 B、C（1，0）三点. （1）求抛物线的解析式; （2）若点D的坐标为（-1，0），在直线3???xy上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求 出点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理 由． CEDG A x y O B F 标准文档 实用文案 2017年中考备考专题复习：二次函数 C 、 y= -(x - ] ) 2 亍 D 、 y= -( x+ ) 、单选题（共12题；共24分） 1、已知二次函数y=x 2+x+c 的图象与x 轴的一个交点为（1,0）,则它与x 轴的另一个交点坐标是（ 6、（ 2016?黄石）以 实数 A 、 (1, 0) B 、 (-1, 0) C 、 (2, 0) D 、 (-2, 0) B 、 C 、 b 的取值范围是 b > b >1或 b w- 1 b >2 2、如图是二次函数 y=ax 2+bx+ c 的部分图象，由图象可知不等式 ax 2+bx+c v 0的解集是 丄 4 2 + x 为自变量的二次函数 y=x 2-2 （b - 2） x+b 2 - 1的图象不经过第三象限，则 （ ） B 、 7、 (20, 16?兰州） 二次函数 A 、 y= (x - 1) 2+2 B 、 y= (x - 1) 2+3 C 、 y= (x - 2) 2+2 D 、 y= (x - 2) 2+4 D 、 y=x 2 - 2x+4化为y=a （x - h ） 2 +k 的形式，下列正确的是（ 8、（ 2016?毕节市）一次函数 y=ax+b （ a 工0与二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0在同一平面直角坐标 系中的图象可能是（ ） C 、 D 、 x > 5 x v -1 且 x >5 x v -1 或 x > 5 3、（ 2016?德州）下列函数中，满足 y 的值随x 的值增大而增大的是（ A 、 y= - 2x B 、 y=3x - 1 - 1 C 、y = D 、 y=x 2 4、 （ 2016?宁波）已知函数 y=ax 2 - 2ax - 1 （a 是常数，a ^O ，下列结论正确的是（ ） a=1时，函数图象过点（-1, 1） a=- 2时，函数图象与 x 轴没有交点 a > 0,则当x >1时，y 随x 的增大而减小 a v 0,则当x wi 时，y 随x 的增大而增大 A 、 B 、 C 、 当 当 若 若 5、 （ 2016?滨州）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移 180。得到抛物线y=x 2+5x+6，则原抛物线的解析式是（ ） 5 2 n A 、 y= -（x - ）- 5 2 11 B 、 y= -（x+ ） 2- 3个单位长度，然后绕原点选择 是（ ） a >, m 2 - 2am+2=0, n 2- 2an+2=0，则(m - 1) 2+ (n - 1) 2 的最小值 二次函数知识点总结及相关典型题目 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 二次函数综合复习 一选择题： 1.已知是y关于x的二次函数，那么m的值为( ) A．-2 B. 2 C. D. 0 2.二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式，下列正确的是( ) A.y=(x﹣1)2+2 B.y=(x﹣1)2+3 C.y=(x﹣2)2+2 D.y=(x﹣2)2+4 3.已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（） A．2015 B．2016 C．2017 D．2010 4.二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值为（） A．1 B．-1 C．2 D．-2 5.将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式 是( ) B． A． C．D． 6.已知二次函数y=(x﹣h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( ) A.1或﹣5 B.﹣1或5 C.1或﹣3 D.1或3 7.抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.设A(﹣2，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)是抛物线y=-(x+1)2+3上的三点，则y1，y2，y3大小关系为（） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 9.二次函数y=ace+bx+c图像上部分点的坐标如下表所示 则该函数的顶点坐标为( ) A.(-3，-3) B.(-2.-2) C.(-1，-3) D.(0,-6〕 10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（） 二次函数 一、选择题 1．(2016·浙江镇江·模拟)已知点E （2，1）在二次函数m x x y +-=82（m 为常数）的图像上，则点A 关于图像对称轴的对称点坐标是（ ） A ．（4，1） B ．（5，1） C ．（6，1） D ．（7，1） 答案：C 2．(2016·浙江金华东区·4月诊断检测一条开口向上的抛物线的顶点坐标是（－1，2），则它有（ ） A ．最大值1 B ．最大值－1 C ．最小值2 D ．最小值－2 答案：C 3．(2016·浙江杭州萧山区·模拟)设函数y=x 2 +2kx+k ﹣1（k 为常数），下列说法正确的是（ ） A ．对任意实数k ，函数与x 轴都没有交点 B ．存在实数n ，满足当x≥n 时，函数y 的值都随x 的增大而减小 C ．k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条直线上 D ．对任意实数k ，抛物线y=x 2 +2kx+k ﹣1都必定经过唯一定点 【考点】二次函数的性质． 【分析】A 、计算出△，根据△的值进行判断； B 、根据二次函数的性质即可判断； C 、得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k 得y=﹣x 2 ﹣x ﹣1，即可判断； D 、令k=1和k=0，得到方程组，求出所过点的坐标，再将坐标代入原式验证即可； 【解答】解：A 、∵△=（2k ）2﹣4（k ﹣1）=4k 2﹣4k+4=4（k ﹣）2 +3＞0， ∴抛物线的与x 轴都有两个交点，故A 错误； B 、∵a=1＞0，抛物线的对称轴x=﹣=﹣k ， ∴在对称轴的左侧函数y 的值都随x 的增大而减小， 即当x ＜k 时，函数y 的值都随x 的增大而减小， 当n=﹣k 时，当x≥n 时，函数y 的值都随x 的增大而增大，故B 错误； C 、∵y=x 2+2kx+k ﹣1=（x+k ）2﹣k 2 +k ﹣1， ∴抛物线的顶点为（﹣k ，﹣k 2 +k ﹣1）， ∴ ， 消去k 得，y=﹣x 2 ﹣x ﹣1 由此可见，不论k 取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y=﹣x 2 ﹣x ﹣1， 即在二次函数y=﹣x 2 ﹣x ﹣1的图象上．故C 错误； D 、令k=1和k=0，得到方程组：，解得， y C A x B D 1 O 1 2017 中考二次函数压轴题专题分类训练 题型一：面积问题 【例 1】如图 2，抛物线顶点坐标为点 C (1，4)，交 x 轴于点 A (3，0)，交 y 轴于点 B . （1） 求抛物线和直线 AB 的解析式； （2） 求△CAB 的铅垂高 CD 及 S △CAB ； （3） 设点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点 P ，使 S △PAB ＝ 9 S △CAB ，若存在， 8 求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 图 2 【变式练习】 1. 如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为(－2，0)，连结 OA ，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120°， 得到线段 OB ． （1） 求点 B 的坐标； （2） 求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的解析式； （3） 在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标； 若不存在，请说明理由． （4） 如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有， 求出此时 P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由． y B A O x 2. 如图，抛物线 y = ax 2 + bx + 4 与 x 轴的两个交点分别为 A （－4，0）、B （2，0），与 y 轴交于点 C ， 顶点为 D ．E （1，2）为线段 BC 的中点，BC 的垂直平分线与 x 轴、y 轴分别交于 F 、G ． （1） 求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； （2） 在直线 EF 上求一点 H ，使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （3） 若点 K 在 x 轴上方的抛物线上运动，当 K 运动到什么位置时， △EFK 的面积最大？并求出最大面积． 3. 如图，已知：直线 y = -x + 3 交 x 轴于点 A ，交 y 轴于点 B ，抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过 A 、B 、C （1，0） 三点. （1） 求抛物线的解析式; （2） 若点 D 的坐标为（-1，0），在直线 y = -x + 3 上有一点 P,使 ΔABO 与 ΔADP 相似，求出 点 P 的坐标； （3） 在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E ，使 ΔADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由． y D C G E A F O B x2017中考数学备考《二次函数》专题复习(含答案解析)
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